2024年山东省泰安市中考数学真题（含解析）

2024年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下面图形中，中心对称图形的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.据泰山景区年月日消息，年泰山景区累计接待进山游客超万人次，同比增长，刷新了历年游客量最高纪录数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.如图，直线，等边三角形的两个顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.我国古代四元玉鉴中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若，，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“，”表示的缺失的条件应为( )
A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
9.如图，中，，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：
；
垂直平分线段；
；
．
其中，正确结论的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是( )
B.
C. D.
11.如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是则下列结论：；方程一定有一个根在和之间；方程一定有两个不相等的实数根；其中，正确结论的个数有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
12.如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结当点在直线上运动时，线段的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.单项式的次数是______．
14.某学校在月日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从西游记、骆驼祥子、水浒传中随机选择一本，小颖准备从西游记、骆驼祥子、朝花夕拾中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是______．
15.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机如图，无人机在河上方距水面高米的点处测得瞭望台正对岸处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高米图中点，，，在同一平面内那么大汶河此河段的宽为______米参考数据：，，，
16.如图，小明的父亲想用长为米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是______平方米．
17.如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连结交于点，延长与相交于点若，，则的长为______．
18.如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第______个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的倍．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
化简：．
20.本小题分
某超市打算购进一批苹果现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取个，测得它们的直径单位：，并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
统计量
供应商 平均数 中位数 众数
甲
乙
则 ______， ______， ______．
苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐填“甲”或“乙”
超市规定直径含以上的苹果为大果超市打算购进甲供应商的苹果个，其中，大果约有多少个？
21.本小题分
直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
求直线的表达式；
若，请直接写出满足条件的的取值范围；
过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
22.本小题分
随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
23.本小题分
综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结与相交于点同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和将纸片展平，连结，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分割点”，即请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
24.本小题分
如图，在等腰中，，，点，分别在，上，，连结，，取中点，连结．
求证：，；
将绕点顺时针旋转到图的位置．
请直接写出与的位置关系：______；
求证：．
25.本小题分
如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点，点．
求抛物线的表达式；
将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.
【解析】解：的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，整式的除法的法则，平方差公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.
【解析】解：左起第四个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
第一、第二和第三个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
所以中心对称图形有个．
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
4.
【解析】解：万，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
5.
【解析】解：如图，过点作，
直线，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作，由平行公理的推论得出，根据平行线的性质得出，，根据等边三角形的性质得出，即可求出的度数．
本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
6.
【解析】解：，
，
平分，
，
是的直径，
，
．
故选：．
先利用圆周角定理可得：，然后利用平角定义得，根据圆周角定理得，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7.
【解析】解：因为关于的一元二次方程有实数根，
所以，
解得．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8.
【解析】解：根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱，
故选：．
根据列出的二元一次方程组可得甜果苦果买一千，甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱，
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系．
9.
【解析】解：由作图可知垂直平分线段，
，
，
由作图可知平分，
，
，
，故正确，
，
，
，
垂直平分线段，故正确，
，，
，故正确，
，
，
，
，故正确．
故选：．
首先证明，推出，，可得正确．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10.
【解析】解：如图，连接，，作于点，
，
三角形是等边三角形，
，，
，
，
．
故选：．
连接，，作于点，得三角形是等边三角形，求出，，再根据，即可得出答案．
本题考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
11.
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，之间，
与轴的另一个交点在，之间，
方程一定有一个根在和之间，故错误；
抛物线与直线有两个交点，
方程一定有两个不相等的实数根，故正确；
抛物线与轴的另一个交点在，之间，
，
图象与轴交点的纵坐标是，
，
，
故错误．
故选：．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．
本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
12.
【解析】解：如图，过作于点，作于点，作于点，
，
点、、、四点共圆，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
最小值是．
故选：．
作，则点、、、四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可得解．
本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
13.
【解析】解：单项式中，的指数是，的指数是，
此单项式的次数为：．
故答案为：．
根据单项式次数的定义进行解答即可．
本题考查的是单项式次数的定义，即一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
14.
【解析】解：将西游记、骆驼祥子、水浒传、朝花夕拾分别记为，，，，
列表如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有种，
小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为．
故答案为：．
列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15.
【解析】解：由题知，，，，
，
在，，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
根据题干条件，要求，求出和即可，分别在两个直角三角形中去求即可．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角、俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题关键．
16.
【解析】解：由题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
又墙长为米，
．
．
又菜园的面积，
当时，可围成的菜园的最大面积是，
即垂直于墙的边长为米时，可围成的菜园的最大面积是平方米．
故答案为：．
依据题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，又墙长为米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可判断得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
17.
【解析】解：是的直径，
，
是的切线，
，
，
∽，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
先证，从而求出，再证≌即可得解．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
18.
【解析】解：由所给图形可知，
第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
，
所以第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；
由题知，
，
解得，，
又因为为正整数，
所以，
即第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的倍．
故答案为：．
根据所给图形，依次求出“”和“”的个数，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“”和“”的个数变化规律是解题的关键．
19.解：；
；
．
【解析】先算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，再算加减即可；
先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20. 甲
【解析】解：由题意得：；
把乙的个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数；
甲个苹果的直径中，出现的次数最多，故众数，
故答案为：，，；
甲的方差为：；
乙的方差为，
因为，
所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．
故答案为：甲；
答：大果约有个．
分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可；
根据方差的意义解答即可；
利用样本估计总体，即用乘样本中直径含以上所占比例即可．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．
21.解：分别将点、点代入中，
即，，
解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把点坐标，点坐标分别代入，
即
一次函数表达式为．
由图象可知，
当时，或．
把时代入中，
得，
点坐标为，
，
．
【解析】分别将点、点代入中，求出、的值，再分别代入中，即可得出答案；
数形结合即可得出答案；
把代入中，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键．
22.解：设甲组有名工人，则乙组有名工人，
根据题意得：，
解答：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲组有名工人，乙组有名工人．
【解析】设甲组有名工人，则乙组有名工人，根据乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值即甲组的人数，再将其代入中，即可求出乙组的人数．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.解：正确，理由如下，
作于点，
，
，
．
，
，
又，
∽．
．
是矩形，，
四边形是矩形．
．
．
同学们的发现说法正确，理由如下，
，
，，
由折叠知，
．
．
，
由平行四边形及折叠知，，
，
即点为的一个黄金分割点．
【解析】作于点，证∽即可得证；
利用平行线分线段比例，然后进行等线段转化即可得证．
本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
24.
【解析】证明：在和中，
，，，
≌，
，．
是斜边的中点，
，
，
，
．
，
，
．
；
；
理由如下：延长到点，使，连结延长到，使，连接并延长交于点．
证≌具体证法过程跟一样．
，
是中点，是中点，
是中位线，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
证明：延长到点，使，连结．
，，，
≌，
，．
．
，
，
，
．
，
．
在和中，
，，，
≌，
．
，
，
证明≌得出，再根据直角三角形斜边上得中线等于斜边的一半得出，再利用等角转化即可求证；
这一问主要是猜想，还需要利用第二问的思路去证明，先证≌得到，再利用字型得到，即可得证；利用倍长中线证≌，再证≌，即可得证．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
25.解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
由题意得：：，
当时，，
故点在抛物线上；
存在，理由：
当为直角时，
如图，过点作且，则为等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
则，，
则点，
当时，，
即点在抛物线上，
即点即为点；
当为直角时，如图，
同理可得：≌，
则，，
则点，
当时，，
即点在抛物线上，
即点即为点；
当为直角时，如图，
设点，
同理可得：≌，
则且，
解得：且，即点，
当时，，
即点不在抛物线上；
综上，点的坐标为：或．
【解析】将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
由题意得：：，当时，，即可求解；
当为直角时，证明≌，求出点，当时，，即点在抛物线上，即点即为点；当为直角时，同理可解；当为直角时，如图，同理可得点，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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