第七章 复数（基础卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 z = 1+ 3i （ i为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A． - 3 B．- 3i C． -1 D．- i
2．已知 a,b R ， a - 2i = b - i i，若 z = a + bi ，则 z 的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
3． i2023 - i2024 =（ ）
A．1 + 2i B．1- 2i
C．-1- i D．1- i
z
4．已知复数 z1, z2 在复平面内所对应的点分别为 1, -3 , -2,5 ，则 2 +1 = （z ）1
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
5．若复数 z = 2 + i，且 z 和 z 2 在复平面内所对应的点分别为 P，Q，O 为坐标原点，则 cos POQ =（ ）
A 5 B 2 5 C 5 D 2 5．- ．- ． ．
5 5 5 5
6．复数 z = x + yi x, y R 满足条件 z - 4i = z + 2 ，则 2x + 4y 的最小值为（ ）
A． 2 B． 4 C．4 2 D．16
7．已知m ， n为实数，1- i（i 为虚数单位）是关于 x 的方程 x2 - mx + n = 0的一个根，则m + n = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
8．定义：复数b + ai 是 z = a + bi(a,b R)的转置复数，记为 z = b + ai；复数 a - bi 是 z = a + bi(a,b R)的共
轭复数，记为 z = a - bi .
给出下列命题：① z = iz ；② z + z = 0；③ z 1 × z
2 = z1z2 ,
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．已知复数 z = 2 + 3i，则（ ）
A． z 的虚部为 3
B． z 是纯虚数
C． z 的模是 7
D． z 在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知复数 z1, z2 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 z1 - z2 > 0，则 z1 > z2
B z2 = z2．若 1 2 ，则 z1 = z2
C． z1 × z2 = z1 × z2
D．若 z1 =1，则 z1 + 2i 的最大值为 3
11．已知复数 z1 ， z2 在复平面上对应的点分别为 A，B，且 O
3 1
为复平面原点若． z1 = + i（i 为虚数单2 2
uuur uuur
位），向量OA绕原点逆时针方向旋转 90°，且模伸长为原来的 2 倍后与向量OB 重合，则（ ）
A． z 32 的虚部为
2
B．点 B 在第二象限
C． z1 + z2 = 2
D．点 A，B 之间的距离为 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
2
12．设复数 z = 1 i ，则下列命题中正确的是 （. 填序号）-
① z = 2 ；
② z =1- i；
③在复平面上对应的点在第一象限；
④虚部为 2．
13．已知复数 w 满足w - 4 = (3- 2w)i（i 为虚数单位），在复平面内，复数 z 对应的点为 Z，且 z 满足不等式
1 | z - w | 2，则点 Z 构成的平面图形的面积为 .
z
14 1．已知复数 z1 ， z2 ，满足 z1 = z1 - 2z2 ， z1 z2 = 3 1- i ， i为虚数单位，则 =z ．2
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2
15．（13 分）是否存在实数m ，使 z = m2 - 2m m + m - 6+ i是纯虚数？m
uuuur uuuur
16 2 2．（15 分）已知复数 z1 = a - 3 + (a + 5)i, z2 =a -1+ (a + 2a -1)i(a R)分别对应向量OZ1 ，OZ2 (O 为原点).
uuuur
(1)若向量OZ1 表示的点在第四象限，求 a的取值范围；
uuuur
(2)若向量Z1Z2 对应的复数为纯虚数，求 a的值.
5
17．（15 分）已知复数 z = +1+ i ，i 为虚数单位.
1+ 2i
(1)求 z ；
(2)若复数 z 是关于 x 的方程 x2 + mx + n = 0 的一个根，求实数 m，n 的值.
z
18．（17 分）已知 z 为复数， z + 2i 和 均为实数，其中 i是虚数单位.
2 - i
(1)求复数 z 和|z|；
1 7
(2)若 z1 = z + - i在第四象限，求 m 的取值范围.m -1 m + 2
19．（17 分）设虚数 z 满足 2z +15 = 3 z +10 .
(1)计算 z 的值；
z a
(2)是否存在实数 a，使 + R ？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.
a z第七章 复数（基础卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 z = 1+ 3i （ i为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A． - 3 B．- 3i C． -1 D．- i
【答案】A
【分析】由共轭复数以及虚部的概念即可得解.
【详解】因为复数 z = 1+ 3i ，所以 z =1- 3i 的虚部为 - 3 .
故选：A.
2．已知 a,b R ， a - 2i = b - i i，若 z = a + bi ，则 z 的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
【答案】A
【分析】根据复数相等求得 a,b，然后利用共轭复数的概念求虚部，即可求解．
【详解】由 a - 2i = b - i i =1+ bi，可得 a =1,b = -2 ，所以 z = 1- 2i，所以 z 的虚部是-2．
故选：A．
3． i2023 - i2024 =（ ）
A．1 + 2i B．1- 2i
C．-1- i D．1- i
【答案】C
【分析】利用 i2 = -1和幂的运算性质计算可得结果
1011 1012
【详解】 i2023 - i2024 = i2022 × i - i2024 = i2 × i - i2 = (-1)1011 × i - (-1)1012 = -i -1 .
故选：C
4．已知复数 z1, z2 在复平面内所对应的点分别为 1, -3 , -2,5
z
，则 2 +1 = （
z ）1
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
【答案】A
【分析】由复数的几何意义和复数的模长公式求解即可.
【详解】由复数的几何意义可得 z1 =1- 3i, z2 = -2 + 5i，
z2 -2 + 5i -1+ 2i -1+ 2i 2所以 +1 = +1 = = = .
z1 1- 3i 1- 3i 1- 3i 2
故选：A.
5．若复数 z = 2 + i，且 z 和 z 2 在复平面内所对应的点分别为 P，Q，O 为坐标原点，则 cos POQ =（ ）
A 5 2 5 5 2 5．- B．- C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】
uuur uuur
由 z = 2 + i求出 z2 = 3+ 4i，得到P 2,1 ,Q 3,4 ，再由 cos POQ u
O
= uuPr ×OuuQur
OP OQ 即可求出结果.×
2
【详解】因为 z = 2 + i， z2 = 2 + i = 3 + 4i，
uuur uuur
所以 z 和 z 2 在复平面内所对应的点分别为P 2,1 ,Q 3,4 ,故OP = 2,1 ,OQ = 3,4 ,
uuur uuur
cos POQ uOuuPr ×OuuQur 10 2 5 = = =
OP × OQ 5 ×5 5 .
故选：D.
6．复数 z = x + yi x, y R 满足条件 z - 4i = z + 2 ，则 2x + 4y 的最小值为（ ）
A． 2 B． 4 C．4 2 D．16
【答案】C
【分析】
根据复数的模整理得到 x + 2 y = 3，再利用基本不等式计算可得.
【详解】由 z = x + yi x, y R 且 z - 4i = z + 2 ，得 x + y - 4 i = x + 2 + yi ，
∴ x2 + y - 4 2 = x + 2 2 + y2 ，整理得 x + 2 y = 3，
∴ 2x + 4y = 2x + 22 y 2 2x ×22 y = 2 2x+2 y = 4 2 ，
x 3 3当且仅当 2 = 22 y ，即 x = ， y = 时，2 4 2
x + 4y 取得最小值4 2 .
故选：C
7．已知m ， n为实数，1- i（i 为虚数单位）是关于 x 的方程 x2 - mx + n = 0的一个根，则m + n = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】
由1- i是关于 x 的方程 x2 - mx + n = 0的一个根，则1+ i是关于 x 的方程 x2 - mx + n = 0的一个根，结合根与系
数的关系求解即可.
【详解】
由1- i是关于 x 的方程 x2 - mx + n = 0的一个根，
则1+ i是关于 x 的方程 x2 - mx + n = 0的一个根，
则m =1- i +1+ i = 2， n = (1- i) (1+ i) = 2，
即m = 2 ， n = 2，则m + n = 4 ，
故选：D.
8．定义：复数b + ai 是 z = a + bi(a,b R)的转置复数，记为 z = b + ai；复数 a - bi 是 z = a + bi(a,b R)的共
轭复数，记为 z = a - bi .
给出下列命题：① z = iz ；② z + z = 0；③ z × z 1 2 = z1z2 ,
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据转置复数定义，利用共轭复数的概念和复数的乘法运算，结合复数相等的条件进行判定.
【详解】 z = b + ai, iz = i(a - bi) = ai - bi2 = b + ai , z = iz ,故①正确；
z + z = (a - bi) + (b + ai) = -b + ai + b - ai = 0，故②正确；
设 z1 = a1 + b1i，z2 = a2 + b2i， (a1 ,b1, a2 ,b2 R )，则
z × z 1 2 = (b1 + a1i)(b2 + a2i) = (b1b2 - a1a2 ) + (a1b2 + a2b1)i
z1z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2 ) + (a1b2 + a2b1)i ，
z1z2 = (a1a2 - b1b2 ) - (a1b2 + a2b1)i,
故一般来说， z 1 × z
2 z1z2 （虽然存在个别情形使得二者相等），故③错误；
综上，正确的命题有 2 个，
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．已知复数 z = 2 + 3i，则（ ）
A． z 的虚部为 3
B． z 是纯虚数
C． z 的模是 7
D． z 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对 A：由虚部定义知 z 的虚部为 3，故 A 正确；
对 B：纯虚数要求实部为 0，故 B 错误；
对 C： z = 22 + ( 3)2 = 7 ，故 C 正确；
对 D： z 在复平面内对应的点为 2, 3 ，位于第一象限，故 D 错误.
故选：AC.
10．已知复数 z1, z2 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 z1 - z2 > 0，则 z1 > z2
B 2 2．若 z1 = z2 ，则 z1 = z2
C． z1 × z2 = z1 × z2
D．若 z1 =1，则 z1 + 2i 的最大值为 3
【答案】BCD
【分析】利用特殊值判断 A 选项；由复数的运算判断 BCD.
【详解】若复数 z1 = 2 + i, z2 = 1+ i，满足 z1 - z2 > 0，但这两个虚数不能比大小，A 选项错误；
若 z21 = z
2 2
2 ，则 z1 - z
2
2 = 0，即 z1 + z2 z1 - z2 = 0，
得z1 = z2或 z1 = -z2 ，所以 z1 = z2 ，B 选项正确；
设 z1 = a1 + b1i a1,b1 R ， z2 = a2 + b2i a2 ,b2 R ，
则 z1 × z2 = a1 + b1i a2 + b2i = a1a2 - b1b2 + a1b2 + a2b1 i ，
| z × z |= a a - b b 2 + a b + a b 2 = a a 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 + b1b2 + a1b2 + a
2
2b1 ，
| z1 || z |= a
2 + b22 1 1 a
2
2 + b
2
2 = a1a2
2 + b1b
2 + a 2 22 1b2 + a2b1 ，
所以 z1 × z2 = z1 × z2 ，C 选项正确；
若 z1 =1 a
2 2
，得 1 + b1 =1，有-1 a1 1，-1 b1 1，
2
则 z 2 2 21 + 2i = a1 + b1 + 2 = a1 + b1 + 4b1 + 4 = 5 + 4b1 3，b =1时取等号，
则 z1 + 2i 的最大值为 3，D 选项正确.
故选：BCD.
11．已知复数 z1 ， z
3 1
2 在复平面上对应的点分别为 A，B，且 O 为复平面原点若． z1 = + i（i 为虚数单2 2
uuur uuur
位），向量OA绕原点逆时针方向旋转 90°，且模伸长为原来的 2 倍后与向量OB 重合，则（ ）
A z 3． 2 的虚部为
2
B．点 B 在第二象限
C． z1 + z2 = 2
D．点 A，B 之间的距离为 5
【答案】BD
【分析】
结合复数的几何意义，依题意求解出对应的坐标，然后逐项判断即可.
3 1 3 1
【详解】因为 z1 = + i， 所以 z1 对应的坐标为 , ÷， z1 =1，2 2 ÷è 2 2
1
uuur q , tanq 2 3 πOA向量与 x 轴夹角为 = = ,q = ,3 3 6
2
uuur
z 2, OB 2 π π= = 由题意可知， 2 且 cos q + ÷ ,sin q + ÷÷ = -1, 3 ，选项 B 正确；
è è 2 è 2
z2 = -1+ 3i， z2 的虚部为 3，选项 A 错误；
2
3 1 3 2z1 + z2 = -1+ + 3 ÷ i
1
，所以 z1 + z2 = -1÷÷ +
+ 3
÷ = 5 ，选项 C 错误；2 è 2 è 2 è 2
2
2
点 A，B 之间的距离即为 z1 - z
3 1 1= + + - 3 2 ÷÷ ÷ = 5 ，选项 D 正确．
è 2 è 2
故选：BD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
2
12．设复数 z = ，则下列命题中正确的是 （.1 i 填序号）-
① z = 2 ；
② z =1- i；
③在复平面上对应的点在第一象限；
④虚部为 2．
【答案】①②③
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，先对 z 化简，依次求解即可．
z 2 2(1+ i)【详解】解： = = =1+ i1- i (1- i)(1 i) ，+
对于①， z = 12 +12 = 2 ，故①正确，
对于②， z =1- i，故②正确，
对于③， z 在复平面上对应的点 (1,1) 在第一象限，故③正确，
对于④， z 的虚部为 1，故④错误．
故答案为：①②③
13．已知复数 w 满足w - 4 = (3- 2w)i（i 为虚数单位），在复平面内，复数 z 对应的点为 Z，且 z 满足不等式
1 | z - w | 2，则点 Z 构成的平面图形的面积为 .
【答案】3π
【分析】根据复数的除法运算可得w = 2 - i，根据复数的几何意义可判断点 Z 的轨迹为圆环，即可由圆的面
积公式求解.
【详解】Qw - 4 = (3 - 2w)i w
4 + 3i
，\ = = 2 - i .
1+ 2i
Q1 | z - w | 2，\点 Z 构成的平面图形为一个圆环，其中大圆是以 (2,-1)为圆心，2 为半径的圆，小圆是以
(2,-1)为圆心，1 为半径的圆，
\点 Z 构成的平面图形的面积为 22 p -12 p = 3p .
故答案为：3π
z
14．已知复数 z1 ， z2 ，满足 z1 = z1 - 2z2 ， z1 z2 = 3 1- i ， i 1为虚数单位，则 =z ．2
【答案】1- i
【分析】
根据给定条件，设出复数 z1, z2 的代数形式，再利用复数模及复数乘除法运算计算得解.
【详解】
设 z1 = a + bi （ a,b R ）， z2 = c + di（ c,d R），
由 z = z 2 2 2 21 1 - 2z2 ，得 a + b = a - 2c + b - 2d ，
即 a2 + b2 = a2 + b2 + 4c2 + 4d 2 - 4ac - 4bd ，整理得 c2 + d 2 = ac + bd ，
又 z1 z2 = a + bi c - di = ac + bd + bc - ad i = 3 - 3i，因此 ac + bd = 3，
z1 z1 z2 3 - 3i 3 - 3i 3 1- i 所以 = = 2 2 = = =1- i .z2 z2 z2 c + d ac + bd 3
故答案为：1- i
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2
15 13 m z m2 2m m + m - 6．（ 分）是否存在实数 ，使 = - + i是纯虚数？m
【答案】不存在
【分析】
根据纯虚数定义列出关系式求解.
z m2 2m m
2 + m - 6
【详解】由 = - + i是纯虚数，
m
ìm2 - 2m = 0
得 ím2 + m - 6 ，解得m .
0
m
2
即不存在实数m ，使 z m2 m + m - 6= - 2m + i是纯虚数．m
uuuur uuuur
16 2．（15 分）已知复数 z1 = a - 3 + (a + 5)i, z2 =a -1+ (a
2 + 2a -1)i(a R)分别对应向量OZ1 ，OZ2 (O 为原点).
uuuur
(1)若向量OZ1 表示的点在第四象限，求 a的取值范围；
uuuur
(2)若向量Z a1Z2 对应的复数为纯虚数，求 的值.
【答案】(1) - , -5
(2) a = -1
【分析】
（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解，
（2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解.
【详解】（1）
uuuur
因为复数 z1 = a
2 - 3 + (a + 5)i,，向量OZ1 表示的点在第四象限，
ìa2 - 3 > 0
所以 í 解得 a < -5 .
a + 5 < 0
所以 a 的取值范围是 - , -5 .
（2）
uuuur uuuur uuuur
因为Z1Z2 = OZ2 - OZ1 ，
uuuur
Z Z z - z = [a -1+ (a2 + 2a -1)i]-[a2 - 3 + (a + 5)i] = -(a2 - a - 2) + (a2所以向量 1 2 对应的复数为 2 1 + a - 6)i .
uuuur
根据向量Z1Z2 对应的复数为纯虚数，可得-(a
2 - a - 2) = 0 且 a2 + a - 6 0 ，
解得 a = -1 .
5
17．（15 分）已知复数 z = +1+ i ，i 为虚数单位.
1+ 2i
(1)求 z ；
(2)若复数 z 是关于 x 的方程 x2 + mx + n = 0 的一个根，求实数 m，n 的值.
【答案】(1) z = 2 + i ；
(2) m = -4, n = 5；
【分析】
（1）利用复数的除法运算法则可得 z = 2- i，即可求得 z = 2 + i ；
（2）将 z 代入方程 x2 + mx + n = 0 利用复数相等的概念即可求得m = -4, n = 5 .
5 5 1- 2i 5 1- 2i
【详解】（1）因为复数 z = +1+ i = +1+ i = +1+ i =1- 2i +1+ i = 2 - i1+ 2i 1+ 2i 1- 2i 1- 4i2 ，
所以 z = 2 + i
（2）因为复数 z 是关于 x 的方程 x2 + mx + n = 0 的一个根，
所以 2 - i 2 + m 2 - i + n = 0，
可得 4 - 4i + i2 + 2m - mi + n = 0 ，即 3+ 2m + n - m + 4 i = 0，
ì3+ 2m + n = 0
所以 í ,解得m = -4, n = 5 .
m + 4 = 0
z
18．（17 分）已知 z 为复数， z + 2i 和 均为实数，其中 i是虚数单位.
2 - i
(1)求复数 z 和|z|；
1 7
(2)若 z1 = z + - i在第四象限，求 m 的取值范围.m -1 m + 2
【答案】(1) z = 4 - 2i； | z |= 2 5
3 3
(2) -2, 4 ÷
1, 2 ÷è è
【分析】
（1）设 z = a + bi a,b R ，依据题设，建立方程求出 a,b，即可求得 z，再求其模；
ì4m - 3 > 0
z 4m - 3 2m - 3
（2）先求出 1 = +
m -1
，再根据题意建立不等式组 í2m 3 求解即可.m -1 m + 2 - < 0
m + 2
【详解】（1）
设 z = a + bi a,b R ，则 z + 2i = a + b + 2 i，
由 z + 2i 为实数，得b + 2 = 0，则b = -2，
z a - 2i a - 2i 2 + i 2a + 2 a - 4 i a - 4
由 = = = + = 0 a = 42 i 2 i 2 i 2 i 5 5 为实数，得 ，则 ，- - - + 5
∴ z = 4 - 2i 2，则 z = 42 + -2 = 2 5 ；
（2）
z z 1 7 i 4 1 2 7 i 4m - 3 2m - 31 = + - = + + - = + im 1 m 2 m ，- + -1 ÷è m + 2 m -1 m + 2
ì4m - 3
> 0 m -1 ì 4m - 3 m -1 > 0z 2 m 3 3由 1 在第四象限，得 í ，解得- < < 或1< m <
2m
，
- 3 í0 2m - 3< m + 2 < 0 4 2
m + 2
故 m 的取值范围为 -2,
3 3
÷
4
1, ÷．
è è 2
19．（17 分）设虚数 z 满足 2z +15 = 3 z +10 .
(1)计算 z 的值；
z a
(2)是否存在实数 a，使 + R ？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.
a z
【答案】(1)5 3
(2)存在，a = ±5 3
【分析】
（1）首先设复数的标准形式，再根据复数模的运算公式，化解求解；
z a
（2）根据复数的除法运算公式，化简 + R ，即可判断.
a z
【详解】（1）设 z = c + bi c,b R 且b 0 ，则 z = c - bi ，
因为 2z +15 = 3 z +10 ，
所以 2c +15 + 2bi = 3 c +10 - bi ，
2 2 2
所以 2c +15 + 2b = 3 c +10 + b2 ，
所以 c2 + b2 = 75，所以 c2 + b2 = 5 3，
所以 z = 5 3；
（2）存在 a = ±5 3 满足题意.
设 z = c + bi c,b R 且b 0 z a，假设存在实数 a 使 + R ，
a z
z a c + bi a c ac b ab
则有 + = + = + 2 2 ÷ + -
i R，
a z a c + bi è a c + b è a c2 + b2 ÷
b ab
所以 - 2 2 = 0，因为b 0 ，所以 a2 = c2 + b2 ，a c b = 75+
得a = ±5 3
z a
所以存在实数a = ±5 3，满足 + R .a z
