2023-2024学年山东省日照市校际联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省日照市校际联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在的范围内，与终边相同的角是( )
A. B. C. D.
2.半径为的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
4.已知向量和不共线，向量，，，若、、三点共线，则( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，，若，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.的外接圆的圆心为，半径为，，且，则向量在向量方向上的投影的数量为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在，，，，满足，，且，，则满足条件的实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列命题正确的是( )
A. B. 可以作为平面向量的一组基底
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是以为周期的函数
B. 函数存在无穷多个零点
C.
D. 至少存在三个不同的实数，使得为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若角的终边与单位圆相交于点，则 ______．
13.如图，在中，，，为上一点，且，若，，则 ______．
14.已知平面向量对任意实数，都有，成立若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
求向量与夹角的正弦值．
16.本小题分
已知向量，，函数．
求函数在区间上的最值；
求函数在区间上的单调递增区间．
17.本小题分
将函数其中的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且为偶函数．
求函数的解析式和对称中心；
若对，，当时，都有成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，已知是的外心，，，，，．
判断的形状，且求时的值；
当时，
求的值用含，，的式子表示；
若，求集合中的最小元素．
19.本小题分
已知函数，其中为常数．
当，时，若，求的值；
设函数在上有两个零点，，
求的取值范围；
证明：．
答案解析
1.
【解析】解：与终边相同的角可以表示为，
由题意可知，
因为，所以，
于是有．
故选：．
根据终边相同角的性质进行求解即可．
本题主要考查终边相同角的性质，属于基础题．
2.
【解析】解：由弧长公式，
得．
故选：．
根据弧长公式求解即可．
本题考查了弧长公式应用问题，是基础题．
3.
【解析】解：的最小正周期为．
故选：．
由已知结合余弦函数的周期公式即可求解．
本题主要考查了余弦函数周期公式的应用，属于基础题．
4.
【解析】解：向量和不共线，向量，，，、、三点共线，，解得．
故选：．
5.
【解析】解：由题意得，即，
因为，
所以．
故选：．
由已知可得，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了三角不等式的求解，属于基础题．
6.
【解析】解：平面向量，，，
则，即，即，解得或．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
7.
【解析】解：由题意可得：，即：，
即外接圆的圆心为边的中点，则是以为斜边的直角三角形，
结合有：，
则向量在向量方向上的投影为．
故选：．
由题意得到是以为斜边的直角三角形，根据投影向量公式即可计算．
本题考查了向量的投影向量的计算，属于基础题．
8.
【解析】解：函数，对，，都有，
要使实数的值最小，应尽可能多让取得最值点，
，，且，
在一个周期上的最大值为，且，
取一个零点，取最后一个零点时，才能最小，
，，，，，，．
的最小值为．
故选：．
根据正弦函数的图象与性质，利用的最值进行分析，从而求出的最小值．
本题考查了正弦函数模型应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
9.
【解析】解：对于，由、，可得，故A项正确；
对于，因为不共线，所以可以用表示坐标平面内的任意向量，
因此可以作为平面向量的一组基底，故B项正确；
对于，由、，得，所以，故C项不正确；
对于，由、，得，，，
所以，，故D项不正确．
故选：．
根据向量加减法的坐标运算法则判断出项的正误；根据向量共线的条件与平面向量基本定理，判断出项的正误；根据向量的模的公式，判断出项的正误；根据向量的夹角公式判断出项的正误．
本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、平面向量基本定理、向量的模与夹角公式等知识，属于基础题．
10.
【解析】解：由题意可得，，，
故，，选项A正确；
又，，，
所以，，
因为，此时函数取得最小值，即为函数的一条对称轴，B正确；
为奇函数，C错误；
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，D正确．
故选：．
由最值求，由周期求，结合特殊点的三角函数值求，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了利用函数性质求的解析式，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
11.
【解析】解：对于，
，可知是以为周期的函数，故A项正确．
对于，因为的周期为，所以研究在区间上的正负，
当时，
因为且，所以在上恒成立；
当时，，
设，，则，当时，有最大值，
当时，，且时，，可知的最小值为．
综上所述，在上的取值均大于，没有实数根，
结合的周期为，可知在上没有实数根，即在上没有零点，故B项不正确；
对于，，
，
所以对任意的成立，故C项正确；
对于，由的结论可知的图象关于直线对称，
当时，，图象关于轴对称，此时为偶函数，
结合的周期为，可知时，为偶函数，
又因为，
所以的图象关于直线对称，可知时，为偶函数，
综上所述，当时，至少存在、、三个值，使为偶函数，故D项正确．
故选：．
根据诱导公式证出，得到的周期为，从而判断出项的正误；通过讨论在上的正负，得到在上成立，判断出项的正误；根据两角和与差的三角函数公式与诱导公式，证出，从而判断出项的正误；根据函数图象的轴对称性，求出在区间上有三条对称轴，由此判断出项的正误．
本题主要考查三角恒等变换公式及其性质、三角函数的图象与性质、函数的奇偶性与图象的对称性等知识，属于中档题．
12.
【解析】解：角的终边与单位圆相交于点，
．
故答案为：．
由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
13.
【解析】解：根据题意，可得，
由，得，
设，则，，
结合，得，解得，所以，
可得．
故答案为：．
根据题意，先求出，然后根据平面向量的线性运算法则与平面向量基本定理，将用、线性表示，再根据向量数量积的运算性质，算出的值．
本题主要考查向量的线性运算法则、平面向量基本定理、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
14.
【解析】解：如图，
设，，，
若对任意实数，都有，成立，
则由向量减法的几何意义可知：，，
则，在以为直径的圆上运动，
过作，交于，交圆于，
则在上的射影最长为，，
设，则，，，
，
则当时，的最大值是．
故答案为：．
由题意画出图形，知，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，，设，则，，可得，代入，整理后利用二次函数求取值范围即可．
本题考查平面向量数量积相关知识，属于中档题．
15.解：因为，，
所以，，
若，
则，
解得；
设向量与夹角为，则，
所以，
则．
【解析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解；
结合向量夹角公式的坐标表示先求出余弦值，然后结合同角平方关系即可求解．
本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示，属于基础题．
16.解：由，，得
，
当时，，可得，
所以当时，有最小值，当时，有最大值，
综上所述，的最大值为，最小值为；
由得，
令，解得，
所以在上的增区间为，
与区间求交集，得在区间上的单调递增区间为与．
【解析】根据向量数量积的坐标表示，可得，然后利用两角和与差的三角函数公式化简得，再利用正弦函数的图象与性质，求出在区间上的最值；
根据正弦函数的单调性，建立关于的不等式，解出的递增区间，然后将单调递增区间与区间求交集，即可得到本题的答案．
本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
17.解：将向左平移后得，
是偶函数，
，又，
，即，
由余弦函数的性质可知，的对称中心为，；
由得，
即，
令，
则显然当时，由得是增函数，
，
当时，，
，
则，即．
【解析】根据三角函数图象的平移及函数的奇偶性可求，然后结合正弦函数的对称性即可求；
由已知不等式特点构造函数，结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了函数图象的平移变换及函数的奇偶性，对称性的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
18.解：，
得，，为等边三角形；
由题意知的中点为，
且，，，
故．
为等边三角形，为外接圆的圆心，
所以，，，，
，，，
，，
又，，，分别为，，的等分点，
．
同理，
．
令，，，，，
可以看为自变量为的一次函数，在时取得最小值，
同理，，在时取得最小值，
，在时取得最小值，
的最小值为集合中最小元素为．
【解析】根据中点向量公式求解即可；
根据中点向量公式和数量积定义展开化简即可；
将可以看为自变量为的一次函数求出最值．
本题考查平面向量数量积的定义及其运算，属于难题．
19.解：因为，，
当时，，而，
或舍，，
所以，的取值为．
令，因为，所以，则，
则，，
因为在上单调递增，
所以关于的方程在上有两个不相等实数根，
所以，
解得，即的取值范围为．
证明：令，，则，为关于的方程的两根，
所以，，
所以，
所以，即，
，由得，
，又，，
由于，，
，
又在上单调递增，所以，
即．
【解析】利用同角三角函数的关系将方程转化为，由的范围可求得的值；
令，依题意由一元二次方程根的情况列出不等式组即可求解；由根与系数的关系及余弦函数的性质即可证明．
本题考查了三角函数的性质，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属于中档题．
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