第七章 复数（提升卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．若复数 z 满足 3 4i z 4 3i ，则 z 的虚部为（ ）
4 4
A． 4 B． C． 4 D．
5 5
2．若复数 z 满足： z 2z 3 2i，则 z 为（ ）
A．2 B． 2 C． 5 D．5
z a i3．已知 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）1 2i
A．2 B．1 C． 1 D． 2
2i uuuur
4．在复平面内，复数 对应的点为M ，复数 (2 i)2 对应的点为 N ，则向量 的模长（ ）
1 i MN
A． 2 10 B． 10 C． 2 13 D． 13
5．已知 z 是复数， z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A z2 z 2． B．若 z 1，则 z 1 i 的最大值为 2 1
C．若 z 1 2i 2，则复平面内 z 对应的点位于第一象限 D．若1 3i 是关于 x 的方程
x2 px q 0( p, q R) 的一个根，则 q 8
6．记 i n为虚数单位， n为正整数，若 3 4i 位于复平面的第四象限，则 n的最小值为（ ）
A． 4 B．5 C．6 D． 7
7．设 z1 ， z2 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 z1 z2 > 0，则 z2 z1
B．若 z1z2 0，则 z1 0 且 z2 0
C．若 z1 z 2 22 ，则 z1 z2
D．若 z z1 z z2 ，且 z1 z2 ，则 z 在复平面对应的点在一条直线上
8．已知复数 z1 ， z2 满足 2 z1 z2 2z
1
1 z2 2，则 z1 z2 （2 ）
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． i3(1 i)2 B． i2 (1 i)2
1 i 1 i 2C ． D．
1 i è1 i ÷
10．（多选）已知复数 z1＝2－2i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为 P1，复数 z2满足|z2－i|＝1，则下列
结论正确的是（ ）
A．点 P1的坐标为（2，－2）
B．z1＝2＋2i
C．|z2－z1|的最大值为 13 ＋1
D．|z2－z1|的最小值为 2 2
11．已知复数 z1 ， z2 满足 z1 cosa isina ， z2 cosb isinb ，且 z1 z2 2 ，则（ ）
A． z1 × z2 1 B． z1 z2 3
C．若a 0 ，则 cosb 0 D．a b kπ
π
k Z
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．i 为虚数单位，复数 z 1 i则 3 iz .
13．满足 z2 R ， z i 1的一个复数 z ．
14 z m2．已知复数 1 1 2mi m R , z2 asinq 2sinq 4 i ，q 0, ，若z1 z2，求实数 a的取值
范围 .
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3
15．已知复数 z 满足 z 1 3i z 1 3i 3 4i ，求 ．
z
z
16．已知 z 是复数， z 2i 与 均为实数.
2 i
(1)求复数 z；
(2) 2复数 z ai 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围.
17 2．已知关于 x 的二次方程 x tanq i x i 2 0．
(1)当q 为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在q ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出q 的值；若不存在，试说明理由．
18．设复数 z1 a bi ， z2 c di，其中 a、b、c、d R .现在复数系中定义一个新运算 ，规定：
z1 z2 ac bd ad bc i .
(1)已知 2 i x i 2 ，求实数 x 的值；
(2)现给出如下有关复数新运算 性质的两个命题：
① z1 z2 z1 z2 ；
②若 z1 z2 0 ，则 z1 0 或 z2 0 .
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
19．在复平面内复数 z1, z2 所对应的点为Z1, Z2，O 为坐标原点，i 是虚数单位.
uuuur uuuur
(1) z1 1 2i, z2 3 4i，计算 z1z2 与OZ1 ×OZ2 ；
uuuur uuuur uuuur uuuur
(2)设 z1 a bi, z2 c di a,b,c,d R ，求证： OZ1 ×OZ2 z1z2 ，并指出向量OZ1,OZ2 满足什么条件时该不
等式取等号.第七章 复数（提升卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．若复数 z 满足 3 4i z 4 3i ，则 z 的虚部为（ ）
4 4
A． 4 B． C． 4 D．
5 5
【答案】B
【分析】根据复数除法运算可求得 z ，再由共轭复数和虚部定义即可求得结果．
【详解】由 3 4i z 4 3i ，
4 3i 5 5 3 4iz 3 4则 i3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 5 5 ，
3 4 4
所以 z i ，故 z 的虚部为 z ．5 5 5
故选：B．
2．若复数 z 满足： z 2z 3 2i，则 z 为（ ）
A．2 B． 2 C． 5 D．5
【答案】C
【分析】
利用共轭复数的概念及复数相等的充要条件求出 z ，进而求出 z .
【详解】设 z a bi, a,b R ，则 z a bi,
所以 z 2z 3a bi=3 2i，即 a 1,b 2，
所以 z a2 b2 5 .
故选：C.
z a i3．已知 为纯虚数，则实数 a 的值为（
1 2i ）
A．2 B．1 C． 1 D． 2
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算化简 z ，再利用复数的分类即可得解.
a i a i 1 2iz a 2 2a 1【详解】因为 i1 ， 2i 1 2i 1 2i 5 5
ìa 2
0 5
因为 z 为纯虚数，所以 í ，则 a 2 .
2a 1 0
5
故选：A.
2i uuuur
4．在复平面内，复数 对应的点为M ，复数 (2 i)2 对应的点为 N ，则向量MN 的模长（1 i ）
A． 2 10 B． 10 C． 2 13 D． 13
【答案】D
【分析】
uuuur
根据将两个复数化简，根据复数的几何意义即可得到M 、 N 的坐标，再求出向量MN 的模.
2i 2i 1 i 2i
【详解】复数 1 i1 i 1 i 1 i ，所以复数 对应的点为
M 1,1 ，
1 i
复数 (2 i)2 3 4i，所以复数 (2 i)2 对应的点为 N 3,4 ，
uuuur
所以MN 3,4 1,1 2,3 ，
uuuur
MN 22 2所以 3 13 .
故选：D
5．已知 z 是复数， z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A． z2 z 2 B．若 z 1，则 z 1 i 的最大值为 2 1
C z 1 2i 2．若 ，则复平面内 z 对应的点位于第一象限 D．若1 3i 是关于 x 的方程
x2 px q 0( p, q R) 的一个根，则 q 8
【答案】B
【分析】
设出复数的代数形式计算判断 A；利用复数的几何意义判断 B；求出复数 z 判断 C；利用复数相等求出q判
断 D.
【详解】
A z a bi(a,b R) | z |2 a2 b2 , z2 a bi 2对于 ，设 ，则 a2 b2 2abi， z2 z 2 ，A 错误；
对于 B，由 z 1知，在复平面内表示复数 z 的点在以原点为圆心的单位圆上，
z 1 i 可看作该单位圆上的点到点 1,1 的距离，因为圆心到 1,1 的距离为 2 ，
则该单位圆上的点到点 1,1 的距离最大值为 2 1，B 正确；
C z 1 2i 2对于 ， 3 4i, z 3 4i ，则复平面内 z 对应的点位于第二象限，C 错误；
对于 D，依题意， (1 3i)2 p(1 3i) q 0，整理得 ( p q 8) ( 3p 6)i 0，
p q 8 0
而 p, q R
ì
，因此 í ，解得 p 2, q 10
3p 6 0
，D 错误．
故选：B.
6．记 i n为虚数单位， n为正整数，若 3 4i 位于复平面的第四象限，则 n的最小值为（ ）
A． 4 B．5 C．6 D． 7
【答案】C
n *
【分析】逐个计算 3 4i n 2,n N ，结合复数的几何意义可得出结论.
2
【详解】因为 3 4i 9 24i 16 7 24i，
即复数 3 4i 2 在复平面内对应的点位于第二象限，
3 4i 3 7 24i 3 4i 21 44i 96 117 44i ，
即复数 3 4i 3 在复平面内对应的点位于第二象限，
3 4i 4 117 44i 3 4i 527 336i ，
4
即复数 3 4i 在复平面内对应的点位于第三象限，
3 4i 5 527 336i 3 4i 237 3116i，
即复数 3 4i 5 在复平面内对应的点位于第三象限，
3 4i 6 237 3116i 3 4i 11753 10296i，
即复数 3 4i 6 在复平面内对应的点位于第四象限，
故 n的最小值为6 .
故选：C.
7．设 z1 ， z2 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 z1 z2 > 0，则 z2 z1
B．若 z1z2 0，则 z1 0 且 z2 0
C z 2 2．若 1 z2 ，则 z1 z2
D．若 z z1 z z2 ，且 z1 z2 ，则 z 在复平面对应的点在一条直线上
【答案】D
【分析】
设出 z1 a bi 、 z2 c di，对 A，借助复数性质计算即可得；对 B、C，举出反例即可得；对 D：设
z x yi ，由题意可计算出 x 、 y 之间的关系，即可得解.
【详解】设 z1 a bi 、 z2 c di， a、b 、 c、d R ，
对 A：若 z1 z2 > 0，则有 a c b d i > 0，
即 a c > 0且b d 0，故 A 错误；
对 B：取 z1 0 、 z2 1，亦有 z1z2 0，故 B 错误；
对 C：取 z1 i z 1 z z 1 z2， 2 ，则有 1 2 ， 1 i
2 1 z22 1，故 C 错误；
对 D：设 z x yi ， x 、 y R，若 z z1 z z2 ，
则有 x a 2 y b 2 x c 2 y d 2 ，
即有 x2 2ax a2 y2 2by b2 x2 2cx c2 y2 2dy d 2 ，
整理得 2a 2c x 2b 2d y d 2 c2 a2 b2 0，
由 z1 z2 ，故 2a 2c 0与 2b 2d 0 不能同时成立，
z 2a 2c x 2b 2d y d 2 2 2 2故 在复平面对应的点在直线 c a b 0上，
故 D 正确.
故选：D.
1
8．已知复数 z1 ， z2 满足 2 z1 z2 2z1 z2 2，则 z1 z2 （ ）2
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
【答案】B
【分析】
首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.
【详解】
设 z1 a bi, z2 c di, 则 2 a2 b2 c2 d 2 (2a c)2 (2b d )2 2
所以 a2 b2 1， c2 d 2 4, 8 4(ac bd ) 4，即 ac bd 1，
1 2 2
则 z1 z2 a
1
c 1
2 2 ÷
b d
2 ÷è è
1
a2 b2 c2 d 2 ac bd4
1 1 4 1 3,
4
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． i3(1 i)2 B． i2 (1 i)2
1 i 1 i 2C D ． ．
1 i 1 i ÷
è
【答案】BC
【分析】
根据复数的乘法、乘方和除法运算一一计算即可.
【详解】
对 A， i3(1 i)2 i 1 2i 1 2，为实数，故 A 错误；
对 B i2 (1 i)2， 1 2i 1 2i，为纯虚数，故 B 正确；
2
对 C，1 i 1 i i，为纯虚数，故 C 正确；
1 i 2
1 i 2
2
1 i 2i
对 D， ÷ 1，为实数，故 D 错误；
è1 i 1 i 2 2i
故选：BC.
10．（多选）已知复数 z1＝2－2i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为 P1，复数 z2满足|z2－i|＝1，则下列
结论正确的是（ ）
A．点 P1的坐标为（2，－2）
B．z1＝2＋2i
C．|z2－z1|的最大值为 13 ＋1
D．|z2－z1|的最小值为 2 2
【答案】ABC
【详解】
解析：因为复数 z1＝2－2i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为 P1，所以点 P1的坐标为（2，－2），故 A
正确；因为 z1＝2－2i，所以 z1＝2＋2i，故 B 正确；设 z2＝x＋yi（x，y∈R），在复平面内对应的点为 P（x，
y），设 A（0，1），因为|z2－i|＝1，所以点 P（x，y）到点 A 的距离为 1，因此点 P（x，y）的轨迹是以 A
（0，1）为圆心，1 为半径的圆， |z2－z1|表示圆 A 上的点到点 P1 的距离，因此 |z2－z1|max＝AP1＋1＝
＋1＝ ＋1，|z2－z1|min＝AP1－1＝ －1＝ －1，故 C 正确，D 不正
确．故选 ABC.
【考查意图】
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚
部即可．
11．已知复数 z1 ， z2 满足 z1 cosa isina ， z2 cosb isinb ，且 z1 z2 2 ，则（ ）
A． z1 × z2 1 B． z1 z2 3
π
C．若a 0 ，则 cosb 0 D．a b kπ k Z
2
【答案】ACD
【分析】
由 z1 z2 2 ，平方后可推出 cos(a b ) 0，即可判断 D，由此可判断 C；根据复数的乘法以及模的计算
公式可判断 A；根据复数的加法以及模的计算公式可判断 B；
【详解】由题意知复数 z1 ， z2 满足 z1 cosa isina ， z2 cosb isinb ，且 z1 z2 2 ，
则 z1 z2 (cosa cosb ) i(sina sinb )，故 (cosa cosb )2 (sina sinb )2 2，
即 2 2(cosacosb sinasinb ) 2，得 cos(a b ) 0，
故a
π
b kπ k Z ，D 正确；
2
z1 × z2 (cosa isina ) × (cosb isinb ) cosa cos b sina sin b i(cosa sin b sina cos b )
cos(a b ) isin(a b )，
z 2 2得 1 × z2 cos (a b ) sin (a b ) 1，A 正确；
由于 z1 z2 (cosa cosb ) i(sina sinb ) ，
故 z1 z2 (cosa cosb )
2 (sina sinb )2 2 2(cosacosb sinasinb )
2 2cos(a b ) 2 ，B 错误；
由以上 D 的分析可知，若a 0 ，则 cos( b ) 0，故 cosb 0 ，C 正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．i 为虚数单位，复数 z 1 i则 3 iz .
【答案】 5
【分析】根据复数的运算及模的定义求解即可.
【详解】 3 iz 3 i(1 i) 2 i 22 12 5 ，
故答案为： 5
13．满足 z2 R ， z i 1的一个复数 z ．
【答案】 0 （ 0 或 2i中的一个，答案不唯一）
【分析】设 z a bi a,b R ，根据 z2 R 可得出 a 0或b 0，分 a 0、b 0两种情况讨论，结合复数
的模长公式可求得复数 z 的值.
【详解】设 z a bi a,b R ，则 z2 a bi 2 a2 b2 2abi，
因为 z2 R ，则 ab 0，即 a 0或b 0 .
当 a 0时，即 z bi ，由 z i b 1 i b 1 1，解得b 0或 2，此时， z 0或 2i；
当b 0时，即 z a ，由 z i a i a2 1 1，解得 a 0，此时， z 0 .
综上所述， z 0或 2i .
故答案为： 0 （ 0 或 2i中的一个，答案不唯一）
14 2．已知复数 z1 m 1 2mi m R , z2 asinq 2sinq 4 i ，q 0, ，若z1 z2，求实数 a的取值
范围 .
【答案】 10,
【分析】
a sinq 4根据复数相等得 5，利用换元法结合对勾函数单调性即可得到 a的范围.
sinq
2
【详解】Q z1 z2 ,\asinq m 1,2sinq 4 2m，
\asinq sin2q 4 4sinq 5, a sinq 5
sinq
Qq 0, π ,\0 < sinq 1，令 t sinq 0,1 ，
4
根据对勾函数单调性可知函数 a t 5在 0,1 上严格单调递减，
t
\amin 1
4
5 10，
1
所以 a的范围为 10, .
故答案为： 10, .
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3
15 z z 1 3i z 1 3i 3 4i ．已知复数 满足 ，求 ．
z
【答案】 18 26i
ì a2 b2 1 a
【分析】设复数 z a bi ， a R ，b R ，结合条件得到 í ，从而得到 z 4 3i，再根据复
3 b 0
数的运算法则即可求解.
【详解】设复数 z a bi ， a R ，b R ，
由 z 1 3i z ，得 a2 b2 1 a 3 b i ，
ì a2 b2 1 a ìa 4
即 í ，解得： í ，
3 b 0 b 3
则 z 4 3i，
1 3i 3 3 4i 1 3i 3 3 4i 1 3i 2 1 3i 3 4i
所以
z 4 3i i 3 4i
8 6i 1 3i 26 18i 26 18i i
2 18 26i .i i i
z
16．已知 z 是复数， z 2i 与 均为实数.
2 i
(1)求复数 z；
(2)复数 z ai 2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) z 4 2i
(2) 2,6
【分析】（1）根据复数的运算法则，结合复数的特征，即可求解；
（2）根据（1）的结果，计算复数的平方，再根据复数的几何意义，即可求解.
【详解】（1）设 z x yi ， x, y R ,所以 z 2i x y 2 i，
z x yi x yi 2 i 2x y x 2y i
2 i 2 i 2 i 2 i 5
由条件得， y 2 0且 x 2y 0 ，
所以 x 4, y 2，所以 z 4 2i，
（2） z ai 2 4 2i ai 2 12 4a a2 8 a 2 i ，
ì12 4a a2 > 0
由条件得 í
8 a 2
，
> 0
解得 2 < a < 6 ，所以所求实数 a 的取值范围是 2,6 .
17 2．已知关于 x 的二次方程 x tanq i x i 2 0．
(1)当q 为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在q ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出q 的值；若不存在，试说明理由．
q kπ π【答案】(1) k Z
4
(2)不存在，理由见解析
【分析】
（1）设方程的一个实根为 x0 ，带入方程，化简成标准形式，再由复数相等的意义即可求得q ；
（2）设方程有纯虚数根bi（b R ，且b 0 ），代入原方程，再复数相等意义得出b2 b 2 0，此方程无
解，即可判定不存在.
【详解】（1）
设 x 20 是方程的一个实根，则 x0 tanq i x0 i 2 0,
即 x20 tanq × x0 2 i x0 1 0.
ìx 20 tanq × xí 0
2 0
根据复数相等的意义知
x0 1 0
解得： x0 1, tanq 1,q kπ
π
k Z ．
4
π
所以，当q kπ k Z 时，原方程有一实根 x0 1．4
（2）
假定方程有纯虚数根bi（b R ，且b 0 ），代入原方程得
bi 2 tanq i ×bi i 2 0,
2
即 b b 2 btanq 1 i 0.
ì b2 b 2 0
由复数相等意义知 í
(b tanq 1) 0
但方程 b2 b 2 0即b2 b 2 0无实数解，即实数b 不存在．
所以，对任何实数q ，原方程不可能有纯虚数根．
18．设复数 z1 a bi ， z2 c di，其中 a、b、c、d R .现在复数系中定义一个新运算 ，规定：
z1 z2 ac bd ad bc i .
(1)已知 2 i x i 2 ，求实数 x 的值；
(2)现给出如下有关复数新运算 性质的两个命题：
① z1 z2 z1 z2 ；
②若 z1 z2 0 ，则 z1 0 或 z2 0 .
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
x 3【答案】(1) x 1或
5
(2)①是真命题，②是假命题，理由见解析
【分析】
（1）根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论；
（2）根据复数新定义设 z1 a bi ， z2 c di，根据运算逐个求证即可.
【详解】（1）由定义，有 2 i x i 2x 1 2 x i 2
即 2x 1 2 2 x 2 2，整理得，5x2 8x 3 0 ，
\ 3x 1或 x .
5
（2）①设 z1 a bi ， z2 c di，则 z1 z2 ac bd ad bc i ac bd ad bc i ，
z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i，所以 z1 z2 z1 z2
\①是真命题.
②设 z1 a bi ， z2 c di，则 z1 z2 ac bd ad bc i=0，
所以 ac bd 0, ad bc 0，则 a 1,b 1,c 1, d 1是其一组解，
故得不到 z1 0 或 z2 0 .
\②是假命题.
19．在复平面内复数 z1, z2 所对应的点为Z1, Z2，O 为坐标原点，i 是虚数单位.
uuuur uuuur
(1) z1 1 2i, z2 3 4i，计算 z1z2 与OZ1 ×OZ2 ；
uuuur uuuur uuuur uuuur
(2)设 z1 a bi, z2 c di a,b,c,d R ，求证： OZ1 ×OZ2 z1z2 ，并指出向量OZ1,OZ2 满足什么条件时该不
等式取等号.
uuuur uuuur
【答案】(1) z1z2 11 2i，OZ1 ×OZ2 5；
uuuur uuuur
(2)证明见解析，OZ1 //OZ2
【分析】
uuuur uuuur
（1）利用复数的乘法运算可得 z1z2 11 2i，再由复数的几何意义可得OZ1 1,2 ,OZ2 3, 4 ，即可计算
uuuur uuuur
出OZ1 ×OZ2 5；
uuuur uuuur uuuur uuuur
（2）利用复数运算规律分别求出 OZ1 ×OZ2 ,| z1z2 |的平方，利用作差法可得 OZ1 ×OZ2 z1z2 ，此时需满足
uuuur uuuur
OZ1 //OZ2 .
【详解】（1）根据 z1 1 2i, z2 3 4i可得，
z1z2 1 2i 3 4i 3 4i 6i 8i2 11 2i；
uuuur uuuur uuuur uuuur
且OZ1 1,2 ,OZ2 3, 4 ，所以OZ1 ×OZ2 1 3 2 4 5 .
（2）因为 z1 a bi, z2 c di a,b,c,d R ，
所以 z1z2 ac adi bci bdi
2 ac bd ad bc i，
2 2 2
可得 z1z2 ac bd ad bc ；
uuuur uuuur
因为OZ1 a,b ,OZ2 c, d ，
uuuur uuuur uuuur uuuur 2
所以OZ1 ×OZ2 ac bd , OZ1 ×OZ2 ac bd
2
，
2 uuuur uuuur 2 2 2 2 2 2
因此 z1z2 OZ1 ×OZ2 ac bd ad bc ac bd ad bc 4abcd ad bc 0，
uuuur uuuur
所以 OZ1 ×OZ2 z1z2 ，
uuuur uuuur uuuur uuuur
当且仅当 ad bc时取等号，此时向量OZ1,OZ2 满足OZ1 //OZ2 .
