第八章 立体几何初步（基础卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知圆锥PO的母线长为 2，O为底面的圆心，其侧面积等于 2 3π，则该圆锥的体积为（ ）
A．3π B． 2π C． π D．2π
2．已知m 是直线，a ，b 是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）
A．若m b ，a∥b ，则m a B．若m ^ b ，a ^ b ，则m a
C．若m b ，a ^ b ，则m ^ a D．若m b ，m ^ a ，则a ^ b
3．如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知 AB = 1，D 在棱BB1上，且BD =1，则 AD 与平面 AA1C1C 所成
角的正弦值为（ ）
A 6 B 3． ． C 6． D 7．
4 4 2 2
4．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿 BD 折起，使平
面 ABD⊥平面 BCD，构成三棱锥 A-BCD，则在三棱锥 A-BCD 中，下列结论正确的是（ ）
A．平面 ABD⊥平面 ABC B．平面 ADC⊥平面 BDC
C．平面 ABC⊥平面 BDC D．平面 ADC⊥平面 ABC
5．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，过点 B 的平面a 与直线 A1C 垂直，则a 截该正方体所得截面的形状为
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．已知四棱锥P- ABCD
8
的体积为 ，侧棱PA ^底面 ABCD，且四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，则该
3
四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．12π B．8π C．4π D．2π
7．如图，在四面体OABC 中，OA，OB，OC 两两垂直，已知OA = OB = 2，OC =1，则点 O 到平面 ABC
的距离为（ ）
A 6 B 3 C 3 6． ． ． D．
6 4 3 3
8．如图，在三棱锥M - ABC 中，MA ^ 平面 ABC ，VABC 是边长为 2的正三角形，直线MC 与平面 ABC 所
成夹角为60o ，F 是侧棱MC 的中点，则异面直线MB与 AF 所成角的余弦值是（ ）
A 3 B 3 C 13
5
． ． ． D．
3 4 3 8
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．已知圆锥 SO 的侧面积为4π，底面圆的周长为2π，则（ ）
A．圆锥的母线长为 4
1
B．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
4
C 15．圆锥的体积为 π
3
D 7 15．沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为 π
24
10．如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M , N 分别为棱C1D1,C1C 的中点，则下列结论正
确的是（ ）
A．直线BN 与MB1是异面直线
B．直线 AM 与BN 是平行直线
C．直线MN 与 AC 是相交直线
D．平面BMN 9截正方体所得的截面面积为
2
11．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知点G ，H 分别在 A1B1 ， A1C1上，且GH 经过△A1B1C1的重心，点
E ，F 分别是 AB ， AC 的中点，且平面 A1EF // 平面BCHG，下列结论正确的是（ ）
A．EF //GH B．GH // 平面 A1EF
GH 4
C． = D．平面 A1EF // 平面BCC BEF 3 1 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．如图所示，一个水平放置的四边形OABC 的斜二测画法的直观图是边长为 2 的正方形O A B C ，则原四
边形OABC 的面积是 .
13．如图，空间中两个有一条公共边 AD 的正方形 ABCD和 ADEF ．设M , N 分别是BD和 AE 的中点，那么
以下 4 个命题中正确的是 ．
① AD ^ MN ；②MN //平面CDE ；③MN //CE；④MN ,CE 异面．
14．已知 ACB = 90°，M 为平面 ABC 外一点，MC = 3，点 M 到 ACB 两边 AC, BC 的距离均为 2 ，那
么 M 到平面 ABC 的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在直角梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 2CD =1， AD = 3，以BC边所在的直线为轴，其余三边
旋转一周所形成的面围成一个几何体.
(1)求该几何体的表面积；
(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点 A 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 A，求蚂蚁爬行的最短距离.
16．如图，在正方体 A1B1C1D1 - ABCD中，E 是DD1的中点．
(1)求证：D1B / / 平面 ACE；
(2)设正方体的棱长为 1，求三棱锥B - AEC 的体积．
17．如图，正方形 ABCD 和平面四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF / / 平面 ABCD，FA⊥ AC ，
AB = 2 ，EF = FA =1 .
(1)求证：CE / /平面BDF .
(2)求证：平面BED ^平面DEF .
18．如图，四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为PD的中点.
(1)证明：PB / / 平面 AEC ；
(2) 2设直线 PB与底面 ABCD所成角的正切值为 3 ， AP =1， AD = 3 ，求直线PC与平面PAD 所成角的正弦
值.
19．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 3，点 E 在棱 AB 上，且 AE =1 .
(1)求三棱锥D1 - A1CE 的体积；
C F
(2)在线段 B 11C1 上是否存在点 F，使得BF // 平面 A1CE ？若存在，求 B1C
的值；若不存在，请说明理由.
1
(3)求二面角 A1 - CE - A的余弦值.第八章 立体几何初步（基础卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知圆锥PO的母线长为 2，O为底面的圆心，其侧面积等于 2 3π，则该圆锥的体积为（ ）
A．3π B． 2π C． π D．2π
【答案】C
【详解】设圆锥PO的底面圆半径为 r ，由母线长为 2，侧面积等于 2 3π，
1
得 2πr 2 = 2 3π，解得 r = 3 ，2
2 2 2因此圆锥的高 h = 2 - r = 4 - 3 =1，
1 2 1 2
所以该圆锥的体积为V = πr h = π 3 1 = π ．3 3
故选：C．
2．已知m 是直线，a ，b 是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）
A．若m b ，a∥b ，则m a B．若m ^ b ，a ^ b ，则m a
C．若m b ，a ^ b ，则m ^ a D．若m b ，m ^ a ，则a ^ b
【答案】D
【详解】选项 A：根据给定条件有m a 或m a ；
选项 B：根据给定条件有m a 或m a ；
选项 C：根据给定条件有m 与a 的位置可能平行、相交或 m 在 α 内；
选项 D：因为m b ，所以存在直线m' b 使得m' m，
又因为m ^ a ，所以m' ^ a ，因为m' b ，所以a ^ b .
故选：D.
3．如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知 AB = 1，D 在棱BB1上，且BD =1，则 AD 与平面 AA1C1C 所成
角的正弦值为（ ）
A 6． B 3． C 6． D 7．
4 4 2 2
【答案】A
【详解】取 A1C1, AC 的中点 E, F ，连接B1E, BF , EF ，如下图所示：
由正三棱柱性质易知B1E ^平面 AA1C1C ，
过 D 作DH //B1E ，则DH ^ 平面 AA1C1C ，
则 DAH 即为 AD 与平面 AA1C1C 所成的角，
3
易得DH = B1E = , DA = 2 ，2
sin DAH DH 6所以 = = .
DA 4
故选：A.
4．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿 BD 折起，使平
面 ABD⊥平面 BCD，构成三棱锥 A-BCD，则在三棱锥 A-BCD 中，下列结论正确的是（ ）
A．平面 ABD⊥平面 ABC B．平面 ADC⊥平面 BDC
C．平面 ABC⊥平面 BDC D．平面 ADC⊥平面 ABC
【答案】D
【详解】如图所示：
因为 AD//BC ， BAD = 90°， AD = AB ，所以四边形 ABCD为直角梯形.
所以 ABD = ADB = DBC = 45° .
又因为 BCD = 45°，所以 CDB = 90°，即CD ^ BD .
又因为平面 ABD ^平面BCD，平面 ABD 平面BCD = BD，CD 平面BCD，CD ^ BD ，
所以CD ^平面 ABD，
若平面 ABC ^ 平面 ABD，那么CD 平面 ABC ，显然不成立，故 A 错误；
因为CD ^平面 ABD，
又因为 AB 平面 ABD，所以CD ^ AB .又 AB ^ AD ， AD ICD = D ， AD,CD 平面 ADC ，所以 AB ^ 平面
ADC .
又因为 AB 平面 ABC ，所以平面 ABC ^ 平面 ADC ，故 D 正确；
因为平面 ABD ^平面 BCD，过点 A 作平面 BCD的垂线 AE ，垂足落在 BD上，显然垂线不在平面 ABC 内，
所以平面 ABC 与平面BDC 不垂直，故 C 错误，同理 B 也错误.
故选：D
5．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，过点 B 的平面a 与直线 A1C 垂直，则a 截该正方体所得截面的形状为
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
【详解】连接BD, BC1,C1D, AC ，
因为 AA1⊥平面 ABCD，BD 平面 ABCD，
所以 AA1⊥BD，
又四边形 ABCD为正方形，所以 AC ⊥BD，
又 AA1 I AC = A， AA1, AC 平面 AA1C ，
所以BD⊥平面 AA1C ，
因为 A1C 平面 AA1C ，
所以BD⊥ A1C ，
同理可证明BC1⊥ A1C ，
因为BC1 I BD = B，BC1, BD 平面BC1D，
故 A1C ⊥平面BC1D，
故平面a 即为平面BC1D，
则a 截该正方体所得截面的形状为三角形.
故选：A
8
6．已知四棱锥P- ABCD的体积为 ，侧棱PA ^底面 ABCD，且四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，则该
3
四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．12π B．8π C．4π D．2π
【答案】A
8
【详解】由题意四棱锥P- ABCD的体积为 ，侧棱PA ^底面 ABCD，且四边形 ABCD是边长为 2 的正方
3
形，
V 1 2 2 PA 8得 P- ABCD = = ,\PA = 2 ,3 3
设 O 为 PC 的中点，E 为 AC, BD 的交点，连接OE,OA，
1
则 E 为 AC 的中点，故OE∥PA ,且OE = PA =1
2
因为PA ^底面 ABCD，故OE ^ 平面 ABCD，
AC 平面 ABCD，故OE ^ AC ，
而四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，故 AC = 2 2 ，
故PC = PA2 + AC 2 = 2 3 ,则OP = OC = 3 ，
又 AE = CE
AC
= = 2 ，故
2 OA = OC = AE
2 + OE2 = 3 ，
同理求得OB = OD = 3 ，即OA = OB = OC = OD = OP，
故 O 为四棱锥P- ABCD的外接球的球心，则半径为 3，
则该四棱锥的外接球的表面积为 4π ( 3)2 =12π ，
故选：A
7．如图，在四面体OABC 中，OA，OB，OC 两两垂直，已知OA = OB = 2，OC =1，则点 O 到平面 ABC
的距离为（ ）
A 6 B 3． ． C 3． D 6．
6 4 3 3
【答案】D
【详解】由题意 AB = 2 2, AC = 5, BC = 5 ，
cos ACB 5 + 5 -8 1在VABC 中，由余弦定理得 = = ，
2 5 5 5
所以 sin ACB 2 6= ，
5
S 1所以 VABC = 5 5
2 6
= 6 ，
2 5
设点 O 到平面 ABC 的距离为d ，
由VA-BOC = VO- ABC ，
1 1 1
得 2 1 2 = 6 ×d 6，解得 ，
3 2 3 d = 6
即点 O 到平面 ABC 6的距离为 .
3
故选：D.
8．如图，在三棱锥M - ABC 中，MA ^ 平面 ABC ，VABC 是边长为 2的正三角形，直线MC 与平面 ABC 所
成夹角为60o ，F 是侧棱MC 的中点，则异面直线MB与 AF 所成角的余弦值是（ ）
A 3 B 3 C 13
5
． ． ． D．
3 4 3 8
【答案】D
【详解】取BC的中点E ，连接 EF 、 AE ，如下图所示：
因为MA ^ 平面 ABC ，则直线MC 与平面 ABC 所成夹角为 ACM = 60o ，
因为 AB 、 AC 平面 ABC ，则 AM ^ AB， AM ^ AC ，
又因为 AC = 2，且 tan ACM
AM
= = 3，所以， AM = 2 3，
AC
故MB = AM 2 + AB2 = 12 + 4 = 4，同理可得MC = AM 2 + AC 2 = 12 + 4 = 4，
1 1
因为E 、F 分别为BC、MC 的中点，故EF //BM 且EF = BM = 2，且 AF = MC = 2，
2 2
所以，异面直线MB与 AF 所成角 AFE 或其补角，
因为VABC 是边长为 2的等边三角形，E 为BC的中点，则 AE ^ BC ，
所以， AE = AB2 - BE2 = 22 -12 = 3，
AF 2 + EF 2 - AE2 22 + 22 - 3 5
由余弦定理可得 cos AFE = = = .
2AF × EF 2 2 2 8
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．已知圆锥 SO 的侧面积为4π，底面圆的周长为2π，则（ ）
A．圆锥的母线长为 4
1
B．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
4
C 15．圆锥的体积为 π
3
D 7 15．沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为 π
24
【答案】ACD
【详解】
对于 A，
设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r ，则 πrl = 4π,2πr = 2π，故 r =1, l = 4，
故 A 正确.
对于 B，圆锥的高为 h ，则 h = 16 -1 = 15，
15
故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 ，故 B 错误.
4
对于 C 1，圆锥的体积为 πr 2h 15= π，故 C 正确.
3 3
对于 D 1 15，沿着圆锥母线的中点截圆锥所得小圆锥的体积为 π，
8 3
7 15 π= 7 15故所得圆台的体积为 π ，故 D 正确.
8 3 24
故选：ACD.
10．如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M , N 分别为棱C1D1,C1C 的中点，则下列结论正
确的是（ ）
A．直线BN 与MB1是异面直线
B．直线 AM 与BN 是平行直线
C．直线MN 与 AC 是相交直线
D．平面BMN 9截正方体所得的截面面积为
2
【答案】AD
【详解】BN 面BCC1B1，MB1 I面BCC1B1 = B1，B1 MB1，所以直线BN 与MB1是异面直线，故 A 正确；
AB 面 ABCD，MN I面 ABCD = P，P AB，所以直线 AB 与MN 是异面直线，即直线 AM 与BN 是异面
直线，故 B 错误；
AC 面 ABCD，MN I面 ABCD = P，P AC ，所以直线MN 与 AC 是异
面直线，故 C 错误；
明显MN / / A1B ，故四边形 A1BNM 为平面BMN 截正方体所得的截面，
MN = 2, A1B = 2 2, A M = A D
2 + D 2 2 21 1 1 1M = 5, BN = BC + CN = 5 ，
2
2
四边形 A1BNM
2 3 2
是等腰梯形，则梯形的高是 h = 5 - ÷÷ = ，
è 2 2
1
所以梯形的面积 S = 2 + 2 22
3 2 9
= ，故 D 正确．
2 2
故选：AD．
11．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知点G ，H 分别在 A1B1 ， A1C1上，且GH 经过△A1B1C1的重心，点
E ，F 分别是 AB ， AC 的中点，且平面 A1EF // 平面BCHG，下列结论正确的是（ ）
A．EF //GH B．GH // 平面 A1EF
GH 4
C． = D．平面 A1EF // 平面BCC BEF 3 1 1
【答案】ABC
【详解】由三棱柱性质可知平面 ABC // 平面 A1B1C1，又平面BCHG 平面 ABC = BC ，平面BCHG 平面
A1B1C1 = GH ，
由面面平行的性质可知BC //GH ；
又点E ，F 分别是 AB ， AC 的中点，可知BC //EF ，即可得EF //GH ，所以 A 正确；
由EF //GH ，EF 平面 A1EF ，GH 平面 A1EF ，所以GH // 平面 A1EF ，即 B 正确；
GH GH 2
又GH
EF 1
经过△A1B1C1的重心，所以 = =B C BC 3 ，且BC //EF ， = ，1 1 BC 2
GH 4
所以 = ，可知 C 正确；
EF 3
因为 A1 ,E,B,B1 四点共面，且易知 A1E 与BB1相交，所以平面 A1EF 与平面BCC1 B1相交，因此 D 错误；
故选：ABC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．如图所示，一个水平放置的四边形OABC 的斜二测画法的直观图是边长为 2 的正方形O A B C ，则原四
边形OABC 的面积是 .
【答案】8 2
【详解】在正方形O A B C 中可得B O = 2A O = 2 2 ，
由斜二测画法可知BO = 2B O = 4 2, AO = A O = 2，
且OA ^ OB,OA / /BC, AB / /CO ，
所以四边形OABC 为平行四边形，
所以原四边形OABC 的面积是BO × AO = 4 2 2 = 8 2 ，
故答案为：8 2 .
13．如图，空间中两个有一条公共边 AD 的正方形 ABCD和 ADEF ．设M , N 分别是BD和 AE 的中点，那么
以下 4 个命题中正确的是 ．
① AD ^ MN ；②MN //平面CDE ；③MN //CE；④MN ,CE 异面．
【答案】①②③
【详解】取 AD 的中点H ，连接 NH , MH ,CE, AC 如下所示：
NH DE 1 1对①：显然 ∥ ，NH = DE ，MH ∥CD, MH = CD ，
2 2
又 AD ^ DE, AD ^ CD ，所以 AD ^ NH，AD ^ MH ．
又 NH I MH = H ， NH , MH 面MHN ，所以 AD ^ 面MHN ．
又MN 面MHN ，所以 AD ^ MN ，所以①正确．
对②由①知 NH∥DE ， NH 面CDE, DE 面CDE ，故 NH //面CDE ；
MH //CD，MH 面CDE,CD 面CDE ，故MH //面CDE ；
又MH NH = H , MH , NH 面MHN ，故面MHN / / 面CDE ．
又MN 面MHN ，所以MN //平面CDE ．所以②正确．
对③：因为 AC 过点M ，在三角形 ACE 中M , N 为中点．所以MN //CE，所以③正确．
④错．
故答案为：①②③．
14．已知 ACB = 90°，M 为平面 ABC 外一点，MC = 3，点 M 到 ACB 两边 AC, BC 的距离均为 2 ，那
么 M 到平面 ABC 的距离为 ．
【答案】1
【详解】作MD, ME 分别垂直于 AC, BC ，MO ^ 平面 ABC ，连CO，
知CD ^ MD,CD ^ MO，MD IOD=M ，MD 平面MDO，MO 平面MDO，
\ CD ^平面MDO，OD 平面MDO，
\CD ^ OD ，又CD ^ DM ，MD = ME = 2 ，MC = 3，
所以CD = 3- 2 =1，同理CE =1,
所以RtVCDO : RtVCEO，则CO为 ACB 平分线，
\ OCD = 45° ，OD = CD =1,OC = 2 ，又MC = 3，
\MO = 3 - 2 =1．
故答案为：1
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在直角梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 2CD =1， AD = 3，以BC边所在的直线为轴，其余三边
旋转一周所形成的面围成一个几何体.
(1)求该几何体的表面积；
(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点 A 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 A，求蚂蚁爬行的最短距离.
23
【答案】(1) π
4
(2)6.
【详解】（1）如图所示，满足题意的直角梯形 ABCD，以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
形成一个上底面半径为 r1 = CD
1
= ，下底面半径 r2 = AB =1，母线长 l = 3的圆台，2
其表面积为 S = π r2 r2 r 231 + 2 + 1l + r2l = π .4
（2）将圆台的侧面沿母线 AD 展开，得到如图所示的一个扇环，
1
因为圆台上下底面半径的关系为 r1 = r ，2 2
所以 A 1A2 = 2D1D2 ，OA1 = 2OD1，
又∵ A1D1 = 3，
∴OA1 = 6，
∴OD1 = 3，
设 A2OA1 = a ，则 A A 1 2 的弧长 l = a ×OA1 = 6a = 2πr2 = 2π ，
a 1解得 = π，
3
连接 A2 A1，△OA1A2 为等边三角形，
∴ A1A2 = 6
所以蚂蚁从点 A 绕着圆台的侧面爬行一周，回到点 A 的最短路径即为线段 A2 A1，
所以蚂蚁爬行的最短距离为 6.
16．如图，在正方体 A1B1C1D1 - ABCD中，E 是DD1的中点．
(1)求证：D1B / / 平面 ACE；
(2)设正方体的棱长为 1，求三棱锥B - AEC 的体积．
【答案】(1)证明见解析
1
(2)
12
【详解】（1）连接BD交 AC 于O，连接OE，
则O为BD的中点，又E 是DD1的中点,
所以OE是VBDD1的中位线，所以OE / /D1B ，
又OE 平面 AEC ，D1B 平面 AEC ，所以D1B / / 平面 AEC ；
（2）正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，易知D1D ^平面 ABCD，
V 1 1 1所以 B- AEC = VE- ABC = SV ABC × ED = AB BC ED3 3 2
1 1 1 1
= 1 1 =
3 2 2 12 .
17．如图，正方形 ABCD 和平面四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF / / 平面 ABCD，FA⊥ AC ，
AB = 2 ，EF = FA =1 .
(1)求证：CE / /平面BDF .
(2)求证：平面BED ^平面DEF .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）如图，设正方形 ABCD的对角线 AC 与BD交于O，连FO .
Q AB = BC = 2 ，
\ AC = 2，OC =1 .
∵EF / / 平面 ABCD，平面 ABCDI平面 ACEF = AC，EF 平面 ACEF ，
∴EF // AC ，
QEF = OC = 1，
∴四边形CEFO为平行四边形，
\CE / /OF .
又QCE 平面BDF ，OF 平面BDF ，
\CE / / 平面BDF ；
（2）∵平面 ABCD ^平面 ACEF ，平面 ABCD I平面 ACEF＝AC ，FA ^ AC ，FA 平面 ACEF ，
\FA ^ 平面 ABCD，
∵ AB 平面 ABCD，\FA ^ AB ，
∵FA =1, AB = 2 ，∴FB = FA2 + AB2 = 1+ 2 = 3 ，
连接EO，
由（1）易知 AOEF 是边长为 1 的正方形，故 EO / /FA ，得EO ^平面 ABCD，
∵BD 平面 ABCD，
\EO ^ BD ，
\VBDE 为等腰三角形，BD＝2BO＝2OC＝2 ，BE＝DE＝ BO2 + EO2＝ 2 ，
QBD2＝BE2 + DE2 ，
\BE ^ DE，
同理，在△BEF 中，BE2 + EF 2 = BF 2 ，故BE ^ EF ，
QDE EF＝E ，DE 平面DEF ，EF 平面DEF ，
\BE ^ 平面DEF .
∵BE 平面BED ，
∴平面BED ^平面DEF
18．如图，四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为PD的中点.
(1)证明：PB / / 平面 AEC ；
(2) 2设直线 PB与底面 ABCD所成角的正切值为 3 ， AP =1， AD = 3 ，求直线PC与平面PAD 所成角的正弦
值.
【答案】(1)证明见解析
3
(2)
5
【详解】（1）连接BD，记 AC I BD = O ，
QE 为PD中点， O为BD中点， \ EO∥PB ，
又EO 平面AEC ，PB 平面AEC ，∴PB / / 平面 AEC ；
AP 2
（2）因为PA ^平面 ABCD， 所以 PBA即为直线 PB与平面 ABCD所成线面角， tan PBA = = ,则
AB 3
AB 3= .
2
因为矩形 ABCD中 AD = 3 ，所以 AC = AB2 21+ AD2 = .
2
因为PA ^平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以PA ^ AC ，
5
计算可得PC = AP2 + AC 2 = .
2
又PA ^ CD ，CD ^ AD ，PA AD = A，PA、AD 平面PAD ，所以CD ^ 面PAD ，
所以 CPD即为直线PC与平面PAD 所成线面角，解得 sin CPD
CD 3
= = .
PC 5
19．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 3，点 E 在棱 AB 上，且 AE =1 .
(1)求三棱锥D1 - A1CE 的体积；
C F
(2)在线段 B1C1 上是否存在点 F，使得BF // 平面 A1CE
1
？若存在，求 B C 的值；若不存在，请说明理由.1 1
(3)求二面角 A1 - CE - A的余弦值.
【答案】(1) 3
C F 1
(2) 1存在， =B1C1 2
(3) 14
14
【详解】（1）过E 作EM ^ A1B ，垂足为M ，
因为 A1B / /D1C ，所以面 A1D1C 即面 A1BCD1
明显BC ^ EM , A1B ^ EM , BC I A1B = B, BC, A1B 面 A1BCD1 ，
所以EM ^面 A1BCD1 ，
2 1 1 9
又EM = BE = 2 ， SVA1CD = A1D1 ×CD1 = 3 3 2 =1 2 2 ，2 2
V V 1 S EM 1 9所以 D1 - A1CE = E- A1CD =1 3 VA1CD
× = 2 = 3
1 3 2
（2）假设在线段 B1C1 上存在点 F，使得BF // 平面 A1CE ，
取 A1B1 的三等分点G, H ，使 A1G = GH = HB1 =1，则四边形 A1HBE 是平行四边形，
所以BH / / A1E，又BH 面 A1CE ， A1E 面 A1CE ，
所以BH / / 面 A1CE ，又BF // 面 A1CE ，BH I BF = B ，
所以面BHF / / 面 A1CE ，又HF 面BHF ，
所以HF / /面 A1CE ，
取C1D1的三等分点K （靠近C1），则 A1K / /C1G / /CE ，
所以面 A1CE I面 A1B1C1D1 = A1K ，又HF 面 A1B1C1D1，HF / /面 A1CE ，
所以HF / / A1K / /C1G ，又H 为GB1的中点，
C1F 1
所以 =B1C1 2
；
（3）延长DA,CE 交于点M ，作 AN ^ ME ，垂足为 N ，连接 A1N ，则ME ^ 面 AA1N ，
从而ME ^ A1N ，
所以 A1NA为二面角 A1 - CE - A的平面角，
在RtVA1NA中， A1A = 3, AN
3
= ，
13
tan A A所以 A1NA = 1 = 13 ，AN
所以 cos 1 14 A1NA = = .13+1 14
