专题 5.2 事件的独立及频率与概率
知识点 1 独立事件
一、相互独立事件
1、定义：对任意两个事件 A 与 B，如果 P AB ＝P A P B 成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简
称为独立．
2、判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：若事件 A 的发生对事件 B 的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的
（2）公式法：若对两事件 A，B 有 P AB = P A P B ，则事件 A，B 相互独立.
二、相互独立事件的概率计算
已知两个事件 A，B 相互独立，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，则有
事件 概率
A，B 同时发生 P A P B
A，B 都不发生 P A P B
A，B 恰有一个发生 P A P B + P A P B
A，B 中至少有一个发生 P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)
A，B 中至多有一个发生 P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)
重难点 1 事情独立性的判断
1．若古典概型的样本空间Ω = 1,2,3,4 ，事件 A = 1,2 ，事件A ， B 相互独立，则事件 B 可以是（ ）
A． 1,3 B． 1,2,3 C． 3,4 D． 2,3,4
2．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用 x 表示第一次抛掷骰子的点数，用 y 表示第二
次抛掷骰子的点数，用 x, y 表示一次试验的结果．记“ x + y = 7 ”为事件A ，“ xy = 2k -1 k N* ”为事件
B ，“ x 3 ”为事件C，则 （ ）
A．A 与 B 相互独立 B．A 与 B 对立
C．A 与C相互独立 D． B 与C相互独立
3．（多选）有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取 1 个
球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”．丙表示事件“两
次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立
4．（多选）下列各对事件中，M ， N 为相互独立事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M 为“出现的点数为奇数”，事件 N 为“出现的点数为偶数”
B．袋中有 5 个白球，5 个黄球（球除颜色外完全相同），现不放回地依次摸出 2 个球，事件M 为“第一次
摸到黄球”，事件 N 为“第二次摸到黄球”
C．一枚硬币掷两次，事件M 为“第一次为正面”，事件 N 为“两次抛掷的结果相同”
D．一枚硬币掷两次，事件M 为“第一次为正面”，事件 N 为“第二次为反面”
5．（多选）袋中装有 5 张相同的卡片，分别标有数字 1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取
1 张卡片．A 表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”， B 表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C
表示事件“两次取出的卡片数字之和是 6”，则（ ）
A． P A B = 1 13B． P B U C =
25
C．A 与 B 相互独立 D． B 与C相互独立
6．有3个相同的球，分别标有数字1, 2,3，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球．用 x, y 表示样本
点，其中 x 表示第一次取出球的数字， y 表示第二次取出球的数字．设事件 A = “第一次取出的球的数字是
1”，事件B = “两次取出的球的数字之和是 4”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)判断事件A 和事件 B 是否相互独立，并说明理由．
重难点 2 求独立事件的概率
7．（多选）某大学选拔生补充进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三
个社团成功与否相互独立 2023 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“舞蹈”“美术”三个
1 1 7
社团的概率依次为 2 ，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ．则18 9
（ ）
1 2 1 1
A．m = B．m = C． n = D． n =3 3 3 2
8．某疾病全球发病率为 0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为 5%，检测的误诊率
（未患病者判定为阳性的概率）为 1%，则某人检测成阳性的概率约为（ ）
A．0.03% B．0.99% C．1.03% D．2.85%
9．如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落入 A, B,C .已知小球从每个叉口落入左右两个管道
的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A, B,C ，则分别给以一 二
三等奖.则某人投 1 次小球获得三等奖的概率为 .
10．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结
4
. 1束规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为 ，第二题答对的概率为 2 ，第三5
2
题答对的概率为 ，若答对两题，则可获得价值 100 元的奖品，若答对三题，则可获得价值 200 元的奖
5
品，若答对的题数不够 2 题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该
活动，则两人最后获得奖品价值总和为 300 元奖品的概率为 .
11．电视台为了做好宣传，引导广大青年“不忘初心，牢记使命”，切实增强“四个意识”，树立“四个自信”
坚定不移听党话、跟党走，举办了一次活动．现场观众是由 40 名大学生，30 名高中生，30 名初中生组成，
其中一个环节是由参加活动的一位嘉宾现场随机抽取一名观众进行知识问答竞赛．已知这位嘉宾抽到大学
1 2
生，且嘉宾能获胜的概率是 2 ；抽到高中生，且嘉宾能获胜的概率是 3 ；抽到初中生，且嘉宾能获胜的概
4
率是 ．则这位嘉宾获胜的概率是 ．
5
12．为普及安全知识，某单位举办了一场安全知识竞赛，经过初赛、复赛，有甲、乙两个代表队（每队三
人）进入决赛，决赛规则如下：共进行三轮比赛，每轮比赛中每人各答一题，每答对一题得 10 分，答错
1 2 1 2
不得分. 假设甲队每人答题正确的概率均为 2 ，乙队三人答题正确的概率分别 , , .5 2 3
(1)若决赛中三轮总得分大于 70 分就能获得特别奖，求乙队获得特别奖的概率;
(2)因两队在决赛中得分相同，现进行附加赛. 规则如下：甲，乙两队抽签决定谁先答题，每队每人各答题
一次为一轮，有两人及以上答对就算成功答题，并继续下一轮答题，否则换另一队答题，连续两轮成功答
题的队伍获胜，比赛结束. 求附加赛中甲队恰好在第 5 轮结束时获胜的概率.
13．作为世界乒坛本赛季收官战，首届WTT ( 世界乒乓球职业大联盟 )世界杯总决赛 2021年12月 7 日在新
加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某
训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢 2个球者获胜，通过
2 1
分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为 3 ，乙发球甲赢的概率为 ，不同球的结果互不影4
响，已知某局甲先发球．求该局打 4个球甲赢的概率；
14．已知A ， B ，C，D四名选手参加某项比赛，其中A ， B 为种子选手，C，D为非种子选手，种子选
3 1
手对非种子选手种子选手获胜的概率为 ，种子选手之间的获胜的概率为 2 ，非种子选手之间获胜的概4
1
率为 2 ．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军.
(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？
(2)选手A 与选手D相遇的概率为多少？
(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛．
重难点 3 独立事件与互斥事件
15．已知 A, B是两个概率大于 0 的随机事件，则下列说法错误的是（ ）
A．若 A, B是对立事件，则 A, B是互斥事件
B．若事件 A, B相互独立，则A 与B 也相互独立
C．若事件 A, B相互独立，则A 与 B 不互斥
D．若事件 A, B互斥，则A 与 B 相互独立
16．已知事件 A、B，且 P A = 0.6, P B = 0.7，如果A 与 B 互斥，那么 P AB = p1；如果A 与 B 相互独立，
那么P A + B = p2，则 p1, p2 分别为（ ）
A． p1 = 0, p2 = 0.9 B． p1 = 0.42, p2 = 0.9
C． p1 = 0, p2 = 0.72 D． p1 = 0.42, p2 = 0.45
17．给定事件 A, B,C ，且P C > 0，则下列结论：①若P A > 0，P B > 0且 A, B互斥，则 A, B不可能
相互独立；②若P A C + P B C =1，则 A, B互为对立事件；③若P ABC = P A P B P C ，则 A, B,C
两两独立；④若P AB = P A - P A P B ，则 A, B相互独立.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
知识点 2 频率与概率
一、频率稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A 发生的频率具有随机性．一般地，随着
试验次数 n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A 发生的频率 fn A 会逐渐稳定于事件 A 发生
的概率 P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率 fn A 估计概率 P(A)．
m
如果在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率 ，当 n 很大时，可以认为事件 A 发生的概率 P(A)的
n
m
估计值为 ，且0 P A 1 .
n
二、频率与概率的关系
1.频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确
定的．
2.概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来
n
测量，某事件在 n 次试验中发生了 nA 次，当试验次数 n 很大时，就将 A 作为事件 A 发生的概率的近似n
值，即 P(A) n= A
n
重难点 4 频率与概率的辨析
18．假设P A = 0.6，P B = 0.7 ，且 A 与 B 相互独立，则下列说法正确的个数为（ ）
①P AB = 0.6 ②P A B =1.3 ③P AB = 0.42 ④P AB = 0.28 ⑤P AB = 0.5
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（多选）A 、 B 为两个事件，下列说法正确的是（ ）
A．P AB = P B P B A
1 1
B．若 P A = ，P B = ，P
3 4 AB
1
= ，则A 、 B 为独立事件
2
C．若 P A 1 P B 1= ， = ，P AB
3 4
5
= ，则A 、 B 为互斥事件
12
D．P A B 2= ， P A 3= ，则P A B 3>
5 5 5
20．抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A．大量的试验中，出现正面的频率为 0.5.
B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为 0.5
C．试验次数增大，出现正面的经验概率为 0.5
D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于 0.5
21．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次品；
51
②做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 ；
100
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
9
④抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果有 18 次，则出现 1 点的频率是 .
50
其中正确命题有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
22．下列说法
①某事件发生的频率为 P( A) = 1.1
②不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1
③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
正确的是 .（填写序号）
23．某人抛掷一枚硬币 80 次，结果正面朝上有 43 次.设正面朝上为事件 A，则事件 A 出现的概率
为 ．
重难点 5 用频率估计概率
24．在一个不透明的纸盒中装有 4 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出
一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.8 附近，则袋子中红球
约有 个.
25．天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为 60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有
两天下雨的概率，用 1，2，3，4，5，6 表示下雨，7，8，9，0 表示不下雨.用计算机产生了 10 组随机数
为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .
26．某地区有高中生 7200 人，初中生 11800 人，小学生 12000 人．当地教育部门为了了解本地区中小学
生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小
学生的近视率分别为 80%、70%、36%.
(1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为 310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？
在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率（精确到 1%）；
(2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为 60，100 和 150，那么在这种情况下，抽取的样
本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少（精确到 1%）
27．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数 n 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟次数nA 81 95 120 81 119 127 121
(1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数）
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
28．甲 乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一
道题作答，答对得 1 分，答错或不答得 0 分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲 乙
两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表：
甲 乙
练习题目个数 120 120
答错个数 24 20
若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率.
(1)估计甲 乙两人在比赛时答对题的概率；
(2)设事件 A = “某轮比赛中甲得 1 分或乙得 1 分”，求P A .
29．受全球新冠疫情影响，2020 东京奥运会延期至 2021 年 7 月 23 日到 8 月 8 日举行，某射箭选手积极
备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了 1 组共 72 支箭，下表是命中环数的部分统计信息
环数 <7 7 8 9 10
频数 0 3 a b 22
已知该次训练的平均环数为 9.125 环
(1)求 a，b 的值；
(2)据此水平，求正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于 9 环）的概率.
重难点 6 游戏公平性的判断
30．下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（ ）
取球方式 结果
游戏 有 3 个黑球和 1 个白球，游戏时，不放回地依次 取出的 2 个球同色→甲胜；取出的 2 个球不同
1 取 2 个球 色→乙胜
游戏 有 1 个黑球和 1 个白球，游戏时，任取 1 个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙
2 胜.
游戏 有 2 个黑球和 2 个白球，游戏时，不放回地依次 取出的 2 个球同色→甲胜；取出的 2 个球不同
3 取 2 个球. 色→乙胜.
A．游戏 1 和游戏 3 B．游戏 1 C．游戏 2 D．游戏 3
31．某学校校庆，给每班发了 5 张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪 5 位同学参加，为
此制作了 50 张卡片，其中 5 张写有“庆典”字样．50 位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学
5
校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是 ．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到
50
4 5
的概率只有 ，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为 ．抽中的机会未必相等．”你认为
49 49
王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？
32．（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一
个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙
胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
33．已知 n 是一个三位正整数，若 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位
递增数”（如 135，256，345 等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由 1，2，3，4，5，6
组成的所有“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只抽取 1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数
学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由 1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
34．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有
一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由
乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的
颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的
面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢
1 1
的概率为 2 ，我赢的概率也是 2 ，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.专题 5.2 事件的独立及频率与概率
知识点 1 独立事件
一、相互独立事件
1、定义：对任意两个事件 A 与 B，如果 P AB ＝P A P B 成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简
称为独立．
2、判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：若事件 A 的发生对事件 B 的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的
（2）公式法：若对两事件 A，B 有 P AB = P A P B ，则事件 A，B 相互独立.
二、相互独立事件的概率计算
已知两个事件 A，B 相互独立，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，则有
事件 概率
A，B 同时发生 P A P B
A，B 都不发生 P A P B
A，B 恰有一个发生 P A P B + P A P B
A，B 中至少有一个发生 P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)
A，B 中至多有一个发生 P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)
重难点 1 事情独立性的判断
1．若古典概型的样本空间Ω = 1,2,3,4 ，事件 A = 1,2 ，事件A ， B 相互独立，则事件 B 可以是（ ）
A． 1,3 B． 1,2,3 C． 3,4 D． 2,3,4
【答案】A
2 1
【详解】由题意得P A = = ，
4 2
2 1 1
A 选项，P B = = ， A B = 1 ，故P AI B = ，
4 2 4
所以P A B = P A P B ，故事件 A, B相互独立，A 正确；
B 选项，P B 3= ， AI B = 1,2 ，故P AI B 2 1= = ，
4 4 2
所以P AI B P A P B ，故事件 A, B不相互独立，B 错误；
2 1
C 选项，P B = = ， A B = ，故P AI B = 0，
4 2
所以P AI B P A P B ，故事件 A, B不相互独立，C 错误；
D 选项，P B 3= ， A B = 2 ，故P AI B 1= ，
4 4
所以P AI B P A P B ，故事件 A, B不相互独立，D 错误；
故选：A
2．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用 x 表示第一次抛掷骰子的点数，用 y 表示第二
次抛掷骰子的点数，用 x, y 表示一次试验的结果．记“ x + y = 7 ”为事件A ，“ xy = 2k -1 k N* ”为事件
B ，“ x 3 ”为事件C，则 （ ）
A．A 与 B 相互独立 B．A 与 B 对立
C．A 与C相互独立 D． B 与C相互独立
【答案】C
【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6 6 = 36个；
其中事件 A = “ x + y = 7 ”包含的样本点有：
1,6 ， 2,5 ， 3,4 ， 4,3 ， 5,2 ， 6,1 共6个；
事件 B = “ xy = 2k -1 k N* ”，包含的样本点有：
1,1 ， 3,3 ， 5,5 ， 1,3 ， 1,5 ， 3,1 ， 3,5 ， 5,1 ， 5,3 共9个，
事件C = “ x 3 ”，包含的样本点有： 1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 1,6 ，
2,1 ， 2,2 ， 2,3 ， 2,4 ， 2,5 ， 2,6 ，
3,1 ， 3,2 ， 3,3 ， 3,4 ， 3,5 ， 3,6 共18个，
所以A 与 B 不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误；
因为A 与 B 不能同时发生，所以A 与 B 是互斥事件，则P AB = 0，
P A 6 1又 = = ，P B 9 1= = ，所以P AB P A P B ，
6 6 6 6 6 4
所以A 与 B 不相互独立，故 A 错误；
又事件 AC 包含的样本点有： 1,6 ， 2,5 ， 3, 4 共3个，
1
所以P C = ，P A P C 1= ，则P AC 3 1= = = P A P C ，
2 12 36 12
所以A 与 C 相互独立，故 C 正确；
事件BC包含的样本点有： 1,1 ， 3,3 ， 1,3 ， 1,5 ， 3,1 ， 3,5 共6个，
因为P BC 1= P B P C ，所以 B 与 C不相互独立，故 D 错误．
6
故选：C
3．（多选）有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取 1 个
球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”．丙表示事件“两
次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】BC
【详解】两次取出的球的数字之和为8，有 2,6 , 3,5 , 4, 4 , 5,3 , 6, 2 共5种情况，
所以P 丙 5 5= = ；
6 6 36
两次取出的球的数字之和为 7 ，有 1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1 共6种情况，
6 1
所以P 丁 = = ；
6 6 6
又P 甲 = P 1乙 = ；
6
对于 A，P(甲丙) = 0 P(甲)P(丙)，故甲与丙不相互独立，故 A 错误；
对于 B，P(甲丁)
1
= = P(甲)P(丁)，故甲与丁相互独立，故 B 正确；
36
P( ) 1对于 C， 乙丙 = P(乙)P(丙)，故乙与丙不相互独立，故 C 正确；
36
对于 D，P(丙丁) = 0 P(丁)P(丙)，故丙与丁不相互独立，故 D 错误.
故选：BC.
4．（多选）下列各对事件中，M ， N 为相互独立事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M 为“出现的点数为奇数”，事件 N 为“出现的点数为偶数”
B．袋中有 5 个白球，5 个黄球（球除颜色外完全相同），现不放回地依次摸出 2 个球，事件M 为“第一次
摸到黄球”，事件 N 为“第二次摸到黄球”
C．一枚硬币掷两次，事件M 为“第一次为正面”，事件 N 为“两次抛掷的结果相同”
D．一枚硬币掷两次，事件M 为“第一次为正面”，事件 N 为“第二次为反面”
【答案】CD
3 1 3 1
【详解】对 A：P M = = ，P N = = ，P MN =0，
6 2 6 2
故P(MN ) P(M )P(N )，所以M ， N 不相互独立，故 A 错误；
对 B：P M = 5 = 1 P N = 5 4， + 5 5 1 5 4 2 = ，P MN = = ，
10 2 10 9 10 9 2 10 9 9
故P(MN ) P(M )P(N )，所以M ， N 不相互独立，故 B 错误；
对 C：P M = 1 P N =1 1 = 1， ，P MN = 1 1 = 1 ，
2 2 2 2 2 4
P(MN ) P(M )P(N )= 1有 = ，所以M ， N 相互独立，故 C 正确；
4
P M = 1 P N = 1 1 + 1 1 = 1 1 1 1对 D： ， ，P MN = =
2 2 2 2 2 2 2 2 4
有P(MN ) = P(M )P(N )=
1
，所以M ， N 相互独立，故 D 正确.
4
故选：CD．
5．（多选）袋中装有 5 张相同的卡片，分别标有数字 1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取
1 张卡片．A 表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”， B 表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C
表示事件“两次取出的卡片数字之和是 6”，则（ ）
A． P A B = 1 13B． P B U C =
25
C．A 与 B 相互独立 D． B 与C相互独立
【答案】BC
【详解】根据题意可知第一次抽取和第二次抽取是相互独立的，故 A 与 B 相互独立，故 C 正确；
C 事件结果有{(1,5), (2, 4), (3,3), (4, 2), (5,1)}，其中{(2,4), (4, 2)}也满足 B 事件，故 B 与 C 不是相互独立的，
故 D 错误；
P A 3易知 = ，P B 2 P C 5 1= ， = = ，
5 5 5 5 5
P A B = P A + P B - P AB 3 2 3 2= + - =1 6 19- = ，故 A 错误；
5 5 5 5 25 25
P B C = P B + P C P BC 2 1 2 3 2 13- = + - = - = ，故 B 正确．
5 5 5 5 5 25 25
故选：BC．
6．有3个相同的球，分别标有数字1, 2,3，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球．用 x, y 表示样本
点，其中 x 表示第一次取出球的数字， y 表示第二次取出球的数字．设事件 A = “第一次取出的球的数字是
1”，事件B = “两次取出的球的数字之和是 4”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)判断事件A 和事件 B 是否相互独立，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)事件A 和事件 B 相互独立，理由见解析
【详解】（1）依题意试验的样本空间W = {(1,1)， (1, 2)， (1,3)， (2,1)， (2, 2)， (2,3) ， (3,1)， (3, 2) ， (3,3)}；
（2）事件A 和事件 B 相互独立，理由如下：
因为 A = {(1,1)， (1, 2)， (1,3)}， B = {(1,3)， (2, 2)， (3,1)}，
P(A) n(A) 3 1 P(B) n(B) 3 1所以 = = = ， = = =n(W) 9 3 n(W) 9 3 ，
因为 AB = {(1,3)}，
所以 P(AB)
n(AB) 1
= =
n(W) 9 ，
因为 P A P B 1 1 1= = = P AB 3 3 9 ，
所以事件A 和事件 B 相互独立．
重难点 2 求独立事件的概率
7．（多选）某大学选拔生补充进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三
个社团成功与否相互独立 2023 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“舞蹈”“美术”三个
1 1 7
社团的概率依次为 2 ，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ．则18 9
（ ）
m 1 m 2 1 1A． = =3 B． C． n = D． n =3 3 2
【答案】AC
ì1 mn 1= ìm 1=
2 18 3
【详解】依题意有 í 1 ，解得， í . 1- 1- m 1 n 7- = n 1=
2 9 3
故选：AC.
8．某疾病全球发病率为 0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为 5%，检测的误诊率
（未患病者判定为阳性的概率）为 1%，则某人检测成阳性的概率约为（ ）
A．0.03% B．0.99% C．1.03% D．2.85%
【答案】C
【详解】由题意，未患病者判定为阳性的概率为 1%，患病者判定为阳性的概率为 95%，
所以某人检测成阳性包含两种情况：
①非患者检测为阳性的概率为 1- 0.03% 1% = 0.009997；
②患者检测为阳性的概率为0.03% 1- 5% = 0.000285 ,
所以某人检测成阳性的概率为0.009997 + 0.000285 = 0.010282 1.03% .
故选：C.
9．如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落入 A, B,C .已知小球从每个叉口落入左右两个管道
的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A, B,C ，则分别给以一 二
三等奖.则某人投 1 次小球获得三等奖的概率为 .
7
【答案】0.4375 /
16
【详解】投 1 次小球获得三等奖有三条线路，又因为小球从每个叉口落入两个管道的可能性相等，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
所以投 1 次小球获得三等奖得概率为 + + = + + = .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8 16 16
7
故答案为：
16
10．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结
4 1
束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为 ，第二题答对的概率为
5 2
，第三
2
题答对的概率为 ，若答对两题，则可获得价值 100 元的奖品，若答对三题，则可获得价值 200 元的奖
5
品，若答对的题数不够 2 题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该
活动，则两人最后获得奖品价值总和为 300 元奖品的概率为 .
88
【答案】
625
【详解】两人最后获得奖品价值总和为 300 元奖品的事件为：
甲得 100 元且乙得 200 元，或甲得 200 元且乙得 100 元，
即甲答对 2 题且乙答对 3 题，或甲答对 3 题且乙答对 2 题，
4 1 3 4 2 1 1 2 1 11
又每位顾客答对 2 题的概率为 + + =5 2 5 5 5 2 2 5 5 25 ，
3 4 1 2 4每位顾客答对 题的概率为 =5 2 5 25 ，
所以两人最后获得奖品价值总和为 300 元奖品的概率为：
P 11 4= 2 88=
25 25 625 .
88
故答案为： 625
11．电视台为了做好宣传，引导广大青年“不忘初心，牢记使命”，切实增强“四个意识”，树立“四个自信”
坚定不移听党话、跟党走，举办了一次活动．现场观众是由 40 名大学生，30 名高中生，30 名初中生组成，
其中一个环节是由参加活动的一位嘉宾现场随机抽取一名观众进行知识问答竞赛．已知这位嘉宾抽到大学
1 2
生，且嘉宾能获胜的概率是 2 ；抽到高中生，且嘉宾能获胜的概率是 3 ；抽到初中生，且嘉宾能获胜的概
4
率是 ．则这位嘉宾获胜的概率是 ．
5
16
【答案】 /0.64
25
2 1
【详解】抽到大学生的概率是 ，这位嘉宾抽到大学生，且嘉宾能获胜的概率是 2 ；5
3 2
抽到高中生的概率是 ，抽到高中生，且嘉宾能获胜的概率是
10 3
；
3 4
抽到初中生的概率是 ，抽到初中生，且嘉宾能获胜的概率是 ．
10 5
2 1 3 2 3 4 16
由全概率公式得嘉宾获胜的概率为P = + + = ．
5 2 10 3 10 5 25
16
故答案为：
25
12．为普及安全知识，某单位举办了一场安全知识竞赛，经过初赛、复赛，有甲、乙两个代表队（每队三
人）进入决赛，决赛规则如下：共进行三轮比赛，每轮比赛中每人各答一题，每答对一题得 10 分，答错
2 1 2
不得分. 1假设甲队每人答题正确的概率均为 2 ，乙队三人答题正确的概率分别 , , .5 2 3
(1)若决赛中三轮总得分大于 70 分就能获得特别奖，求乙队获得特别奖的概率;
(2)因两队在决赛中得分相同，现进行附加赛. 规则如下：甲，乙两队抽签决定谁先答题，每队每人各答题
一次为一轮，有两人及以上答对就算成功答题，并继续下一轮答题，否则换另一队答题，连续两轮成功答
题的队伍获胜，比赛结束. 求附加赛中甲队恰好在第 5 轮结束时获胜的概率.
16
【答案】(1)
675
11
(2)
240
【详解】（1）设乙队每轮得分为 X ，
P(X = 20) 2 1 1 3 1 2 2 1 2 12 2= × × + × × + × × = = ，
5 2 3 5 2 3 5 2 3 30 5
P(X = 30) 2 1 2 4 2= × × = = ，
5 2 3 30 15
\轮积分超过 70 分，
\ P 2 2 2 2 2 2 16= × × + C13 × × = .15 15 15 5 15 15 675
1
3 1 3 1
（2）其中甲队成功答题的概率为C13 ÷ + ÷ = ，
è 2 è 2 2
其中乙队成功答题的概率为P(X = 20) P(X 30)
8
+ = = ，
15
若甲先答第一轮：
甲（胜）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜）
P 1 1 7 1 1 71 = × × × × = ，2 2 15 2 2 240
甲（负）乙（胜）乙（负）甲（胜）甲（胜）
P 1 8 7 1 1 562 = × × × × = ， 2 15 15 2 2 225
若乙先答第一轮：
乙 （负）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜）
P 7 1 7 1 1 49 1 1 113 = × × × × = ，\ P = P + P + P = ，15 2 15 2 2 1800 2 1 2 2 3 240
\ 11甲队恰好在第 5 轮结束获胜的概率为 .
240
13．作为世界乒坛本赛季收官战，首届WTT ( 世界乒乓球职业大联盟 )世界杯总决赛 2021年12月 7 日在新
加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某
训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢 2个球者获胜，通过
2 1
分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为 3 ，乙发球甲赢的概率为 ，不同球的结果互不影4
响，已知某局甲先发球．求该局打 4个球甲赢的概率；
1
【答案】
12
【详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件 B ，该局打 4 个球甲赢为事件C，
由题知，P(A)
2
= ，P(B)
1
= ，
3 4
∴C = ABAB ，
P C P ABAB P A P B P A P B 2 3 2 1 1∴ = = = = ，
3 4 3 4 12
1
∴该局打 4 个球甲赢的概率为 ．
12
14．已知A ， B ，C，D四名选手参加某项比赛，其中A ， B 为种子选手，C，D为非种子选手，种子选
3 1
手对非种子选手种子选手获胜的概率为 ，种子选手之间的获胜的概率为 ，非种子选手之间获胜的概
4 2
1
率为 2 ．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军.
(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？
(2)选手A 与选手D相遇的概率为多少？
(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛．
1
【答案】(1) ；
3
23
(2)
48
(3)方案一种子选手夺冠的概率更大
【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为 AB,CD ， AC, BD ， AD, BC ，故总方案数 3；
（2）设事件M = “选手A 与选手D相遇”，
当对战为 AD, BC 时，A ，D两选手相遇的概率为 1；
当对战为 AB,CD 1 1 1时，A ，D两选手相遇的概率为 = ；
2 2 4
3 1 3
当对战为 AC, BD 时，A ，D两选手相遇的概率为 = ；
4 4 16
1 P M 1 1 1 1 1 3 23抽到三种对战的概率均为 ，则 = + + = .
3 3 3 4 3 16 48
23
综上可知选手A 与选手D相遇的概率为 .
48
（3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为P1，P2，则
采用方案一，假设分组为 AC, BD ，
3 3 9
第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠： = ，
4 4 16
第一轮选手 A, D
3 1 3 9
获胜，第二轮A 获胜： = ，
4 4 4 64
3 1 3 9
第一轮选手C, B 获胜，第二轮 B 获胜： = ，
4 4 4 64
第一轮选手C , D 获胜，则种子选手不能获胜，
所以P
9 9 27
1 = 2 = ；16 64 32
采用方案二：假设分组为 AB,CD ，
第一轮选手 A,C
1 1 3 3
获胜，第二轮A 获胜： = ，
2 2 4 16
1 1 3 3
第一轮选手 A, D获胜，第二轮A 获胜： = ，
2 2 4 16
第一轮选手B,C
1 1 3 3
获胜，第二轮 B 获胜： = ，
2 2 4 16
第一轮选手B, D
1 1 3 3
获胜，第二轮 B 获胜： = ，
2 2 4 16
P 3 3则 2 = 4 = ，所以P16 4 1
> P2 ，
因此方案一种子选手夺冠的概率更大.
重难点 3 独立事件与互斥事件
15．已知 A, B是两个概率大于 0 的随机事件，则下列说法错误的是（ ）
A．若 A, B是对立事件，则 A, B是互斥事件
B．若事件 A, B相互独立，则A 与B 也相互独立
C．若事件 A, B相互独立，则A 与 B 不互斥
D．若事件 A, B互斥，则A 与 B 相互独立
【答案】D
【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故 A 正确；
B.若事件 A, B相互独立，则A 与B 也相互独立，故 B 正确；
C.若事件 A, B相互独立，则A 与 B 可以同时发生，不互斥，故 C 正确；
D. 若事件 A, B互斥，则A 与 B 不能同时发生，即事件 A(B)是否发生，对另一个事件B(A)是有影响的，
所以两个事件不相互独立，故 D 错误.
故选：D
16．已知事件 A、B，且 P A = 0.6, P B = 0.7，如果A 与 B 互斥，那么 P AB = p1；如果A 与 B 相互独立，
那么P A + B = p2，则 p1, p2 分别为（ ）
A． p1 = 0, p2 = 0.9 B． p1 = 0.42, p2 = 0.9
C． p1 = 0, p2 = 0.72 D． p1 = 0.42, p2 = 0.45
【答案】C
【详解】如果事件A 与 B 互斥，则P AB = 0，所以 p1 = 0 .
如果事件A 与 B 相互独立，则事件A 与B 也相互独立，
所以P B =1- P B = 0.3, P AB = P A P B = 0.6 0.3 = 0.18，
P A + B = P A + P B - P AB = 0.6 + 0.3- 0.18 = 0.72，即 p2 = 0.72 .
故选：C.
17．给定事件 A, B,C ，且P C > 0，则下列结论：①若P A > 0，P B > 0且 A, B互斥，则 A, B不可能
相互独立；②若P A C + P B C =1，则 A, B互为对立事件；③若P ABC = P A P B P C ，则 A, B,C
两两独立；④若P AB = P A - P A P B ，则 A, B相互独立.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
【答案】B
【详解】对于①，若 A, B互斥，则P AB = 0，又P A P B > 0 ，
\P AB P A P B ，\ A, B 不相互独立，①正确；
对于②，QP A C + P B C P AC P BC = + =1，\P AC + P BC = P C P C P C ；
扔一枚骰子，记事件A 为“点数大于两点”；事件 B 为“点数大于五点”；事件C为“点数大于一点”，
则P AC = P A 4 2= = ，P BC = P B 1= ，P C 5= ，
6 3 6 6
满足P AC + P BC = P C ，但 A, B不是对立事件，②错误；
对于③，扔一枚骰子，记事件A 为“点数大于两点”；事件 B 为“点数大于五点”；事件C为“点数大于六
点”，
P A 4 2 P B 1 P C = 0 P ABC = 0 P AB P B 1则 = = ， = ， ， ， = = ，
6 3 6 6
满足P ABC = P A P B P C ，此时P AB P A P B ，
\事件 A, B不相互独立，③错误；
对于④，Q A = AB U AB ，事件 AB 与 AB 互斥，\P A = P AB + P AB ，
又P AB = P A - P A P B ，\P A - P AB = P A - P A P B ，
即P AB = P A P B ，\事件 A, B相互独立，④正确.
故选：B.
【点睛】思路点睛：本题考查对立事件、独立事件的判断，解题基本思路是能够结合和事件和积事件的定
义，利用独立事件概率公式依次验证选项中的事件是否为独立事件.
知识点 2 频率与概率
一、频率稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A 发生的频率具有随机性．一般地，随着
试验次数 n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A 发生的频率 fn A 会逐渐稳定于事件 A 发生
的概率 P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率 fn A 估计概率 P(A)．
m
如果在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率 ，当 n 很大时，可以认为事件 A 发生的概率 P(A)的
n
m
估计值为 ，且0 P A 1 .
n
二、频率与概率的关系
1.频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确
定的．
2.概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来
n
测量，某事件在 n 次试验中发生了 nA 次，当试验次数 n 很大时，就将 A 作为事件 A 发生的概率的近似n
值，即 P(A) n= A
n
重难点 4 频率与概率的辨析
18．假设P A = 0.6，P B = 0.7 ，且 A 与 B 相互独立，则下列说法正确的个数为（ ）
①P AB = 0.6 ②P A B =1.3 ③P AB = 0.42 ④P AB = 0.28 ⑤P AB = 0.5
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由P A = 0.6，P B = 0.7 ，且事件A 与 B 相互独立，则 A与 B 相互独立， A与B 相互独立，则
P AB = P(A)P(B) = 0.6 0.7 = 0.42，所以①不正确，③正确；
又由P AB = P(A)P(B) = (1- 0.6) 0.7 = 0.28，所以④正确；
由P AB = P A P B = (1- 0.6)(1- 0.7) = 0.12，所以⑤不正确；
又由事件A 与 B 不一定时互斥事件，所以P AU B 与P(A) + P(B) 不一定相等，
所以②不正确.
故选：B.
19．（多选）A 、 B 为两个事件，下列说法正确的是（ ）
A．P AB = P B P B A
1
B．若 P A = ，P B 1 1= ，P AB = ，则A 、 B 为独立事件
3 4 2
1 1 5
C．若 P A = ，P B = ，P AB = ，则A 、 B 为互斥事件3 4 12
D．P A B 2 3= 3， P A = ，则P A B5 5 > 5
【答案】BCD
P AB
【详解】对于 A 选项，由条件概率公式可得P B A = P AB = P A P B AP A ，则 ，A 错；
对于 B 选项，P A P B = é1- P A ù × é 1- P B 1 1 1 1 1ù = - 3 ÷ × - ÷ = = P AB4 2 ，è è
所以， A、B 相互独立，故A 、 B 相互独立，B 对；
对于 C 选项，因为P AB = P AU B =1- P AU B =1- éP A + P B + P AB ù
则P AB =1- P A P B 1 1 5- - P AB =1- - - = 0，故A 、 B 为互斥事件，C 对；3 4 12
P AB 2 P AB P A - P AB
对于 D 选项，因为P A B = = ，则P A B =P B 5 P = ，B 1- P B
3 2
- 2x - 2x 1 1+
设P B = 5x，则P AB = 2x ，所以，P A B 5 5 5 2= = = + 5 ．1- 5x 1- 5x 5 1- 5x
2 1 3
又因为5x 0,1 ，所以，P A B > + = ，D 对，5 5 5
故选：BCD．
20．抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A．大量的试验中，出现正面的频率为 0.5.
B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为 0.5
C．试验次数增大，出现正面的经验概率为 0.5
D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于 0.5
【答案】B
【详解】对于 A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于 0.5，故 A 不正确；
对于 B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为
0.5，故 B 正确；
对于 C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经
验概率约为 0.5，故 C 不正确；
对于 D，试验次数每增加一次，不能判断下一次出现正面的频率比它前一次更接近于 0.5，D 不正确.
故选：B
21．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次品；
51
②做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 ；
100
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
9
④抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果有 18 次，则出现 1 点的频率是 .
50
其中正确命题有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，
一批产品次品率为 0.05，则从中任取 200 件，次品的件数在 10 件左右，而不一定是 10 件，①错误；
51
对于②，100 次并不是无穷多次，只能说明这 100 次试验出现正面朝上的频率为 ，故②错误；
100
对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误；
对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，
18 9
抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果有 18 次，则出现 1 点的频率是 = ，④正确.
100 50
故选：D.
22．下列说法
①某事件发生的频率为 P( A) = 1.1
②不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1
③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
正确的是 .（填写序号）
【答案】②
【详解】对于①，事件发生的频率为0 P(A) 1，故①错误；
对于②，不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，故②正确；
对于③，小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件，大概率事件
就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，故③错误；
对于④，概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率变化而变化，故与试验次数无关，故④错误.
故答案为：②.
23．某人抛掷一枚硬币 80 次，结果正面朝上有 43 次.设正面朝上为事件 A，则事件 A 出现的概率
为 ．
1
【答案】 / 0.5
2
43
【详解】由题意可知事件 A 出现的频率为 ，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值，
80
1
由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件 A 出现的概率为 2 ，
1
故答案为： 2
重难点 5 用频率估计概率
24．在一个不透明的纸盒中装有 4 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出
一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.8 附近，则袋子中红球
约有 个.
【答案】16
x
【详解】设袋中红球有 x 个，根据题意，得 = 0.8，解得： x =16 ，
4 + x
经检验： x =16 是分式方程的解，所以袋中红球有 16 个.
故答案为：16
25．天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为 60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有
两天下雨的概率，用 1，2，3，4，5，6 表示下雨，7，8，9，0 表示不下雨.用计算机产生了 10 组随机数
为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .
2
【答案】 /0.4
5
【详解】10 组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有 417，386，196，206，
4 2
故这三天中恰有两天下雨的概率近似为 = .
10 5
2
故答案为：
5
26．某地区有高中生 7200 人，初中生 11800 人，小学生 12000 人．当地教育部门为了了解本地区中小学
生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小
学生的近视率分别为 80%、70%、36%.
(1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为 310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？
在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率（精确到 1%）；
(2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为 60，100 和 150，那么在这种情况下，抽取的样
本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少（精确到 1%）
【答案】(1)72；118；120；59%
(2)55%；59%.
310 1
【详解】（1）分配比例为 = ，所以在高中生、初中生、小学生中分别抽取了
7200 +11800 +12000 100
7200 1 1 1 = 72（人），11800 =118（人），12000 =120（人）．
100 100 100
72 80% +118 70% +120 36% 183.4
总样本量为310的学生的近视率为 = 59% ,
310 310
在比例分配的分层随机抽样中，我们直接用样本平均数估计总体平均数，
所以可以估计该地区全体中小学生的近视率为59%.
60 80% +100 70% +150 36% 172
（2）抽取的样本的近视率是 = 55% ,
60 +100 +150 310
由于总体中的个体数为7200＋11800＋12000＝31000 ，
7200 80% +11800 70% +12000 36% 18340
得该地区全体中小学生的近视率为 = 59%
31000 31000
即该地区全体中小学生的近视率约为59%.
27．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数 n 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟次数nA 81 95 120 81 119 127 121
(1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数）
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
【答案】(1)0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807
(2)0.800
【详解】（1）根据表格中数据，击中飞碟的频率依次为
81
= 0.810, 95 = 0.792,120 = 0.800, 81 = 0.810，
100 120 150 100
119 0.793,127 0.794, 121= = = 0.807 .
150 160 150
（2）由（1）可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在 0.800 附近摆动，
所以该运动员击中飞碟的概率约为 0.800.
28．甲 乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一
道题作答，答对得 1 分，答错或不答得 0 分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲 乙
两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表：
甲 乙
练习题目个数 120 120
答错个数 24 20
若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率.
(1)估计甲 乙两人在比赛时答对题的概率；
(2)设事件 A = “某轮比赛中甲得 1 分或乙得 1 分”，求P A .
4 5
【答案】(1)甲 乙两人在比赛时答对题的概率分别为 ，
5 6
29
(2)
30
【详解】（1）由题意，可以估计甲在比赛时答对题的概率为：
p 120 - 24 41 = = ，120 5
乙在比赛时答对题的概率为：
p 120 - 20 52 = = .120 6
（2）设事件B = “某轮比赛中甲得 1 分”，事件C = “某轮比赛中乙得 1 分”，
则事件 A = BC BC BC ，
所以P(A) = P(BC) + P(BC) + P(BC)
4 1 1 5 4 5 29
= + + = .
5 6 5 6 5 6 30
1 1 29
（或P(A) =1- P(BC) =1- = ）.
5 6 30
29．受全球新冠疫情影响，2020 东京奥运会延期至 2021 年 7 月 23 日到 8 月 8 日举行，某射箭选手积极
备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了 1 组共 72 支箭，下表是命中环数的部分统计信息
环数 <7 7 8 9 10
频数 0 3 a b 22
已知该次训练的平均环数为 9.125 环
(1)求 a，b 的值；
(2)据此水平，求正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于 9 环）的概率.
ìa = 7
【答案】(1) í ；
b = 40
(2)0.86.
【详解】（1）根据题意，
ìa + b = 72 - 22 - 3 = 47 ìa + b = 47 ìa = 7
í
7 3+ 8a + 9b +10 22 = 9.125 72
，化简得 í ，解得 ， í 8a + 9b = 416 b = 40
22 + 40
（2）训练中命中黄圈的频率为 0.86，
72
以频率估计概率，故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于 9 环）的概率约为 0.86．
重难点 6 游戏公平性的判断
30．下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（ ）
取球方式 结果
游戏 有 3 个黑球和 1 个白球，游戏时，不放回地依次 取出的 2 个球同色→甲胜；取出的 2 个球不同
1 取 2 个球 色→乙胜
游戏 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙
有 1 个黑球和 1 个白球，游戏时，任取 1 个球.
2 胜.
游戏 有 2 个黑球和 2 个白球，游戏时，不放回地依次 取出的 2 个球同色→甲胜；取出的 2 个球不同
3 取 2 个球. 色→乙胜.
A．游戏 1 和游戏 3 B．游戏 1 C．游戏 2 D．游戏 3
【答案】D
【解析】分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则
说明不公平.
1
【详解】对于游戏 1，样本点共有 12 个，取出的 2 个球同色包含的样本点有 6 个，其概率是 2 ，取出的 2
1
个球不同色的概率也是 2 ，故游戏 1 公平；
1
对于游戏 2，样本点共有 2 个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是 2 ，故游戏 2 公
平；
1 2
对于游戏 3，样本点共有 12 个，取出的 2 个球同色的概率是 ，取出的 2 个球不同色的概率是 3 ，故此3
游戏不公平，乙胜的概率大.
故选 D.
【点睛】本题考查概率的意义，游戏的公平性，属于基础题.
31．某学校校庆，给每班发了 5 张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪 5 位同学参加，为
此制作了 50 张卡片，其中 5 张写有“庆典”字样．50 位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学
5
校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是 ．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到
50
4 5
的概率只有 ，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为 ．抽中的机会未必相等．”你认为
49 49
王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？
【答案】公平，理由见解析.
5 1
【详解】王老师的抽签方法公平，每位同学抽中的概率均为 ，即 .
50 10
理由如下：
小明的话看似也有道理，第二名同学在第一名同学抽中和未抽中的情况下抽到门票的概率有所不同，但抽
中门票的总概率是相同的，只考虑第50个人摸卡片的情况，50 张卡片中的每张卡片有可能被第 50 个人
5
摸到，且可能性相等，其中有 5 张情形写有“庆典”，因此第 50 个人摸到写有“庆典”的卡片的概率为 ，
50
1
即 ，与摸卡片的人的摸卡片顺序无关.
10
32．（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一
个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙
胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
【答案】（1）这个游戏公平的；答案见解析；（2）这个游戏不公平；答案见解析．
【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}．
1
记事件 A，B 分别为“甲胜”，“乙胜”，则P(A) = P(B) = ，
2
\这个游戏公平的．
（2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正
正），（反正反），（反反正），（反反反）}．
记事件 A，B 分别为“甲胜”，“乙胜”，
则P(A)
2 1 3
= = ，P(B) = ．这个游戏不公平．
8 4 4
33．已知 n 是一个三位正整数，若 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位
递增数”（如 135，256，345 等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由 1，2，3，4，5，6
组成的所有“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只抽取 1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数
学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由 1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.
【详解】解：（1）由题意知，所有由 1，2，3，4，5，6 组成的“三位递增数共有 20 个.
分别是 123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，
346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由 1，2，3，4，5，6 组成的“三位递增数”有 20 个，记“甲参加数学竞赛”为
事件 A，记“乙参加数学竞赛”为事件 B.则事件 A 含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，
156，236，246，256，346，356，456 共 13 个.
由古典概型计算公式，得
P(A) 事件A含有的基本事件的个数 13= = ，
试验所有基本事件的总数 20
13 7
又 A 与 B 对立，所以P(B) =1- P(A) =1- = ，
20 20
所以P(A) > P(B) .故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
【点睛】本题考查概率的应用，古典概型的概率计算问题，属于基础题.
34．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有
一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由
乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的
颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的
面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢
1 1
的概率为 2 ，我赢的概率也是 2 ，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【答案】见解析.
【详解】解：把卡片六个面的颜色记为G1，G2 ，G3，B1，B2，B3，
其中，G 表示绿色，B 表示蓝色；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有 6 个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有 2 种，因此乙
2 1
赢的概率为 =6 3 .
因此，这个游戏不公平.
【点睛】本题考查概率的应用，属于基础题.
