第十章 概率（提升卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的
是（ ）
A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件
B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件
1
C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为
8
D．该家庭3 1个小孩中至少有 2 个男孩的概率为 2
【答案】D
【详解】对于 A，事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”
和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故 A 错误；
对于 B，事件“该家庭 3 个孩子都是男孩”
和事件“该家庭3个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生，
是互斥但不对立事件，故 B 错误；
对于 C，有3个小孩的家庭包含的样本点有8个，分别为：
（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），
（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），
该家庭 3 个小孩中只有1个男孩包含的样本点有3个，
3
所以该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为 P = 8 ，故 C 错误；
对于 D，该家庭3个小孩中至少有 2个男孩包含的样本点有 4个，
所以该家庭3
4 1
个小孩中至少有 2个男孩的概率为 =8 2 ，故 D 正确．
故选：D．
2．若随机事件A ， B 互斥，A ， B 发生的概率均不等于 0，且 P A = 2 - a， P B = 4a - 5，则实数 a的取值
范围是（ ）
5 , 2 5 , 3 5A． ÷ B． ÷ C． ,
4ù é5 , 3ú D
ù
4 4 3 ．è è 4 2 è ê4 2 ú
【答案】C
【详解】因随机事件A ， B 互斥，则P(A + B) = P(A) + P(B) = 3a - 3，
ì0 < P(A) <1 ì0 < 2 - a <1
5 4
依题意及概率的性质得 í0 < P(B) <1 ，即 í0 < 4a - 5 <1，解得 < a≤ ，
4 3
0 < P(A + B) 1 0 < 3a - 3 1
5 4ù
所以实数 a的取值范围是 , .
è 4 3ú
故选：C
3．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记 1，2，3，4，重复抛掷这个四面体 200 次，记录每个面落
在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ）
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记 2 的面落地概率 0.72
C．再抛掷一次，标记 4 的面落地 D．再抛掷一次，估计标记 3 的面落地概率 0.2
【答案】D
【详解】A 选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随
着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在 200
次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A 选项错误；
36 42 78
BCD 选项，由于这 200 次实验 2，3，4 落在底面的频率分别为 , , ，即0.18,0.21,0.39 ，
200 200 200
B 选项中所估计的概率0.72 和频率0.18差别过大，
C 选项认为标记 4 的面必定落地，是必然事件，概率为1，但频率只有 0.39，因此不能认为必然发生，BC
选项错误；
D 选项，标记 3 的面落地概率估计是 0.2 ，和实验频率 0.21非常接近，D 选项正确.
故选：D
4．已知随机事件A 和 B 互斥，A 和C对立，且P A B = 0.5, P B = 0.2，则P C =（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
【答案】B
【详解】由随机事件A 和 B 互斥可知P AB = 0，
由P AU B = P A + P B - P AB ，
将P A B = 0.5, P B = 0.2代入计算可得P A = 0.3，
又A 和C对立，可得P A + P C =1，解得P C = 0.7 .
故选：B
5．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是
一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数 1～9 的一种方法，例如：47 可以表示为“ ”，已知用
算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有 504 种等可能的结果，则这个数至少要用 8 根小木棍的
概率为（ ）
11 3 73 6
A． 14 B． C． D．14 84 7
【答案】D
【详解】至少要用 8 根小木棍的对立事件为用 5 根，6 根，7 根这三种情况．
用 5 根小木棍为 1，2，6 这一种情况，组成三位数包括 6 个样本点，
用 6 根有 1，2，3；1，2，7；1，6，3；1，6，7 这四种情况，每种情况包含 6 个样本点，共 24 个样本点
用 7 根有 1，2，4；1，2，8；1，6，4；1，6，8；1，3，7；2，6，7；2，6，3 这七种情况，
每种情况包含 6 个样本点，共 42 个样本点
又表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有 504 种情况
6 + 24 + 42 6
故至少要用 8 根小木棍的概率为 1－ = ，
504 7
故选：D．
6．拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为 1，2，3，4），若骰子与桌
面接触面上的数字为 1 或 2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷 2 次）．则抛掷骰子所得的点数之和
至少为 4 的概率为（ ）
9 7
A 3
5
． B． C． D．
16 16 8 16
【答案】A
2 1
【详解】抛掷次数为1的概率为 = ，点数可能为3或 4，
4 2
1 1
抛掷次数为 2的概率为1- = ，
2 2
此时基本事件有 1,1 、 1,2 、 1,3 、 1,4 、 2,1 、 2,2 、 2,3 、 2,4 共八种，
其中点数之和至少为 4 的情况有 1,3 、 1,4 、 2,2 、 2,3 、 2,4 共五种，
1 1 1 5 1 5 9
故抛掷骰子所得的点数之和至少为 4 的概率为 + = + = .
2 2 2 8 4 16 16
故选：A.
7．如图，某系统由 A，B，C，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件 A，B，C，D
正常工作的概率都为 p 0 < p <1 ，则该系统正常工作的概率为（ ）
A． é1- 1- p p
2 ù p B． é1- p 1- p2 ù p
C． é 1- 1- p 1- p2 ù p é1- 1- p
2
D． pù p
【答案】C
【详解】记零件或系统 X 能正常工作的概率为P X ，
该系统正常工作的概率为: P é AB Cù D = P é AB C ù P D
= é 1- P AB P C ù P D = 1- P A B P C P D
= é 1- 1- P AB 1- P C ù P D = é 1- 1- p2 1- p ù p ,
故选：C.
8．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小
球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写
1
的灯谜，并有 2 的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
24 18 12 6
【答案】C
【详解】记事件A ：甲独自获胜，
因为每人随机选一个球（不放回），用 (x, y, z)表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜，有（甲，乙，丙），（甲，丙，
乙），
（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有 6 种选法，
1
又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有 的概率猜对其他人写的灯谜，
2
P 1 (1 1) (1 1) 1当甲选到自己写的灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为 1 = - - = ， 6 2 2 24
当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为
P 1 12 = (1
1
- ) (1 1- ) 1= ，
6 2 2 2 48
当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为
P 1 1 13 = (1- ) (1
1
- ) 1= ，
6 2 2 2 48
1 1 1 1
所以P(A) = + + = ，
24 48 48 12
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70 件，其余为不合格
品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”， B 为“是合格品”， C为“是不合格品”，则
下列结果正确的是（ ）
7
A．P(B) =
10
B．P(A B) = 0
C．P(B C)
7
=
100
P(A B) 9D． =
10
【答案】ABD
【详解】解：由题意知A 、 B 、C为互斥事件，∴P(AI B) = P(B IC) = 0，故 B 正确、C 错误；
2 7 1
∵从100件中抽取产品符合古典概型的条件，∴P(A) = 、P(B) = 、P(C) = ，
10 10 10
则P(AU B)
9
= P A + P B = ，∴A、D 正确，
10
故选：ABD.
10．设A 、 B 为两个互斥的事件，且P A > 0，P B > 0，则下列各式正确的是（ ）
A．P AU B = P A + P B B．P AU B = P A + P B
C．P AB = 0 D．P AB =1- P A - P B
【答案】ACD
【详解】因为A 、 B 为两个互斥的事件，则 A B = ，
则P AU B = P A + P B ，P AB = 0，AC 都对；
P AU B = P A + P B - P AB ，B 错；
P AB = P A + P B - P AU B =1- P A +1- P B - P AI B =1- P A +1- P B -1
=1- P A - P B ，D 对.
故选：ACD.
1
11．已知A ， B 是随机事件，若 P(AB) = P(AB) = ，且P(A B) =14 ，则下列结论正确的是（ ）
A．P(A) = P(B) B．A ， B 为对立事件
3
C．A ， B 相互独立 D．P(B) =
4
【答案】AD
1
【详解】A ， B 是随机事件， P( A + B) = 1，且P(AB) = P(AB) = ，
4
对于 A， P(A) = P(AB U AB) = P(AB) + P(AB) ，即P(A) = P(AB) + P(AB)，
P(B) = P(AB U AB) = P(AB) + P(AB) ，即P(B) = P(AB) + P(AB)，
又 P(AB) = P(AB) ，故P(A) = P(B)，A 正确；
对于 BCD，因为P(AU B) = P(AB
1
+ AB + AB) = P(AB) + P(AB) + P(AB) = P(AB) + =1，
2
1 3
所以 P(AB) = ，由于P(A) = P(AB) + P(AB) = ， P(B) = P(AB) + P(AB)
3
=
2 4 4
，
则P(A) + P(B) >1，所以A ， B 不是对立事件；
又P(AB) P(A)P(B) ，所以A ， B 不是相互独立事件，故 BC 错误，D 正确.
故选：AD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．从一副扑克牌（去掉大、小王，共 52 张）中随机选取 1 张，记录它的花色．事件 A 表示随机事件“抽
出的牌是黑桃”，事件 B 表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件 C 表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件 D
表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是 ．
（1）A，B，C，D 彼此互斥；
（2）A 与 D，B 与 C 是对立事件；
（3）A 的对立事件是B UC U D ；
（4） A B的对立事件为C D；
（5） AUC 与B U D 为互斥事件，但不是对立事件．
【答案】（1）（3）（4）．
【详解】（1）A，B，C，D 四个事件只能发生一个，不可能有两个同时发生，它们彼此互斥，（1）正确；
（2）当 B 发生时，A 和D都不发生，因此 A, D不是对立事件，（2）错；
（3）事件 A 和事件B UC U D 不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（3）正确；
（4）事件 A B和事件C D不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（4）正确；
（5）事件 AUC 和事件B U D 不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（5）错误．
故答案为：（1）（3）（4）．
13．已知集合 A = 1,2,3 ，B = x R∣x2 - ax + b = 0, a A,b A ，则 AI B = B 的概率为 ．
8
【答案】
9
【详解】 AI B = B 等价于B A，记该事件为D，
由于 a A，b A，因而 a,b 取值情况如表所示．
b a 1 2 3
1 1,1 1,2 1,3
2 2,1 2,2 2,3
3 3,1 3,2 3,3
样本空间共有 9 个样本点，
方程 x2 - ax + b = 0的判别式D = a2 - 4b，
当 a,b 取 1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 2,2 ， 2,3 ， 3,3 时，Δ = a2 - 4b < 0，则B = ，B A；
当 a,b 取 2,1 时，D = a2 - 4b = 0， B = 1 ，B A；
当 a,b 取 3,1 时，D = a2 - 4b = 5 > 0 ，但方程有两个无理根，不符合题意；
当 a,b 取 3,2 时，D = a2 - 4b =1 > 0，B = 1,2 ，B A，
因此事件D有 8 个样本点，那么所求概率P D 8= ．
9
8
故答案为：
9
14．设M 、 N 为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若M 、 N 为互斥事件，且P M = 0.5，P N = 0.25，则P M N = 0.45；
1 1 1
（2）若P M = ，P N = ，P M N = ，则M 、 N 为相互独立事件；
2 3 6
P M 1 1 5（3）若 = ，P N = ，P M N = ，则M 、 N 为相互独立事件；2 3 6
1 1 1
（4）若P M = ，P N = ，P M N = ，则M 、 N 为互斥事件；
2 3 6
其中正确命题的个数为 .
【答案】 3
【详解】若M ， N 为互斥事件，且P(M ) = 0.5，P(N ) = 0.25，
则P(M N ) = P(M ) + P(N ) = 0.75，故（1）错误；
若P(M )
1 P(N ) 1 1= ， = ，P(MN ) = ，则P(MN ) = P(M )P(N )，
2 3 6
则由相互独立事件乘法公式知M ， N 为相互独立事件，故（2）正确；
若P M 1 P N 1 P M 1 P M 1 2= ， = ，所以 = - = , P N =1- P N = ，2 3 2 3
又P M N = P M N = P M + P N - P MN 5= ，则P M × N 1= = P M P N ，6 3
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M ， N 为相互独立事件，故（3）正确；
P M 1 P N 1若 = ， = ，
2 3
又P M N = P M N =1- P M N =1- P M - P N + P MN 1= ，所以P MN = 0，6
则事件M ， N 不能同时发生，故事件M ， N 为互斥事件，故（4）正确；
综上，正确命题的个数为 3 .
故答案为：3.
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1 1
15．甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 和 ，求：
3 4
(1)两人都译不出密码的概率；
(2)至多一人译出密码的概率.
【答案】(1) 12
11
(2)
12
【详解】（1）记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为 B ，
则 P A 1 1 1 2 1 3= ，P B = ，P A =1- = ，P B =1- = ，
3 4 3 3 4 4
P AB = P A × P B 2 3 1= = ,3 4 2
1
∴两人都译不出密码的概率为 2 ；
（2）事件“密码至多一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，
“两人都译出密码”的概率为P AB =P A P B 1 1 1= = ，
3 4 12
1 11
则“密码至多一人译出密码”的概率为1- = ，
12 12
11
∴两人中至多一人译出密码的概率为 .
12
16．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出 100 条鱼，称得每条鱼的
质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所
示．
(1)根据直方图作频率分布表；
(2)估计数据落在 1.15,1.30 中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的 100 条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出 120 条鱼，
其中带有记号的鱼有 6 条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．
【答案】(1)答案见解析
(2)0.47
(3)2000
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距 （频率/组距），故可得下表
分组 频率
1.00,1.05 0.05
1.05,1.10 0.20
1.10,1.15 0.28
1.15,1.20 0.30
1.20,1.25 0.15
1.25,1.30 0.02
（2）0.30 + 0.15 + 0.02 = 0.47，所以数据落在 1.15,1.30 中的概率约为 0.47.
120 x
（3）设水库中鱼的总条数约为 x 条，则 = ，
6 100
x 120 100即 = = 2000 ，所以水库中鱼的总条数约为 2000 条.
6
17．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有 5 个大小相
同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参
加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖.
(1)求顾客一次抽奖中奖的概率；
(2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值 10 元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小
球为二等奖，可兑取价值 5 元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计 500 人次，估计兑出奖品的总价值.
7
【答案】(1) ；
10
(2)2000 元.
【详解】（1）设 A1， A2为两个标有“中奖”字样的小球，B1，B2，B3为三个未标有“中奖”字样的小球，
从中随机抽取两个小球，则有
A1, A2 ， A1, B1 ， A1, B2 ， A1 , B3 ， A2 , B1 ， A2 , B2 ， A2 , B3 ， B1, B2 ， B1 , B3 ， B2 , B3 共 10
种情况，
其中中奖的情况共有 7 种.
7
所以顾客一次抽奖中奖的概率为P = .
10
1
（2）由（1）可知，每次中一等奖的概率为P1 = .10
6 3
每次中二等奖的概率为P2 = = .10 5
1 3
故进行 500 人次抽奖克出奖品价值的估计值为500 10 + 500 5 = 2000元.
10 5
18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知
3 1
识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 ，乙、丙两个
4 12
1
家庭都回答正确的概率是 ．若各家庭回答是否正确互不影响．
4
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有 2 个家庭回答正确这道题的概率．
3 , 2【答案】(1)
8 3
15
(2)
32
【详解】（1）记 A= “甲家庭回答正确这道题”，B= “乙家庭回答正确这道题”，C= “丙家庭回答正确这道题”，
由于 A,B,C 相互独立，所以 A和C 相互独立，
ì
P A =
3
4 ìP B = 3
则 íP AC =P A × P C = 1- P A 1- P C = 1 8，解得 ，
12
í
P C = 2
P BC =P B P C =
1 3
4
3 2
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为 , ；
8 3
（2）因为 A,B,C 相互独立，且 ABC, ABC, ABC 相互互斥，
所以P ABC + ABC + ABC = P ABC + P ABC + P ABC
= P A P B P C + P A P B P C + P A P B P C
3 3 1 2 3 3 2 3 3 2 15= -
÷ +
1- + 1- = ，
4 8 è 3 4 8 ÷ ÷è 3 è 4 8 3 32
15
所以恰有 2 个家庭回答正确这道题的概率为 ．
32
19．《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制
定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛、竞赛规则是：两人一组，
每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于 3 题，则称这个小组为“优秀小组”，可以重
复参赛，当获得“优秀小组”达到四次时，可以获得荣誉证书一张，已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同
学答对每道题的概率分别为P1, P2 ．
P 2(1)若 1 = , P
1
2 = ，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组"的概率；3 2
4
(2)当P1 + P2 = ，且每轮比赛互不影响，甲乙同学想要获得荣誉证书，在两人发挥最好的情况下，请问至少3
要参加多少轮竞赛．
4
【答案】(1)
9
(2)7 轮
【详解】（1）记他们获得“优秀小组”的事件为事件 A，则事件 A 包含三种情况：
①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题．
2
P A 2 C1 1 1 2 1 1
2 2 2
\ = × × × + C1 × · · 2+ × 1
2 1 1 4
= + + = .
è 3 ÷ 2 2 2 2 3 3 è 2 ÷ 3 ÷ è è 2 ÷ 9 9 9 9
（2）由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
P = P2 ×C11 2 × P2 × 1- P 12 + C2 × P1 × 1- P P2 2 21 2 + P1 × P2
= P1P2 é 2P1 1- P2 + 2 1- P1 P2 + P1P2 ù
= P1P2 é 2 P1 + P2 - 3P1P2 ù
= -3 P1P
2 8
2 + P3 1
P2
P P 4 , PP P1 + P
2 4
又 1 + 2 = \
2
3 1 2 2 ÷
= ，
è 9
当且仅当P1 = P2 时，等号成立，
Q0 P1 1,0 P2 1, P1 + P
4
2 = 3
1
\ P1 1，3
PP P 4 1 4\ 1 2 =
ù
1 - P3 1 ÷
,
è è 3 9 ú
t PP 1 , 4= ù P = -3t 2 8 4令 1 2 ú，则 + t ，开口向下，对称轴 t = ，è 3 9 3 9
t 4 P 16当 = 时， = ，
9 max 27
16
设要进行 n 轮竞赛，则 n 4，解得 n 6.75，
27
Qn N+ ,\nmin = 7，
\至少要进行 7 轮竞赛．第十章 概率（提升卷）
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的
是（ ）
A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件
B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件
1
C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为
8
D 1．该家庭3个小孩中至少有 2 个男孩的概率为 2
2．若随机事件A ， B 互斥，A ， B 发生的概率均不等于 0，且 P A = 2 - a， P B = 4a - 5，则实数 a的取值
范围是（ ）
5 5 3 5 4 5 3
A． , 2÷ B , C
, ù． ÷ ． ú D
é
． ê ,
ù
è 4 è 4 2 è 4 3 4 2ú
3．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记 1，2，3，4，重复抛掷这个四面体 200 次，记录每个面落
在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ）
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记 2 的面落地概率 0.72
C．再抛掷一次，标记 4 的面落地 D．再抛掷一次，估计标记 3 的面落地概率 0.2
4．已知随机事件A 和 B 互斥，A 和C对立，且P A B = 0.5, P B = 0.2，则P C =（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
5．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是
一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数 1～9 的一种方法，例如：47 可以表示为“ ”，已知用
算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有 504 种等可能的结果，则这个数至少要用 8 根小木棍的
概率为（ ）
11 3 73 6
A． 14 B． C． D．14 84 7
6．拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为 1，2，3，4），若骰子与桌
面接触面上的数字为 1 或 2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷 2 次）．则抛掷骰子所得的点数之和
至少为 4 的概率为（ ）
9 7 5
A． B． C 3． D．
16 16 8 16
7．如图，某系统由 A，B，C，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件 A，B，C，D
正常工作的概率都为 p 0 < p <1 ，则该系统正常工作的概率为（ ）
A． é 1- 1- p p
2
ù p B． é 1- p 1- p2 ù p
C． é 1- 1- p 1- p2 ù p D． é 1- 1- p
2 pù p
8．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小
球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写
1
的灯谜，并有 2 的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
24 18 12 6
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多顶
符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，若只有 2个正确选顶，每选对一个得 3
分;若只有 3个正确选项，每选对一个得 2分
9．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70 件，其余为不合格
品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”， B 为“是合格品”， C为“是不合格品”，则
下列结果正确的是（ ）
A．P(B)
7
=
10
B．P(A B) = 0
C．P(B
7
C) =
100
P(A B) 9D． =
10
10．设A 、 B 为两个互斥的事件，且P A > 0，P B > 0，则下列各式正确的是（ ）
A．P AU B = P A + P B B．P AU B = P A + P B
C．P AB = 0 D．P AB =1- P A - P B
1
11．已知A ， B 是随机事件，若 P(AB) = P(AB) = ，且P(A B) =14 ，则下列结论正确的是（ ）
A．P(A) = P(B) B．A ， B 为对立事件
3
C．A ， B 相互独立 D．P(B) =
4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．从一副扑克牌（去掉大、小王，共 52 张）中随机选取 1 张，记录它的花色．事件 A 表示随机事件“抽
出的牌是黑桃”，事件 B 表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件 C 表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件 D
表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是 ．
（1）A，B，C，D 彼此互斥；
（2）A 与 D，B 与 C 是对立事件；
（3）A 的对立事件是B UC U D ；
（4） A B的对立事件为C D；
（5） AUC 与B U D 为互斥事件，但不是对立事件．
13．已知集合 A = 1,2,3 B = x R∣x2， - ax + b = 0, a A,b A ，则 AI B = B 的概率为 ．
14．设M 、 N 为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若M 、 N 为互斥事件，且P M = 0.5，P N = 0.25，则P M N = 0.45；
（2）若P M 1= ，P N 1= ，P M 1 N = ，则M 、 N 为相互独立事件；
2 3 6
1 1
（3）若P M = ，P N = ，P
2 3 M
5
N = ，则M 、 N 为相互独立事件；6
（4）若P M 1= ，P N 1 1= ，P M N = ，则M 、 N 为互斥事件；
2 3 6
其中正确命题的个数为 .
四、解答题：本题共5小题，共计 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1 1
15．甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 和 ，求：
3 4
(1)两人都译不出密码的概率；
(2)至多一人译出密码的概率.
16．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出 100 条鱼，称得每条鱼的
质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所
示．
(1)根据直方图作频率分布表；
(2)估计数据落在 1.15,1.30 中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的 100 条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出 120 条鱼，
其中带有记号的鱼有 6 条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．
17．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有 5 个大小相
同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参
加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖.
(1)求顾客一次抽奖中奖的概率；
(2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值 10 元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小
球为二等奖，可兑取价值 5 元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计 500 人次，估计兑出奖品的总价值.
18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知
3 1
识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 ，乙、丙两个
4 12
1
家庭都回答正确的概率是 ．若各家庭回答是否正确互不影响．
4
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有 2 个家庭回答正确这道题的概率．
19．《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制
定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛、竞赛规则是：两人一组，
每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于 3 题，则称这个小组为“优秀小组”，可以重
复参赛，当获得“优秀小组”达到四次时，可以获得荣誉证书一张，已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同
学答对每道题的概率分别为P1, P2 ．
2
(1)若P1 = , P
1
2 = ，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组"的概率；3 2
(2)当P1 + P
4
2 = ，且每轮比赛互不影响，甲乙同学想要获得荣誉证书，在两人发挥最好的情况下，请问至少3
要参加多少轮竞赛．
