第十章 概率（基础卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙
分得红牌”（ ）
A．是对立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1534石（古代容量单位），
验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内
夹谷约为（ ）
A．213 石 B．152 石 C．169 石 D．196 石
3．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件 A ，“第二枚为正面”记为事件 B ， “两枚结果相
同”记为事件C ，那么事件 A 与 B ， A 与 C 间的关系是（ ）
A． A 与 B ， A 与C 均相互独立 B． A 与 B 相互独立， A 与C 互斥
C． A 与 B ， A 与C 均互斥 D． A 与 B 互斥， A 与C 相互独立
4．从装有 2 件正品和 2 件次品的盒子内任取 2 件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有 1 件正品”与“都是次品” B．“恰好有 1 件正品”与“恰好有 1 件次品”
C．“至少有 1 件次品”与“至少有 1 件正品” D．“都是正品”与“都是次品”
5．设 A, B为两个互斥事件，且P(A) > 0，P(B) > 0，则下列各式一定正确的是（ ）
A．P(AB) = P(A)P(B) B．P(A B) = P(A) + P(B)
C．P(AB) = P(A) + P(B) D．P(AU B) = P(A)P(B)
A, B P(A) 1 36 2．设 是一个随机试验中的两个事件，且 = ，P(B) = ， P(A + B) = ，则P(AB) =（ ）2 4 3
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 4 3
7．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci = “点数为 i ”，其中 i =1,2,3,4,5,6；D1 =“点数不大于
2”，D2 = “点数大于 2”，D3 = “点数大于 4” 下列结论是判断错误的是 （ ）
A．C1与C2 互斥 B．D1 D2 = W，D1D2 =
C．D3 D2 D．C2 ，C3为对立事件
8．2024 年韩国釜山举行世界乒乓球团体锦标赛.男团比赛规则，各单位每次比赛双方选取三人出场比赛.每
场比赛采用 5 局 3 胜制，以先赢 3 场者为胜方，赛前双方用抽签方法选定主、客队.如主队 3 名选手出场依
次为 A、B、C；客队 3 名选手出场依次定为 X、Y、Z，规定：5 场比赛的次序为①A 对 X ，② B 对Y ，③C
对Z ，④ B 对 X，⑤A 对Z .已知某次比赛甲方为主队，乙方为客队.甲方参赛队员为 Ai ，乙方为Bi
（ i = 1、2、3）根据以往经验，甲方各位队员赢乙方队员概率如下表
A1 A2 A3
B1 0.62 0.59 0.75
B2 0.43 0.65 0.62
B3 0.26 0.43 0.53
了解到乙队出场比赛队员依次为B2 , B1, B3 .甲方对乙方出场顺序有四种预案：（一） A1, A2 , A3 ；（二）
A3 , A1, A2 ；（三） A2，A3，A1；（四） A1, A3 , A2 ；以本次比赛甲赢的概率比较，应选定哪种方案（ ）
A．(一) B．(三) C．(二) D．(四)
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．下列说法正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1
C．某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票一定会中奖
1
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是 3 的倍数的概率是
3
10．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件 A＝“两弹都击中飞机”，事件 B＝“两弹
都没击中飞机”，事件 C＝“恰有一弹击中飞机”，事件 D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ）
A． A D B．B I D =
C． A C = D D． AUC = B U D
1 5
11．在一个有限样本空间中，事件 A, B,C 发生的概率满足P A = P B = P C = ，P AU B = ，A 与C
3 9
互斥，则下列说法正确的是（ ）
P AC 1A． = B．A 与 B 相互独立3
C．P ABC 1 8= D．P AU B UC
27 9
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．从 0，1，2，3，4，5 中任取两个数字组成一个两位数.事件 A 表示组成的两位数是偶数，事件 B 表示
组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件 A B用样本点表示为 .
13．某校辩论赛小组共有 5 名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取 2 名成员去参加外校交流活动，
3
若抽到一男一女的概率为 ，则抽到 2 名男生的概率为 .
5
14．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查:
向被调查者提出两个问题:（1）你的学号是奇数吗 （2）在过路口的时候你是否闯过红灯 要求被调查者背
对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题;否则就回答第（2）个问题.被调查者不必告
诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，
所以都如实做了回答.如果被调查的 600 人(学号从 1 到 600)中有 180 人回答了“是”，由此可以估计在这 600
人中闯过红灯的人数是 .
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点总数；
(3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点．
16．近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B 两家旅游公司过去 6 个月的利润率统计如
下：
利润率
10% 5% -5%
月数
公司
A 公司 3 2 1
B 公司 2 2 2
利润
利润率= 100% ，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
成本
(1)比较A ， B 两公司过去 6 个月平均每月利润率的大小；
(2)已知这 6 个月内没有发生某个月A ， B 两公司同时亏损的情况，则从这 6 个月中任意抽取 2 个月，求这 2
个月A ， B 两公司均盈利的概率．
17．每年的 3 月 21 日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康
标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为
6,7 , 7,8 , 8,9 , 9,10 , 10,11 ，单位：小时）.
(1)求图中 a的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于 9 小时的频率；
(2)从该校高一学生中随机抽取 2 人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有 1 人该天睡眠时间不小于 9
小时的概率.
18．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别
为 1，2，3，4，5 的 5 个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为 a，放回后乙再随机摸出一个球，
也记下编号，设编号为 b，记录摸球结果（a，b），如果 a + b > 5，算甲赢，否则算乙赢．
(1)求 a + b = 5的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．
19．Matlab 是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、
量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校
举行了相关 Matlab 专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 p，乙同学答对
每题的概率都为 q p > q 1，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为 2 ，
5
恰有一人答对的概率为 ．
12
(1)求 p 和q的值；
(2)试求两人共答对 3 道题的概率．第十章 概率（基础卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙
分得红牌”（ ）
A．是对立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【答案】C
【解析】根据互斥事件和对立事件、不可能事件的概念，选出正确选项.
【详解】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，
这两个事件为互斥但不对立事件.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件的辨析，考查不可能事件的概念，属于基础题.
2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1534石（古代容量单位），
验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内
夹谷约为（ ）
A．213 石 B．152 石 C．169 石 D．196 石
【答案】C
28 14
【详解】根据题意，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则样本中夹谷的频率为 = ，
254 127
14
则这批米内夹谷约为1534 169（石 )，
127
故选：C
3．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件 A ，“第二枚为正面”记为事件 B ， “两枚结果相
同”记为事件C ，那么事件 A 与 B ， A 与 C 间的关系是（ ）
A． A 与 B ， A 与C 均相互独立 B． A 与 B 相互独立， A 与C 互斥
C． A 与 B ， A 与C 均互斥 D． A 与 B 互斥， A 与C 相互独立
【答案】A
P(A) = P(B) = P(C) 1= P AB 1 , P(AC) 1【详解】由题意得 ， = = ，
2 4 4
所以 P AB = P A P B 0, P AC = P A P C 0 .
所以 A 与 B ， A 与C 均相互独立， A 与 B ， A 与C 均不互斥.
故选：A.
4．从装有 2 件正品和 2 件次品的盒子内任取 2 件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有 1 件正品”与“都是次品” B．“恰好有 1 件正品”与“恰好有 1 件次品”
C．“至少有 1 件次品”与“至少有 1 件正品” D．“都是正品”与“都是次品”
【答案】D
【详解】从装有 2 件正品和 2 件次品的盒子内任取 2 件产品，可能的结果为：1 正 1 次 2 正 2 次，
对于 A：“至少有 1 件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合；
对于 B：“恰好有 1 件正品”与“恰好有 1 件次品”是同一个事件，不符合题意；
对于 C：“至少有 1 件次品”包括 1 正 1 次 2 次，“至少有 1 件正品”包括 1 次 1 正 2 正，这两个事件不是互
斥事件，不符合题意；
对于 D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；
故选：D
5．设 A, B为两个互斥事件，且P(A) > 0，P(B) > 0，则下列各式一定正确的是（ ）
A．P(AB) = P(A)P(B) B．P(A B) = P(A) + P(B)
C．P(AB) = P(A) + P(B) D．P(AU B) = P(A)P(B)
【答案】B
【详解】因为 A, B为两个互斥事件，P(A) > 0，P(B) > 0，
所以 A B = ，即P(AB) = 0，且P(A B) = P(A) + P(B) .
故选：B．
6．设 A, B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)
1 P(B) 3= ， = ， P(A + B) 2= ，则P(AB) =（
2 3 ）4
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 4 3
【答案】D
【详解】因为P(A)
1 P(B) 3 1 1= ， = ，所以P A = , P(B) = ，
2 4 2 4
又P A + B = P A + P B - P AB 1 1= + - P AB 2= ，所以P2 4 3 AB
1
= ，
12
所以P AB = P B P AB 1 1 1- = - = ，4 12 6
所以P AB = P A - P AB 1 1 1= - = .
2 6 3
故选：D
7．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci = “点数为 i ”，其中 i =1,2,3,4,5,6；D1 =“点数不大于
2”，D2 = “点数大于 2”，D3 = “点数大于 4” 下列结论是判断错误的是 （ ）
A．C1与C2 互斥 B．D1 D2 = W，D1D2 =
C．D3 D2 D．C2 ，C3为对立事件
【答案】D
【详解】由题意C1与C2 不可能同时发生，它们互斥，A 正确；
D1中点数为 1 或 2，D2 中点数为 3，4，5 或 6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此D1D2
为不可能事件，B 正确；
D3 发生时，D2 一定发生，但D2 发生时，D3 可能不发生，因此D3 D2 ，C 正确；
C2 与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D 错误；
故选：D．
8．2024 年韩国釜山举行世界乒乓球团体锦标赛.男团比赛规则，各单位每次比赛双方选取三人出场比赛.每
场比赛采用 5 局 3 胜制，以先赢 3 场者为胜方，赛前双方用抽签方法选定主、客队.如主队 3 名选手出场依
次为 A、B、C；客队 3 名选手出场依次定为 X、Y、Z，规定：5 场比赛的次序为①A 对 X ，② B 对Y ，③C
对Z ，④ B 对 X，⑤A 对Z .已知某次比赛甲方为主队，乙方为客队.甲方参赛队员为 Ai ，乙方为Bi
（ i = 1、2、3）根据以往经验，甲方各位队员赢乙方队员概率如下表
A1 A2 A3
B1 0.62 0.59 0.75
B2 0.43 0.65 0.62
B3 0.26 0.43 0.53
了解到乙队出场比赛队员依次为B2 , B1, B3 .甲方对乙方出场顺序有四种预案：（一） A1, A2 , A3 ；（二）
A3 , A1, A2 ；（三） A2，A3，A1；（四） A1, A3 , A2 ；以本次比赛甲赢的概率比较，应选定哪种方案（ ）
A．(一) B．(三) C．(二) D．(四)
【答案】B
【详解】选择预案（一），则 5 场比赛的次序为① A1对B2，② A2对B1，③ A3对B3，④ A2对B2，⑤ A1对B3，
甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：0.43，0.59 ，0.53，0.65，0.26，
若甲三连胜则概率为：0.43 0.59 0.53 0.134，
选择预案（二），则 5 场比赛的次序为① A3对B2，② A1对B1，③ A2对B3，④ A1对B2，⑤ A3对B3，
甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：0.62 ，0.62 ，0.43，0.43，0.53，
若甲三连胜则概率为：0.62 0.62 0.43 0.165，
选择预案（三），则 5 场比赛的次序为① A2对B2，② A3对B1，③ A1对B3，④ A3对B2，⑤ A2对B3，
甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：0.65，0.75，0.26，0.62 ，0.62 ，
若甲三连胜则概率为：0.65 0.75 0.26 0.293，
选择预案（四），则 5 场比赛的次序为① A1对B2，② A3对B1，③ A2对B3，④ A3对B2，⑤ A1对B3，
甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：0.43，0.75，0.43，0.62 ，0.26，
若甲三连胜则概率为：0.43 0.75 0.43 0.129，
由甲三连胜可看出选择方案三赢的概率更大，
而且第四局和第五局甲方各位队员赢乙方队员概率也比其他方案赢的概率更大.
所以选择预案（三）甲赢的概率更大，
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．下列说法正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1
C．某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票一定会中奖
1
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是 3 的倍数的概率是
3
【答案】BD
【详解】随机事件的不确定性可以确定 A,C 选项错误，
事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1 ，B 选项正确；
任意投掷两枚质地均匀的骰子基本事件有 36 种情况，
点数和是 3 的倍数的情况有 1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5 , 5,1 , 5,4 , 6,3 , 6,6 , 12 个基本
12 1
事件,概率是 = ，故 D 选项正确.
36 3
故选：BD.
10．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件 A＝“两弹都击中飞机”，事件 B＝“两弹
都没击中飞机”，事件 C＝“恰有一弹击中飞机”，事件 D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ）
A． A D B．B I D =
C． A C = D D． AUC = B U D
【答案】ABC
【详解】因为事件W指两弹都没击中飞机，第一枚击中第二枚没中，第一枚没中第二枚击中，两弹都击中
飞机；
“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中；
“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中.
所以 A C = D，B D = ，B U D = W
所以 A D ， AUC B U D，故选项 A，B，C 正确，D 不正确．
故选：ABC.
A, B,C P A P B P C 1 511．在一个有限样本空间中，事件 发生的概率满足 = = = ，P AU B = ，A 与C
3 9
互斥，则下列说法正确的是（ ）
P AC 1A． = B．A 与 B 相互独立3
C．P ABC 1= D．P AU B UC 8
27 9
【答案】ABD
1
【详解】A 选项，A 与C互斥，故 A C = ，P AC = 0，则C 包含事件A ，故P AC = P A = ，A 正3
确；
B 选项，P A B = P A + P B - P A B ，
1 1 P A 5 1即 + - B = ，故P A B = ，
3 3 9 9
故P A B = P A P B ，A 与 B 相互独立，B 正确；
C 选项，A 与C互斥，故 AB 与C互斥，故P ABC = P é AB Cù = 0，C 错误；
D 选项，P A B C = P A + P B + P C - P AB - P BC - P AC + P ABC
1 1 1 1 1 8
= + + - - P BC = - P BC ，
3 3 3 3 3 9
因为P BC 0 ，故P A B C 8= - P BC 8 ，D 正确.
9 9
故选：ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．从 0，1，2，3，4，5 中任取两个数字组成一个两位数.事件 A 表示组成的两位数是偶数，事件 B 表示
组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件 A B用样本点表示为 .
【答案】 10,20,30,40,50,32,42,52,54
【详解】从 0，1，2，3，4，5 中任取两个数字组成一个两位数，
所有的样本点为 10，12，13，14，15，20，21，23，24，25，
30，31，32，34，35，40，41，42，43，45，50，51，52，53，54，共 25 个，
其中事件 A = 10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54 ；
事件B = 10,20,30,40,50,21,31, 41,51,32,42,52,43,53,54 .
故事件 A B用样本点表示为 10,20,30,40,50,32,42,52,54 .
故答案为： 10,20,30,40,50,32,42,52,54 .
13．某校辩论赛小组共有 5 名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取 2 名成员去参加外校交流活动，
3
若抽到一男一女的概率为 ，则抽到 2 名男生的概率为 .
5
1
【答案】 / 0.1
10
【详解】由题可知，5 名成员中有 4 女 1 男或 3 女 2 男，
若 5 名成员中有 4 女 1 男，设 4 名女生分别入 A1, A2 , A3 , A4，1 名男生为 B，
则随机抽取 2 名成员的所有情况为：
A1A2 , A1A3 , A1A4 , A1B, A2 A3 , A2 A4 , A2B, A3 A4 , A3B, A4B 共 10 种情况，抽到一男一女的情况为: A1B, A2B, A3B, A4B
共 4 种情况，
4 2 3
所以抽到一男一女的概率为10 = 5 5 ，不符合题意；
若 5 名成员中有 3 女 2 男，设 3 名女生分别为 A1, A2 , A3 ，2 名男生分别为B1, B2 ，
则随机抽取 2 名成员的所有情况为：
A1A2, A1A3, A1B1, A1B2, A2 A3, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2, B1B2 共 10 种情况，
抽到一男一女的情况为： A1B1, A1B2 , A2B1, A2B2 , A3B1, A3B2 共 6 种情况，
6 3
此时抽到一男一女的概率为 =10 5 ，符合题意，
则抽到 2 名男生的情况为B1B2 ，只有 1 种情况，
1
所以抽到 2 名男生的概率为 .
10
1
故答案为： 。
10
14．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查:
向被调查者提出两个问题:（1）你的学号是奇数吗 （2）在过路口的时候你是否闯过红灯 要求被调查者背
对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题;否则就回答第（2）个问题.被调查者不必告
诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，
所以都如实做了回答.如果被调查的 600 人(学号从 1 到 600)中有 180 人回答了“是”，由此可以估计在这 600
人中闯过红灯的人数是 .
【答案】60
【解析】设闯红灯的概率为 P ，根据已知中的调查规则，我们分析出回答“是”的两种情况，进而计算出回答
是的概率，又由被调查的 600 人（学号从 1 到600) 中有 180 人回答了“是”，我们易构造关于 P 的方程，解方
程求出 P 值，进而得到这 600 人中闯过红灯的人数．
【详解】解：设闯红灯的概率为 P ，
由已知中被调查者回答的两个问题，
（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？
再由调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题
可得回答是有两种情况：
1 1 1
①正面朝上且学号为奇数，其概率为 = ；
2 2 4
1
②反面朝上且闯了红灯，其概率为 P．
2
1 P 180
则回答是的概率为 + =
4 2 600
解得P = 0.1．
所以闯灯人数为600 0.1 = 60 ．
故答案为：60
【点睛】本题考查的知识点是用样本的数字特征估计总体的数字特征，其中计算出闯红灯的概率为 P ，并根
据频数=频率（概率） 样本容量，求出满足条件的人数是解答本题的关键．
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点总数；
(3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点．
【答案】(1) Ω = 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , 3,2
(2)6
(3)事件“甲、乙相邻”包含 4 个样本点： 1,2 ， 2,1 ， 2,3 ， 3, 2 ．事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”
包含 3 个样本点： 1,2 ， 1,3 ， 2,3
【详解】（1）从左到右记这三个位置分别为 1，2，3，则这个试验的样本空间为
Ω = 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , 3,2 ，
其中第 1 个数表示甲坐的位置号，第 2 个数表示乙坐的位置号．
（2）由（1）知这个试验的样本点总数是 6．
（3）由（1）知，
事件“甲、乙相邻”包含 4 个样本点： 1,2 ， 2,1 ， 2,3 ， 3, 2 ．
事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含 3 个样本点： 1,2 ， 1,3 ， 2,3 ．
16．近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B 两家旅游公司过去 6 个月的利润率统计如
下：
利润率
10% 5% -5%
月数
公司
A 公司 3 2 1
B 公司 2 2 2
利润
利润率= 100% ，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
成本
(1)比较A ， B 两公司过去 6 个月平均每月利润率的大小；
(2)已知这 6 个月内没有发生某个月A ， B 两公司同时亏损的情况，则从这 6 个月中任意抽取 2 个月，求这 2
个月A ， B 两公司均盈利的概率．
【答案】(1)A 公司过去 6 个月平均每月的利润率大于 B 公司过去 6 个月平均每月的利润率
1
(2)
5
3 2 1 7
【详解】（1）依题意A 公司过去 6 个月平均每月的利润率为10% + 5% - 5% = ，
6 6 6 120
2 2 2 1
B 公司过去 6 个月平均的月的利润率为10% + 5% - 5% = ，
6 6 6 30
7 1
因为 > ，所以A 公司过去6个月平均每月的利润率大于 B 公司过去6个月平均每月的利润率．
120 30
（2）由表中数据知，A 公司有 1 个月亏损， B 公司有 2 个月亏损，
因为没有发生A ， B 两公司同时亏损的情况，
故这 6 个月中有 3 个月是A ， B 两公司均盈利．
将这 6 个月编号为 a，b ， c，d ， e， f ，不妨设 a，b ， c月A ， B 两公司均盈利，
从这 6 个月中任意抽取 2 个月，有 ab， ac ， ad ， ae ， af ，bc，bd ，be，bf ， cd ， ce， cf ， de ， df ，
ef 共 15 种情况，
满足这 2 个月A ， B 两公司均盁利的情况有ab， ac ，bc共 3 种情况，
3 1
故所求概率P = = ．
15 5
17．每年的 3 月 21 日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康
标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为
6,7 , 7,8 , 8,9 , 9,10 , 10,11 ，单位：小时）.
(1)求图中 a的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于 9 小时的频率；
(2)从该校高一学生中随机抽取 2 人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有 1 人该天睡眠时间不小于 9
小时的概率.
【答案】(1) a = 0.175，0.40
(2) 0.64
【详解】（1）因为 0.025 + a + 0.40 + 0.35 + 0.05 1 =1，
所以 a = 0.175；
该校高一学生该天睡眠时间不少于 9 小时的频率为：
0.35 + 0.05 1 = 0.40 .
（2）由题知，该校高一学生该天睡眠时间为 6,7 , 7,8 , 8,9 , 9,10 , 10,11 小时的频率分别为：
0.025 1 = 0.025， 0.175 1 = 0.175，0.40 1 = 0.40， 0.35 1 = 0.35， 0.05 1 = 0.05，
用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为 6,7 , 7,8 , 8,9 , 9,10 , 10,11 小时的概率分别为0.025，
0.175，0.40 ，0.35，0.05，
记从该校高一学生中随机抽取 2 人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于 9 小时为事件A ，
则P A =1- P A =1- 1- 0.4 2 =1- 0.62 = 0.64 .
18．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别
为 1，2，3，4，5 的 5 个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为 a，放回后乙再随机摸出一个球，
也记下编号，设编号为 b，记录摸球结果（a，b），如果 a + b > 5，算甲赢，否则算乙赢．
(1)求 a + b = 5的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．
4
【答案】(1)
25
(2)这种游戏规则不公平，理由详见解析
【详解】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，
3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共 25 种，
其中 a + b = 5的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共 4 种，故由古典概型的概率计算公式可得
P a b 4+ = 5 = ；
25
（2）这种游戏规则不公平，理由如下：
设甲赢为事件 A，乙赢为事件 B，则 A，B 为对立事件，
由题意事件 A 包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），
（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共 15 个，
15 3 2
由古典概型的概率计算公式可得P A = = ，∴P B =1- P A = ，
25 5 5
∵P A > P B ，故这种游戏规则不公平．
19．Matlab 是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、
量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校
举行了相关 Matlab 专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 p，乙同学答对
每题的概率都为 q p > q 1，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为 2 ，
5
恰有一人答对的概率为 ．
12
(1)求 p 和q的值；
(2)试求两人共答对 3 道题的概率．
3 2
【答案】(1) p = ,q =
4 3
5
(2) ．
12
ì
pq
1
= ,
2
【详解】（1）由题意可得 í
p(1- q) + q(1 p) 5- = ,
12
ì 1 ì 3 ì 2
pq = , p = , p = , 2 4 3
即 í 17 解得 í 或 í p + q = . q 2= , q 3= .
12 3 4
由于 p > q p
3
，所以 = ,q
2
= ．
4 3
（2）设 Ai = {甲同学答对了 i道题}, Bi = {乙同学答对了 i道题}, i = 0,1,2 ．
P A 1 3 3 1 3由题意得， 1 = + = , P A
3 3 9 2 1 1 2 4 2 2 4
= = ，P B = + = , P B
4 4 4 4 8 2 4 4 16 1 3 3 3 3 9 2
= = ．
3 3 9
设E = {甲、乙二人共答对 3 道题}，则E = A1B2 + A2B1．
由于 Ai 和Bi 相互独立， A1B2 与 A2B1互斥，
所以P(E) = P A1B2 + P A2B1 = P A1 P B2 + P A P B
3 4 9 4 5
2 1 = + = .8 9 16 9 12
5
所以甲、乙两人共答对 3 道题的概率为 .
12
