专题 5.1 随机事件与概率
知识点 1 样本空间及事件的分类
1.有限样本空间的有关概念
样本点：我们把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，用w 表示样本点；
样本空间：全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间，用W 表示样本空间；
有限样本空间：如果一个随机试验有 n 个可能结果w1, w2, , wn ,则称样本空间W = {w1,w2 , ,wn}为有
限样本空间
2.事件的分类
必然事件 在条件 S 下，一定会发生的事件
确定事件
事件 不可能事件 在条件 S 下，一定不会发生的事件
随机事件 在条件 S 下下，可能发生也可能不发生的事件
知识点 2 事件间的关系及运算
定义 符号表示 图示
如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事
包含关系 B A(或 A B)
件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)
相等关系 若 B A 且 A B，则事件 A 与事件 B 相等 A=B
并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生， A B
(和事件) 称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) (或 A＋B)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，
交事件 A B
则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事
(积事件) (或 AB)
件)
互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 AI B=
若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么 AI B= 且
对立事件
称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AU B=W
重难点 1 事件类型的判断
1．将一根长为 a 的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．不能判定
【答案】C
【详解】将一根长为 a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，也可能不发
生，但不是必然事件．所以事件是随机事件．
故选：C．
2．下列事件为随机事件的是（ ）
A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于 7
B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于 7
C．下周日下雨
D．没有水和空气，人也可以生存下去
【答案】C
【详解】A 中事件为必然事件；B，D 中事件为不可能事件；C 中事件为随机事件．
故选：C
3．下列事件中，随机事件的个数是（ ）个．
①某人购买福利彩票一注，中奖500万元；②三角形的内角和为180o ；
③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】B
【详解】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖500万元，该事件为随机事件；
对于事件②，三角形的内角和为180o ，该事件为必然事件；
对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件；
对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件.
因此，随机事件的个数为 2 .
故选：B.
4．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出 500 元的概率是0.01% ，则这件事 发生（填“必然”、“可
能”或“不可能”）.
【答案】可能
【详解】根据概率的意义，刮出 500 元的概率是0.01% ，
表示刮出 500 元的可能性是0.01% ，所以这件事可能发生.
故答案为：可能
5．在 200 件产品中，有 192 件一级品，8 件二级品，则下列事件：
①在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是一级品；
②在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是二级品；
③在这 200 件产品中任意选出 9 件，不全是二级品；
④在这 200 件产品中任意选出 9 件，其中不是一级品的件数小于 10．
其中 是必然事件； 是不可能事件； 是随机事件．(填序号)
【答案】 ③④ ② ①
【详解】200 件产品中，8 件是二级品，现从中任意选出 9 件，当然不可能全是二级品，
不是一级品的件数最多为 8，小于 10，从而有可能全部是一级品，也有可能不全是一级品．
故答案为：③④；②；①.
6．指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件：
(1)从 1 个三角形的 3 个顶点处各任画 1 条射线，这 3 条射线交于一点；
(2)把 9 写成两个实数的和，其中一定有 1 个数小于 5；
(3)实数 a，b 不都为 0，但 a2＋b2＝0；
(4)汽车排放尾气会污染环境；
(5)明天早晨有雾；
(6)某地明年 7 月 28 日的最高气温高于今年 8 月 10 日的最高气温．
【答案】(1)随机事件
(2)必然事件
(3)不可能事件
(4)必然事件
(5)随机事件
(6)随机事件
【详解】（1）3 条射线可以交于不同的点，具有随机性.故事件“从 1 个三角形的 3 个顶点处各任画 1 条射
线，这 3 条射线交于一点.”为随机事件.
9
（2） = 4.5 < 5, 故事件“把 9 写成两个实数的和，其中一定有 1 个数小于 5”为必然事件.
2
（3）当 a2 +b2 =0时， a = 0且b = 0，则事件“实数 a，b 不都为 0，但 a2＋b2＝0”为不可能事件.
（4）汽车排放尾气必然会污染环境，则事件“汽车排放尾气会污染环境”为必然事件.
（5）明天早晨有雾与否具有不确定性.
（6）某地明年 7 月 28 日的最高气温是否高于今年 8 月 10 日的最高气温具有不确定性．故事件“某地明年
7 月 28 日的最高气温高于今年 8 月 10 日的最高气温．”为随机事件.
重难点 2 样本空间与样本点的表示
7．高一(1)班计划从 A，B，C，D，E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本
点的个数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】B
【详解】从 A，B，C，D，E 五人中选两人，
不同的选法有： A, B , A,C , A, D , A, E , B,C , B, D , B, E , C, D , C, E , D, E ，
所以样本空间中样本点的个数为 10．
故选：B.
8．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用 A, B表示，两个女生分别用C , D 表示，相应
的样本空间为W = AB, AC, AD, BC, BD,CD ，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 .
【答案】 AC, AD, BC, BD
【详解】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 AC, AD, BC, BD ，
故答案为： AC, AD, BC, BD
9．做试验“从 -1，1，2 这 3 个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对 (x, y)， x 为第 1
次取到的数字， y 为第 2 次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出这个试验样本点的总数；
(3)写出“第 1 次取出的数字是 2”这一事件包含的样本点．
【答案】(1)答案见解析
(2)6
(3) (2,-1)， (2,1)
【详解】（1）这个试验的样本空间W = {(-1,1), (-1, 2), (1, -1), (1, 2), (2,-1), (2,1)}．
（2）易知这个试验的样本点的总数是 6．
（3）“第 1 次取出的数字是 2”这一事件包含的样本点为： (2,-1)， (2,1) .
10．将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用 (x, y)表示，其中 x 表示第一次抛掷出现的点数， y 表示第
二次抛掷出现的点数.
(1)求样本空间中的样本点个数；
(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于 8”.
【答案】(1)36
(2){(3,6), (4,5), (4,6), (5, 4), (5,5), (5,6), (6,3), (6, 4), (6,5), (6,6)}
【详解】（1）方法一（列举法）试验的样本空间W = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1,6), (2,1), (2, 2), (2,3),
(2, 4), (2,5), (2,6), (3,1), (3, 2), (3,3), (3, 4), (3,5), (3,6), (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4,6), (5,1), (5, 2),
(5,3), (5, 4), (5,5), (5,6), (6,1), (6, 2), (6,3), (6, 4), (6,5), (6,6)}，共 36 个样本点.
方法二（树状图法）一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示．
由图可知，共 36 个样本点.
方法三（坐标系法）如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的
点一一对应.
由图可知，样本点个数为 36.
（2）“出现的点数之和大于 8”可用集合表示为{(3,6), (4,5), (4,6), (5, 4), (5,5), (5,6), (6,3), (6, 4), (6,5), (6,6)} .
11．从男生 A、B、C 和女生 D、E 五人中选出两人参加数学竞赛，写出事件“至少有一个女生”对应的样
本空间．
【答案】 AD, AE, BD, BE, CD, CE, DE
【详解】解：至少有一个女生包含的基本事件有 AD, AE, BD, BE,CD,CE, DE ，
所以事件“至少有一个女生”对应的样本空间为 AD, AE, BD, BE, CD, CE, DE .
12．箱子里有 3 双不同的手套，从中随机拿出 2 只，记事件 A = {拿出的手套不能配对}，事件B = {拿出
的都是同一只手上的手套}，事件C = {拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对}．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A 、事件 B 、事件C；
(3)说出事件A 、事件 B 、事件C的关系．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3) A B ， A C ，B U C = A
【详解】（1）设 3 双手套为 a1a2 ，b1b2， c1c2，
其中 a1，b1， c1代表左手手套， a2，b2， c2代表右手手套，
样本空间为W = {(a1a2 )， (a1b2 ) ， (a1c2 )， (b1a2 ) ， (b1b2 ) ， (b1c2 ) ， (c1a2 )， (c1b2 ) ， (c1c2 ) ， (a1b1 )， (a1c1 )， (b1c1 ) ，
(a2b2 ) ， (a2c2 ) ， (b2c2 )}．
（2） A = {(a1b2 )， (a1c2 )， (b1a2 ) ， (b1c2 ) ， (c1a2 )， (c1b2 ) ， (a1b1 )， (a1c1 )， (b1c1 ) ， (a2b2 ) ， (a2c2 ) ， (b2c2 )}，
B = {(a1b1)， (a1c1 )， (b1c1 ) ， (a2b2 ) ， (a2c2 ) ， (b2c2 )}，
C = {(a1b2 ) ， (a1c2 )， (b1a2 ) ， (b1c2 ) ， (c1b2 ) ， (c1a2 )}．
（3）根据（2）知 A B ， A C ，B U C = A．
重难点 3 事件的包含关系及运算
13．对空中移动的目标连续射击两次，设 A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一
次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A． A D B．B I D =
C． A C = D D． AUC = B U D
【答案】D
【详解】对于选项 A，事件 A 包含于事件 D，故 A 正确；
对于选项 B，由于事件 B，D 不能同时发生，故B I D = ，故 B 正确；
对于选项 C，由题意知 C 正确；
对于选项 D，由于 AUC ＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件；
而B U D 为必然事件，所以 AUC B U D，故 D 不正确．
故选：D.
14．设H , E, F 为三个事件，H , E, F 分别表示它们的对立事件，表示“ H , E, F 三个事件恰有一个发生”的表
达式为（ ）
A．H + E + F
B．H EF + HEF + H EF
C．HEF + H EF + HEF
D． H ＋E ＋F
【答案】B
【详解】选项 A 表示H , E, F 三个事件至少有一个发生；
选项 B 表示三个事件恰有一个发生；
选项 C 表示三个事件恰有一个不发生；
选项 D 表示H , E, F 三个事件至少有一个不发生．
故选：B.
15．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若 A 表示事件“点数大于 3”，B 表示事件“点数为偶数”，
则事件“点数为 5”可以表示为（ ）
A． A B B． A B C． AU B D． A U B
【答案】B
【详解】 A B 表示“点数为 2”， A B 表示“点数 5”， A B 表示“点数为 3 或 2 或 1 或 4 或 6”， A U B
表示“点数为 1 或 3 或 4 或 5 或 6”，
故选：B
16．（多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件 A 表示随机事件“两次都投中”，事件 B
表示随机事件“两次都未投中”，事件 C 表示随机事件“恰有一次投中”，事件 D 表示随机事件“至少有一次
投中”，则下列关系正确的是（ ）
A． A D B．B I D = C． A B = B D D． A C = D
【答案】ABD
【详解】事件 A 表示表示“两次都投中”；事件 B 表示“两次都未投中”；
事件 C 表示“恰有一次投中”；事件 D 表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，
A：事件 A 表示表示“两次都投中”，事件 D 表示“至少有一次投中”，故 A D ，故 A 正确；
B：事件 B 和事件 D 是对立事件，故B I D = ，故 B 正确；
C：事件 A B表示“两次都投中”或“两次都未投中”，
而事件B U D 表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故 C 错误；
D：事件 AUC 表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故 A C = D，故 D 正确.
故选：ABD.
17．盒子里有大小和质地均相同的6个红球和 4个白球，现从中任取3个球，设事件 A = {3 个球中有 1 个
红球 2 个白球}，事件B = {3 个球中有 2 个红球 1 个白球}，事件C = {3 个球中至少有 1 个红球}，事件
D ={3 个球中既有红球又有白球}.
(1)事件 D 与 A，B 是什么运算关系？
(2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？
【答案】(1) D = A B
(2)C A = A
【详解】（1）事件D ={3 个球中既有红球又有白球}，
包括 3 个球中有 1 个红球、2 个白球，3 个球中有 2 个红球、1 个白球，
所以D = A B .
（2）事件C = {3 个球中至少有 1 个红球}，包括 3 个球中有 1 个红球、2 个红球，3 个红球，
所以C A = A .
18．设某人向一个目标射击 3 次，用事件 Ai 表示随机事件“第 i次射击击中目标”（ i =1,2,3），指出下列事
件的含义：
(1) A1 A2；
(2) A1 I A2 I A3 ；
(3) A1 A2 .
【答案】(1)第 1 次和第 2 次射击都击中目标
(2)第 1 次和第 2 次射击都击中目标，而第 3 次没有击中目标
(3)第 1 次射击击中目标或第 2 次射击击中目标
【详解】（1） A1 A2表示第 1 次和第 2 次射击都击中目标．
（2） A1 I A2 I A3 表示第 1 次和第 2 次射击都击中目标，而第 3 次没有击中目标．
（3） A1 A2表示第 1 次射击击中目标或第 2 次射击击中目标
重难点 4 事件的互斥与对立
19．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件： E = “点数为奇数”， F = “点数为偶数”，G = “点数大于 2”，
H = “点数不大于 2”，R = “点数为 1”.则下列结论不正确的是（ ）
A．E，F 为对立事件 B．G，H 为互斥不对立事件
C．E，G 不是互斥事件 D．G，R 是互斥事件
【答案】B
【详解】E，F 是对立事件，选项 A 正确；G，H 为互斥且对立事件，选项 B 不正确；
E，G 不互斥，选项 C 正确；G，R 为互斥事件，选项 D 正确.
故选：B.
20．袋中装有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个，从中任取 2 个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红 黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【详解】对于 A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A 不是；
对于 B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B 不是；
对于 C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的
两个事件，C 是；
对于 D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D 不是.
故选：C
21．如果事件 A, B互斥，记 A，B 分别为事件 A, B的对立事件，那么（ ）
A． A + B 是必然事件 B． A + B 是必然事件
C． A与B 一定互斥 D． A与B 不可能互斥
【答案】B
【详解】如图所示，集合E 表示事件A ，集合F 表示事件 B ，
对于选项 A，如图，因为E + F 不是全集，所以选项 A 错误，
对于选项 B，由图知 I E U I F = I ，即 A + B 是必然事件，所以选项 B 正确，
对于选项 C，由图知 I E I I F 不一定是空集，即 A与B 可以同时发生，所以选项 C 错误，
对于选项 D，由图知，若 I E I I F = ，则 A与B 互斥，所以选项 D 错误，
故选：B.
22．从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测，记“ 3件产品都是次品”为事件A ，“ 3件产品都不是次
品”为事件 B ，“ 3件产品不都是次品”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A．任意两个事件均互斥
B．任意两个事件均不互斥
C．事件A 与事件C对立
D．事件A 与事件 B 对立
【答案】C
【详解】从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测，
则可能情况有：3件产品都是次品， 2件产品是次品，1件产品是次品， 0 件产品是次品；
记“ 3件产品都是次品”为事件A ，“ 3件产品都不是次品”为事件 B ，“ 3件产品不都是次品”为事件C，
则事件 B 、事件C可能同时发生，故事件 B 与事件C不互斥，故 A 错误；
事件A 与事件 B 不可能同时发生，故事件A 与事件 B 互斥，
但是事件A 与事件 B 可以都不发生，如出现 2件产品是次品或1件产品是次品时，
故事件A 与事件 B 不对立，故 B、D 错误；
事件C “ 3件产品不都是次品”，包含“ 2件产品是次品”，“1件产品是次品”，“ 0 件产品是次品”；
故事件A 与事件C对立，故 C 正确；
故选：C
23．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件M ：向上的点数为奇数；事件 N ：向上的点数是 6，则事
件M 与事件 N （ ）
A．既互斥又对立 B．互斥但不对立 C．对立但不互斥 D．既不互斥也不对立
【答案】B
【详解】由题意知事件M ：向上的点数为奇数；事件 N ：向上的点数是 6，
则事件M 与事件 N 不会同时发生，故二者互斥，
当 M 不发生时，N 也不一定发生，因为可能是投掷出向上的点数为 2 或 4，
故二者不对立，
故选：B
24．（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件 A 为“甲中奖”，事件 B 为“乙
中奖”，事件 C 为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（ ）
A．A 与 B 为互斥 B．B 与 C 为对立
C． A B与C 为互斥 D． A I B 与C为对立
【答案】CD
【详解】因为事件A 为“甲中奖”，事件 B 为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，
对于 A 中，事件A 与 B 可能同时发生，所以 A 错误；
对于 B 中，由事件C的对立事件为甲乙都不中奖，所以 B 错误；
对于 C 中，由事件 A B表示甲乙都中奖，事件C 表示甲乙都不中奖，
所以不可能同时发生，所以 A B与C 为互斥事件，所以 C 正确；
对于 D 中，由事件 A I B 表示甲乙都不中奖，事件C表示甲乙至少有一人中奖，
所以 A I B 与C为对立事件，所以 D 正确.
故选：CD.
知识点 3 古典概型的判断
1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中 k 个样本点，则定义事件 A
的概率 P(A) k n(A)= =
n n(W)
其中 n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数．
知识点 4 概率的基本性质
性质 1：对任意的事件 A，都有 P(A)≥0.
性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P W ＝1，P( )＝0.
性质 3：如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(A B) = P A ＋P B ．
性质 4：如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P B =1－P A ，P A =1－P B ．
性质 5：如果 A B ，那么 P A P B ．
性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A B) = P A + P B - P A B ．
重难点 5 古典概型的判断及计算
25．在一个不透明的袋中有 4 个红球和 n个黑球，现从袋中有放回地随机摸出 2 个球，已知取出的球中至
8
少有一个红球的概率为 ，则 n =（ ）9
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
1
【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为 ，则
9
n2 1
= 9n2 = 2n + 4 2n - 4 4n + 4 = 0 n = 2
n + 4 2 9 .
故选：B
26．（多选）下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有 2 个白球和 2 个黑球，这 4 个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个正方形 ABCD 内部随机地投一个点，该点落在 A 点的概率
D．10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【答案】BD
【详解】选项 A, 种子发芽不是等可能事件,不是古典概型；
选项 B,每个球被抽到的概率相等,是古典概型；
选项 C,样本点有无限个,不是古典概型；
选项 D,每两个人相邻都是等可能的,是古典概型,
故选:BD.
27．（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（ ）
A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C．从一副扑克牌（去掉大、小王共 52 张）中随机选取 1 张，这张牌是红色牌
D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中 10 环，命中 9 环，命中 1 环
和脱靶
【答案】BC
【详解】对于 A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于 B，实验结果有限且等可能，故
正确，对于 C，实验结果有限且等可能，故正确，对于 D，显然实验并非等可能，故错误.
故选：BC
28．从写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中任选 2 张，其上数字和为偶数的概率是 ．
2
【答案】 /0.4
5
【详解】记“从 5 张卡片中任选 2 张，其上数字之和为偶数”为事件 A,
则样本空间：W = {(1,2), (1,3), (1, 4), (1,5), (2,3), (2, 4), (2,5), (3, 4), (3,5), (4,5)}，
共 10 种情况，
事件 A 所包含的基本事件有： (1,3), (1,5), (2, 4), (3,5), 共 4 种情况，
所以P(A)
4 2
= = .
10 5
2
故答案为： .
5
29．同时掷两枚相同的质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于 12 的概率为 .
1
【答案】
9
【详解】同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为 36，这 36 个样本点发生的可能性是相等的，
满足两枚骰子向上的点数之积为 12 的样本点有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共 4 个，
4 1
故所求概率为 = .
36 9
1
故答案为：
9
30．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球 5 个，黑
球m
1
个，从袋中随机摸出一个红球的概率是 ，则m 的值为 ．
3
【答案】10
【详解】根据题意，
5 1
从袋中随机摸出一个红球的概率是P = = ，
5 + m 3
所以m =10 .
故答案为：10
31．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，
三个汉字可以看成是轴对称图形．
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三
张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉
字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？说明理由．
【答案】对小慧有利，理由见解析
【详解】每次游戏时，所有可能出现的结果如表：
土 口 木
土 （土，土） （土，口） （土，木）
口 （口，土） （口，口） （口，木）
木 （木，土） （木，口） （木，木）
共有 9 种结果，且每种结果出现的可能性相同．
其中，能组成上下结构的汉字的结果有 4 种：
（土，土）“圭”，（口，口）“吕”，（木，口）“杏”或“呆”，（口，木）“呆”或“杏”，
不能构成上下结构的汉字的结果有 5 种：
（土，口），（土，木），（口，土），（木，土），（木，木）．
4 5
所以小敏获胜的概率为 ，小慧获胜的概率为 ，所以这个游戏对小慧有利．
9 9
32．有 A，B，C，D 四位贵宾，应分别坐在 a，b，c，d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位
上随便就坐时．
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有 1 位坐在自己席位上的概率．
1
【答案】(1)
24
(2) 3
8
1
(3)
3
【详解】（1）将 A，B，C，D 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，共 24 个等可能发生的样本点，属于古典概型．
设事件 A 为“这四人恰好都坐在自己席位上”，则事件 A 只包含 1 个样本点，
所以P A 1= .
24
（2）设事件 B 为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件 B 包含 9 个样本点，
P(B) 9 3所以 = = .
24 8
（3）设事件 C 为“这四人恰好有 1 位坐在自己席位上”，则事件 C 包含 8 个样本点，
所以P(C)
8 1
= = .
24 3
重难点 6 古典概型与统计的结合
33．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200件，其中甲工厂生产了690 件，乙工厂生产了510件，
为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取80件
样品，已知该精密仪器按照质量可分为 A, B,C, D 四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，
3
恰好抽到甲工厂生产的A 等级产品的概率为 ，则抽取的B,C, D三个等级中甲工厂生产的产品共有
20
件．
【答案】34
690
【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了80 = 46件样品，
1200
x 3
设抽取甲工厂生产的A 等级产品有 x 件，则 = ，解得： x =12，
80 20
\抽取的B,C, D三个等级中，甲工厂生产的产品共有 46 -12 = 34 件.
故答案为：34 .
34．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成
绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）
7 3 2 1
A． B． C． D．
10 10 5 5
【答案】B
【详解】设乙在 5 次综合测评中的成绩中被污损数字为 x，
则 x {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
1
依题意得甲的平均值为 (88+89+90+91+92) = 90，
5
1
甲的平均值为 (83+ 84 + 87 + 90 + x + 99)
1
= (443+ x)，
5 5
1
由题意可得 (443 + x) 90，解得 x 7 ，
5
即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩时被污损的数字可能为 7、8、9，
3
故甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ，
10
故选：B
35．如图，由甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩茎叶图可知，两人的成绩如下：甲：88，89，90，91，
92，乙：83，83，87，9●，99，其中乙的一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 .
4
【答案】 /0.8
5
【详解】设被污损的数字的个位数为 x ，其中 x 为0 : 9 中的一个，
要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，
则88 + 89 + 90 + 91+ 92 > 83 + 83+ 87 + 90 + x + 99，
解得 x < 8，
则 x 的可能取值为0 : 7 的自然数，共 8 个，
8 4
则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 = .
10 5
4
故答案为： .
5
36．20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
(1)求频率直方图中 a的值；
(2)分别求出成绩落在 50,60 与 60,70 中的学生人数；
(3)从成绩在 50,70 的学生中人选 2 人，求这 2 人的成绩都在 60,70 中的概率.
【答案】(1) a = 0.005
(2)2，3
3
(3)
10
【详解】（1）由频率分布直方图可知组距为 10，因为 (2a + 3a + 6a + 7a + 2a) 10 = 1，
解得 a
1
= = 0.005 .
200
（2）由图可知成绩落在 50,60 的频率为 2a 10 = 0.1，
由频数=总体 频率，从而得到该范围内的人数为0.1 20 = 2，
落在 60,70 范围内的频率为3a 10 = 0.15，得该范围内的人数为0.15 20 = 3；
（3）记成绩落在 50,60 中的 2 人为 A1, A2 ，成绩落在 60,70 中的 3 人为B1、B2、B3，
则从成绩在 50,70 的学生中人选 2 人的基本事件共有 10 个：
A1, A2 , A1, B1 , A1, B2 , A1, B3 , A2 , B1 , A2 , B2 , A2 , B3 , B1, B2 , B1, B3 , B2 , B3
其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 3 个： B1, B2 , B1, B3 , B2 , B3 ，
3
故所求的概率为P = .
10
37．某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大
值），已知从左至右前四组的频率依次为 0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：
(1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于 58 千克的学生有______人；
(2)这部分学生体重的中位数落在第______组；
(3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随
机抽取 2 人，求被抽到的 2 人体重都不低于 41 千克的概率．
【答案】(1)100；25
(2)四
3
(3)
10
5
【详解】解：(1)抽取的学生人数共有 x 人，则 =0.05，求得 x =100，
x
体重不低于 58 千克的学生有人数为：100（1-0.05-0.1-0.25-0.25）=25 人；
(2)前四组的人数分别为 5，100×0.1=10，100×0.25=25，100×0.35=35，
抽查的 100 个学生的体重从小到大进行排序，排在第 50 位和 51 位的学生都落在第四组，∴这部分学生
体重的中位数落在第四组；
（3）解：根据题意知从这组学生中随机抽取 2 人有（40,40），（40,41），（40,42），（40,43），（40,41），
（40,42），（40,43），（41,42），（41,43），（42,43）共 10 种情况，
被抽到的 2 人体重都不低于 41 千克有 （41,42）,（41,43）,（42,43）共 3 种情况，∴所求事件的概率为
P 3= .
10
38．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分 100），并从中随机抽取了 100 名学生的成绩，
以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.
(1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于 70 分的学生中，分层抽样 6 人，再从 6 人中任取 2
人，求此 2 人分数都在 60,70 的概率.
【答案】(1)平均数为 75.5，85%分位数为 88；
2
(2) .
5
【详解】（1）由 a + 0.02 + 0.035 + 0.025 + a 10 =1，解得 a = 0.01 .
该校高三学生期初数学成绩的平均数为55 0.1+ 65 0.2 + 75 0.35 + 85 0.25 + 95 0.1 = 75.5 .
0.85 - 0.65
前 3 组的频率和为0.1+ 0.2 + 0.35 = 0.65，所以85%分位数为80 + 10 = 88 .
0.25
（2）分层抽样抽取的 6 人中， 50,60 6 0.1的有 = 2人，记为1,2.
0.1+ 0.2
60,70 的有6 - 2 = 4人，记为3,4,5,6 ，
从 6 人中任取 2 人，基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56 ，共 15 种，
其中 2 人分数都在 60,70 的有34,35,36,45,46,56共 6 种，
6 2
所以从 6 人中任取 2 人，分数都在 60,70 的概率为 = .
15 5
重难点 7 概率的性质
1
39．设 A，B 是一个随机试验中的两个事件且P(A) = , P(B)
13
= , P(AB + AB) 7= ，则P AB = （ ）
2 24 24
1 11 2 7
A． B． C． D．
8 48 11 13
【答案】A
1 13 1 11
【详解】因为P(A) = , P(B) = ，故P(A) = , P(B) = ，
2 24 2 24
因为 AB 与 AB为互斥事件，故 P(AB × AB) = 0，
所以P AB + AB = P AB + P AB = P B - P AB + P A - P AB
1 11 2P AB 7 P AB 1 P AB P B P AB 11 1 1= + - = ，故 = ，故 = - = - = .
2 24 24 3 24 3 8
故选：A
40．（多选）设A ， B 是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（ ）
A．如果事件A 与事件 B 互斥，那么P A B = P A + P B
B．如果事件A 与事件 B 互斥，那么P A + P B =1
C．如果事件A 与事件 B 对立，那么P AU B = P A + P B
D．如果事件A 与事件 B 对立，那么P A + P B =1
【答案】ACD
【详解】对于 A，事件A 与事件 B 互斥，则P A B = P A + P B ，A 正确；
对于 B，事件A 与事件 B 互斥，事件 A B不一定是必然事件，即P A + P B 不一定为 1，B 错误；
对于 C，事件A 与事件 B 对立，则事件A 与事件 B 互斥，有P AU B = P A + P B ，C 正确；
对于 D，事件A 与事件 B 对立，事件 A B是必然事件，则P A + P B =1，D 正确.
故选：ACD
1 2
41．（多选）若 A，B 互为对立事件，P A = ，P B = ，且 a > 0，b > 0，则2a +b的最小值是 .
a b
【答案】8
1 2
【详解】因为 A，B 互为对立事件，则P A + P B = + =1，且 a > 0，b > 0，
a b
可得 2a + b 1 2 b 4a= + ÷ 2a + b = 4 + + 4
b 4a
+ 2 × = 8，
è a b a b a b
b 4a
当且仅当 = ，即b = 2a = 4时，等号成立，
a b
所以2a +b的最小值是 8.
故答案为：8.
42．下列关于概率的命题，正确的是（ ）
A．对于任意事件 A，都有P(A) > 0
B．必然事件的概率为 1
C．如果事件 A 与事件 B 对立，那么一定有P(A) + P(B) =1
D．若 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
【答案】BCD
【详解】对于 A，对于任意事件 A，都有P(A) 0，故 A 错误；
对于 B，必然事件的概率为 1，显然正确，故 B 正确；
对于 C，如果事件 A 与事件 B 对立，那么一定有P(A) + P(B) =1，故 C 正确；
对于 D，若 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) ，故 D 正确．
故选：BCD．
43．在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于 90 分的概率是 0.18，在[80,89]的概率是 0.51，在[70,79]的
概率是 0.15，在[60,69]的概率是 0.09，在 60 分以下的概率是 0.07，计算：
(1)小明在数学考试中成绩不低于 70 分的概率；
(2)小明数学考试及格(60 分及以上)的概率．
【答案】(1)0.84
(2)0.93
【详解】（1）分别记小明的成绩“不低于 90 分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件 B，C，D，E，这四个事
件彼此互斥．
则小明的成绩不低于 70 分的概率是P B C D = P B + P C + P D = 0.18 + 0.51+ 0.15 = 0.84 .
（2）解法一：小明数学考试及格的概率是
P B C D E = P B + P C + P D + P E = 0.18 + 0.51+ 0.15 + 0.09 = 0.93 .
解法二：小明数学考试不及格的概率是 0.07，所以小明数学考试及格的概率是1- 0.07 = 0.93 .
44．某射击运动员在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为 0.1，0.2，0.3，
0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中 10 环或 9 环的概率；
(2)至少射中 7 环的概率．
【答案】(1)0.3；
(2)0.9.
【详解】（1）设“射中 10 环”、“射中 9 环”、“射中 8 环”、“射中 7 环”、“射中 7 环以下”的事件分别为 A，
B，C，D，E，
显然事件 A, B互斥，因此P(AU B) = P A + P B = 0.1+ 0.2 = 0.3，
所以射中 10 环或 9 环的概率为 0.3.
（2）因为射中 7 环以下的概率为 0.1，射中 7 环以下的事件与至少射中 7 环的事件是对立事件，
所以由对立事件的概率公式得，至少射中 7 环的概率为1- 0.1 = 0.9 .专题 5.1 随机事件与概率
知识点 1 样本空间及事件的分类
1.有限样本空间的有关概念
样本点：我们把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，用w 表示样本点；
样本空间：全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间，用W 表示样本空间；
有限样本空间：如果一个随机试验有 n 个可能结果w1, w2, , wn ,则称样本空间W = {w1,w2 , ,wn}为有
限样本空间
2.事件的分类
必然事件 在条件 S 下，一定会发生的事件
确定事件
事件 不可能事件 在条件 S 下，一定不会发生的事件
随机事件 在条件 S 下下，可能发生也可能不发生的事件
知识点 2 事件间的关系及运算
定义 符号表示 图示
如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事
包含关系 B A(或 A B)
件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)
相等关系 若 B A 且 A B，则事件 A 与事件 B 相等 A=B
并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生， A B
(和事件) 称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) (或 A＋B)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，
交事件 A B
则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事
(积事件) (或 AB)
件)
互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 AI B=
若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么 AI B= 且
对立事件
称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AU B=W
重难点 1 事件类型的判断
1．将一根长为 a 的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．不能判定
2．下列事件为随机事件的是（ ）
A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于 7
B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于 7
C．下周日下雨
D．没有水和空气，人也可以生存下去
3．下列事件中，随机事件的个数是（ ）个．
①某人购买福利彩票一注，中奖500万元；②三角形的内角和为180o ；
③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．
A．1 B． 2 C．3 D． 4
4．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出 500 元的概率是0.01% ，则这件事 发生（填“必然”、“可
能”或“不可能”）.
5．在 200 件产品中，有 192 件一级品，8 件二级品，则下列事件：
①在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是一级品；
②在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是二级品；
③在这 200 件产品中任意选出 9 件，不全是二级品；
④在这 200 件产品中任意选出 9 件，其中不是一级品的件数小于 10．
其中 是必然事件； 是不可能事件； 是随机事件．(填序号)
6．指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件：
(1)从 1 个三角形的 3 个顶点处各任画 1 条射线，这 3 条射线交于一点；
(2)把 9 写成两个实数的和，其中一定有 1 个数小于 5；
(3)实数 a，b 不都为 0，但 a2＋b2＝0；
(4)汽车排放尾气会污染环境；
(5)明天早晨有雾；
(6)某地明年 7 月 28 日的最高气温高于今年 8 月 10 日的最高气温．
重难点 2 样本空间与样本点的表示
7．高一(1)班计划从 A，B，C，D，E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本
点的个数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
8．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用 A, B表示，两个女生分别用C , D 表示，相应
的样本空间为W = AB, AC, AD, BC, BD,CD ，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 .
9．做试验“从 -1，1，2 这 3 个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对 (x, y)， x 为第 1
次取到的数字， y 为第 2 次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出这个试验样本点的总数；
(3)写出“第 1 次取出的数字是 2”这一事件包含的样本点．
10．将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用 (x, y)表示，其中 x 表示第一次抛掷出现的点数， y 表示第
二次抛掷出现的点数.
(1)求样本空间中的样本点个数；
(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于 8”.
11．从男生 A、B、C 和女生 D、E 五人中选出两人参加数学竞赛，写出事件“至少有一个女生”对应的样
本空间．
12．箱子里有 3 双不同的手套，从中随机拿出 2 只，记事件 A = {拿出的手套不能配对}，事件B = {拿出
的都是同一只手上的手套}，事件C = {拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对}．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A 、事件 B 、事件C；
(3)说出事件A 、事件 B 、事件C的关系．
重难点 3 事件的包含关系及运算
13．对空中移动的目标连续射击两次，设 A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一
次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A． A D B．B I D =
C． A C = D D． AUC = B U D
14．设H , E, F 为三个事件，H , E, F 分别表示它们的对立事件，表示“ H , E, F 三个事件恰有一个发生”的表
达式为（ ）
A．H + E + F
B．H EF + HEF + H EF
C．HEF + H EF + HEF
D． H ＋E ＋F
15．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若 A 表示事件“点数大于 3”，B 表示事件“点数为偶数”，
则事件“点数为 5”可以表示为（ ）
A． A B B． A B C． AU B D． A U B
16．（多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件 A 表示随机事件“两次都投中”，事件 B
表示随机事件“两次都未投中”，事件 C 表示随机事件“恰有一次投中”，事件 D 表示随机事件“至少有一次
投中”，则下列关系正确的是（ ）
A． A D B．B I D = C． A B = B D D． A C = D
17．盒子里有大小和质地均相同的6个红球和 4个白球，现从中任取3个球，设事件 A = {3 个球中有 1 个
红球 2 个白球}，事件B = {3 个球中有 2 个红球 1 个白球}，事件C = {3 个球中至少有 1 个红球}，事件
D ={3 个球中既有红球又有白球}.
(1)事件 D 与 A，B 是什么运算关系？
(2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？
18．设某人向一个目标射击 3 次，用事件 Ai 表示随机事件“第 i次射击击中目标”（ i =1,2,3），指出下列事
件的含义：
(1) A1 A2；
(2) A1 I A2 I A3 ；
(3) A1 A2 .
重难点 4 事件的互斥与对立
19．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件： E = “点数为奇数”， F = “点数为偶数”，G = “点数大于 2”，
H = “点数不大于 2”，R = “点数为 1”.则下列结论不正确的是（ ）
A．E，F 为对立事件 B．G，H 为互斥不对立事件
C．E，G 不是互斥事件 D．G，R 是互斥事件
20．袋中装有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个，从中任取 2 个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红 黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
21．如果事件 A, B互斥，记 A，B 分别为事件 A, B的对立事件，那么（ ）
A． A + B 是必然事件 B． A + B 是必然事件
C． A与B 一定互斥 D． A与B 不可能互斥
22．从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测，记“ 3件产品都是次品”为事件A ，“ 3件产品都不是次
品”为事件 B ，“ 3件产品不都是次品”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A．任意两个事件均互斥
B．任意两个事件均不互斥
C．事件A 与事件C对立
D．事件A 与事件 B 对立
23．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件M ：向上的点数为奇数；事件 N ：向上的点数是 6，则事
件M 与事件 N （ ）
A．既互斥又对立 B．互斥但不对立 C．对立但不互斥 D．既不互斥也不对立
24．（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件 A 为“甲中奖”，事件 B 为“乙
中奖”，事件 C 为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（ ）
A．A 与 B 为互斥 B．B 与 C 为对立
C． A B与C 为互斥 D． A I B 与C为对立
知识点 3 古典概型的判断
1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中 k 个样本点，则定义事件 A
P(A) k n(A)的概率 = =
n n(W)
其中 n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数．
知识点 4 概率的基本性质
性质 1：对任意的事件 A，都有 P(A)≥0.
性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P W ＝1，P( )＝0.
性质 3：如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(A B) = P A ＋P B ．
性质 4：如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P B =1－P A ，P A =1－P B ．
性质 5：如果 A B ，那么 P A P B ．
性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A B) = P A + P B - P A B ．
重难点 5 古典概型的判断及计算
25．在一个不透明的袋中有 4 个红球和 n个黑球，现从袋中有放回地随机摸出 2 个球，已知取出的球中至
8
少有一个红球的概率为 ，则 n =（
9 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（多选）下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有 2 个白球和 2 个黑球，这 4 个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个正方形 ABCD 内部随机地投一个点，该点落在 A 点的概率
D．10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
27．（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（ ）
A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C．从一副扑克牌（去掉大、小王共 52 张）中随机选取 1 张，这张牌是红色牌
D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中 10 环，命中 9 环，命中 1 环
和脱靶
28．从写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中任选 2 张，其上数字和为偶数的概率是 ．
29．同时掷两枚相同的质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于 12 的概率为 .
30．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球 5 个，黑
1
球m 个，从袋中随机摸出一个红球的概率是 ，则m 的值为 ．
3
31．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，
三个汉字可以看成是轴对称图形．
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三
张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉
字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？说明理由．
32．有 A，B，C，D 四位贵宾，应分别坐在 a，b，c，d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位
上随便就坐时．
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有 1 位坐在自己席位上的概率．
重难点 6 古典概型与统计的结合
33．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200件，其中甲工厂生产了690 件，乙工厂生产了510件，
为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取80件
样品，已知该精密仪器按照质量可分为 A, B,C, D 四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，
3
恰好抽到甲工厂生产的A 等级产品的概率为 ，则抽取的B,C, D三个等级中甲工厂生产的产品共有
20
件．
34．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成
绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）
7 3 2 1
A． B． C． D．
10 10 5 5
35．如图，由甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩茎叶图可知，两人的成绩如下：甲：88，89，90，91，
92，乙：83，83，87，9●，99，其中乙的一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 .
36．20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
(1)求频率直方图中 a的值；
(2)分别求出成绩落在 50,60 与 60,70 中的学生人数；
(3)从成绩在 50,70 的学生中人选 2 人，求这 2 人的成绩都在 60,70 中的概率.
37．某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大
值），已知从左至右前四组的频率依次为 0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：
(1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于 58 千克的学生有______人；
(2)这部分学生体重的中位数落在第______组；
(3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随
机抽取 2 人，求被抽到的 2 人体重都不低于 41 千克的概率．
38．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分 100），并从中随机抽取了 100 名学生的成绩，
以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.
(1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于 70 分的学生中，分层抽样 6 人，再从 6 人中任取 2
人，求此 2 人分数都在 60,70 的概率.
重难点 7 概率的性质
1 13
39．设 A，B 是一个随机试验中的两个事件且P(A) = , P(B) = , P(AB + AB)
7
= ，则P AB = （ ）
2 24 24
1 11 2 7
A． B． C． D．
8 48 11 13
40．（多选）设A ， B 是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（ ）
A．如果事件A 与事件 B 互斥，那么P A B = P A + P B
B．如果事件A 与事件 B 互斥，那么P A + P B =1
C．如果事件A 与事件 B 对立，那么P AU B = P A + P B
D．如果事件A 与事件 B 对立，那么P A + P B =1
1 2
41．（多选）若 A，B 互为对立事件，P A = ，P B = ，且 a > 0，b > 0，则2a +b的最小值是 .
a b
42．下列关于概率的命题，正确的是（ ）
A．对于任意事件 A，都有P(A) > 0
B．必然事件的概率为 1
C．如果事件 A 与事件 B 对立，那么一定有P(A) + P(B) =1
D．若 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
43．在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于 90 分的概率是 0.18，在[80,89]的概率是 0.51，在[70,79]的
概率是 0.15，在[60,69]的概率是 0.09，在 60 分以下的概率是 0.07，计算：
(1)小明在数学考试中成绩不低于 70 分的概率；
(2)小明数学考试及格(60 分及以上)的概率．
44．某射击运动员在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为 0.1，0.2，0.3，
0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中 10 环或 9 环的概率；
(2)至少射中 7 环的概率．
