2023-2024学年江西省抚州市下学期高二年级期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省抚州市下学期高二年级期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则等于( )
A. B. C. D.
2.在数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
3.年是安徽省实施“”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“”指的是从政治、地理、化学、生物门学科中任选门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是( )
A. B. C. D.
4.设，，随机变量的分布列是
则方差( )
A. 既与有关，也与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与有关，但与无关 D. 既与无关，也与无关
5.已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是( )
A. 的减区间是 B. 的增区间是，
C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 有三个零点
10.下列说法正确的是( )
A. 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B. 若X~N(1,),P(X2)=0.2,则P(0< X<1)=0.3
C. 已知0< P(M)<1,0< P(N)<1,若P(M|N)+P()=1,则事件M,N相互独立
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据, 计算得到=3.712, 依据=0.05的独立性检验( =3.841),可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最小值为
D. 若方程有两个实根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与曲线相切，则 ．
13.小王喜爱逛街和吃火锅在周末，她下午去逛街的概率为若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为 ．
14.已知，分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知公差不为的等差数列首项，且，，成等比数列．
求数列的通项公式
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数
求的单调增区间
方程在有解，求实数的范围．
17.本小题分
已知数列的首项，且．
求数列的通项公式
若数列的前项和为，证明：．
18.(本小题17分)
某小区在2024年的元旦举办了联欢会,现场来了1000位居民.联欢会临近结束时,物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节,这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示,且X~N(45,225).
(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数(四舍五入取整数);
(2)奖品分为一等奖和二等奖,已知每个人摸到一等奖的概率为40%,摸到二等奖的概率为60%,每个人摸奖相互独立,设恰好有n(0n20)个人摸到一等奖的概率为P(n),求当P(n)取得最大值时n的值.
附:若X~N(,),则P{|X-|<}=0.6827,P{|X-|<2}=0.9545.
19.本小题分
已知函数为常数，曲线在与轴的交点处的切线斜率为．
求的值及函数的单调区间
证明：当时，证明：当时，．
答案解析
1.
【解析】解：，
．
2.
【解析】解：由，，，
可知数列是周期为的周期数列，因为，所以．
故选B．
3.
【解析】解：依题意从从政治、地理、化学、生物门学科中任选门共有种情况，
其中化学和地理都没有被选中共有种，
因此化学和地理至少有一门被选中的概率是．
故选D．
4.
【解析】解：由于，
故D．
从而与有关，但与无关．
故选C
5.
【解析】
解：因为等差数列前项和的形式为，结合题目条件，
所以设，，
故．
故选D．
6.
【解析】解：函数在区间上存在单调增区间，
函数在区间上存在子区间使得不等式成立，
即在区间上有解，
即在区间上有解，
因为在区间上单调递增，
所以在区间上的最小值为，
所以，即，
所以实数的取值范围是
故选：．
7.
【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
8.
【解析】解：的定义域为，
当时，
当时，，
．
当时，
当时，．
所以当时，取得最小值，最小值为，
从而
当时，
综上，的取值范围是
9.
【解析】解：结合导函数图象可知：
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，A错误，B正确，
所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确
因为的图象可能全部在轴下方，所以可以没有零点，D错误．
10.
【解析】
解：对于，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误；
对于，因为 ，所以正态曲线的对称轴为 ，则 ，故B正确；
对于，因为 ，所以 ，即 ，
则 ，则事件，相互独立，故C正确；
对于，因为 ，所以不能根据 作出中的判断，故D错误；
故选：
11.
【解析】解： 定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
对于， ， ， ，
在区间 和 内各存在一个零点；
当 时， ， ， 恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于，由 单调性可知： 的极小值为 ，极大值为 ，B正确；
对于， ， 作出 图象如下图所示，可知方程 存在另一个解 ，
若当 时， ，则 ，C错误；
对于，方程 有两个实根等价于 与 有两个不同交点，
作出 图象如下图所示，
结合图象可知： ，D正确．
故选：．
12.
【解析】解：，，
又因为直线与曲线相切，
所以，即，
将代入，得，
故，．
13.
【解析】解：设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为，
则，，
则．
14.
【解析】解：点到直线的距离，
则，
又，
由知，和在上单调递增，
所以在上单调递增，其值域为，
又，令，
令，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
因为对任意的，都有恒成立，所以，
所以实数的最大值为．
15.解：设等差数列 的公差为 ，
由题意，得 ，
解得 或 舍，
；
， ，
此时 ，
，
，
，
所以 ．

【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的前项和，错位相减法数列求和，属于中档题．
根据题意，求出公差，再利用等差数列的通项公式求解．
利用错位相减法求和．
16.解：的定义域为，
，
当时，时，
故单调增区间为，
由知，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为，
，
．
【解析】本题主要考查利用导数求函数的单调区间以及最值，属于中档题．
求导，解求出单调递增区间；
先求出在区间上的最大值和最小值为，从而得到答案．
17.解：因为 ， ， ，且 ，
数列 是以每一项均为的常数列，
则 ，即 ；
由得，
，
．

【解析】本题考查了数列的递推关系，裂项求和，属于中档题．
由题意可得，所以数列 是以每一项均为的常数列，即可得出答案；
由，利用裂项相消法求出后即可得证．
18.解:(1)因为X~N(45,225),所以=15,
则P(X60)=P(X+)==0.15865,
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为10000.15865159(人).
(2)依题意可得,P(n)=,
设
所以
所以
所以n,n为整数,所以n=8,
【解析】本题考查正态分布及其应用、独立重复试验的概率计算，属于中档题.
(1)由X~N(45,225),可得,，求得P(X60)=P(X+)==0.15865，进而估计现场年龄不低于60岁的人数；
(2)依题意可得,P(n)= ，
由可解得n,又n为整数,所以n=8,
19.解：由，得．
又，所以．
所以，．
由，得．
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增．
证明：由知．
所以，即，．
令，则．
所以在上单调递增，所以，即
首先证明：当时，恒有．
证明如下：令，则．
由知，当时，，所以，所以在上单调递增，
所以，所以．
所以，即．
依次取，代入上式，则，，．
以上各式相加，有
所以，
所以，即．
【解析】本题考查函数的导数的应用，构造法以及累加法的应用，函数的导数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
求出函数的，通过，即可求解函数在区间上单调递减，在上单调递增．
求出的最小值，化简构造，通过判断在上单调递增，得到，推出结果．
首先证明：当时，恒有令，则推出在上单调递增，得到，利用累加法推出．
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