专题 3.7 立体中的轨迹和截面问题
题型一 平行关系求轨迹
题型二 垂直关系求轨迹
题型三 角度关系求轨迹
题型四 定长或长度关系求轨迹
题型五 作出截面
题型六 求截面的周长或面积
题型七 截面与体积
题型一 平行关系求轨迹
1．如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，M 为 A1C1的中点 N 为侧面BCC1B1上的一点，且 MN//平面 ABC1，若
点 N 的轨迹长度为 2，则（ ）
A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
2．在边长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 M 是该正方体表面上一个动点，且BM / /平面 AD1C ，则动
点 M 的轨迹的长度是 .
3．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，点E 是线段DD1的中点，点M 是正方形B1BCC1所在平面内
一动点，若D1M // 平面 A1BE ，则M 点轨迹在正方形B1BCC1内的长度为 .
4．如图所示，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，点 E，F 分别是棱 AD, DD1的中点，点 P 是侧面B1BCC1
内一点（含边界）．若D1P// 平面BEF ，则下列说法正确的有 ．
①点 P 的轨迹为一条线段
②三棱锥P - BEF 的体积为定值
é
DP 5 , 3
ù
③ 的取值范围是 ê
2 2
ú
5
④直线D1P与 BF 所成角的余弦值的最小值为 5
1
5．在四边形 ABCD 中，BC //AD ， AB = BC = CD = AD2 ，P 为空间中的动点，PA = PB = AB = 2，E 为 PD
的中点，则动点 E 的轨迹长度为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2π D． 3π
6．如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AA1，D，E 分别为 AA1， AC 的中点．若侧面BB1C1C 的中心
为O，M 为侧面 AA1C1C 内的一个动点，OM / / 平面BDE ，且M 的轨迹长度为3 2 ，则三棱柱 ABC - A1B1C1
的表面积为 ．
题型二 垂直关系求轨迹
7．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是正方形， AP = AB = 4 ，侧棱PA ^底面 ABCD，T 是CD 的
中点，Q是△PAC内的动点，TQ ^ BP，则Q的轨迹长为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 2 D． 2 3
8．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 是边长为 2 的正三角形， AA1 =1，N 为棱 A1B1 上的中点，M
为棱CC1 上的动点，过 N 作平面 ABM 的垂线段，垂足为点 O，当点 M 从点 C 运动到点C1时，点 O 的轨迹
长度为（ ）
π π
A． B．
6 2
π π
C． D．
3 12
9．如图，在圆柱OO1 中，AB 为底面直径，E 是 AB 的中点，D 是母线 BC 的中点，M 是上底面上的动点，
若 AB = 8, BC = 6 ，且ME ^ AD，则线段 OM 的轨迹面积为（ ）
9
A B 15 511 C 45 511． ． ． D．6
16 16 16
10．正四棱锥 S - ABCD 的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE ^ AC ，
则动点 P 的轨迹的周长为（ ）
A． 6 + 2 B． 6 - 2 C．4 D． 5 +1
p
11．如图， AB 为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知 AOC = ，OA = 2，圆柱的高为
2
5．若点D在圆柱表面上运动，且满足BC ^ AD ，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ．
12．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，BC = CC1 = 3， AC = 4， AC ^ BC ，动点 P 在△A1B1C1内（包括边
界上），且始终满足BP ^ AB1，则动点 P 的轨迹长度是 .
题型三 角度关系求轨迹
13．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 3，点 P 是平面 ACB1内的动点，M，N 分别为C1D1，B1C 的中
5
点，若直线 BP 与 MN 所成的角为q ，且 sinq = ，则动点 P 的轨迹所围成的图形的面积为（ ）
5
3π π π π
A． B． C． D．
4 2 3 4
14．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 为正方形 A1B1C1D1内的动点，满足直线 BP 与下底面
ABCD 所成角为60°的点 P 的轨迹长度为（ ）
A 3． B 3． π C． 3 D 3． π
3 6 2
15．已知正四面体 S - ABC 的棱长为 2 3 ，点 M 为平面 ABC 内的动点，设直线 SM 与平面 ABC 所成的角为
q ，若 sinq 2 2 [ ,1]，则点 M 的轨迹所形成平面图形的面积为（ ）
3
π
A． B． π C．2π D．4π
4
16．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，E 为CD 的中点，且点 P 在四边形BCC1B1内部及其边界上运
动，（1）若总是保持EP// 平面BDD1B1，则动点 P 的轨迹长度为 ；（2）若总是保持 AP 与 AB 的夹角为
30°，则动点 P 的轨迹长度为 .
17．粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒
形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四角粽子”，其外形近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，
既可以节约原料，又不失饱满，而且十分美观．如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥P - ABC ，其侧棱和
底面边长分别是 8cm 和 6cm，O是顶点 P 在底面 ABC 上的射影．若D是底面 ABC 内的动点，且直线PD与
底面 ABC 2 39所成角的正切值为 ，则动点D的轨迹长为 ．
3
π
18．已知 A, B,C, P是半径为 2 的球面上的四点，且 AB AC 2, AB AC ．二面角 P - BC - A的大小为 ，
4
则点 P 形成的轨迹长度为 ．
19．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，M 为棱 B1C1 的中点，N 为底面正方形 ABCD 上一动点，且直
π
线 MN 与底面 ABCD 所成的角为 ，则动点 N 的轨迹的长度为 ．
3
题型四 定长或长度关系求轨迹
20 5．在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 Q 为侧面BB1C1C 内一动点（含边界），若D1Q = ，则点2
Q 的轨迹长度为 ．
21．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 3，动点 P 在VAB1C 内，满足D1P = 14 ，则点 P 的轨迹长度为 .
22．如图所示，四棱锥P- ABCD的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ^底面 ABCD，
点M 在正方形 ABCD内运动，且满足MP = MC ，则点M 在正方形 ABCD内的轨迹一定是（ ）
A． B．
C． D．
23．如图，在棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1BC1内一个动点，且满足
PD + PB1 = 2 + 13，则点 P 的轨迹长度为 ．
24．如图，正方体 ABCD - A1BlClDl 中， P 为底面 ABCD上的动点，且 PE ^ A1C 于E ，且PA = PE ，则点 P
的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆弧
C．抛物线的一部分 D．以上答案都不对
题型五 作出截面
25．作出平面PQR 与四棱锥 A - BCDE 的截面，截面多边形的边数为 ．
26．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点E，F分别是棱 AA1， A1D1的中点，过点D1作出正方体 ABCD - A1B1C1D1
的截面，使得该截面平行于平面BEF ．
作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；
（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．）
27．如图， 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ， 点E 为棱CC1 的中点.
(1)证明： AC1 // 平面BDE .
(2)证明： AC1 ^ BD .
(3)在图中作出平面BED1截正方体所得的截面图形 (如需用到其它点， 需用字母标记 并说明位置)， 并说
明理由.
28．一个四棱锥木块如图所示，点 O 在△PBC 内，过点 O 将木块锯开，使截面平行于直线 PC 和 AB，请作
出截面，即画出截面与木块表面相交的每条线段，并说明作法及理由．
29．如图，作出平面 EFG 截长方体所得的截面（不必写出画图步骤，但需保留作图痕迹）．
30．如图，正四面体 A - BCD棱长为 6．
（1）求正四面体 A - BCD的体积；
（2）若 P 是侧面 ACD内的一点，过点 P 作一个截面a ，使得 AB 与CD 都与截面a 平行，作出截面a 与正
四面体 A - BCD各面的交线，并写出作法．
31．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，现要作一个截面去截这个正方体，且过 E，G，C1三点，其中 E，G 分
别是 A1D1，AB 的中点，请在图上作出截面，保留作图痕迹，并写出作法．
题型六 求截面的周长或面积
32．在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 =2AB=4，点E, F ,G 分别是 AA1, A1B1， B1C1 的中点，则过点E, F ,G
的平面截正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 所得截面多边形的周长为（ ）
A． 2 2 + 3 3 B． 2 2 + 3 5 C．2 2 + 4 3 D． 2 2 + 4 5
33．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 6， P 为BC的中点，Q为CC1 的中点，过点 A1, P,Q 的平面截正
方体所得的截面周长为 ．
34．如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1B1 的中点是 P，过点 A1作与截面 PBC1平行的截面，
则该截面的周长为（ ）
A． 4 2 B． 2 5 C．8 5 D．4
a
35．四棱锥 S - ABCD 的底面为矩形，BC = a ， AB = 2a，高 SO = ，O 为底面对角线的交点，过底面对2
角线 BD 作截面使它平行于 SA，并求出此截面的面积.
36．如图，已知正方体 ABCD- A B C D 的棱长为 1，M ,N 分别是线段BB ,DD 上靠近B,D 的三等分点．过
点 A ,M ,N 作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积．
37 ． 已 知 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 ， 其 中 AC ^ CC1 ， CC1 ^ B1C1 ， 点 P 是 BB1的 中 点 ， 连 接 AC1，
AC = CC1 = B1C1 = 2，异面直线 AC 和 B1C1 所成角记为q ．
1
(1)若 cos q = ，求三棱柱外接球的表面积；
3
(2)若 cos q = 0，则在过点 P 且与 AC1平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，求该截面面积．
题型七 截面与体积
38．已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 ，过底边BC的平面与上底面交于线段MN ，若截面BCMN 将三棱柱分成了
MN
体积相等的两部分，则 =（ ）
BC
A 3 -1． B．1 3 3 - 3- C． D．3 3 3-
2 2 2 2
39．在如图所示的几何体中，DE //AC ， AC ^平面BCD， AC = 2DE = 4，BC = 2，DC =1，
BCD = 60o .
(1)证明：BD ^平面 ACDE ；
(2)过点D作一平行于平面 ABE 的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面 ABE 之间的几
何体的体积.
40．（多选）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC = BC = CC1 = 6， AC ^ BC ，E 、F 分别为BB1， A1C1
的中点，过点A 、E 、F 作三棱柱的截面a ，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的表面积为108π
B．BC1 //a
C．若a 交 B1C1 于M ，则EM = 3 2
D．a 将三棱柱 ABC - A1B1C1 分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为13: 5
41．正三棱台 ABC - A1B1C1 的上底面边长为 a，下底面边长为 2a，且 AE = A1E ，过 B，C1，E 三点作一个
截面将棱台分成两部分，求这两部分的体积之比．
42．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E F 分别为棱 AB CC1的中点.
(1)请在正方体的表面完整作出过点E F D1的截面.（只需写出作图过程，不用证明）
(2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.专题 3.7 立体中的轨迹和截面问题
题型一 平行关系求轨迹
题型二 垂直关系求轨迹
题型三 角度关系求轨迹
题型四 定长或长度关系求轨迹
题型五 作出截面
题型六 求截面的周长或面积
题型七 截面与体积
题型一 平行关系求轨迹
1．如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，M 为 A1C1的中点 N 为侧面BCC1B1上的一点，且 MN//平面 ABC1，若
点 N 的轨迹长度为 2，则（ ）
A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
【答案】B
【详解】如图，
取 B1C1 的中点 D，BB1的中点 E，连接 MD，DE，ME，
由MD / / A1B1 / / AB，DE / /BC1，
又MD 平面 ABC1， AB 平面 ABC1，所以MD / / 平面 ABC1，
同理可得DE / / 平面 ABC1，又MD I DE = D ，MD, DE 平面MDE
所以平面MDE / / 平面 ABC1，又MN / / 平面 ABC1，
故点 N 的轨迹为线段 DE，又由DE
1
= BC1 = 2，可得BC2 1
= 4．
故选：B．
2．在边长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 M 是该正方体表面上一个动点，且BM / /平面 AD1C ，则动
点 M 的轨迹的长度是 .
【答案】3 2
【详解】如图，边长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，
动点 M 满足 BM // 平面 AD1C ，
由面面平行的性质得：当 BM 始终在一个与平面 AD1C 平行的面内，即满足题意，
连接 A1B ，BC1， A1C1，
因为 AB//C1D1 且 AB = C1D1，所以四边形 ABC1D1为平行四边形，
所以 AD1 //BC1，同理 A1B//D1C ，
又 AD1 平面 A1BC1，BC1 平面 A1BC1，所以 AD1 // 平面 A1BC1，
因为D1C 平面 A1BC1， A1B 平面 A1BC1，所以D1C // 平面 A1BC1，
又因 AD1 D1C = D1, AD1, D1C 平面 AD1C ，
所以平面 A1BC1 // 平面 AD1C ，
又B 平面 A1BC1，M 是该正方体表面上一个动点，所以动点 M 的轨迹为VA1BC1 .
因为 A1B = BC1 = A1C1 = 2 ，所以动点 M 的轨迹的长度为 c = 3 2 .
故答案为：3 2 .
3．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，点E 是线段DD1的中点，点M 是正方形B1BCC1所在平面内
一动点，若D1M // 平面 A1BE ，则M 点轨迹在正方形B1BCC1内的长度为 .
5 1
【答案】 / 5
2 2
【详解】如图，取BB1的中点F ，连结DC1,CF , D1F ，
因为 A1D1 //BC,A1D1=BC ，所以四边形D1A1BC 为平行四边形，
所以 A1B//D1C ，又 A1B 平面 A1BE ，D1C 平面 A1BE ，
所以D1C//平面 A1BE .
因为点E 是线段DD1的中点，F 为BB1的中点，
D 1 1所以 1E = D1D ，BF = B1B ，又D1D//B1B, D1D=B B2 2 1
所以D1E //BF , D1E=BF ，所以四边形D1EBF 为平行四边形，
所以FD1 //BE ，BE 又平面 A1BE ，FD1 平面 A1BE ，
所以FD1 // 平面 A1BE .
又D1C I FD1 = D1，又D1C, FD1 平面FD1C .
所以平面 A1BE // 平面FD1C .
当点M 在线段CF 上时，D1M 平面FD1C ,
所以D1M // 平面 A1BE ，
又点M 轨迹在正方形B1BCC1内，所以点M 在线段CF 上，
2
CF = BC 2 + BF 2 = 1+ 1 5 ÷ = .
è 2 2
5
故答案为： .
2
4．如图所示，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，点 E，F 分别是棱 AD, DD1的中点，点 P 是侧面B1BCC1
内一点（含边界）．若D1P// 平面BEF ，则下列说法正确的有 ．
①点 P 的轨迹为一条线段
②三棱锥P - BEF 的体积为定值
é 5 3 ù
③ DP 的取值范围是 ê ,
2 2
ú
④直线D1P与 BF
5
所成角的余弦值的最小值为
5
【答案】①②
【详解】对于①，分别取BB1, B1C1中点G, H ，连接D1G,GH , D1H , BC1, AD1，
QD1F //BG，D1F = BG
1
= BB1，\四边形BFD1G 为平行四边形，\D1G//BF ，2
QBF 平面BEF ，D1G 平面BEF ，\D1G// 平面BEF ；
QEF //AD1 //BC1 //GH ，EF 平面BEF ，GH 平面BEF ，\GH // 平面BEF ；
QD1G IGH = G ，D1G,GH 平面D1GH ，\平面BEF // 平面D1GH ；
则当D1P 平面D1GH 时，D1P// 平面BEF 恒成立，
又平面D1GH I平面B1BCC1 = GH ，P 平面B1BCC1，
\P点轨迹为线段GH ，①正确；
对于②，由 A 知：GH // 平面BEF ，\点 P 到平面BEF 的距离即为点G 到平面BEF 的距离，
V V V 1 V 1 1 1\ 1 1 2 1P-BEF = G-BEF = E-BFG = 2 A-BFG
= V
4 A-BDFG
= S × AC
12 YBDFG 2 = 2 =
，
12 2 2 24
1
即三棱锥P - BEF 的体积为定值 ，②正确；
24
对于③，连接DG, DH ，
2 2
2
VDGH 1 3 1 3 1
2
1
2
2
在 中，DG = 2 + ÷ = ，DH = 12 +12 + = ，GH = + = ，
è 2 2 2 ÷ 2 2 ÷ 2 ÷è è è 2
2
\ D GH DG2 1 GH 9 1 34点 到 的距离为 - ÷ = - = ，
è 2 4 8 4
é 34 3ù
\ DP 的取值范围为 ê , ，③错误；
4 2
ú
对于④，由 A 知：BF //D1G，\直线D1P与 BF 所成角即为直线D1P与D1G 所成角，即 PD1G ，
则当 P 与 H 重合时， PD1G 取得最大值 HD1G，此时余弦值取得最小值；
2 2
在△D1GH
2
中，D1G 2 1 3 D H 12 1 5 2= + = ， = + = ，GH = ，
è 2 ÷ 2 1 è 2 ÷ 2 2
5 9 1
cos HD G D1H
2 + D G21 - GH
2 + -
4 4 2 2 5\ 1 = = =2D ，1H × D1G 5 3 52
2 2
D P BF 2 5即直线 1 与 所成角的余弦值的最小值为 ，④错误.5
故答案为：①②.
1
5．在四边形 ABCD 中，BC //AD ， AB = BC = CD = AD2 ，P 为空间中的动点，PA = PB = AB = 2，E 为 PD
的中点，则动点 E 的轨迹长度为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2π D． 3π
【答案】D
【详解】解：如图，作 AP 的中点F ，连接 EF ， BF ．因为EF //AD， AD//BC ，
1
所以 EF //BC ．因为EF = AD BC
1
， = AD ，所以EF = BC ，
2 2
故四边形EFBC 为平行四边形，则有CE //BF ，且CE=BF ，则有点F 的轨迹长度与点E 的轨迹长度相同，
过点F 作FH ^ AB 于H ，则点F 3的轨迹是以H 为圆心FH 长为半径的圆，且FH = ，
2
故点F 的轨迹长度为 3π ．
故选：D．
6．如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AA1，D，E 分别为 AA1， AC 的中点．若侧面BB1C1C 的中心
为O，M 为侧面 AA1C1C 内的一个动点，OM / / 平面BDE ，且M 的轨迹长度为3 2 ，则三棱柱 ABC - A1B1C1
的表面积为 ．
【答案】 48 + 8 3 /8 3 + 48
【详解】
连接C1E 交 A1C 于 I ，取C1E 的中点F ，过F 作HG / / A1C ，
分别交CC1, A1C1 于H ,G ，连接HG,OG,OF ,OH , BC1，
易得OF / /BE, HG / /DE ，
因为OF , HG 平面BED ，BE, DE 平面BED ，所以OF / / 平面BED ，
HG // 平面BED ，因为OF HG = F ，且都在面OHG内，所以平面OHG / / 平面BED ，
所以M 的轨迹为线段HG，
1 C1E
因为VCEI
C I AC C F 3
~VA1C1I ，所以 1 = 1 1 = 2,\ 1 = 22 = ，EI CE C1I C E 4
3 1
HG C F 3
因为VC1HG ~VC1CA1，所以 =
1 =
CA C I 4 ，1 1
所以CA 4 21= HG = 4 2,\ AB = AA1 = CA1 = 4，3 2
故三棱柱 ABC - A1B1C
1
1 的表面积为 2 4
3
4 +3 4 4 = 48+8 3 .
2 2
故答案为： 48 + 8 3 .
题型二 垂直关系求轨迹
7．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是正方形， AP = AB = 4 ，侧棱PA ^底面 ABCD，T 是CD 的
中点，Q是△PAC内的动点，TQ ^ BP，则Q的轨迹长为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 2 D． 2 3
【答案】B
【详解】
先找到一个平面总是保持与BP垂直，取BP，CP 的中点E ，F ，连接 AE ， EF ，DF .
因为 ABCD是正方形，所以 AB ^ AD .因为 PA ^底面 ABCD .所以 PA ^ AD .又 PAI AB = A，所以 AD ^ 平面
PAB .所以 AD ^ PB .
因为在VPAB 中， AP = AB ，E 为BP的中点，所以 AE ^ PB .又 AE AD = A，所以BP ^ 平面 AEFD .
进一步.取 BE ，CF ， AB 的中点M ， N ，S，连接MS ，MN ， NT ， ST ，易证平面MNTS / / 平面 AEFD .
故BP ^ 平面M N TS ，
记STIAC=O，又Q是△PAC内的动点，
根据平面的基本性质得：点Q的轨迹为平面M N TS 与平面PAC 的交线段 NO，
在VNOC 6中， NC = 3，CO = 2 2 ， cos NCO = ，
3
由余弦定理得: NO2 = 8+3-2 2 2 3 6 = 3 .故 NO = 3 .
3
故选:B.
8．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 是边长为 2 的正三角形， AA1 =1，N 为棱 A1B1 上的中点，M
为棱CC1 上的动点，过 N 作平面 ABM 的垂线段，垂足为点 O，当点 M 从点 C 运动到点C1时，点 O 的轨迹
长度为（ ）
π π
A． B．
6 2
π π
C． D．
3 12
【答案】A
【详解】取 AB 中点 P，连接 PC，C1N ，如图：
因为PC ^ AB，PN ^ AB，且PC PN = P，PC 平面PCC1N ，PN 平面PCC1N ，
所以 AB ^ 平面PCC1N ，又 AB 平面 ABM ，所以平面 ABM ^平面PCC1N ，
过 N 作 NO ^ PM ，又平面 ABM 平面PCC1N = PM ， NO 平面PCC1N ，
所以 NO ^平面 ABM ，当点 M 从点 C 运动到点C1时，O 点是以 PN 为直径的圆 Q（部分），
π π
当点 M 到点C1时，O 点到最高点，此时PC = 3 ，CC1 = 1， CPC1 = ，所以 OPQ = ，6 3
从而 OQP
π l π 1 π π= ，所以弧长 = = ，即点 O 的轨迹长度为 .
3 3 2 6 6
故选：A.
9．如图，在圆柱OO1 中，AB 为底面直径，E 是 AB 的中点，D 是母线 BC 的中点，M 是上底面上的动点，
若 AB = 8, BC = 6 ，且ME ^ AD，则线段 OM 的轨迹面积为（ ）
9
A B 15 511 C 45 511． ． ． D．6
16 16 16
【答案】B
【详解】如图，
连接 OE，作ON ^ AD ，交 CF 于点 N，
QE 是 AB 的中点，
\OE ^ AB ，
QBC ^平面 ABE，OE 平面 ABE，
\ BC ^ OE ，
Q AB BC = B ，AB，BC 平面 ABCF，
\OE ^平面 ABCF，又 AD 平面 ABCF，
\OE ^ AD，
又ON ^ AD ，OE ION = O ，OE，ON 平面 ONE，
\ AD ^平面 ONE，设平面 ONE 与上底面交于 PQ，
QME ^ AD，
∴点 M 的轨迹为 PQ，线段 OM 的轨迹为等腰三角形OPQ ，
Q AB = 8，BC = 6，D 是母线 BC 中点，
tan BAD tan O ON BD 3\ = 1 = = ，AB 8
2
\O N = OO tan 9 O ON = PQ 2 42 9 5 7， = - = ， NO = OO2 + O N 2 3 731 1 1 4 4 ÷ 1 1
= ，
è 2 4
S 1 ON PQ 1 3 73 5 7 15 511\ △OPQ = × = = .2 2 4 2 16
故选：B.
10．正四棱锥 S - ABCD 的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE ^ AC ，
则动点 P 的轨迹的周长为（ ）
A． 6 + 2 B． 6 - 2 C．4 D． 5 +1
【答案】A
【详解】如图，设 AC, BD 交于O，连接 SO ，由正四棱锥的性质可得， SO ^ 平面 ABCD，因为 AC 平面
ABCD，故 SO ^ AC .
又BD ^ AC ， SO BD = O ， SO，BD 平面 SBD，故 AC ^平面 SBD .
由题意，PE ^ AC 则动点 P 的轨迹为过 E 且垂直 AC 的平面与正四棱锥 S - ABCD 的交线，即如图EFG ，则
AC ^平面EFG .
由线面垂直的性质可得平面 SBD / / 平面 EFG ，又由面面平行的性质可得 EG / /SB ，GF / /SD ， EF / /BD ，
又 E 是边BC的中点，故EG,GF , EF 分别为VSBC,VSDC,VBCD 的中位线.
由题意BD = 2 2, SB = SD = 22 + 2 = 6 ，故EG + EF + GF
1
= 6 + 6 + 2 2 = 6 + 2 .2
即动点 P 的轨迹的周长为 6 + 2 .
故选：A
p
11．如图， AB 为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知 AOC = ，OA = 2，圆柱的高为
2
5．若点D在圆柱表面上运动，且满足BC ^ AD ，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ．
【答案】10 2
【详解】因为 AB 是圆柱下底面圆O的直径，
所以BC ^ AC ，
又BC ^ AD ， AC I AD = A， AC ， AD 平面 ACD，
所以BC ^平面 ACD，
设过 A 的母线与上底面的交点为E ，过C的母线与上底面的交点为F ，连 EF ，CF ， AC ，
则四边形 AEFC 为矩形，
因为 AE ^ 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，
所以 AE ^ BC ，
因为 AE I AC = A， AE ， AC 平面 ACFE，
所以BC ^平面 ACFE，
所以点D在平面 ACFE内，
又点D在圆柱的表面，
所以点D的轨迹所围成图形是矩形 AEFC ，
π
依题意得 AE = 5，OA = OC = 2， AOC = ，
2
所以 AC = 2 2 ，
所以矩形 AEFC 的面积为5 2 2 =10 2 ，
故点D的轨迹所围成图形的面积为10 2 ．
故答案为：10 2 ．
12．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，BC = CC1 = 3， AC = 4， AC ^ BC ，动点 P 在△A1B1C1内（包括边
界上），且始终满足BP ^ AB1，则动点 P 的轨迹长度是 .
12
【答案】
5
【详解】在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，BB1 ^ 平面 ABC ，
因为 AC 平面 ABC ，所以， AC ^ BB1，
又因为 AC ^ BC ，BC I BB1 = B，BC、BB1 平面BB1C1C ，
所以， AC ^平面BB1C1C ，
因为BC1 平面BB1C1C ，所以，BC1 ^ AC，
因为BB1 //CC1 ，BB1 = CC1 = BC ，则四边形BB1C1C 为菱形，所以，BC1 ^ B1C ，
又因为 AC B1C = C ， AC 、 B1C 平面 AB1C ，所以，BC1 ^ 平面 AB1C ，
因为 AB1 平面 AB1C ，所以，BC1 ^ AB1 .
在平面 A1B1C1内，过点C1作C1H ^ A1B1，垂足为点H ，
因为BB1 ^ 平面 A1B1C1，C1H 平面 A1B1C1，则C1H ^ BB1，
因为C1H ^ A1B1，BB1 I A1B1 = B1 ，BB1、 A1B1 平面 AA1B1B，
所以，C1H ^ 平面 AA1B1B，
因为 AB1 平面 AA1B1B，则 AB1 ^ C1H ，
因为BC1 IC1H = C1，BC1、C1H 平面BC1H ，所以， AB1 ^平面BC1H ，
由于动点 P 又在△A1B1C1内，所以动点 P 在平面 A1B1C1与平面BC1H 的交线C1H 上，
因为 A1C1 = AC = 4，B1C1 = BC = 3， A1C1 ^ B1C1 ，
所以， A1B1 = A1C
2
1 + B1C
2
1 = 4
2 + 32 = 5，
由等面积法可得C H
AC × B C 4 3 12
1 =
1 1 1 1 = =
A1B1 5 5
，
12
因此，动点 P 的轨迹长度是 .
5
12
故答案为： .
5
题型三 角度关系求轨迹
13．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 3，点 P 是平面 ACB1内的动点，M，N 分别为C1D1，B1C 的中
5
点，若直线 BP 与 MN 所成的角为q ，且 sinq = ，则动点 P 的轨迹所围成的图形的面积为（ ）
5
3π π π π
A． B． C． D．
4 2 3 4
【答案】A
【详解】如图所示，连接BD1，BC1，则 N 为BC1的中点，又 M 为C1D1的中点，所以MN / /BD1，
因此直线 BP 与 MN 所成的角就是直线 BP 与BD1所成的角，
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，可得 AC ^ BD ，
因为DD1 ^平面 ABCD， AC 平面 ABCD，可得 AC ^ DD1，
又因为BD I DD1 = D且BD, DD1 平面BDD1B1，所以 AC ^平面BDD1B1，
因为BD1 平面BDD1B1，所以 AC ^ BD1，同理可得 AB1 ^ BD1，
因为 AC AB1 = A，且 AC, AB1 平面 ACB1，所以 BD1 ^平面 ACB1，则 PBD1 = q ．
设BD1与平面 ACB1的交点为 G，连接 PG，所以BD1 ^ PG，
tanq PG在直角△PGB 中， = ，因为 sinq 5= ，所以 tanq
PG 1
= = ，
BG 5 BG 2
BG 1= BD 1= 32 + 32 + 32又由 1 = 3
3
，所以
3 3 PG =
，
2
所以点 P 3 3 3π的轨迹是以 G 为圆心， 为半径的圆，其面积为 π ( )2 = .
2 2 4
故选：A.
14．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 为正方形 A1B1C1D1内的动点，满足直线 BP 与下底面
ABCD 所成角为60°的点 P 的轨迹长度为（ ）
A 3 3 3． B． π C． 3 D． π
3 6 2
【答案】B
【详解】直线 BP 与下底面 ABCD 所成角等于直线 BP 与上底面 A1B1C1D1所成角，
连接B1P ，因为BB1⊥平面 A1B1C1D1，PB1 平面 A1B1C1D1，
所以BB1⊥PB1，故 BPB1为直线 BP 与上底面 A1B1C1D1所成角，
则 BPB1 = 60°，
因为BB1 =1
BB 3
，所以PB 11 = = ，tan 60° 3
3 1
故点 P 的轨迹为以B1为圆心， 为半径，位于平面 A1B1C3 1
D1内的圆的 ，4
1 3 3
故轨迹长度为 2π = π .
4 3 6
故选：B
15．已知正四面体 S - ABC 的棱长为 2 3 ，点 M 为平面 ABC 内的动点，设直线 SM 与平面 ABC 所成的角为
q ，若 sinq 2 2 [ ,1]，则点 M 的轨迹所形成平面图形的面积为（ ）
3
π
A． B． π C．2π D．4π
4
【答案】B
【详解】在正四面体 S - ABC 中，顶点S在底面 ABC 的投影为正VABC 的中心，即 SO ^ 平面 ABC ，
因为正四面体 S - ABC 2 3 AO 2 3的棱长为 ，所以 = 2 3 = 2，
3 2
所以 SO = SA2 - AO2 = 12 - 4 = 2 2 ，
因为直线 SM SO 2 2与平面 ABC 所成的角为q ，所以 sinq = = ，
SM SM
sinq [2 2 ,1] 2 2 2 2因为 ，所以 [ ,1]，
3 SM 3
所以 2 2 SM 3，
因为OM = SM 2 - SO2 = SM 2 -8 ，所以0 OM 1，
所以点M 的轨迹是以O为圆心，1 为半径的圆面，
所以点 M 的轨迹所形成平面图形的面积为 π，
故选：B
16．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，E 为CD 的中点，且点 P 在四边形BCC1B1内部及其边界上运
动，（1）若总是保持EP// 平面BDD1B1，则动点 P 的轨迹长度为 ；（2）若总是保持 AP 与 AB 的夹角为
30°，则动点 P 的轨迹长度为 .
【答案】 2 3 π
3
【详解】分别取BC, B1C
1 1
1的中点F ,G ，连接EF , FG, EG，则BF = BC, B1G = B2 2 1
C1，
因为BC∥ B1C1 ，BC = B1C1，所以 BF ∥B1G ，BF = B1G ，
所以四边形BFGB1为平行四边形，所以BB1∥ FG ，
因为E 为CD 的中点，所以 EF ∥BD，
因为EF , FG 平面BDD1B1，BD, BB1 平面BDD1B1，
所以 EF ∥平面BDD1B1， FG ∥平面BDD1B1，
因为EF FG = F ，所以平面EFG ∥平面BDD1B1，
因为平面EFG 平面BCC1B1 = FG ，点 P 在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，EP// 平面BDD1B1，
所以点 P 的轨迹是 FG ，
因为FG = BB1 = 2，所以动点 P 的轨迹长度为 2，
因为 AB ^ 平面BCC1B1，BP 平面BCC1B1，所以 AB ^ BP，
在RtVABP 中， AB = 2, BAP = 30°，则 tan BP 3 BAP = = ，
AB 3
3
所以BP = AB 2 3= ，
3 3
所以点 P 2 3的轨迹是以 B 为圆心， 为半径的一段弧，且圆心角为直角，
3
P 1 2 3 3所以动点 的轨迹长度为 2π = π ，
4 3 3
3
故答案为：2， π
3
【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行的判定，考查求立体图形中的轨迹长度问题，解题的关键是根据
题意求出动点的轨迹，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题.
17．粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒
形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四角粽子”，其外形近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，
既可以节约原料，又不失饱满，而且十分美观．如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥P - ABC ，其侧棱和
底面边长分别是 8cm 和 6cm，O是顶点 P 在底面 ABC 上的射影．若D是底面 ABC 内的动点，且直线PD与
ABC 2 39底面 所成角的正切值为 ，则动点D的轨迹长为 ．
3
【答案】 2 3π
BC
【详解】由题意可知O是底面等边三角形的 ABC 的中心，所以OB = = 2 3 ,
2sin A
2
进而OP = BP2 - OB2 = 82 - 2 3 = 2 13 ,
连接DP, DO ,由于OP ^底面 ABC ，所以 PDO即为直线PD与底面 ABC 所成的角，所以
tan PDO 2 39 OP = = OD = 3 ,
3 OD
因此点D在以O为圆心，半径为 3的圆上运动，所以D的轨迹长为 2π ×OD = 2 3π ,
故答案为： 2 3π
18．已知 A, B,C, P是半径为 2 的球面上的四点，且 AB AC 2, AB AC
π
．二面角 P - BC - A的大小为 ，
4
则点 P 形成的轨迹长度为 ．
【答案】 2 3π
BC
【详解】由题意，VABC 为等腰直角三角形，且外接圆半径 r = = 2 ，圆心为BC中点D，
2
又P - ABC 外接球半径R = 2，球心O，则OD = R2 - r 2 = 2 ，
π
易知：VODA为等腰直角三角形，又二面角P - BC - A的大小为 ，
4
π
由BC为VABC 外接圆直径，且面PBC 面 ABC = BC，则OD与面PBC 所成角为 ，
4
所以O到VPBC 2外接圆圆心距离 d = OD =1，故VPBC外接圆的半径为 R2 - d 2 = 3 ，
2
注意：根据二面角大小及球体的对称性，如上图示，
P 轨迹在大球冠对应VPBC外接圆优弧的一侧，在小球冠对应VP BC 外接圆劣弧的一侧，
所以 P 轨迹长度为 2 3π .
故答案为： 2 3π
19．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，M 为棱 B1C1 的中点，N 为底面正方形 ABCD 上一动点，且直
π
线 MN 与底面 ABCD 所成的角为 ，则动点 N 的轨迹的长度为 ．
3
4 3π
【答案】
9
【详解】如图所示，取 BC 中点 G，连接 MG，NG，由正方体的特征可知 MG⊥底面 ABCD，
故 MN 与底面 ABCD 的夹角即 MNG ，
∴ MNG
π
= MG π，则
3 = tan NG
2 3
= ，
GN 3 3
故 N 点在以 G 2 3为原点 为半径的圆上，又 N 在底面正方形 ABCD 上，
3
即 N 的轨迹为图示中的圆弧E NF ，
BG 1 3 π π π 2π
= = EGB = EGF = π - - =
易知 EG 2 3 2 6 6 6 3 ，
3
2 3 2π 4 3π所以ENF 长为 = .
3 3 9
4 3π
故答案为： .
9
题型四 定长或长度关系求轨迹
20 5．在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 Q 为侧面BB1C1C 内一动点（含边界），若D1Q = ，则点2
Q 的轨迹长度为 ．
p 1
【答案】 / p
4 4
1
【详解】由题意，Q在面BB1C1C 的轨迹是以C1为圆心，半径为 2 的四分之一圆弧，
1 2π 1 π所以轨迹长度为 = .
4 2 4
π
故答案为：
4
21．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 3，动点 P 在VAB1C 内，满足D1P = 14 ，则点 P 的轨迹长度为 .
【答案】 2π
【详解】在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，如图，
DD1 ^平面 ABCD， AC 平面 ABCD，则DD1 ^ AC ，而BD ^ AC ，
DD1 I BD = D，DD1，BD 平面BDD1，于是 AC ^平面BDD1，又BD1 平面BDD1，
则 AC ^ BD1，同理 AB1 ^ BD1，而 AC AB1 = A， AC ， AB1 平面 AB1C ，
因此 BD1 ^平面 AB1C ，令BD1交平面 AB1C 于点E ，
V 1 1由 B- AB C = V1 B1 - ABC ，得 S × BE = S × BB ，3 VAB1C 3 VABC 1
3
即 × 2AB 2 1 1× BE = AB3 ，解得BE = AB = 3，4 2 3
而BD1 = 3AB = 3 3，于是D1E = 2 3 ，
因为点 P 在VAB1C 内，满足D1P = 14 ，则EP = D1P
2 - D 21E = 2 ，
因此点 P 的轨迹是以点E 为圆心， 2 为半径的圆在VAB1C 内的圆弧，
而VAB1C 为正三角形，则三棱锥B - AB1C 必为正三棱锥，E 为正VAB1C 的中心，
VAB C EH AB 3 1 3 2 3 1 6于是正 1 的内切圆半径 = 1 = = ，2 3 2 3 2
π π
则 cos HEF 3= ，即 HEF = ， FEG = ，
2 6 3
1
所以圆在VAB1C 内的圆弧为圆周长的 2 ，
1
即点 P 的轨迹长度为 ×2π × 2 = 2π
2
故答案为： 2π
【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面
平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.
22．如图所示，四棱锥P- ABCD的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ^底面 ABCD，
点M 在正方形 ABCD内运动，且满足MP = MC ，则点M 在正方形 ABCD内的轨迹一定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，可知PD = DC ，则点D符合“点M 在正方形 ABCD内的一个动点，且满足
MP = MC ”，
设 AB 的中点为E ，
因为平面PAD ^平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD = AD ， AD ^ AB， AB 平面 ABCD，所以 AB ^ 平
面PAD ，
因为 AP 平面PAD ，所以 AB ^ AP ，
ì PA = CB
根据题目条件可得 í AE = BE ，所以△PAE 和△CBE 全等，
PAE = CBE = 90°
所以PE = CE ，点E 也符合“点M 在正方形 ABCD内的一个动点，且满足MP = MC ”，
故动点M 的轨迹肯定过点D和点E ，
而M 到点 P 到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，
线段PC的垂直平分面与平面 AC 的交线是一直线，
所以M 的轨迹为线段DE ，
故选：B
23．如图，在棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1BC1内一个动点，且满足
PD + PB1 = 2 + 13，则点 P 的轨迹长度为 ．
【答案】2p
【详解】解：连接 B1D1，因为四边形 A1B1C1D1为正方形，则B1D1 ^ A1C1，
Q DD1 ^平面 A1B1C1D1， A1C1 平面 A1B1C1D1，则 A1C1 ^ DD1，
因为 B1D1IDD1 = D1， B1D1, DD1 平面B1DD1，\ A1C1 ^平面B1DD1，
QB1D 平面B1DD1，\B1D ^ A1C1，
同理可证B1D ^ A1B ，Q A1B A1C1 = A1， A1B, A1C1 平面 A1BC1，\B1D ^平面 A1BC1，
设B1D 平面 A1BC1 = E ，连接PE、 BE ，
因为 A1B = BC1 = A1C1 = 3 2 ， A1B1 = BB1 = B1C1，所以三棱锥B1 - A1BC1为正三棱锥，
2
2
则E 为VA1BC
2 3 2 1 6
1 的中心，则BE = 3 2 - VA BC3 ÷÷ = 6 ，且 1 1 内切圆的半径 r1 = BE = ，è 2 2 2
所以B E = BB2 2 Q \1 1 - BE = 3， B1D = 3 3 ， DE = B1D - B1E = 2 3 ，
QB1D ^ 平面 A1BC1，PE 平面 A1BC1，\PE ^ B1D ，即B1E ^ PE ，DE ^ PE ，
因为PD + PB1 = 2 + 13，即 PE2 +12 + PE2 + 3 = 2 + 13 ，QPE > 0，解得PE =1，
所以点 P 的轨迹是半径为1的圆，因为 r1 >1，所以点 P 的轨迹长为 2 1 p = 2p .
故答案为：2p
24．如图，正方体 ABCD - A1BlClDl 中， P 为底面 ABCD上的动点，且 PE ^ A1C 于E ，且PA = PE ，则点 P
的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆弧
C．抛物线的一部分 D．以上答案都不对
【答案】A
【详解】连接PA1、 AE ，如下图所示：
因为 AA1 ^ 平面 ABCD，PA 平面 ABCD，\PA ^ AA1，
因为 PE ^ A1C ，PA = PE ，PA1 = PA1，所以，Rt△A1AP≌Rt△A1EP，\ AA1 = A1E ，
所以，E 为定点，取线段 AE 的中点F ，连接PF ，
因为PA = PE ，则PF ^ AE ，所以点 P 在过点F 且垂直于线段 AE 的垂面上，
而此垂面与底面 ABCD相交于一条线段，故点 P 的轨迹为线段.
故选：A.
题型五 作出截面
25．作出平面PQR 与四棱锥 A - BCDE 的截面，截面多边形的边数为 ．
【答案】5
【详解】
如下图所示，
延长PQ EB 的延长线于G ，连接GR,GR BC = M ,GR ED的延长线于H ，连接PH , PH AD于 N ，连
接QM , RN ，则五边形PQMRN 即为所求.所以截面多边形的边数为五.
故答案为：5
26．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 AA1， A1D1的中点，过点D1作出正方体
ABCD - A1B1C1D1 的截面，使得该截面平行于平面BEF ．
作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；
（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．）
【答案】作图见解析，理由见解析．
【详解】
设G, H 分别是棱BC,CC1的中点，顺次连接D1, A,G,H ，则四边形D1AGH 即为所求的截面．
理由如下：因为点G, H 分别是棱BC,CC1的中点，故BC1∥ GH ，
又BC1∥ D1A，所以GH ∥ D1A，而两平行直线确定一个平面，所以四边形D1AGH 为平面图形．
因为点 E, F 分别是棱 AA1, A1D1的中点，故D1A∥ EF ，又D1A 平面BEF ，EF 平面BEF ，所以D1A P 平
面BEF ．
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
因为EB = AB - AE, D1H = D1C1 - HC1, AB = D1C1, AE = HC1 ，所以EB = D1H ，又E,B,D1,H 不共线，所以
EB∥ D1H ，
又D1H 平面BEF ，EB 平面BEF ，所以D1H P 平面BEF ，
又D1A D1H = D1，D1A 平面D1AGH ，D1H 平面D1AGH ，
所以平面D1AGH P 平面BEF ．
27．如图， 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ， 点E 为棱CC1 的中点.
(1)证明： AC1 // 平面BDE .
(2)证明： AC1 ^ BD .
(3)在图中作出平面BED1截正方体所得的截面图形 (如需用到其它点， 需用字母标记 并说明位置)， 并说
明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)图形见解析，证明见解析.
【详解】（1）证明：连接 AC ，交BD于点O，连接OE，
因为 ABCD是正方形，所以O为 AC 的中点，又E 为棱CC1 的中点，
所以OE //AC1，OE 平面BDE ， AC1 平面BDE ，
所以 AC1 // 平面BDE ，
（2）证明：在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 ^ 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 AA1 ^ BD ，
又 AC ^ BD ， AC∩AA1 = A， AC, AA1 平面 ACC1A1 ，
所以BD ^平面 ACC1A1 ，
又 AC1 平面 ACC1A1 ，
所以 AC1 ^ BD .
（3）解：如图取 AA1的中点M ，连接 BM 、MD1，则MBED1 为平面BED1截正方体所得的截面，
证明：取DD1的中点 N ，连接 NE 、 AN ，因为E 为棱CC1 的中点
所以 AB//CD 且 AB = CD， NE //CD 且 NE = CD，
所以 AB//NE 且 AB = NE ，
所以四边形 ABEN 为平行四边形，
所以 AN //BE ，
又 AM //ND1且 AM = ND1，
所以四边形 AND1M 为平行四边形，
所以 AN //D1M ，
所以MD1 //BE ，即 B 、E 、D1、M 四点共面，即MBED1 为平面BED1截正方体所得的截面；
28．一个四棱锥木块如图所示，点 O 在△PBC 内，过点 O 将木块锯开，使截面平行于直线 PC 和 AB，请作
出截面，即画出截面与木块表面相交的每条线段，并说明作法及理由．
【答案】答案见解析
【详解】解：如图，过点 O 作 EF∥PC，分别交 PB，BC 于点 E，F，
过点 E 作 EH∥AB，交 PA 于点 H，过点 F 作 FG∥AB，交 AD 于点 G，
连接 GH．∴截面为四边形 EHGF．
理由如下：
∵EH ∥ AB ， FG ∥ AB ，∴EH ∥ FG ，
∴E，F，G，H 四点共面．
∵AB∥EH，EH 平面 EFGH， AB 平面 EFGH，
∴AB∥平面 EFGH．
∵PC∥EF，EF 平面 EFGH，PC 平面 EFGH，
∴PC∥平面 EFGH．
29．如图，作出平面 EFG 截长方体所得的截面（不必写出画图步骤，但需保留作图痕迹）．
【答案】见详解
【详解】
说明：由于不知道E, F ,G 三个点的具体位置，故该图只是可能的一种情形.
30．如图，正四面体 A - BCD棱长为 6．
（1）求正四面体 A - BCD的体积；
（2）若 P 是侧面 ACD内的一点，过点 P 作一个截面a ，使得 AB 与CD 都与截面a 平行，作出截面a 与正
四面体 A - BCD各面的交线，并写出作法．
【答案】（1）18 2 ；（2）答案见解析.
【详解】（1）如图，作△BCD中心O，连接OA，OD，则 AO ^ 平面BCD，
因为正四面体 A - BCD棱长为6，所以OD = 2 3，
则 AO = AD2 - OD2 = 2 6 ，
1
因为△BCD的面积 S = 6 3 3 = 9 3，
2
1
所以四面体 A - BCD的体积为V = S OA =18 2 .
3
（2）如图，
在平面 ACD内过点 P 作与CD 平行的直线，分别与 AC 、 AD 相交于点E 、F ，
在平面 ABD内过点F 作与 AB 平行的直线，与BG相交于点G ，
在平面BCD内过点G 作与CD 平行的直线，与BC相交于点H ，连结EH ，
则截面a 与正四面体 A - BCD各面的交线分别为 EF 、 FG 、GH 、HE ．
31．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，现要作一个截面去截这个正方体，且过 E，G，C1三点，其中 E，G 分
别是 A1D1，AB 的中点，请在图上作出截面，保留作图痕迹，并写出作法．
【答案】见解析.
【解析】关键在于利用平面的基本性质作图，利用两平面的两个公共点确定两平面的交线，从延长C1E 交B1A1
的延长线于 P ，逐次确定截面所在平面与正方体的各有关棱的交点，进而得到截面.
【详解】解：延长C1E 交B1A1 的延长线于 P ,作直线PG ,交 AA1于F ,交B1B 的延长线于Q，连接C1Q ，交BC
于H ，则C1EFGH 即为所求截面.
【点睛】本题考查利用平面的基本性质作几何体的截面图，属中档题.
题型六 求截面的周长或面积
32．在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 =2AB=4，点E, F ,G 分别是 AA1, A1B1， B1C1 的中点，则过点E, F ,G
的平面截正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 所得截面多边形的周长为（ ）
A． 2 2 + 3 3 B． 2 2 + 3 5 C．2 2 + 4 3 D． 2 2 + 4 5
【答案】D
【详解】如图，延长GF 交D1A1的延长线于点M ，交D1C1的延长线于点 N ，
连接ME 并延长交 AD 于点K ，交D1D的延长线于点T ，
连接TN ，分别交CD ，CC1 于点 I ，H ，
连接KI，GH ，则六边形EFGHIK 所在平面即为平面EFG ，
六边形EFGHIK 即为过点E, F ,G 的平面截正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 所得的截面多边形，
由全等三角形可知，K ， I ，H 分别为 AD ，CD ，CC1 的中点，
因为 AA1 =2AB=4，所以EF = GH = EK = HI = 5, FG = KI = 2 ，
所以六边形EFGHIK 的周长为 2 2 + 4 5 ．
故选：D．
33．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 6， P 为BC的中点，Q为CC1 的中点，过点 A1, P,Q 的平面截正
方体所得的截面周长为 ．
【答案】6 13 + 3 2 /3 2 + 6 13
【详解】如图所示，延长 PQ交 B1C1 于点M ，延长QP 交B1B 于点 N ，
连接 A1M 交C1D1与点F ，连接 A1N 交 AB 于点E ，分别连接FQ, EP，
则过点 A1, P,Q 的平面截正方体所得的截面为五边形 A1EPQF ，
因为正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长6，且 P 为BC的中点，Q为CC1 的中点，
1
可得C1M = B1C1 = 3, BN
1
= BB1 = 3
1 1
，所以C1F = C1D1 = 2, BE = AB = 2 ,2 2 3 3
在直角VA1D1F 中，可得 A 21F = A1D1 + D F
2 = 621 + 4
2 = 2 13 ，
在直角VA1AE 中，可得 A 2 2 2 21E = AA1 + AE = 6 + 4 = 2 13 ，
在直角△BEP中，可得EP = BE2 + BP2 = 22 + 32 = 13 ，
在直角VCPQ中，可得PQ = CP2 + CQ2 = 32 + 32 = 3 2 ，
在直角VC1FQ中，可得FQ = C 2 21Q + C1F = 3
2 + 22 = 13，
所以截面的周长为 L = A1E + EP + PQ + QF + FA1 = 6 13 + 3 2 .
故答案为：6 13 + 3 2 .
34．如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1B1 的中点是 P，过点 A1作与截面 PBC1平行的截面，
则该截面的周长为（ ）
A． 4 2 B． 2 5 C．8 5 D．4
【答案】C
【详解】分别取 AB、C1D1的中点F、E，连接 A1E、A1F、FC、CE、PF ，
可得PF //C1C, PF=C1C ，可得四边形PFCC1为平行四边形，可得PC1 //FC, PC1=FC ，
因为EC1 //A1P, EC1=A1P，所以四边形EC1PA1为平行四边形，可得 A1E //PC1, A1E=PC1，
所以 A1E //FC, A1E=FC ，所以四边形 A1ECF 为平行四边形， A1F = EC ，
平面 A1ECF 即为过点 A1的截面，
PC1 平面 A1ECF ， A1E 平面 A1ECF ，所以PC1 // 平面 A1ECF ，
因为 A1P//FB, A1P=FB，所以四边形 A1PBF 为平行四边形，可得 A1F //PB ，
PB 平面 A1ECF ， A1F 平面 A1ECF ，所以PB// 平面 A1ECF ，
且PB I PC1 = P，PB、PC1 平面PBC1，所以平面 A1ECF // 平面PBC1，
A E = A D21 1 1 + D1E
2 = 2 5 ， A F = A 2 21 1A + AF = 2 5 ，
所以截面 A1ECF 的周长为 2 A1E + A1F = 8 5 .
故选：C.
a
35．四棱锥 S - ABCD 的底面为矩形，BC = a ， AB = 2a，高 SO = ，O 为底面对角线的交点，过底面对2
角线 BD 作截面使它平行于 SA，并求出此截面的面积.
11
【答案】作图见解析， a2 .
8
【详解】如图，设 E 是 SC 的中点，连 DE，BD，
因为 ABCD为平行四边形，所以O是 AC 的中点，故OE∥SA，
因为OE 平面BDE ， SA 平面BDE ，
所以平面BDE∥SA，△BDE 的面积即为所求.
易知OA = OB = OC 1= OD = AB2 + BC 2 3a= ，
2 2
所以 SA = SB = SC = SD = SO2 + OB2 = a ，
1 a
由RtVSOC ，知OE = SC = ，
2 2
又△SBC 为正三角形，所以BE 3a= ，
2
2 2 2
在△OBE中，由余弦定理可得 cos OBE OB + BE - OE 5 = = ，
2OB × BE 6
所以 sin OBE 11= ，
6
1
所以 SVBDE = BD × BE ×sin OBE
1 3a 11 11
= 3a = a2 .
2 2 2 6 8
36．如图，已知正方体 ABCD- A B C D 的棱长为 1，M ,N 分别是线段BB ,DD 上靠近B,D 的三等分点．过
点 A ,M ,N 作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积．
13 2 7 17【答案】周长 + ，面积 .
2 24
【详解】
在棱长为 1 的正方体 ABCD- A B C D 中，延长 A M 交直线 AB 于E ，延长 A N 交 AC 延长线于F ，
连接 EF 交BD于G ，交CD 于H ，连接MG, NH ，则五边形 A MGHN 是过点 A ,M ,N 的该正方体的截面，
平面 A MN I平面BDD B = MG ，平面 A MN I平面 ACC A = A F ，平面BDD B / / 平面 ACC A ，
MG EM EG EB BM 1
则MG / / A F ， = = = = = ，
A F A E EF EA AA 3
NH FN FH FC CN 1
同理 NH / / A E ， = = = = = 3，因此 AE = AF = ，
A E A F EF FA AA 3 2
GH 1 EF 1
3
= = 2AE 2= ， A E = A F = 12 + ( )2
13
= ，
3 3 2 2 2
MG = ME = NH = NF 1= A E ，
3
所以截面周长为 A M + MG + A N + NH + GH = A E A F GH 2+ + = 13 + ；
2
等腰△A EF 1 13 3 34底边 EF 上的高为 h = A E2 - ( EF )2 = ( )2 - ( 2)2 = ，
2 2 4 4
则△A EF 的面积 S 1VA EF = EF ×h
1 3 34 3 17
= 2 = ，
2 2 2 4 8
1 1
显然VEMG ∽△EA F ， SVEMG = S9 VA EF
，同理 SVFNH = S9 VA EF
，
S S 2S 7 S 7 3 17 7 17所以截面面积 = VA EF - VEMG = 9 VA EF
= = .
9 8 24
37 ． 已 知 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 ， 其 中 AC ^ CC1 ， CC1 ^ B1C1 ， 点 P 是 BB1的 中 点 ， 连 接 AC1，
AC = CC1 = B1C1 = 2，异面直线 AC 和 B1C1 所成角记为q ．
(1)若 cos q
1
= ，求三棱柱外接球的表面积；
3
(2)若 cos q = 0，则在过点 P 且与 AC1平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，求该截面面积．
【答案】(1)10π或16π
(2) 3 3
2
【详解】（1）
因为CC1 ^ B1C1 ，B1C1 / /BC ，所以CC1 ^ BC ，
又因为 AC ^ CC1， AC 、BC 平面 ABC ， AC BC = C，
所以CC1 ^ 平面 ABC ，故三棱柱 ABC - A1B1C1 为直三棱柱 ，
1
因为异面直线 AC 和 B1C1 所成角的余弦值为 ，3
所以 cos ACB
1
= ± 2 2， sin ACB = ，设该三棱柱外接球球心为点O， 3 3
①当 cos
1
ACB = 时，
3
由余弦定理可得 AB = AC 2 + BC 2 - 2AC × BC ×cos ACB 4 3= ，
3
4 3
AB
由正弦定理可得底面VABC 3外接圆 (M 为圆心 )的直径 2r = = = 6 ，
sin ACB 2 2
3
而MO
CC
= 1 =1 O R MO2 r 2 10，所以球 的半径2 = + =
，
2
所以球O的表面积 S = 4πR2 =10π ，
1
②当 cos ACB = - 时， AB = AC 2 + BC 23 - 2AC × BC ×cos ACB
4 6
= ，
3
同理可得球O的半径R = 2，所以球O的表面积 S = 4πR2 =16π ；
（2）
分别取 AA1， A1C1， B1C1 的中点E ，F ，G ，连接 FG ， EP ， EF ，PG，
则FG / / A
1
1B1 且FG = A B = 2 ，2 1 1
在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，PE是 AA1B1B的中位线，
\PE / / A 11B1且PE = A1B1，\FG / /PE ，且FG = PE ，2
\ E ，F ，G ， P 四点共面，QE ，F 分别为 AA1， A1C1的中点，
\EF / / AC1 ，又EF 平面EFGP， AC1 平面EFGP，
\ AC1 / / 平面EFGP，Q A1C1 = B1C1，且F ，G 分别为 A1C1， B1C1 的中点，
\四边形PEFG即为符合要求的等腰梯形，
当E 不是 AA1的中点时，PE不平行于平面 A1B1C1，过E 作EF / / AC1，
连接PF 得到与 AC1平行的平面，Q三棱柱 ABC - A1B1C1 底面三角形为直角三角形，
\可以将三棱柱补成正方体，过 P 作PK / /EF ，延长PK 与HB1相交于S，
连接 SF 交 B1C1 于点G ，Q PE 不平行于平面 A1B1C1，PE与 FG 共面，
则PE与 FG 不平行，\此时四边形PEFG不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个，
在等腰梯形PEFG中，EP = 2FG = 2 2 ，取 FG ， EP 的中点M ， N ，
MN 6 S 2 + 2 2 6 3 3由图可知， = ，故 PEFG = = ，2 梯形 2 2 2
3 3
所以该截面面积为 .
2
题型七 截面与体积
38．已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 ，过底边BC的平面与上底面交于线段MN ，若截面BCMN 将三棱柱分成了
MN
体积相等的两部分，则 =（ ）
BC
A 3 -1 B 1 3 C 3 - 3． ． - ． D 3 3 3． -
2 2 2 2
【答案】A
【详解】QBC // 平面 A1B1C1，平面BCMN I 平面 A1B1C1 = MN ，BC 平面BCMN ，\BC //MN ；
设VABC 的面积为1，VA1MN 的面积为S，三棱柱 ABC - A1B1C1 的高为 h ，
\三棱台 ABC - A1MN V
1
的体积 ABC- A1MN = 1+ S + S ×h，3
又三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积VABC- A B = h1 1C1 ，
\h 2= 1+ S + S ×h S -1- 3 S -1+ 3，解得：3 = （舍）或 = ，2 2
2 2
QVA MN △A S MN MN MN 3 -11 ∽ 1B1C1，\ = ÷ = ÷ ，即 = S = .1 è B1C1 è BC BC 2
故选：A.
39．在如图所示的几何体中，DE //AC ， AC ^平面BCD， AC = 2DE = 4，BC = 2，DC =1，
BCD = 60o .
(1)证明：BD ^平面 ACDE ；
(2)过点D作一平行于平面 ABE 的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面 ABE 之间的几
何体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)截面为平面DFM 5 3，体积为
6
【详解】（1）在△BCD中， AC = 2DE = 4，BC = 2，DC =1， BCD = 60o ，
由余弦定理得：BD2 = 4 +1- 4cos 60o = 3，\BC 2 = BD2 + DC 2，\BD ^ CD ，
又 AC ^平面BCD，BD 平面BCD，\BD ^ AC ，
Q AC ICD = C ， AC ,CD 平面 ACDE ，\BD ^ 平面 ACDE .
（2）取 AC 的中点F ，BC的中点M ，连接DF , DM , MF ，则平面DFM 即为所求.
理由如下：
QDE //AC ，DE = AF ，\四边形 AEDF 为平行四边形，\DF //AE，
QDF 平面 ABE ， AE 平面 ABE ，\DF // 平面 ABE ，
同理可得：FM // 平面 ABE ，
QDF I FM = F ，DF , FM 平面DFM ，\平面DFM // 平面 ABE ；
由（1）可知：BD ^平面 ACDE ，且FC ^平面CDM ，
QV 1 1B- ACDE = 2 + 4 1 3 = 3 V 1 1 3，3 2 F -CDM = 1 1 sin 60
o 2 = ，
3 2 6
\夹在该截面与平面 ABE 之间的几何体的体积V = V 5 3B- ACDE -VF -CDM = .6
40．（多选）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC = BC = CC1 = 6， AC ^ BC ，E 、F 分别为BB1， A1C1
的中点，过点A 、E 、F 作三棱柱的截面a ，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的表面积为108π
B．BC1 //a
C．若a 交 B1C1 于M ，则EM = 3 2
D．a 将三棱柱 ABC - A1B1C1 分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为13: 5
【答案】AD
【详解】如图所示：
将该三棱柱视为正方体 ABCD - A1B1C1D1 的一部分，
则三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的半径 2R = 6 3， R = 3 3 ，
其表面积为 4πR2 =108π，故 A 正确；
延长 AF 与CC1 交于点 P ，连接PE交 B1C1 于M ，连接 FM ，则平面 AEMF 即为截面a ，
因为FC1∥ AC ，F 是 A1C1中点，所以C1是PC的中点，
PC1 MC1 1
由△MPC1与△MEB1相似，得 = = 2EB MB ，得B1M = B C ，1 1 3 1 1
而E 是BB1的中点，所以ME 与BC1不平行且必相交，
所以BC1与截面a 不平行，故 B 错误；
B M 1因为 1 = B1C1 = 2，又B1E = 3，3
所以在Rt△B1EM 中，则EM = 22 + 32 = 13 ，故 C 错误；
延长PE交BC的反向延长线于点Q，易知VQEB与△MEB1全等，则BQ = B1M = 2，
则a 将三棱柱 ABC - A1B1C1 分成体积较大部分的体积为：
V V 1 1 1 1 1 1P- ACQ - P-FMC -VA-QBE = 6 8 12 - 3 4 6 - 2 3 6 = 78，1 3 2 3 2 3 2
1
所以较小部分的体积为 6 6 6 - 78
78 13
= 30，所以体积之比为 = ，故 D 正确.
2 30 5
故选：AD.
41．正三棱台 ABC - A1B1C1 的上底面边长为 a，下底面边长为 2a，且 AE = A1E ，过 B，C1，E 三点作一个
截面将棱台分成两部分，求这两部分的体积之比．
【答案】2：5
【详解】如图，将台体补成三棱锥 S - ABC ，
SA1 A1B1 1 SC则 = = ， 1
SB
= 1
1
= ，
SA AB 2 SC SB 2
SE 3 V
= 三棱锥S - A B C
1 1 1 1
又 ，于是 1 1 1 = = ，
EA 1 V 1+1 1+1 1+1 8三棱锥S - ABC
1
∴V三棱锥S - A = V1B1C1 8 三棱锥S - ABC
，
V
三棱锥S -EBC1 3 1 3 3又 = = V = V
V
三棱锥S - ABC
，∴
1+ 3 1+1 8 三棱锥S -EBC1 8 三棱锥S - ABC
，
3 1
VA B C V -V -1 1 1 -EBC 1 三棱锥S -EBC1 三棱锥S - A = 1B1C1 8 8 2由此可得 = = ，
VEBC - ABC V 3 51 三棱锥S - ABC -V三棱锥S -EBC 1 1-
8
∴这两部分的体积比为 2：5．
42．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E F 分别为棱 AB CC1的中点.
(1)请在正方体的表面完整作出过点E F D1的截面.（只需写出作图过程，不用证明）
(2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.
【答案】(1)答案见解析
89
(2)
55
【详解】（1）连接D1F 并延长交CD 于 I ，连接 IE 并延长交BC于H ，DA于 J ，连接 JD1交 AA1于G ，
则截面 D 1G E H F 即为所求；
（2）连接DE, D1E, EC, EF ，如图，
则截面下部的体积V2 = VE- ADD1G +VE-CDD1F +VF -EHC .
设正方体的棱长为 1，
V 5 1 1 55则 E- ADD1G = ,V48 E-CDD F
= ,V
1 4 F -EHC
= ，于是V = ，
36 2 144
89
因此截面上下两部分的体积之比为 .
55
