几 何 概 型
题型1：线长问题
1．（09山东）在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.
2．假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？
解：以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。
要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点，
p=== 0.3 。
作业：1．（2009辽宁卷）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一
点，取到的点到O的距离大于1的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝取到的点到O的距离大于1的概率为
2．（2009福建卷）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取
一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。
解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。w。w.w.k.s.5.
3.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘
米的概率是 .
题型2：面积问题
1．投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。
解析：P（A）=（1/2）2/12=1/4。
2．（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，
于是
则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满足不等式
的数对组成，此不等式等价于
右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为
，
于是有。
3．(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：
（a）一张大馅饼，
（b）一张中馅饼，
（c）一张小馅饼，
（d）没得到馅饼的概率
解析：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明R和子区域r1、r2、r3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件
；
；
；
。
作业：1、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.
解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：
P（A）====.
所以，两人能会面的概率是.
2.在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距
离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为 .
3. 将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
解 设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.
则试验的全部结果可构成集合={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l},
要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-yx+y＞,x+l-x-y＞yy＜,y+l-x-y＞xx＜.
故所求结果构成集合A=.
由图可知，所求概率为P（A）===.
题型3：体积问题
1．在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？
解 1升=1 000毫升，记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.
则P（A）==0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.
记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.
则P（B）==0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.
2．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。
解：解析：由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即2/400=0.005。
题型4：随机模拟
1．随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.
解析：半圆域如图
设‘原点与该点连线与轴夹角小于’
由几何概率的定义
。
2．随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.
解析：，不等式确定平面域。
‘’则发生的充要条件为不
等式确定了的子域，
故：
利用排列组合求概率
1.（2009安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点
连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互
平行但不重合的概率等于
（A） （B） （C） （D）
[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这
6个点中任意选两个点连成直线，共有
种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有
共12对，所以所求概率为，选D
2.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，
再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于
A.1 B. C. D. 0 21世纪教育网
【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。21世纪教育网
3．（2009年上海卷理）若事件与相互独立，且，则的值等于
（A） （B） （C） （D）
【解析】＝＝
4.（2009上海卷）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：，概率为:：，所以，均不少于1名的概率为：1－。
5．（2009浙江卷）在这个自然数中，任取个数．
（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；
（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数
和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．
解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；21世纪教育网
（II）随机变量的取值为的分布列为
0
1
2
P
所以的数学期望为 21世纪教育网
6．（2009浙江卷）在这个自然数中，任取个数．
（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；
（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数
和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．
解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；21世纪教育网
（II）随机变量的取值为的分布列为
0
1
2
P
所以的数学期望为 21世纪教育网
作业：1、(2009山东卷) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
0
2
3
4
5
p
0.03
P1
P2
P3
P4
求q的值；
求随机变量的数学期望E;
试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.
根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.8.
（2）当=2时, P1=
=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24
当=3时, P2 ==0.01,
当=4时, P3==0.48,
当=5时, P4=
=0.24
所以随机变量的分布列为
0
2
3
4
5
p
0.03
0.24
0.01
0.48
0.24
随机变量的数学期望
（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
;
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.
以上题目均可再加一问：问方差
离散型随机变量的概念
1.已知随机变量X的分布列为P（X=i）=（i=1，2，3），则P（X=2）= .
2.若X的概率分布为 ，则常数c= .
3.已知随机变量X服从二项分布X～B（6，），则P（X=2）= .
6.如果～B，则使P（=k）取最大值的k值为 3或4 .
2.某一离散型随机变量的概率概率分布如下表，且E()=1.5，则a-b的值为 0 .
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
3.如果a1,a2,a3,a4,a5,a6的平均数（期望）为3，那么2（a1-3），2（a2-3），2（a3-3），2（a4-3），2（a5-3），2（a6-3）的平均数（期望）是 0 .
4.设～B（n，p），若有E()=12，V()=4，则n、p的值分别为 18， .
5.随机变量X的概率分布为
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
则E（5X+4）= 15 .
7.随机变量的概率分布如下：
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列.若E（）=,则V（）的值是 .
8.设离散型随机变量X可能取的值为1，2，3，4.P（X=k）=ak+b（k=1，2，3，4）.又X的均值E（X）=3，则a+b= .
1.把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法正确的是 ①②④
①曲线C2仍是正态曲线
②曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
③以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
④以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2
2.已知～N(0,)且P（-2≤≤0）=0.4，则P(＞2)的值为 0.1 .
3.（2008·安徽理）设两个正态分布N（，） （＞0）和N（，） （＞0）的密度函数图象如图所示，则
, .（用“＞”“＜”“=”填空）＜ ＜
4.（2008·湖南理，4）设随机变量服从正态分布N（2，9），若P（＞c+1）=P（＜c-1），则c= 2 .
3.（2008·重庆理）已知随机变量服从正态分布N（3，σ2），则P（＜3）= .
例2 设X～N（5，1），求P（6＜X＜7）.
解 由已知=5, =1.∵P(4＜X＜6)=0.682 6.
P(3＜X＜7)=0.954 4.
∴P(3＜X＜4)+P(6＜X＜7)
=0.954 4-0.682 6=0.271 8.
如图，由正态密度曲线的对称性可得
P（3＜X＜4)=P(6＜X＜7)
∴P(6＜X＜7)==0.135 9.
作业：1、（2009广东卷理）已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．
【解析】由题知，，，解得，.
2．（2009安徽卷理）若随机变量，则=________.
