椭 圆
一、椭圆的概念及标准方程
1、若椭圆经过两点，，求该椭圆的方程。
解：设椭圆方程为（），
由得，所以，椭圆方程为．
点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系
3、（2009全国卷Ⅰ文）已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=
(A) (B) 2 (C) (D) 3
解:过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
作业：1、（2009广东卷）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一
点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．
【解析】，，，，则所求椭圆方程为.
2、（2009陕西卷）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析:将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以，故选C
二、椭圆的性质
1、（2009全国卷Ⅰ）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点
若,则=( )
A. B. 2 C. D. 3
【解析】过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
2、（2009浙江）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）21世纪教育网
A． B． C． D．
【解析】对于椭圆，因为，则 21世纪教育网
3、（2009重庆卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
解法1，因为在中，由正弦定理得
则由已知，得，即
设点由焦点半径公式，得则
记得由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率
解法2 由解析1知由椭圆的定义知 ，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.
作业：1、（2009江西卷）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D． 21世纪教育网
【解析】因为，再由有从而可得，故选B
2、（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
解：直线的方程为：；直线的方程为：
二者联立解得：， 则在椭圆上，
， 解得：
三、双曲线的性质
1、（2009江西卷）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A． B． C． D．3
【解析】由有,则,故选B.
2、（2009四川卷）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝( )
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.∴·＝
3、（2009全国卷Ⅱ）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交
于两点，若,则的离心率为 ( )
m A． B. C. D.
【解析】设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角,
由双曲线的第二定义有.
又 .
4、（2009辽宁卷）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。
【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4
而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立
作业：1、（2009全国卷Ⅰ）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.2 C. D.
【解析】设切点，则切线的斜率为.
由题意有又解得: .
2、（2009浙江）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( )
A． B． C． D．
【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有
，因．
3、(2009湖南卷)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 .
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率.
四、抛物线方程
1、（2009宁夏海南卷）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。
【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，
得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故.
五、抛物线的性质
1、（2009全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解析：（1）设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A；
2、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。
能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是 ．（要求填写合适条件的序号）
答案：②，⑤
解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤。
3、对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ）
A.（－∞，0） B.（－∞，2 C.［0，2］ D.（0，2）
答案：B解析：设点Q的坐标为（，y0），由 |PQ|≥|a|，得y02+（－a）2≥a2.
整理，得：y02（y02+16－8a）≥0，∵y02≥0，∴y02+16－8a≥0.即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2.∴a≤2.选B。
4、（2009北京）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）
A．直线上的所有点都是“点” B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点 D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
【解析】如图，
设，则，
∵，∴
消去n,整理得关于x的方程 （1）
∵恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.
5、（2009四川卷）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A.2 B.3 C. D.
【解析1】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。
作业：1、(2009山东卷)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A. B. C. D.
【解析】 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B.
2、（2009全国卷Ⅱ）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k= ( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=.
3、（2009天津卷）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=( )
A. B. C. D.
解：由题知，
又
由A、B、M三点共线有
即，故， ∴，故选择A。
圆锥曲线作业
1、已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ C ）
A、 B、 C、 D、
2、已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( D )
A． B． C．（1，2） D．
3、对于曲线C∶=1，给出下面四个命题：
①由线C不可能表示椭圆；
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜
其中所有正确命题的序号为___③④__________.
4、已知在直角坐标系中，两定点坐标为A（-4,0），B（4，0），一动点M（x,y）满足条件，则点M的轨迹方程是
5、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F（c,0）（c>0）的准线（准线方程x＝,其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于点P、Q。
求椭圆方程；
求椭圆的离心率；
若，求直线PQ的方程。
解：（1）由已知得，解得： 所求椭圆方程为
（2）因，得
（3）因点即A（3，0），设直线PQ方程为………………8分
则由方程组，消去y得：
设点则……………………10分
因，得，
又，代入上式得
，故
解得：，所求直线PQ方程为
圆锥曲线综合题
题型1：圆锥曲线中最值和范围问题
1、（2009四川卷）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A.2 B.3 C. D.
【解析1】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。
【解析2】如图，由题意可知
2、（2009陕西卷）已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。
（1）求双曲线C的方程；
(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。
方法一 解（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，所以所以
由所以曲线的方程是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为
设由
将P点的坐标代入因为
又所以
记则
由又S（1）=2，当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值，所以面积范围是
作业：1、（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。
题型2：定值问题
1、（2009辽宁卷）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
求椭圆C的方程；
E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
（Ⅰ）解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为。 因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。所以椭圆方程为 ．
（Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得，代入得
设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以，
。 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得
， 。所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值，其值为。
2、（2009北京）已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得， ∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，
化简得.由及得，
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，且，设A、B两点的坐标分别为，
则，∵，且
，
.∴ 的大小为.
【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为，化简得.由及得
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，设A、B两点的坐标分别为，
则，∴，∴ 的大小为.
（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.
作业：1、已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线C交于两点，，且（，且为常数）.过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛物线于点D，连结AD、 BD得到.
（1）求证：；
（2）求证：的面积为定值.
解 （1）依题意得：，解得.所以抛物线方程为 .
（2）由方程组消去得：.（※）依题意可知：.
由已知得，. 由，得，
即，整理得.所以 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知中点，所以点，依题意知.又因为方程（※）中判别式，得.
所以 ，由（Ⅱ）可知，所以.
又为常数，故的面积为定值.
题型3、存在性问题
1、(2009年广东卷)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程
(2)求的面积
(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
解（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：.
(2 )点的坐标为
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
2、（2009福建卷）已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线
分别交于两点。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由
解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而
由得0
设则得，从而 即又
由得故
又 当且仅当，即时等号成立
时，线段的长度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时， 此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或
作业：1、（2009全国卷Ⅱ）
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
解（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为
， 故 ， 由 ，得 ，=
（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。
由 （Ⅰ）知C的方程为+=6. 设
(ⅰ) C 成立的充要条件是， 且
整理得
故 ①
将
于是 , =,
代入①解得，，此时于是=， 即
因此， 当时，， ；
当时，， 。
（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。
综上，C上存在点使成立，此时的方程为.
题型4：知识交汇题
1、（2009宁夏海南卷）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个
焦点的距离分别是7和1
（1）求椭圆的方程‘
（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 { 解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得
而，故 ① 由点P在椭圆C上得 ，
代入①式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.
2、（2009广东卷）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．
（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；
（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．
解（1）联立与得，则中点，
设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，
∴化简可得，又点是上的任一点，
且不与点和点重合，则，即，
∴中点的轨迹方程为（）.
（2）曲线，
即圆：，其圆心坐标为，半径
由图可知，当时，曲线与点有公共点；
当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.
作业：1、（2009安徽卷）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；
（II）证明:构成等比数列.
证明 （I）（方法一）由得代入椭圆,
得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.
(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得
即故P与Q重合。
（方法三）在第一象限内，由可得
椭圆在点P处的切线斜率
切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。
根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。
（II）的斜率为的斜率为
由此得构成等比数列。
2、（2009江西卷）如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.
（1）求圆的半径;
（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，
证明：直线与圆相切．
（1）解 设，过圆心作于,交长轴于
由得,即 (1)
而点在椭圆上, (2)
由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）
(2) 证明设过点与圆相切的直线方程为:
(3)则,即 (4)解得
将(3)代入得,则异于零的解为
设,，则
则直线的斜率为：
于是直线的方程为: 即
则圆心到直线的距离
故结论成立.
直线与圆锥曲线的位置关系
一、直线与椭圆的位置关系
1、已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
解析：a=3,b=1,c=2，则F（-2，0）。由题意知：与
联立消去y得：。
设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，，，又因为A、B、F都是直线上的点，
所以|AB|=
点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。
2、已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
解析：设椭圆C的方程为，由题意a=3，c=2，于是b=1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1．由得10x2＋36x＋27＝0，
因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝，故线段AB的中点坐标为（）
作业：1、中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程
解析：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得
把直线方程代入椭圆方程整理得：。
设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：
，又AB的中点横坐标为，
，与方程联立可解出
故所求椭圆的方程为：。
2、(2009湖北卷)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是
A. B.
C. D.
【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是
联立可得由可解得A
二、直线与双曲线的位置关系
1、（1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
（2）直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
解析：（1）解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，
， ∴，
，当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
化简得：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和。
（2）把代入整理得：……（1）
当时，。由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。若A、B在双曲线的同一支，须>0 ，所以或。
故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。
点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条
作业：1、求直线被双曲线截得的弦长；
解析：由得得（*）
设方程（*）的解为，则有 得，
2、过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。
解析：设双曲线的方程为，，渐近线，则过的直线方程为，则，代入得，
∴即得，∴，即得到。
三、直线与抛物线的位置关系
1、已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。
解析：设与抛物线交于
由距离公式|AB|==
由
从而由于p>0，解得
2、直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_____.
解法一：设直线y=x－1与抛物线y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中点为P（x0，y0）。
由题意得，（x－1）2=4x，x2－6x+1=0。∴x0==3.y0=x0－1=2.∴P（3，2）。
解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22－y12=4x2－4x1，=4.∴y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。
故中点为P（3，2）。
3、(2009山东卷)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A. B. C. D.
解：抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B.
4、（2009全国卷Ⅱ）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k= ( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=.
作业：1、（2009宁夏海南卷）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.
【解析】抛物线的方程为，
2、（2009福建卷）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________
【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。
轨 迹 方 程
一、直接法
1、一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆方程分别配方得：，，
当与相切时，有 ①
当与相切时，有 ②
将①②两式的两边分别相加，得，
即 ③
移项再两边分别平方得：
两边再平方得：，整理得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。由解法一可得方程，
由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，
∴，，∴，，∴，∴圆心轨迹方程为。
二、定义法
1、若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ D ）21世纪
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
三、相关点代入法
1、双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。
解：如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴
∴已知双曲线两焦点为，∵存在，∴
由三角形重心坐标公式有，即 。∵，∴。
已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有
即所求重心的轨迹方程为：。
练习：1、设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线与圆C:(1解（1）因为,,,所以, 即.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆
当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.
(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或
也满足.综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,
即有唯一解
则△=, 即, ②
由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 由 中,所以,, B1(x1,y1)点在椭圆上,
所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.
2、已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.
求线段的中点的轨迹的方程;
设轨迹与轴交于两点,在上任取一点
,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.
(1) 解 由已知得,则直线的方程为:,
令得,即,
设,则,即代入得:,
即的轨迹的方程为.
(2) 证明 在中令得,则不妨设,
于是直线的方程为:, 直线的方程为:,
则,
则以为直径的圆的方程为: ,
令得:,而在上,则,
于是,即以为直径的圆过两定点.
3、在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳由题设
当x>2时，由①得 化简得
当时 由①得化简得
故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与
抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）
所组成的曲线，参见图1
（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），
直线AF，BF的斜率分别为=，=.
当点P在上时，由②知. ④
当点P在上时，由③知 ⑤
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为
（i）当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由④知∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 -
从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)
由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 -
因为当
当且仅当时，等号成立。
（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，
设直线AF与椭圆的另一交点为E
所以。而点A，E都在上，且
有（1）知
若直线的斜率不存在，则==3，此时
综上所述，线段MN长度的最大值为.
（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，
由得（*）
设方程（*）的解为，则，
∴，
且，
∴，
得或。
方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则
得：，
∴， 即， 即（图象的一部分）
