第22章《一元二次方程》教案
文档属性
| 名称 | 第22章《一元二次方程》教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 101.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-09-12 13:05:00 | ||
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文档简介
第二十二章 一元二次方程
单元要点分析
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
教学关键
1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．
课时划分
本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：
22．1 一元二次方程 2课时
22．2 降次──解一元二次方程 2课时
22．3 实际问题与一元二次方程 2课时
教学活动、习题课、小结 3课时
22.1一元二次方程（第1课时）
教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
教学目标
1、 理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
1、 能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
1、 会依据简单的实际问题列一元二次方程并将其转化为一般形式。
1、 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
问题与情景
一、温故知新：
1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元一次方程。
２下列方程哪些是一元一次方程（ ）
（1） ５ｘ＋３＝０，（２）２ｘ＋ｙ＝３，
（３），
（４） ； （５）ｘ2－２ｘ＋１＝０
二、探索新知
问题（1）： 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
如果假设正方形边长为xcm，那么，盒底的长为 _______cm，宽为_______cm，根据题意，得________．
整理、化简，得：__________．
问题（2）： 湖南宁乡一中为树立学生的团结、拼搏精神,组织了一次排球比赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,依据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,请问全校应邀请多少个队参赛 (列方程并整理成一般形式)
如果设应邀请x个对参赛，每队应与其他________个对各赛一场，可知全部比赛共________场。依题意，得__________。 整理、化简，得：__________．
思考下列问题：
1、 在教材中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？
1、 什么叫一元二次方程？类比一元一次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？举例说明。
1、 一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？
1、 对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？
5、若方程ax2+bx+c=0中a＝０、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？
老师点评：
１、强调一元二次方程定义中的三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。
2、两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
3、 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
4、 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
对第４个问题中回答“项或系数”时一定要连同符号。
5、让学生体会类比一元一次方程。
三、例题学习：
例１（教材P26例题）
将方程３ｘ（ｘ－１）＝５（ｘ＋２）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
例２、若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。注意：
1．把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。
2.在例２的学习中，主要考查一元二次方程的定义，可让学生说说自己的体会。
四、课堂练习：
1、判断下列方程，哪些是一元二次方程（ ）
（1）x3－２ｘ2＋５＝０； （２）ｘ2＝１；
（3）； （４）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；
（５）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１； （６）ax2＋bx＋c＝０
２、（教材P27练习１、2）
提醒一下：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。
可让学生板演，完成后对照一下，教师可作简单点评。
五、布置作业
1．教材P28习题２２.１第１题（１）、（３）、（５）第５、６、７题
2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
二、填空题
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．一元二次方程的一般形式是
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
三、综合提高题
1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 x-（x+1）是一元二次方程？
2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
六、总结反思：
１、一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围。２、正确理解一般形式ax2＋bx＋c＝０（a≠0）．３、如何将方程转化成一般形式。４、学会由“一元一次”向“一元二次”推进，体验类比的数学思想。
22.1一元二次方程（第2课时）
教学目标
1、 会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
1、 会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
问题与情景
一、温故知新：
1、解方程：3x=2(x+5)
2试说出什么是方程的解？
3、下列各数是方程解的是（ ）
A、６ Ｂ、２ Ｃ、４ Ｄ、０
二、自主学习：
自学课本Ｐ27---P28思考下列问题：
1、 对于有关排球赛问题，我们得出的方程是x2-x=56,符合实际意义的答案是什么？为什么x= -7不符合题意？
1、 方程x2-x=56的解是什么？怎么得出的？
1、 什么叫一元二次方程的根？
1、 怎样尝试求一元二次方程的根？
1、 完成P28的“思考”，体会与尝试求解的异同？
6、一元二次方程的根有几个呢？举例说明。
老师点评：
1、一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2-x=56有两个根，一个是8，另一个是－7，但-7不满足题意；因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
2、正确理解方程解的意义，让学生知道尝试求解也是一种方法；对于第1个问题强调由实际问题列方程求解后，要考虑这些解是否符合实际意义。本节课内容较为简单，大胆放手给学生，让同学们在交流中仔细体会成功。
三、例题学习：
例1、下面哪些数是方程x2-x-2=0的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、
例2认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。
（1）、x2-16=0 (2)、(x+3)(x-2)=0
(3)、(x-2)2=49 (4)、x2-2x+1=25.
例3、若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？
思路与方法: 形式决定方法，要认真体会哟！
四、课堂练习：
1、教材P28练习１（答案写在教材上）
2、教材P28练习2（答案写在教材上）
3、如果2是方程ax2-12=0的一个根，请求出常数a的值？
可让学生板演，完成后对照一下，教师可作简单点评。
五、布置作业
1、教材P28习题22.1第3题第4题
2、教材P29习题22.1第9题
3．选用课时作业设计．
作业设计
一、选择题
1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．
A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 D．x1=a2，x2=b2
3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（ ）．
A．1 B．-1 C．0 D．2
二、填空题
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
三、综合提高题
1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（ HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ）2-2x HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 +1=0，令=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根。
六、总结反思：
1.理解方程解的意义及实际问题中方程解的实际意义。2.对简单的方程可以试解。3.类比一元一次方程解的思想。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第1课时）
教学目标
1、 会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程。
1、 能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。
问题与情景
一、温故知新：
1、求出或表示出下列各数的平方根。
（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）7 （5） （6）121
2、求出下列各式中的x.
（1）x2=49 (2) 9 x2 =16 (3) x2=6 (4) x2=－9
二、自主学习：
自学课本Ｐ30---P31思考下列问题：
1、教材问题1中由x2=25得x=±5依据是什么？
2、问题1中所列的方程是一元二次方程吗？有几个根？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？
3、请你总结一下问题1解方程的过程。
4、在“问题1”解方程的过程中，仔细体会（2x-1）2=5与x2=25相同点是什么？结合x2=25的解法，尝试解（2x-1）2=5。
5、举例说明，什么是一元二次方程的“降次”？
6、观察方程x2+6x+9=2，请你把它化为与方程（2x-1）2=5相同的形式为 ；
进行降次（开平方）得 ；方程的两根x1= x2= 。
7、以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？
老师点评：
1、 同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法。
1、 在自学的基础上，教师要重点对问题4、及问题7点拨，帮助学生更好的理解、学习，让学生真正明白“降次”思想。
1、 形如x2=a(a≥0)得x=即直接开平方法。
1、 师生共同交流教材归纳中x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。
1、 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，达到降次转化之目的．
三、例题学习：
例：解下列方程
（1）(1+x)2-2=0 (2)(2x+3)2+3=0
（3）4x2-4x+1=0 (4)9(x-1)2-4=0
教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时注意符号，这是易错之
四、课堂练习：
1、（教材Ｐ31练习）解下列方程：（1）2x2-8=0 (2)9x2-5=3
(3)(x+6)2-9=0 (4)3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6)9x2+6x+1=4
(让学生分组板演，教师点评)
五、布置作业
1、教材P42习题22.2第1题
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）．
A．（x-）2=，x=± HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4
B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+ HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ，x2=
D．（x-）2=1，x1=，x2=-
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
六、总结反思：
1．用直接开平方解一元二次方程。2．理解“降次”思想。3．理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。4．对照目标，自查完成情况。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第2课时）
教学目标
1.能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。
2．会用配方法解数字系数的一元二次方程。
问题与情景
一、温故知新：
1、 填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。
（1）x2+ 6x+ =(x+3)2 (2) x2+8x+ =(x+ )2
（3）x2-12x+ =(x- )2 (4) x2-+ =(x- )2
(5)a2+2ab+ =(a+ )2 (6)a2-2ab+ =(a- )2
2、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2
二、自主学习：
自学课本Ｐ31---P32思考下列问题：
1、 仔细观察教材问题2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接开平方法能解吗？
1、 怎样解方程x2+6x-16=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？（同学之间可以交流、师生间也可交流。）
1、 讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？
1、 什么叫配方法？配方法的目的是什么？
1、 配方的关键是什么？
交流与点拨：重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。利用ａ2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=（）2，而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式。
三、例题学习：
例（教材P33例1）解下列方程：
(1)x2-8x+1=0 (2)2x2+1=-3x
(3) 3x2-6x+4=0
教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。
交流与点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）
（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。
（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
（4）原方程变为(x+k)2=a的形式。
（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。
四、课堂练习：1、教材Ｐ34练习1（做在课本上，学生口答）
2、教材Ｐ34练习2
对于第二题根据时间可以分两组完成，学生板演，教师点评
五、布置作业
1、教材P42习题22.2第3题
2．选用作业设计．
一、选择题
1．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0
C．（x-）2= D．（x- HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ）2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
2．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
3．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
4．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
5．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
1．方程x2+4x-5=0的解x= _______．
2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
4．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
(1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x
2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
解：（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，
x2-30x+200=0，x1=10，x2=20
（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250
∵-2（x-15）2≤0，
∴x=15时，赢利最多，y=1250元．
答：略
六、总结反思：
1、理解配方法解方程的含义。2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程。3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.2公式法
教学目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
问题与情景
一、温故知新：
复习配方法解一元二次方程的步骤，
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）
2、用配方法解下列方程：
（1）x2-6x+5=0 （2）2x2-7x+3=0
（学生扳演，教师点评）
二、自主学习：
一）自学课本Ｐ34---P35思考下列问题：
1、 结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？
1、 配方时，方程两边同时加的是什么？
1、 教材中方程能不能直接开平方求解吗？为什么？
1、 什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？
二)自学课本Ｐ36归纳：
讨论：思考：b2-4ac与一元二次方程的根有什么联系？
（学生能自己总结出来最好，教师要把“归纳”作简单板书）
交流与点拨：
公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。关键感受推导过程。在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根
三、例题学习：
例1（教材P36例2）解下列方程：
例2、不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）3x2+x-1=0 (2)x2+4=4x (3)2x2+6=3x
在例题的学习中，教师对典型例题要书写解题过程，作示范作用。并引导学生观察公式法解一元二次方程的步骤，师生合作完成。
交流与点拨：
1、 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）先把方程化成一般形式，确定a、b、c的值。
（2）求b2-4ac的值。（3）判断b2-4ac的符号，当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。
2、由例题你发现一元二次方程根的情况有哪几种？
3、对照教材体会解题过程。
四、课堂练习：
1教材P42练习1 学生板演，教师点评。
五、布置作业
1、教材P42习题22.2第4、5题
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x=
C．x= D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
A．x1=，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4． 3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
（答案：（1）超过部分电费=（90-A）· HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 =-A2+A；（2）依题意，得：（80-A）· HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 =15，A1=30（舍去），A2=50）
六、总结反思：
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.3因式分解法
教学目标
1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”
2.会用因式分解法解某些一元二次方程。
问题与情景
一、温故知新：
复习因式分解及其基本方法
1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）
2、在实数范围内因式分解。
（1）4x2-12x (2) 4x2-9 (3) x2-7 (4) (2x-1)2-(x-3)2
3、判断正误。
（1）若ab=0； 则 a=0或b=0 ( )
（2）若a=0或b=0； 则ab=0 ( )
（3）若(x+2)(x-5)=0； 则x-2=0或x-5=0 ( )
（4）若x-2=0或x-5=0； 则(x+2)(x-5)=0 ( )
（学生口答，教师点评）
二、自主学习：
自学课本Ｐ38---P39思考下列问题：
1、 教材问题所列的方程是怎样求解的？运用了什么方法？
1、 如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次的？
1、 思考：若是否存在ab=1得a=1或b=1？说明理由。
什么叫因式分解法解一元二次方程？
交流与点拨：
师生可互相讨论每一个问题，教师重在点拨第2、3个问题；第2个问题是因式分解法解一元二次方程的重要思想。（降次）第3个问题说明用因式分解法解一元二次方程时，右边必须为0，才能用因式分解法。
三、例题学习：
例(教材P39例3)解下列方程：（用因式分解法）
（1） (2)
(3) (用配方法) （4）（用公式法）
交流与点拨：
教师要示范例题，可以让学生尝试配方法和公式法作比较。总结
因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。）
四、课堂练习：
1教材P40练习1、2
2、、自学课本Ｐ39归纳部分，请你总结解一元二次方程的各种方法。
学生板演，教师点评。
总结解一元二次方程的各种方法即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化成一次方程，即降次。
五、布置作业
1、教材P43习题22.2第6题
2．选用作业设计:
一、选择题
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）．
A．- B．-1 C． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 D．1
二、填空题
1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
4．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
三、综合提高题
1．因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0
（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=0
2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．
3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
（答案：设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150 ；2x2-35x+150=0 ；（2x-15）（x-10）=0；x1=7.5，x2=10，当宽x1=7.5时，长为35-2x=20，当宽x=10时，长为15，因a≥20m，两根都满足条件．）
六、总结反思：
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.4一元二次方程的根与系数的关
教学目标
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积。
（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问
题的能力。
问题与情景
一、温故知新：
1.复习因式分解及公式法解方程.
2.分别用公式法、因式分解法解方程：
二、自主学习：
1、探究下表中的奥秘，并完成填空。
一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解
2、将你发现的结论写下来：一元二次方程的两根分别是和，那么将因式分解的结果为 。
3、运用你发现的规律填空：
（1）已知方程x的根是x和x，则= ；=
（2）已知方程x+3x－5=0的根是x和x，则= ；=
4、猜想：如果方程的根是x和x，则= ；=
5、同学们，你们的猜想对不对呢，请同学们应用求根公式分组来证明你们的猜想，好吗 （合作探讨）同学们展示自己的证明。
6．（分组合作讨论）如果方程的根是x和x，那么 = ；=
三、例题学习：
1、例1(教材P41例4)
2、例2已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。
3、例3知方程的根是x和x，求下列式子的值：
（1） +
（2）
交流与点拨：
教师要示范例题，可以让学生尝试应用根与系数的关系解题。牢牢把握一元二次方程根与系数的关系
四、课堂练习：
1教材P42
练习学生板演，教师点评。通过练习加深学生对一元二次方程根与系数的关系的理解。
五、布置作业 1、教材P43习题22.2第7题
六、总结反思：
22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）
教学目标
1．会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2． 能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
问题与情景
一、温故知新：
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
（学生口答，教师点评）
二、自主学习与例题学习
例1： （教材P45探究1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？
学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；前两个问是解题的关键，可作适当点拨。最后思考题，可让学生试试独立完成。要教给学生如何审题，分析题。
交流与点拨：
学生自学课本Ｐ45探究1思考下列问题：
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。
（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感。
（3）根据等量关系列方程并求解。为什么要舍去一解？
（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？
（5）完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
例2：（教材P46探究2）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
自学课本Ｐ46探究2思考下列问题：
（1）正确理解下降额和下降率的关系？
（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为
元。
（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？
（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
重点点拨问题2，根据情况教师可作必要讲解，问题4可让学生独立完成，来检查对此探究的掌握程度。
三、课堂练习：
教材Ｐ48习题22.3第4题
学生板演，教师点评。列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义
四、布置作业
一、选择题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
2．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）．
A． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 B．p C． D．
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
3．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．
4．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．
三、综合提高题
1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．
解：设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y：
则
即16x2+56x-15=0，解得x==25%，y=20（台）
2．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大
解：甲：设上升率为x，则100（1+x）2=121，x=10%
乙：设上升率为y，则200（1+y）2=288，y=20%，
那么乙商场年均利润的上升率大．
3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．
（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品 （用含a、b的代数式表示）
（2）若一名检验员1天能检验b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员
解：（1）=a+2b或
（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．
所以a+2b=，解得：a=4b
所以（a+2b）÷ HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 b=6b÷b==7.5（人）
所以至少要派8名检验员．
五、总结反思：
1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。2.探究2是平均增长率或降低率问题。若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2）
22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
教学目标
1．继续探索实际问题中的数量关系，会列一元二次方程1、2、列一元二次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答。
2． 能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3． 通过一题多解体会列方程的的实质，培养灵活处理问题的能力。
问题与情景
一、温故知新：
1、列一元二次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
（学生口答，教师点评）
二、自主学习：
例：（教材Ｐ47探究3）要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
三、师生活动
学生自学课本Ｐ50探究3思考下列问题：
1、你能通过探究3，读取到哪些信息？知道哪些数量关系？
2、理解探究3中为什么上下边衬与左右边衬的宽度之比也是9︰7？
3、若设封面上、下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm,则中央矩形的长为
cm,宽为 cm.
4、根据怎样的等量关系列方程 。
5、解方程后的根多符合实际意义吗？
6、试一试，教材Ｐ51“思考”
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简便地解决上面的问题？（可作为第二种解法，试着让学生自己完成。）
在解决这个探究时，可以在黑板上作图形，借助图形帮助同学们理解。在问题2中，是要现搞清封面的长宽之比为27︰21=9︰7由中央矩形长、宽与封面长、宽比例相同也是9︰7；由此可以断定上下边衬与左右边衬宽度之比也是9︰7。掌握这种由比例来设未知数的方法，当然，要会通过图形找一些数量关系。
对于问题6，可以让学生自由发挥，尝试别的方法。可以点拨以下从新设未知数。
四、课堂练习：
1、教材Ｐ49习题22.3第19题
2、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形，若能够，求取它的长与宽；若不能，请说明理由。
学生板演，教师点评。通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路。
五、布置作业
1.教材Ｐ49习题22.3第8题
2．选用作业设计：
一、选择题
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 B．5 C． D．7
2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）．
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;
D．以上都不对
3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
二、填空题
1．矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．
2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
三、综合提高题
1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少 （说明：背水坡度 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 =，迎水坡度）（精确到0.1m）
解：设坝的高是x，则AE=x，BF=2x，AB=3+3x，
依题意，得：（3+3+3x）x×30=4500
整理，得：x2+2x-100=0
解得x≈即x≈9.05（m）
2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少
解：设宽为x，则12×8-8=2×8x+2（12-2x）x
整理，得：x2-10x+22=0
解得：x1=5+（舍去），x2=5-
3．谁能量出道路的宽度:
如图，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度
解：设道路的宽为x，AB=a，AD=b
则（a-2x）（b-2x）=ab
解得：x= [（a+b）-]
量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD=），得L=AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽，即．
六、总结反思：
1、在探究3的学习中，注重图形的利用，有时也可利用图形的变换---平移，使一些题目易于解决。2、在分析题意时，注意间接设未知数法，有时比直接设未知数好理解。3、还要强调，求出的解是否符合实际意义。
1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、正确的因式分解是解题的关键。
3、比较配方法、公式法和因式分解法。配方法和公式法适用于所有一元二次方程；而因式分解法只符合特殊的一元二次方程，但是因式分解法较前两种方法简单。在解一元二次方程时，往往首先考虑因式分解法。
1、 经历求根公式推导过程。
1、 会用公式法解一元二次方程。
会用b2-4ac判断一元二次方程根的情况。①当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时方程没有实数根；
单元要点分析
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
教学关键
1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．
课时划分
本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：
22．1 一元二次方程 2课时
22．2 降次──解一元二次方程 2课时
22．3 实际问题与一元二次方程 2课时
教学活动、习题课、小结 3课时
22.1一元二次方程（第1课时）
教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
教学目标
1、 理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
1、 能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
1、 会依据简单的实际问题列一元二次方程并将其转化为一般形式。
1、 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
问题与情景
一、温故知新：
1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元一次方程。
２下列方程哪些是一元一次方程（ ）
（1） ５ｘ＋３＝０，（２）２ｘ＋ｙ＝３，
（３），
（４） ； （５）ｘ2－２ｘ＋１＝０
二、探索新知
问题（1）： 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
如果假设正方形边长为xcm，那么，盒底的长为 _______cm，宽为_______cm，根据题意，得________．
整理、化简，得：__________．
问题（2）： 湖南宁乡一中为树立学生的团结、拼搏精神,组织了一次排球比赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,依据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,请问全校应邀请多少个队参赛 (列方程并整理成一般形式)
如果设应邀请x个对参赛，每队应与其他________个对各赛一场，可知全部比赛共________场。依题意，得__________。 整理、化简，得：__________．
思考下列问题：
1、 在教材中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？
1、 什么叫一元二次方程？类比一元一次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？举例说明。
1、 一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？
1、 对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？
5、若方程ax2+bx+c=0中a＝０、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？
老师点评：
１、强调一元二次方程定义中的三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。
2、两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
3、 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
4、 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
对第４个问题中回答“项或系数”时一定要连同符号。
5、让学生体会类比一元一次方程。
三、例题学习：
例１（教材P26例题）
将方程３ｘ（ｘ－１）＝５（ｘ＋２）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
例２、若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。注意：
1．把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。
2.在例２的学习中，主要考查一元二次方程的定义，可让学生说说自己的体会。
四、课堂练习：
1、判断下列方程，哪些是一元二次方程（ ）
（1）x3－２ｘ2＋５＝０； （２）ｘ2＝１；
（3）； （４）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；
（５）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１； （６）ax2＋bx＋c＝０
２、（教材P27练习１、2）
提醒一下：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。
可让学生板演，完成后对照一下，教师可作简单点评。
五、布置作业
1．教材P28习题２２.１第１题（１）、（３）、（５）第５、６、７题
2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
二、填空题
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．一元二次方程的一般形式是
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
三、综合提高题
1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 x-（x+1）是一元二次方程？
2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
六、总结反思：
１、一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围。２、正确理解一般形式ax2＋bx＋c＝０（a≠0）．３、如何将方程转化成一般形式。４、学会由“一元一次”向“一元二次”推进，体验类比的数学思想。
22.1一元二次方程（第2课时）
教学目标
1、 会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
1、 会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
问题与情景
一、温故知新：
1、解方程：3x=2(x+5)
2试说出什么是方程的解？
3、下列各数是方程解的是（ ）
A、６ Ｂ、２ Ｃ、４ Ｄ、０
二、自主学习：
自学课本Ｐ27---P28思考下列问题：
1、 对于有关排球赛问题，我们得出的方程是x2-x=56,符合实际意义的答案是什么？为什么x= -7不符合题意？
1、 方程x2-x=56的解是什么？怎么得出的？
1、 什么叫一元二次方程的根？
1、 怎样尝试求一元二次方程的根？
1、 完成P28的“思考”，体会与尝试求解的异同？
6、一元二次方程的根有几个呢？举例说明。
老师点评：
1、一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2-x=56有两个根，一个是8，另一个是－7，但-7不满足题意；因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
2、正确理解方程解的意义，让学生知道尝试求解也是一种方法；对于第1个问题强调由实际问题列方程求解后，要考虑这些解是否符合实际意义。本节课内容较为简单，大胆放手给学生，让同学们在交流中仔细体会成功。
三、例题学习：
例1、下面哪些数是方程x2-x-2=0的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、
例2认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。
（1）、x2-16=0 (2)、(x+3)(x-2)=0
(3)、(x-2)2=49 (4)、x2-2x+1=25.
例3、若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？
思路与方法: 形式决定方法，要认真体会哟！
四、课堂练习：
1、教材P28练习１（答案写在教材上）
2、教材P28练习2（答案写在教材上）
3、如果2是方程ax2-12=0的一个根，请求出常数a的值？
可让学生板演，完成后对照一下，教师可作简单点评。
五、布置作业
1、教材P28习题22.1第3题第4题
2、教材P29习题22.1第9题
3．选用课时作业设计．
作业设计
一、选择题
1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．
A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 D．x1=a2，x2=b2
3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（ ）．
A．1 B．-1 C．0 D．2
二、填空题
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
三、综合提高题
1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（ HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ）2-2x HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 +1=0，令=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根。
六、总结反思：
1.理解方程解的意义及实际问题中方程解的实际意义。2.对简单的方程可以试解。3.类比一元一次方程解的思想。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第1课时）
教学目标
1、 会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程。
1、 能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。
问题与情景
一、温故知新：
1、求出或表示出下列各数的平方根。
（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）7 （5） （6）121
2、求出下列各式中的x.
（1）x2=49 (2) 9 x2 =16 (3) x2=6 (4) x2=－9
二、自主学习：
自学课本Ｐ30---P31思考下列问题：
1、教材问题1中由x2=25得x=±5依据是什么？
2、问题1中所列的方程是一元二次方程吗？有几个根？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？
3、请你总结一下问题1解方程的过程。
4、在“问题1”解方程的过程中，仔细体会（2x-1）2=5与x2=25相同点是什么？结合x2=25的解法，尝试解（2x-1）2=5。
5、举例说明，什么是一元二次方程的“降次”？
6、观察方程x2+6x+9=2，请你把它化为与方程（2x-1）2=5相同的形式为 ；
进行降次（开平方）得 ；方程的两根x1= x2= 。
7、以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？
老师点评：
1、 同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法。
1、 在自学的基础上，教师要重点对问题4、及问题7点拨，帮助学生更好的理解、学习，让学生真正明白“降次”思想。
1、 形如x2=a(a≥0)得x=即直接开平方法。
1、 师生共同交流教材归纳中x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。
1、 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，达到降次转化之目的．
三、例题学习：
例：解下列方程
（1）(1+x)2-2=0 (2)(2x+3)2+3=0
（3）4x2-4x+1=0 (4)9(x-1)2-4=0
教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时注意符号，这是易错之
四、课堂练习：
1、（教材Ｐ31练习）解下列方程：（1）2x2-8=0 (2)9x2-5=3
(3)(x+6)2-9=0 (4)3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6)9x2+6x+1=4
(让学生分组板演，教师点评)
五、布置作业
1、教材P42习题22.2第1题
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）．
A．（x-）2=，x=± HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4
B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+ HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ，x2=
D．（x-）2=1，x1=，x2=-
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
六、总结反思：
1．用直接开平方解一元二次方程。2．理解“降次”思想。3．理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。4．对照目标，自查完成情况。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第2课时）
教学目标
1.能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。
2．会用配方法解数字系数的一元二次方程。
问题与情景
一、温故知新：
1、 填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。
（1）x2+ 6x+ =(x+3)2 (2) x2+8x+ =(x+ )2
（3）x2-12x+ =(x- )2 (4) x2-+ =(x- )2
(5)a2+2ab+ =(a+ )2 (6)a2-2ab+ =(a- )2
2、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2
二、自主学习：
自学课本Ｐ31---P32思考下列问题：
1、 仔细观察教材问题2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接开平方法能解吗？
1、 怎样解方程x2+6x-16=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？（同学之间可以交流、师生间也可交流。）
1、 讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？
1、 什么叫配方法？配方法的目的是什么？
1、 配方的关键是什么？
交流与点拨：重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。利用ａ2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=（）2，而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式。
三、例题学习：
例（教材P33例1）解下列方程：
(1)x2-8x+1=0 (2)2x2+1=-3x
(3) 3x2-6x+4=0
教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。
交流与点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）
（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。
（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
（4）原方程变为(x+k)2=a的形式。
（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。
四、课堂练习：1、教材Ｐ34练习1（做在课本上，学生口答）
2、教材Ｐ34练习2
对于第二题根据时间可以分两组完成，学生板演，教师点评
五、布置作业
1、教材P42习题22.2第3题
2．选用作业设计．
一、选择题
1．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0
C．（x-）2= D．（x- HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ）2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
2．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
3．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
4．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
5．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
1．方程x2+4x-5=0的解x= _______．
2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
4．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
(1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x
2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
解：（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，
x2-30x+200=0，x1=10，x2=20
（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250
∵-2（x-15）2≤0，
∴x=15时，赢利最多，y=1250元．
答：略
六、总结反思：
1、理解配方法解方程的含义。2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程。3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.2公式法
教学目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
问题与情景
一、温故知新：
复习配方法解一元二次方程的步骤，
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）
2、用配方法解下列方程：
（1）x2-6x+5=0 （2）2x2-7x+3=0
（学生扳演，教师点评）
二、自主学习：
一）自学课本Ｐ34---P35思考下列问题：
1、 结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？
1、 配方时，方程两边同时加的是什么？
1、 教材中方程能不能直接开平方求解吗？为什么？
1、 什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？
二)自学课本Ｐ36归纳：
讨论：思考：b2-4ac与一元二次方程的根有什么联系？
（学生能自己总结出来最好，教师要把“归纳”作简单板书）
交流与点拨：
公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。关键感受推导过程。在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根
三、例题学习：
例1（教材P36例2）解下列方程：
例2、不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）3x2+x-1=0 (2)x2+4=4x (3)2x2+6=3x
在例题的学习中，教师对典型例题要书写解题过程，作示范作用。并引导学生观察公式法解一元二次方程的步骤，师生合作完成。
交流与点拨：
1、 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）先把方程化成一般形式，确定a、b、c的值。
（2）求b2-4ac的值。（3）判断b2-4ac的符号，当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。
2、由例题你发现一元二次方程根的情况有哪几种？
3、对照教材体会解题过程。
四、课堂练习：
1教材P42练习1 学生板演，教师点评。
五、布置作业
1、教材P42习题22.2第4、5题
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x=
C．x= D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
A．x1=，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4． 3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
（答案：（1）超过部分电费=（90-A）· HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 =-A2+A；（2）依题意，得：（80-A）· HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 =15，A1=30（舍去），A2=50）
六、总结反思：
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.3因式分解法
教学目标
1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”
2.会用因式分解法解某些一元二次方程。
问题与情景
一、温故知新：
复习因式分解及其基本方法
1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）
2、在实数范围内因式分解。
（1）4x2-12x (2) 4x2-9 (3) x2-7 (4) (2x-1)2-(x-3)2
3、判断正误。
（1）若ab=0； 则 a=0或b=0 ( )
（2）若a=0或b=0； 则ab=0 ( )
（3）若(x+2)(x-5)=0； 则x-2=0或x-5=0 ( )
（4）若x-2=0或x-5=0； 则(x+2)(x-5)=0 ( )
（学生口答，教师点评）
二、自主学习：
自学课本Ｐ38---P39思考下列问题：
1、 教材问题所列的方程是怎样求解的？运用了什么方法？
1、 如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次的？
1、 思考：若是否存在ab=1得a=1或b=1？说明理由。
什么叫因式分解法解一元二次方程？
交流与点拨：
师生可互相讨论每一个问题，教师重在点拨第2、3个问题；第2个问题是因式分解法解一元二次方程的重要思想。（降次）第3个问题说明用因式分解法解一元二次方程时，右边必须为0，才能用因式分解法。
三、例题学习：
例(教材P39例3)解下列方程：（用因式分解法）
（1） (2)
(3) (用配方法) （4）（用公式法）
交流与点拨：
教师要示范例题，可以让学生尝试配方法和公式法作比较。总结
因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。）
四、课堂练习：
1教材P40练习1、2
2、、自学课本Ｐ39归纳部分，请你总结解一元二次方程的各种方法。
学生板演，教师点评。
总结解一元二次方程的各种方法即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化成一次方程，即降次。
五、布置作业
1、教材P43习题22.2第6题
2．选用作业设计:
一、选择题
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）．
A．- B．-1 C． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 D．1
二、填空题
1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
4．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
三、综合提高题
1．因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0
（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=0
2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．
3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
（答案：设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150 ；2x2-35x+150=0 ；（2x-15）（x-10）=0；x1=7.5，x2=10，当宽x1=7.5时，长为35-2x=20，当宽x=10时，长为15，因a≥20m，两根都满足条件．）
六、总结反思：
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.4一元二次方程的根与系数的关
教学目标
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积。
（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问
题的能力。
问题与情景
一、温故知新：
1.复习因式分解及公式法解方程.
2.分别用公式法、因式分解法解方程：
二、自主学习：
1、探究下表中的奥秘，并完成填空。
一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解
2、将你发现的结论写下来：一元二次方程的两根分别是和，那么将因式分解的结果为 。
3、运用你发现的规律填空：
（1）已知方程x的根是x和x，则= ；=
（2）已知方程x+3x－5=0的根是x和x，则= ；=
4、猜想：如果方程的根是x和x，则= ；=
5、同学们，你们的猜想对不对呢，请同学们应用求根公式分组来证明你们的猜想，好吗 （合作探讨）同学们展示自己的证明。
6．（分组合作讨论）如果方程的根是x和x，那么 = ；=
三、例题学习：
1、例1(教材P41例4)
2、例2已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。
3、例3知方程的根是x和x，求下列式子的值：
（1） +
（2）
交流与点拨：
教师要示范例题，可以让学生尝试应用根与系数的关系解题。牢牢把握一元二次方程根与系数的关系
四、课堂练习：
1教材P42
练习学生板演，教师点评。通过练习加深学生对一元二次方程根与系数的关系的理解。
五、布置作业 1、教材P43习题22.2第7题
六、总结反思：
22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）
教学目标
1．会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2． 能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
问题与情景
一、温故知新：
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
（学生口答，教师点评）
二、自主学习与例题学习
例1： （教材P45探究1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？
学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；前两个问是解题的关键，可作适当点拨。最后思考题，可让学生试试独立完成。要教给学生如何审题，分析题。
交流与点拨：
学生自学课本Ｐ45探究1思考下列问题：
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。
（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感。
（3）根据等量关系列方程并求解。为什么要舍去一解？
（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？
（5）完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
例2：（教材P46探究2）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
自学课本Ｐ46探究2思考下列问题：
（1）正确理解下降额和下降率的关系？
（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为
元。
（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？
（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
重点点拨问题2，根据情况教师可作必要讲解，问题4可让学生独立完成，来检查对此探究的掌握程度。
三、课堂练习：
教材Ｐ48习题22.3第4题
学生板演，教师点评。列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义
四、布置作业
一、选择题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
2．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）．
A． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 B．p C． D．
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
3．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．
4．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．
三、综合提高题
1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．
解：设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y：
则
即16x2+56x-15=0，解得x==25%，y=20（台）
2．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大
解：甲：设上升率为x，则100（1+x）2=121，x=10%
乙：设上升率为y，则200（1+y）2=288，y=20%，
那么乙商场年均利润的上升率大．
3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．
（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品 （用含a、b的代数式表示）
（2）若一名检验员1天能检验b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员
解：（1）=a+2b或
（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．
所以a+2b=，解得：a=4b
所以（a+2b）÷ HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 b=6b÷b==7.5（人）
所以至少要派8名检验员．
五、总结反思：
1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。2.探究2是平均增长率或降低率问题。若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2）
22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
教学目标
1．继续探索实际问题中的数量关系，会列一元二次方程1、2、列一元二次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答。
2． 能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3． 通过一题多解体会列方程的的实质，培养灵活处理问题的能力。
问题与情景
一、温故知新：
1、列一元二次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答
（学生口答，教师点评）
二、自主学习：
例：（教材Ｐ47探究3）要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
三、师生活动
学生自学课本Ｐ50探究3思考下列问题：
1、你能通过探究3，读取到哪些信息？知道哪些数量关系？
2、理解探究3中为什么上下边衬与左右边衬的宽度之比也是9︰7？
3、若设封面上、下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm,则中央矩形的长为
cm,宽为 cm.
4、根据怎样的等量关系列方程 。
5、解方程后的根多符合实际意义吗？
6、试一试，教材Ｐ51“思考”
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简便地解决上面的问题？（可作为第二种解法，试着让学生自己完成。）
在解决这个探究时，可以在黑板上作图形，借助图形帮助同学们理解。在问题2中，是要现搞清封面的长宽之比为27︰21=9︰7由中央矩形长、宽与封面长、宽比例相同也是9︰7；由此可以断定上下边衬与左右边衬宽度之比也是9︰7。掌握这种由比例来设未知数的方法，当然，要会通过图形找一些数量关系。
对于问题6，可以让学生自由发挥，尝试别的方法。可以点拨以下从新设未知数。
四、课堂练习：
1、教材Ｐ49习题22.3第19题
2、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形，若能够，求取它的长与宽；若不能，请说明理由。
学生板演，教师点评。通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路。
五、布置作业
1.教材Ｐ49习题22.3第8题
2．选用作业设计：
一、选择题
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 B．5 C． D．7
2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）．
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;
D．以上都不对
3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
二、填空题
1．矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．
2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
三、综合提高题
1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少 （说明：背水坡度 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 =，迎水坡度）（精确到0.1m）
解：设坝的高是x，则AE=x，BF=2x，AB=3+3x，
依题意，得：（3+3+3x）x×30=4500
整理，得：x2+2x-100=0
解得x≈即x≈9.05（m）
2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少
解：设宽为x，则12×8-8=2×8x+2（12-2x）x
整理，得：x2-10x+22=0
解得：x1=5+（舍去），x2=5-
3．谁能量出道路的宽度:
如图，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度
解：设道路的宽为x，AB=a，AD=b
则（a-2x）（b-2x）=ab
解得：x= [（a+b）-]
量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD=），得L=AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽，即．
六、总结反思：
1、在探究3的学习中，注重图形的利用，有时也可利用图形的变换---平移，使一些题目易于解决。2、在分析题意时，注意间接设未知数法，有时比直接设未知数好理解。3、还要强调，求出的解是否符合实际意义。
1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、正确的因式分解是解题的关键。
3、比较配方法、公式法和因式分解法。配方法和公式法适用于所有一元二次方程；而因式分解法只符合特殊的一元二次方程，但是因式分解法较前两种方法简单。在解一元二次方程时，往往首先考虑因式分解法。
1、 经历求根公式推导过程。
1、 会用公式法解一元二次方程。
会用b2-4ac判断一元二次方程根的情况。①当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时方程没有实数根；
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