第八章 立体几何初步（提升卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰中留下一个面直径为 20cm ，深为5cm的空穴，则这个球
的半径是（ ） cm．
A．9 B．10.5 C．12.5 D．14.5
【答案】C
【详解】设这个球的半径是Rcm，
2
由题意可得：R2 =102 + R - 5 ，解得R =12.5，
所以这个球的半径是12.5cm .
故选：C.
2．下列说法正确的是（ ）
A．若直线 a∥平面 α，直线 b∥平面 α，则直线 a∥直线 b
B．若直线 a∥平面 α，直线 a 与直线 b 相交，则直线 b 与平面 α 相交
C．若直线 a∥平面 α，直线 a∥直线 b，则直线 b∥平面 α
D．若直线 a∥平面 α，则直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都无公共点
【答案】D
【详解】对于 A，直线 a 与直线 b 也可能异面、相交，故 A 错误；
对于 B，直线 b 也可能与平面 α 平行，故 B 错误；
对于 C，直线 b 也可能在平面 α 内，故 C 错误；
对于 D，根据直线与平面平行的定义可知 D 正确．
故选：D
3．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E ，F 分别是 AB ， B1D1的中点，则直线 EF 与直线 AA1所成角的正切值
为（ ）
1 1A 2 3． 2 B． C． D．3 2 3
【答案】A
【详解】如图，取BD的中点G ，连接EG， FG ，则 AA1 //FG，且 AA1 = FG
故直线 EF 与直线 AA1所成的角为 EFG .
因为 AA1 ^ 面 ABCD，EG 面 ABCD，所以 AA1 ^ EG ，FG ^ EG ，
设 AA1 = FG = 2a，EG
1
= AD = a ，则 tan EFG
EG 1
= = .
2 FG 2
故选：A
4．已知 S , A, B,C 是球 O 表面上不同的点， SA ^ 平面 ABC ， AB ^ BC ， AB = 1，BC = 2 ，若球O的体积
4π
为 ，则 SA =（
3 ）
A 2． B．1 C． 2 D． 3
2
【答案】B
【详解】因为 SA ^ 平面 ABC ， AB ^ BC ，
所以四面体 S - ABC 的外接球半径等于以 SA, AB, BC 为长宽高的长方体的顶点的外接球，
4π 4π 4π 3
又球O的体积为 ，即 = R ，所以R =1，
3 3 3
所以 2R = 1+ 2 + SA2 = 2 ，
所以 SA =1.
故选：B.
5．在三棱锥 P - ABC 中， AB + 2PC = 9, E为线段 AP 上更靠近 P 的三等分点，过 E 作平行于 AB, PC 的平面，
则该平面截三棱锥P - ABC 所得截面的周长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】如图所示，在三棱锥P - ABC 中，过E 作分别作EF / / AB, EH / /PC ，
再分别过点F , H 作HG / / AB, FG / /PC ，可得E, F ,G, H 四点共面，
因为 AB 平面EFGH ，EF 平面EFGH ，所以 AB / / 平面EFGH ，
同理可证：PC / / 平面EFGH ，所以截面即为平行四边形EFGH ，
又由E 为线段 AP 上更靠近 P 的三等分点，且 AB + 2PC = 9 ，
1
所以EF = AB, EH
2
= PC ，
3 3
2
所以平行四边形EFGH 的周长为： 2 × (EF + EH ) = × (AB + 2PC) = 6 .
3
故选：B.
6．在各棱长都为 2 的正四棱锥V - ABCD 中，侧棱VA在平面VBC上的射影长度为（ ）
A 2 6． B 2 3． C． 3 D．2
3 3
【答案】B
【详解】
把正四棱锥V - ABCD 放入正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，
则 V 是上底面的中心，取 A1B1 的中点 E，C1D1的中点 F，
连接 EF，BE，CF，过 A 作 AG ^ BE ，垂足为 G，
在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，
BC ^平面 ABB1A1， AG 平面 ABB1A1，
所以BC ^ AG ，又BC I BE = B ，BC, BE 平面EFCB，
所以 AG ^平面EFCB，所以侧棱VA在平面VBC上的射影为VG，
2
由已知得， AA1 = 2
AB
，EB = AA21 +
÷ = 3 ，
è 2
1
所以 S△ABE = 2 2
1
= 3 × AG ，所以 AG 2 2= ，
2 2 3
2
2 2 2 VG VA AG 2 2 2 2 3所以 = - = - ÷ = ．
è 3 ÷ 3
故选：B．
7．如图，边长为 2 的两个等边三角形 ABC, DBC 6，若点A 到平面BCD的距离为 ，则二面角 A - BC - D
2
的大小为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
4 6 3 2
【答案】A
【详解】设BC的中点为 E，连接 AE, DE，过点 A 作 AF ^ ED ，垂足为 F，
因为△ABC,△DBC 均为等边三角形，故 AE ^ BC, DE ^ BC ，
故 AED 为二面角 A - BC - D 的平面角；
又 AE DE = E, AE, DE 平面 AED，故BC ^平面 AED，
而 AF 平面 AED，故BC ^ AF ，
又 AF ^ ED ，DE I BC = E, DE, BC 平面BCD，
故 AF ^ 6平面BCD，则点 A 到平面BCD的距离为 AF = ，
2
AE 2 sin π又VABC 为等边三角形，边长为 2，故 = = 3 ，
3
6
故在RtVAFE 中， sin AEF AF 2
π π
= = 2 = ，则 AEF = ，即 AED = ，
AE 2 4 43
π
故二面角 A - BC - D 的大小为 ，
4
故选：A
8．如图，平面五边形 ABCED 由正方形 ABCD和等边三角形CDE 拼接而成，沿CD 将VCDE折起，使得点E
到达点 P 的位置，且平面PCD ^平面 ABCD,Q 为PC的中点，则异面直线 AQ 与BP所成角的余弦值为（ ）
A 10 B 14 C 35 D 3 7． ． ． ．
5 7 7 14
【答案】B
【详解】若F 为BC中点，连接QF , FA，结合题设知：QF 为中位线，即QF / /BP，
由上图，异面直线 AQ 与BP所成角的平面角为 AQF ，
由题意，BC ^ CD，又面PCD ^面 ABCD，面PCD I面 ABCD = CD，BC 面 ABCD，
所以BC ^面PCD，PC 面PCD，故BC ^ PC ，
过H 为CD 中点，连接PH ，易知：PH ^ CD ，过Q作QG / /PH 交CD 于G ，连接 AG，
所以QG ^ CD，同理可证QG ^ 面 ABCD， AG 面 ABCD，即QG ^ AG ，
综上，若正方形、等边三角形的边长为 2，则PB = 2 2 ，故QF = 2 ，
3
G HC DG = AG = AD2 + DG2
5
易知 为 中点，则 ，则 = ，
2 2
3
由PH = 3 ，则QG = ，故 AQ2 = AG2 + QG2 = 7 ，而 AF 2 = AB2 + BF 2 = 5，
2
2 2 2
△ AQF 中， cos AQF AQ + QF - AF 4 14 = = = .
2AQ ×QF 2 14 7
故选：B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．已知a , b 为不同的平面， a,b,c为不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若 a a ,b b ，则 a与b 是异面直线
B．若 a与b 异面，b 与 c异面，则 a与 c异面
C．若 a,b不同在平面a 内，则 a与b 异面
D．若 a,b不同在任何一个平面内，则 a与b 异面
【答案】ABC
【详解】对于 A：若 a a ,b b ，则 a与b 是异面直线或相交直线或 a P b ，故 A 错误；
对于 B：若 a与b 是异面直线，b 与 c是异面直线，则 a与 c可能是异面直线或 a P c或相交，故 B 错误；
对于 C：若 a,b不同在平面a 内，则 a与b 是异面直线或相交直线或 a P b ，故 C 错误；
对于 D：根据异面直线的定义，若 a,b不同在任何一个平面a 内，则 a与b 是异面直线，故 D 正确．
故选：ABC．
10．已知甲烷的化学式为CH4 ，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点
处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子
看成一个质点，两个氢原子之间的距离为 1，则（ ）
A 6．碳原子与氢原子之间的距离为
4
B 3p．正四面体外接球的体积为 2
C 2．正四面体的体积为
12
1
D．任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为-
3
【答案】ACD
【详解】如图所示，正四面体 ABCD中，点O是正四面体的中心，
连接OA，OB，OC ，OD，于是OA = OB = OC = OD．
设点O在平面BCD内的射影为O ，连接BO ，正四面体的棱长为 1，
BO 2 3 3则 = = ，
3 2 3
2
AO 1 3 6 OA 3 6 6所以 = - ÷÷ = ， = = ，
è 3 3 4 3 4
6
则碳原子与氢原子之间的距离为 ，选项 A 正确；
4
由 A 可知，OA为正四面体外接球的半径，
3
4p 6 6p
则正四面体外接球的体积为 × ÷÷ = ，B 错误；3 è 4 8
1 3 6 2
正四面体的体积V = = ，C 正确；
3 4 3 12
设 BOC = a ，其中a 0,p ，在VBOC 中，
2 2 2
由余弦定理得 cosa OB + OC - BC 1= = - ，
2OB ×OC 3
1
故任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为- ，D 正确．
3
故选：ACD．
11．正方体 ABCD - A B C D 的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC ，BB 的中点.则（ ）
A．直线D D 与直线 AF 垂直
B．直线 A G 与平面 AEF 平行
8
C．平面 AEF 截正方体所得的截面面积为
9
D．点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等
【答案】BC
【详解】
A 选项： ABCD - A1B1C1D1 为正方体，所以DD1∥CC1，直线 AF 与直线CC1 不垂直，所以直线 AF 与直线DD1
不垂直，故 A 错；
B 选项：取 B1C1 中点H ，连接 A1H ，GH ，因为H ，E ，G 分别为 B1C1 ，BC，BB1中点，
所以GH P EF ， A1H ∥ AE ，又GH , A1H 平面 AEF ， AE, EF 平面 AEF ，所以GH , A1H ∥平面 AEF ，
因为GH I A1H = H ，GH , A1H 平面 A1GH ，所以平面 A1GH ∥平面 AEF ，
因为 A1G 平面 A1GH ，所以 A1G ∥平面 AEF ，故 B 正确；
C选项：连接 AD1 ，D1F ，因为 E, F 为BC,CC1的中点，所以 EF∥AD1，所以平面 AEF 截正方体的截面为 AEFD1，
2 3 2
2 + ÷
S è
2 4 9 ，
AEFD = =1 2 8
故 C 正确；
D 选项：连接CG 交 EF 于点M ，延长FE交B1B 的延长线于点Q，
因为 E, F 为BC,CC1的中点，所以BQ = FC ，GQ = 2FC ，又VFMC∽VQMG
MC 1
，所以 = ，
GM 2
即M 为CG 的三等分点，M 不是CG 的中点，所以点C和点G 到平面 AEF 的距离不相等，故 D 错.
故选：BC.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．等边三角形 AOB的边长为 4，建立如图所示的直角坐标系 xOy ，用斜二测画法得到它的直观图，则它
的直观图的面积是 ．
【答案】 6
【详解】设 a = 4，如左图，过 B 作 BD ^ OA, BC ^ OC 1，则OD = a, BD = OC 3= a，
2 2
如右图，作 x 轴和 y 轴，使得 x O y = 45° ，
在 x 轴上取点 A , D ，使得O A = OA = a,O D OD
1
= = a ，
2
在 y 轴上取点C O C 1 3，使得 = OC = a ，
2 4
1
过点C 作C B ∥x 轴，使得C B = O D = a ，连接 O B , A B , B D ，则VA O B 是VAOB 的直观图，
2
由直观图作法可知 B D = O C 3= a, B D A = x O y = 45°，
4
过B 作B E ^ O A 于 E ，则B E = B D sin 45° 6= a ，
8
2
所以 S 1VA O B = O A × B E
1 6 6a
= a a = = 6 ．
2 2 8 16
故答案为： 6 .
13．已知四边形 ABCD 是正方形，将△DAC 沿 AC 翻折到VD1AC 的位置，点 G 为VD1AC 的重心，点 E 在线
段 BC 上，GE // 平面D1AB，GE ^ D1A .若CE = lEB ，则l = ，直线 GB 与平面D1AC 所成角的正切值
为 .
【答案】 2 3
【详解】如图所示：
空 1：延长CG 交 AD1 于点F ，连接 BF ，则F 为 AD1 中点，如下图所示：
因为GE // 平面D1AB，GE 平面CBF ，平面CBF 平面D1AB = BF ，
所以GE / /BF ，
因为点 G 为VD1AC 的重心，所以CG = 2GF ,所以CE = 2EB,l = 2 .
空 2：取CA中点O ,连接OB,GB,GO,OD1，则OB ^ AC ,
设正方形 ABCD 边长为 2，因为GE / /BF ，GE ^ D1A，所以BF ^ D1A，
又则F 为 AD1 中点，所以 AB = D1B = 2，
1
RtVABC 中， AC = 2 2,OB = AC = 2 ,
2
2 2 2
同理可得，D1O = 2 ，因为D1O + OB = D1B ，所以OB ^ D1O，
又 AC D1O = O，所以OB ^平面D1AC ，
则GO为GB在平面D1AC 内的投影，
所以 OGB 或其补角为直线 GB 与平面D1AC 所成角，
RtVOGB GO 1 D O 2
OB
中， = = ， tan OGB = = 3，
3 1 3 OG
故答案为：2；3.
14．如图，正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长是 4，侧棱长是 2 3 ，M 为 A1C1的中点，N 是侧面BCC1B1上一
点，且MN ∥平面 ABC1，则线段 MN 的最大值为 .
【答案】 15
【详解】如图，
取 B1C1 的中点D，取BB1的中点E ，连接MD ，DE ，ME, MB1，所以DE / /BC1，
又DE / 面 ABC1，BC1 面 ABC1，所以DE / / 平面 ABC1，
又M 为 A1C1的中点，所以MD / / A1B1 / / AB，
又MD / 面 ABC1， AB 面 ABC1，所以MD / / 平面 ABC1，
又DE I MD = D ，DE 面DEM ，MD 面DEM ，所以平面DEM / / 平面 ABC1，
又因为 N 是侧面BCC1B1上一点，且MN / / 平面 ABC1，
所以 N 在线段DE 上，
因为正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长是 4，侧棱长是 2 3
所以BB1 ^ 平面 ABC ，因为MB1 平面 ABC ，所以BB1 ^ MB1
又 M 为 A1C1的中点，所以 A1C1 ^ MB1
所以MB 2 2 2 21 = A1B1 - A1M = 4 - 2 = 2 3
则ME = MB21 + B1E
2 = (2 3)2 + ( 3)2 = 15 ，又MD =1
所以线段MN 的最大值为 15 ．
故答案为： 15 ．
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在梯形 ABCD中， AD / /BC ， ABC = 90o ，BC = 2AD = 2 ， DCB = 60o ，过点C作 l / / AB ，
以 l为轴旋转一周得到一个旋转体．
(1)求此旋转体的体积．
(2)求此旋转体的表面积．
11 3
【答案】(1) π
3
(2) 4 3 + 9 π
【详解】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
CD BC - AD= °
cos 60°
= 2, AB = CD sin 60 = 3 ，
所以小圆锥的半径 r = BC - AD =1，
圆柱的体积V1 = πR
2h = π 22 3 = 4 3π
V 1 πr2h 1圆锥的体积 2 = = π
3
12 3 = π
3 3 3
旋转体的体积V = V1 -V2 = 4 3π
3 11 3
- π = π ；
3 3
（2）圆柱的侧面积 S1 = 2πRl = 2π 2 3 = 4 3π
圆锥的侧面积 S2 = πrl = π 1 2 = 2π
S = πR2圆柱的底面积 3 = π 2
2 = 4π ，
2
圆锥的底面积 S4 = πr = π 1
2 = π
旋转体上底面的面积 S5 = S3 - S4 = 3π
旋转体的表面积= S1 + S2 + S3 + S5 = 4 3 + 9 π .
16．在边长为 a 的正方形 ABCD中，E，F 分别为BC，CD 的中点，M、N 分别为 AB 、CF 的中点，现沿
AE 、 AF 、 EF 折叠，使 B、C、D 三点重合，构成一个三棱锥B - AEF ，如图所示．
(1)在三棱锥B - AEF 中，求证： AB ^ EF ；
(2)求四棱锥E - AMNF 的体积．
【答案】(1)证明见解析
1
(2) a3 ．
32
【详解】（1）在三棱锥B - AEF 中，
因为 AB ^ BE ， AB ^ BF ，BE I BF = B，BE, BF 面BEF ,
所以 AB ^ 面BEF ．又EF 平面BEF ，
所以 AB ^ EF ；
（2）因为在△ABF 中，M、N 分别为 AB 、 BF 的中点，
3
所以四边形 AMNF 的面积是△ABF 面积的 ．
4
又三棱锥E - ABF 与四棱锥E - AMNF 的高相等，
3
所以，四棱锥E - AMNF 的体积是三棱锥E - ABF 的体积的 ，
4
因为VE- ABF = V
3
A-BEF ，所以VE- AMNF = V4 A-BEF
．
V 1因为 A-BEF = S AB
1 1 1
= BE BF AB = a3 ．
3 △BEF 3 2 24
V 3 1 3 1 3所以 E- AMNF = a = a ，4 24 32
1
故四棱锥E - AMNF 3的体积为 a ．
32
17．如图（1），六边形 ABCDEF 是由等腰梯形 ADEF 和直角梯形 ABCD拼接而成，且
BAD = ADC = 90° ， AB = AF = EF = ED = 2, AD = CD = 4，沿 AD 进行翻折，得到的图形如图（2）所示，
且 AEC = 90° .
(1)求证：CD ^平面 ADEF .
(2)求二面角C - AE - D 的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2) 5
5
【详解】（1）在等腰梯形 ADEF 中，作EM ^ AD 于 M，
DM AD - EF则 = =1, AM = 3, EM = 3 ，可得
2 AE = 3+ 9 = 2 3
，
连接 AC，则 AC = 4 2 ，
因为 AEC = 90°，可得EC = 2 5 ，
由 ED 2 + DC 2 = EC 2 ，可得CD ^ ED，
且CD ^ AD, AD I ED = D， AD, ED 平面 ADEF ，所以CD ^平面 ADEF .
（2）由（1）可知CD ^平面 ADEF，且 AE 平面 ADEF ，可得CD ^ AE ，
且CE ^ AE ，CE CD = C ，CE,CD 平面CDE ，可得 AE ^ 平面CDE ，
且DE 平面CDE ，可得 AE ^ DE，
又 AE ^ CE ，可知 CED 就是二面角C - AE - D 的平面角，
DE 2 5
在Rt△CDE ，可得 cos CDE = = = ，
CE 2 5 5
所以二面角C - AE - D 5的余弦值为 .
5
1
18．如图，在四棱锥P- ABCD中， AD / /BC ， AD ^ DC ，BC = CD = AD =1，E 为棱 AD 的中点，PA ^
2
平面 ABCD .
(1)求证： AB / / 平面PCE ；
(2)求证：平面PAB ^平面 PBD ；
(3)若二面角P - CD - A的大小为 45° ，求直线PA与平面 PBD 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) 3
3
【详解】（1）因为BC / / AE 且 BC = AE ，所以四边形BCEA为平行四边形，
则 AB / /EC ，又 AB 平面PCE ， EC 平面PCE ，
所以 AB / / 平面PCE ；
（2）由PA ^平面 ABCD，BD 平面 ABCD，得PA ^ BD ，
连接 BE ，由BC / /DE且BC = DE ，
所以四边形BCDE 为平行四边形，又 DE ^ CD, BC = CD = 2，
所以平行四边形BCDE 为正方形，所以BD ^ EC ，
又 AB / /EC ，所以BD ^ AB ，又PAI AB = A, PA、AB 平面PAB，
所以BD ^平面PAB，由BD 平面 PBD ，
所以平面 PBD ^平面PAB；
（3）由PA ^平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以PA ^ CD ，
又CD ^ AD ， PAI AD = A, PA、AD 平面PAD ，
所以CD ^平面PAD ，又 PD 平面PAD ，所以CD ^ PD，
故 PDA为二面角P - CD - A的平面角，即 PDA = 45° ，
在RtVPAD中，PA = AD = 4，作 AM ^ PB ，垂足为 M，
由（2）知，平面 PBD ^平面PAB，平面 PBD I平面PAB = PB， AM 平面PAB，
所以 AM ^ 平面 PBD ，则PM 为直线 AP 在平面 PBD 上的投影，
所以 APM 为直线 AP 与平面 PBD 所成的角，
在RtVPAB PA × AB 4 × 2 2 4 3中， AB = CE = 2 2, PA = 4, PB = 2 6 ，所以 AM = = = ，
PB 2 6 3
4 3
在RtVAMP 中， sin APM AM= = 3 3= ，
AP 4 3
即直线 AP 与平面 PBD 3所成角的正弦值为 .
3
19．如图，在四棱锥Q - ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 QAD 是正三角形，侧面QAD ^底面
ABCD，M 是 QD 的中点．
(1)求证： AM ^ 平面QCD；
(2)求侧面 QBC 与底面 ABCD所成二面角的余弦值；
QN
(3)在棱 QC 上是否存在点 N 使平面BDN ^平面 AMC 成立？如果存在，求出 ，如果不存在，说明理
NC
由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 7
7
QN 1
(3)存在， =
NC 2
【详解】（1）因为侧面 QAD 是正三角形，M 是 QD 的中点，
所以 AM ^ QD ，
因为CD ^ AD ，面QAD ^面 ABCD，面QAD 面 ABCD = AD ，CD 面 ABCD，
所以CD ^面QAD，
又 AM 面QAD，所以CD ^ AM ，
又CD QD = D,CD,QD 平面QCD，
所以 AM ^ 平面QCD；
（2）取 AD 的中点E ，BC的中点F ，连接QE, EF , FQ ，
则EF //AB且EF = AB ，QE ^ AD ，
故EF ^ BC ，
因为面QAD ^面 ABCD，面QAD 面 ABCD = AD ，QE 面QAD，
所以QE ^ 面 ABCD，
因为EF , BC 面 ABCD，所以QE ^ EF ,QE ^ BC ，
又EF QE = E, EF ,QE 平面QEF ，所以BC ^平面QEF ，
又QF 平面QEF ，所以BC ^ QF ，
则 QFE 即为侧面 QBC 与底面 ABCD所成二面角的平面角，
设 AB = 2，则EF = 2,QE = 3 ，故QF = 4 + 3 = 7 ，
所以 cos QFE EF 2 2 7= = = ，
QF 7 7
QBC ABCD 2 7即侧面 与底面 所成二面角的余弦值为 ；
7
（3）当ON ^面 ABCD时，平面 AMC ^ 平面BDN ，证明如下：
如图，连接CE 交BD于点O，连接ON ，
因为底面 ABCD是正方形，所以 AC ^ BD ，
由（2）得QE ^ 面 ABCD，
因为 AC 面 ABCD，所以QE ^ AC ，
因为ON ^面 ABCD时，ON //QE ，所以 AC ^ ON ，
又ON BD = O,ON , BD 平面BDN ，
所以 AC ^平面BDN ，
又 AC 平面 AMC ，所以平面 AMC ^ 平面BDN ，
因为 AD//BC OE DE 1，所以 = =OC BC 2 ，
因为ON //QE
QN OE 1
，所以 = = ，
NC OC 2
QN 1
所以在棱 QC 上是否存在点 N，当 = 时，平面BDN ^平面 AMC.
NC 2第八章 立体几何初步（提升卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰中留下一个面直径为 20cm ，深为5cm的空穴，则这个球
的半径是（ ） cm．
A．9 B．10.5 C．12.5 D．14.5
2．下列说法正确的是（ ）
A．若直线 a∥平面 α，直线 b∥平面 α，则直线 a∥直线 b
B．若直线 a∥平面 α，直线 a 与直线 b 相交，则直线 b 与平面 α 相交
C．若直线 a∥平面 α，直线 a∥直线 b，则直线 b∥平面 α
D．若直线 a∥平面 α，则直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都无公共点
3．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E ，F 分别是 AB ， B1D1的中点，则直线 EF 与直线 AA1所成角的正切值
为（ ）
A 1
1
B C 2 3． 2 ． ． D．3 2 3
4．已知 S , A, B,C 是球 O 表面上不同的点， SA ^ 平面 ABC ， AB ^ BC ， AB = 1，BC = 2 ，若球O的体积
4π
为 ，则 SA =（
3 ）
A 2． B．1 C． 2 D． 3
2
5．在三棱锥 P - ABC 中， AB + 2PC = 9, E为线段 AP 上更靠近 P 的三等分点，过 E 作平行于 AB, PC 的平面，
则该平面截三棱锥P - ABC 所得截面的周长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
6．在各棱长都为 2 的正四棱锥V - ABCD 中，侧棱VA在平面VBC上的射影长度为（ ）
A 2 6 2 3． B． C． 3 D．2
3 3
7．如图，边长为 2 的两个等边三角形 ABC, DBC ，若点A 到平面BCD 6的距离为 ，则二面角 A - BC - D
2
的大小为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
4 6 3 2
8．如图，平面五边形 ABCED 由正方形 ABCD和等边三角形CDE 拼接而成，沿CD 将VCDE折起，使得点E
到达点 P 的位置，且平面PCD ^平面 ABCD,Q 为PC的中点，则异面直线 AQ 与BP所成角的余弦值为（ ）
A 10 B 14． ． C 35． D 3 7．
5 7 7 14
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．已知a , b 为不同的平面， a,b,c为不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若 a a ,b b ，则 a与b 是异面直线
B．若 a与b 异面，b 与 c异面，则 a与 c异面
C．若 a,b不同在平面a 内，则 a与b 异面
D．若 a,b不同在任何一个平面内，则 a与b 异面
10．已知甲烷的化学式为CH4 ，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点
处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子
看成一个质点，两个氢原子之间的距离为 1，则（ ）
A 6．碳原子与氢原子之间的距离为
4
B 3p．正四面体外接球的体积为 2
C 2．正四面体的体积为
12
1
D．任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为-
3
11．正方体 ABCD - A B C D 的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC ，BB 的中点.则（ ）
A．直线D D 与直线 AF 垂直
B．直线 A G 与平面 AEF 平行
8
C．平面 AEF 截正方体所得的截面面积为
9
D．点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．等边三角形 AOB的边长为 4，建立如图所示的直角坐标系 xOy ，用斜二测画法得到它的直观图，则它
的直观图的面积是 ．
13．已知四边形 ABCD 是正方形，将△DAC 沿 AC 翻折到VD1AC 的位置，点 G 为VD1AC 的重心，点 E 在线
段 BC 上，GE // 平面D1AB，GE ^ D1A .若CE = lEB ，则l = ，直线 GB 与平面D1AC 所成角的正切值
为 .
14．如图，正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长是 4，侧棱长是 2 3 ，M 为 A1C1的中点，N 是侧面BCC1B1上一
点，且MN ∥平面 ABC1，则线段 MN 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在梯形 ABCD中， AD / /BC ， ABC = 90o ，BC = 2AD = 2 ， DCB = 60o ，过点C作 l / / AB ，
以 l为轴旋转一周得到一个旋转体．
(1)求此旋转体的体积．
(2)求此旋转体的表面积．
16．在边长为 a 的正方形 ABCD中，E，F 分别为BC，CD 的中点，M、N 分别为 AB 、CF 的中点，现沿
AE 、 AF 、 EF 折叠，使 B、C、D 三点重合，构成一个三棱锥B - AEF ，如图所示．
(1)在三棱锥B - AEF 中，求证： AB ^ EF ；
(2)求四棱锥E - AMNF 的体积．
17．如图（1），六边形 ABCDEF 是由等腰梯形 ADEF 和直角梯形 ABCD拼接而成，且
BAD = ADC = 90° ， AB = AF = EF = ED = 2, AD = CD = 4，沿 AD 进行翻折，得到的图形如图（2）所示，
且 AEC = 90° .
(1)求证：CD ^平面 ADEF .
(2)求二面角C - AE - D 的余弦值；
1
18．如图，在四棱锥P- ABCD中， AD / /BC ， AD ^ DC ，BC = CD = AD =1，E 为棱 AD 的中点，PA ^
2
平面 ABCD .
(1)求证： AB / / 平面PCE ；
(2)求证：平面PAB ^平面 PBD ；
(3)若二面角P - CD - A的大小为 45° ，求直线PA与平面 PBD 所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥Q - ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 QAD 是正三角形，侧面QAD ^底面
ABCD，M 是 QD 的中点．
(1)求证： AM ^ 平面QCD；
(2)求侧面 QBC 与底面 ABCD所成二面角的余弦值；
QN
(3)在棱 QC 上是否存在点 N 使平面BDN ^平面 AMC 成立？如果存在，求出 ，如果不存在，说明理
NC
由．
