2023-2024学年云南省文山市高二年级下学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省文山市高二年级下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线与圆有公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才中国航空学会、云南省科学技术协会、云南警官学院于年月中旬在红河州弥勒市共同举办第届全国青少年无人机大赛云南省赛某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，名学生成绩依次为：，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数对任意的都有成立，当时，，则( )
A. B. C. D.
5.若函数，则函数的单调递增区间为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.东平房塔下图建于辽代，塔平面呈正六边形，是辽西古塔中仅有的两座辽代六边形古塔之一请根据塔平面抽象出正六边形，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡最后将两次称得的黄金交给顾客你认为顾客购得的黄金是( )
A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 大于或等于
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下说法正确的是( )
A. 若X~B(n,),D(3X+1)=18,则n=6
B. 随机变量,,若=5+3,则E()=5E()+3
C. 若AB,P(A)=0.2,P(B)=0.8,则P(A|B)=
D. ~N(2,),且P(<6)=0.732,则P(2<<6)=0.232
10.记正项数列的前项和为，已知，则( )
A. B.
C. D. 数列的前项和小于
11.如图，在菱形中，，沿对角线将其翻折，如图则( )
A. 在折叠过程中直线与所成角不变
B. 当点在平面的投影为的重心时，
C. 三棱锥的表面积最大值为
D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为虚数，，则可以为 写出满足条件的一个解即可
13.已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则 ．
14.已知直线与抛物线交于，两点，如图，点为抛物线上的动点，且位于直线的下方，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知B.
求
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱台中，底面是边长为的正方形，平面，，，为的中点，
求证：平面
求平面与平面所成角的大小．
17.本小题分
已知函数，
当时，求出方程解的个数
讨论函数的单调性．
18.本小题分
为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐每人每次只能选择其中一种，经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复记某同学第天选择水果的概率为．
记某班的名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为，求的分布列和期望
证明数列是等比数列，并求数列的通项公式
为了培养学生的服务意识，天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数．
19.本小题分
已知点，在双曲线上，直线．
求双曲线的标准方程
当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为证明：直线过定点．
当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点当点运动时，求点的轨迹方程．
答案解析
1.
【解析】解：由题意，得．
故选C．
2.
【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为，
直线与圆有公共点，
，解得，
实数的取值范围为．
故选A．
3.
【解析】解：将数据由小到大排列为：
，，，，，，，，，
因为，
所以这组数据的第百分位数为．
故选D．
4.
【解析】解： 函数对任意的都有，
，
函数 的周期为 ，
当时，
．
故选A．
5.
【解析】解：
，
由，，
得，，
所以的单调递增区间为，
故选C．
6.
【解析】解：如图：
在正六边形中，，
，，与的夹角为，
．
故选D．
7.
【解析】解：设，，
则
得：，
线段的中点坐标为，
，，
，
直线过右焦点和点，
，
，
．
故选B．
8.
【解析】解：设天平的左臂长为，右臂长为，放在左盘中的黄金为，放在右盘中的黄金为．
则由天平的平衡条件可得
即，．
所以．
当且仅当，即时，取等号，
而题中天平的两臂不等长，即，则上述不等式等号无法取得，
因此，，
即顾客购得的黄金大于．
故选C．
9.
【解析】解：对于A，因为X~B(n,),D(3X+1)=18,
所以D(x)=,
所以,
解得n=9,故A不正确;对于B，E()=E(5+3)=5E()+3,故B正确;
对于C，因为AB，所以P(AB)=P(A)=0.2，
所以P(A|B)==,故C正确;
对于D，因为∽N(2,)，所以，
所以P(2<<6)=,故D正确.
故选BCD.
10.
【解析】解：已知正项数列的前项和为，，
当时，，解得，
当时，，
两式相减，得，
化简可得，
又，所以，
即，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故B错误；
，故A正确；
，故C错误；
因为，
所以数列的前项和为：
，故D正确．
故选AD．
11.
【解析】解：对于，如图，取的中点在菱形中，，所以，
同理可得，又因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以在折叠过程中直线与所成角不变，故 A正确；
对于，对于，由点在平面的投影为的重心，且为正三角形，
易知三棱锥为正四面体，所以，故B正确；
对于，对于，，
在折叠过程中，，
当时，面积取得最大值，此时，
所以三棱锥的表面积最大值为，故C错误；
对于，对于，如图，当平面平面时，三棱锥的体积最大．
设为三棱锥外接球的球心， ，分别和的外接圆的圆心，
因为为正三角形，所以外接圆半径，，所以，故D正确．
故选ABD．
12.答案不唯一
【解析】解：设，，
则，
令，可得，
此时．
故答案为答案不唯一．
13.
【解析】解：因为函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，
所以，即，
所以．
故答案为．
14.
【解析】解：直线：与抛物线：联立，可得，
解得，
，
平行于直线：的直线设为，与
抛物线：联立，可得，
由，得，
所以两条平行线间的距离为，
的面积的最大值为．
故答案为．
15.解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
因为，的面积为，
所以，
解得，
由余弦定理，
得，
所以，所以，
所以的周长为．

【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
根据，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到，又，则由即可求解；
根据，的面积为，由面积公式得到，再结合余弦定理求得即可求解．
16.解：
如图，连接，
，，，，
， ，
又为的中点，
， ，四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面
如图，因为平面，底面是正方形，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
则，，， ， ，
设平面的法向量为，
，解得，
，，，
设平面的法向量为，
，解得，
，，
所以平面与平面所成的角为．
【解析】本题考查了线面平行的判定，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题；
连接，证明，利用线面平行的判定即可证明；
以为原点，建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的向量求法即可求解；
17.解：当时，，
所以方程为，即．
令，定义域为，，
令，则，令，则．
所以在上单调递增，上单调递减，
所以，
所以方程解的个数为．
的定义域为，
，
令，解得或．
当时，，所以在单调递增
当时，时，，在单调递减，时，，在单调递增．
综上所述：当时，在单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，涉及到了分类讨论的思想方法，属于中档题．
当时，，所以方程为，即构造函数，利用导数求最值得出结论．
求出函数的导数，分类讨论的范围，找出导数值为正值、负值的区间，得出函数的单调性．
18.解：由已知，某同学第二天选择水果的概率，
所以，
，
，
，
的分布列为：
．
由已知，，
因为，又，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由，得，
数列的通项公式为：．
由知，某同学天后选择水果的概率，
所以位学生中安排分发水果的人数约为，分发牛奶的人数约为．
【解析】本题考查二项分布及数学期望，等比数列判定及通项公式，概率的实际应用，属于中档题．
由已知，可求得某同学第二天选择水果的概率，然后根据，可得出的分布列和期望
根据题意找出数列的递推关系式，然后验证即可证明，进一步可得的通项公式；
由知，即某同学天后选择水果的概率，据此可得应该如何安排分发水果和牛奶的人数．
19.解：将点，代入双曲线，
得，解得：，，所以双曲线的标准方程为．
设，，依题意得点，
当时，直线，
联立， 得，
所以，
解得：且，，．
直线方程，
令得：，
，
所以直线恒过定点．
联立方程，可得，
因为，即，且直线与双曲线有唯一的公共点，
所以，整理得，
可解得点坐标为，即，其中，
于是，过点且与垂直的直线为，
可得，，则，即，，
则，，
消去得：，即．
点的轨迹方程为．
【解析】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线中的直线过定点问题，以及与双曲线有关的轨迹问题，属于难题；
将点，代入双曲线，解方程组即可；
设，，，联立，由此求出直线方程，即可得出答案；
联立方程，得坐标为，过点且与垂直的直线为，可得，，则，由此可得结论．
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