22.2 二次函数与一元二次方程 同步分层训练（含详解）人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册
22.2 二次函数与一元二次方程 同步分层训练
一、选择题
1．二次函数（a，c为常数且）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当时，二次函数的最大值为c，则.其中一定正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：
①abc＞0；
②a＝b；
③图象与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根；
⑤2a+c＝0．
其中正确的结论个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若二次函数 的图象与 轴的交点坐标分别是 、 ，且 ，图象上有一点 在 轴下方，对于以下说法：① ；② 是方程 的解；③ ；④ ，对于以上说法正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．③④ D．①③
4．若二次函数y＝ax2＋bx－1的最小值为－3，则方程|ax2＋bx－1|＝2的不相同实数根的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为(2，0).若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1.有以下结论：
①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：
① ；② ；③方程 有两个相等的实数根；④方程 的两根是 ，
其中正确的结论有（　　）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（- ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．下表是二次函数 的 x，y的部分对应值：
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最大值； ②不等式y＞-1 的解集是x＜0 或x＞2；③ 方程 的两个实数根分别位于 和 之间；④当x＞0 时，函数值y 随x 的增大而增大；
其中正确的是（　　）
②③ B．②④ C．①③ D．①④
二、填空题
11．如图，将二次函数(其中)的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为，另有一次函数的图象记为，若与恰有两个交点时，则的范围是　 　.
12．已知二次函数y=a（x-x1）（x-x2）与x轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=n（其中m>n>0）也有两个整数解，则这两个整数解分别是　 　．
13．当 时，关于 的一元二次方程 只有一个实数解，则 的取值范围为　 　.
14．二次函数y=ax2+bx＋c的部分对应值列表如下：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程a(2x＋1)2+b(2x＋1)+c=-5的解为　 　.
已知关于x的方程2+（x﹣m）（x﹣n）＝0，存在a，b是方程2+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是　 　.
三、解答题
16．已知抛物线与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ，该抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线 的解析式为　 　；
（3）过点D作 轴于H，在线段 上有一点P到直线 的距离等于线段 的长，求点P的坐标；
（4）设直线 交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线 于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
17．已知：二次函数 ，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；
18．在二次函数的学习中，教材有如下内容：
小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方程 的近似解，做法如下：
请你选择小聪或小明的做法，求出方程 的近似解(精确到0.1).
已知二次函数y=kx2﹣2x﹣1的图像与x轴有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
四、综合题
20．已知函数（，为常数）的图象经过点，.
（1）求，的值；
（2）当时，求的最大值与最小值之差；
（3）当时，若的最大值与最小值之差为8，求的值.
21．阅读与思考：下面是小明同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标(，）和一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，分a>0和a<0两种情况进行分析：
当a>0时，抛物线开口向上．
①当△=b2-4ac>0时，有4ac-b2<0．
∵a>0，∴顶点纵坐标<0，
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图①)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．
②当△=b2-4ac=0时，有4ac-b2=0．
∵a>0，∴顶点纵坐标=0，
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图②)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，
③当△=b2-4ac<0……
当a<0时，抛物线开口向下．
……
任务：
（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是　 　(从下面选项中选出两个即可)
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论
D．转化思想
（2）请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，△<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图．
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例．
22．已知：抛物线 与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．直线 ，与抛物线交于E、F两点．
（1）若 ，求a的值；
（2）若抛物线的对称轴为 ．
①求 的面积；
②当 时，求函数最大值与最小值的差；
当 时，若抛物线的最高点到直线 的距离为1，直接写出a的值．
23．阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x= ，因为当x= 时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以 ＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n，使得n﹣m≤ ．
1．答案:C
解析：解：∵，
∴，
把代入得，，
则，
∴，
∵，
，
故①正确；
∵，
∴，
∴ ，
，
故②正确；
∵二次函数（a，c为常数且）经过，且对称轴 ，
根据轴对称的性质可知抛物线必过，如图，
∵关于x的方程（）可化为：，
方程的整数解有，，0，
当时，，
当时，，
当时，，
∴或
故符合条件的p值有两个，③不正确；
当时，，即函数与y轴交点为，
∵抛物线的对称轴为，
∴函数经过，
∵当时，二次函数的最大值为c，
∴或，
∵，
∴，
故④正确，
综上所述，①②④正确.
故答案为：C.
分析：利用a的取值范围可得到3a的取值范围，将点（1，m）代入函数解析式，可推出m-c=3a，可推出m＜c，由此可推出c的取值范围，可对①作出判断；利用3a+c=m，可得到3a+c＜0，据此可得到，可对②作出判断；利用二次函数的解析式，可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可知抛物线必过（-3，m），画出二次函数的图象，作出直线y=p，根据方程的整数解有三个，可知方程的整数解有，，0，分别将x=-2，-1，0代入方程，可得到符合条件的p值有两个，可对③作出判断；当x=0时，可得到y的值，可得到抛物线与y轴的坐标，利用抛物线的对称轴可知图象经过点（-2，c），利用已知当时，二次函数的最大值为c，可得到a=-4，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
2．答案:B
解析：解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
∴①不符合题意；
∵＝，
∴b＝a，
∴②符合题意；
∵对称轴为直线x＝，且与x轴的一个交点坐标为（-2，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴③符合题意；
∵ax2+bx+c-1=0，
∴ax2+bx+c=1，
由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y=1这条直线有两个交点，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，
∴④不符合题意；
把（-2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a-2b+c＝0，
又∵a＝b，
∴2a+c＝0，
∴⑤符合题意，
∴结论正确的是②③⑤.
故答案为：B．
分析：根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断①；根据抛物线的对称性得即可判断②；由对称轴可知a＝b可判断③；将一元二次方程问题转化为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y=1这条直线的交点问题，结合图象即可判断④；把（-2，0）代入二次函数中可得4a-2b+c＝0，再由a＝b等量代换可判断⑤．据此逐项分析即可.
3．答案:B
解析：∵二次函数 的图象与 轴的交点坐标分别是 、 ，
∴ 有两个不相等的根
∴ ，故①正确；
∵图象上有一点 在 轴下方，
∴ ，故④正确，
又∵图象上有一点 在 轴下方，
∴ 时， ，
∴ 是方程 的解，故②正确，
当 时，图象上有一点 在 轴下方，
∴
当 时，图象上有一点 在 轴下方，
∴ 或 ，故③错误
故答案为：B.
分析：结合题意，根据二次函数图象、判别式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.
4．答案:C
解析：由题意可知，二次函数 的图象开口向上，经过定点 ，最小值为-3，
则二次函数 的大致图象如图1所示，
函数 的图象则是由二次函数 位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，
由图象可知，方程 的不相同实数根的个数是4个
故答案为：C．
分析：根据二次函数y＝ax2＋bx－1可求出经过定点 ，再作图求解即可。
5．答案:B
解析：解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=-1，
∴ =-1，解得b=2a.
又∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）.
把（2，0）代入y=ax2+bx+c得，0=4a+4a+c，
解得，c=-8a.
∴y=ax2+2ax-8a（a＜0），
对称轴h=-1，最大值k= =-9a.如图所示，
顶点坐标为（-1，-9a），
令ax2+2ax-8a=0，
即x+2x-8=0，
解得x=-4或x=2，
∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（-4，0）与（2，0）.
∴ax2+bx+c=p
即常函数直线y=p，由p＞0，
∴0＜y≤-9a，
由图象得当0＜y≤-9a时，-4＜x＜2，其中x为整数时，x=-3，-2，-1，0，1，
∴一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的整数解有5个.
又∵x=-3与x=1，x=-2与x=0关于直线x=-1轴对称，
当x=-1时，直线y=p恰好过抛物线顶点.
所以p值可以有3个.
故答案为：B.
分析： 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为(2，0)，可得出b=2a，0=4a+4a+c，从而得出c=-8a，即得y=ax2+2ax-8a（a＜0），据此可画出二次函数图象，由ax2+bx+c=p，可画出常函数直线y=p，由p＞0，可得0＜y≤-9a，由图象得当0＜y≤-9a时，-4＜x＜2，其中x为整数时，x=-3，-2，-1，0，1，从而求出一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的整数解有5个.由于x=-3与x=1，x=-2与x=0关于直线x=-1轴对称，从而可得当x=-1时，直线y=p恰好过抛物线顶点，据此即可求出P值的个数.
6．答案:B
解析：解：由图像可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确
∵对称轴为直线
∴b=-2a，
∵当x=-2时，y=0
∴4a-2a+c=0
∴8a+c=0，故②错误；
∵ 若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
∴点A和点B关于对称轴x=1对称，
∴x2-1=1-x1，
∴x1+x2=2
当x=x1+x2=2时，
y=4a+2b+c=4a-4a+c=c，故③正确；
∵对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）
∴y= a（x+2）（4-x）
∵ 方程a（x+2）（4-x）=-2即a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，且x1∴ x1＜-2<4正确结论的序号有①③.
分析：根据抛物线的开口方向可以确定出a的取值范围，根据左同右异结合a的取值范围，可得到b的取值范围；观察抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，因此可对①作出判断；由题意可知抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，将其代入函数解析式，进行整理，可对②作出判断；根据点A和点B关于对称轴x=1对称，可以推出x=x1+x2=2，代入可求出对应的函数值，可对③作出判断；利用二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，可得到函数解析式为y= a（x+2）（4-x），再由y=-2及x1，
7．答案:C
解析：解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（-1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（-1，2），
∴a-b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=- =-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故答案为：C．
分析：由抛物线与x轴有两个交点可得b -4ac＞0，由抛物线的顶点坐标可得对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，所以x=1时y＜0，即a+b+c＜0由抛物线的顶点坐标可得a-b+c=2，由抛物线的对称轴可得b=2a，所以c-a=2，根据抛物线的最大值是2可知：只有x=-1时ax +bx+c=2，所以方程ax +bx+c=2有两个相等的实数根。
8．答案:B
解析：解：①∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x=-1，
∴ab>0，
∴abc>0，
故①错误；
②∵当x= 时，y＞0，
∴ ，即 ，
故②错误；
③∵抛物线的顶点（-1，4），
∴方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根，
即方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；
故③正确；
④由题意得：方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=-3，x2=1，
∴方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的两根是：x-1=-3或x-1=1，
∴x1=-2，x2=2，
故④正确；
综上得：正确结论为③④，共2个，
故答案为：B.
分析：①由抛物线的开口向下可知a＜0，对称轴在y轴的左侧可知a、b同号，即b＜0，与y轴的交点在正半轴可知c＞0，于是可得abc＞0；
②观察抛物线可知当x=时，y＞0，于是把x=代入抛物线的解析式整理可得a+2b+4c＞0；
③由图可知抛物线的顶点为（-1，4），于是可得方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根，即方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；
④观察抛物线可知方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=-3，x2=1，把（x-1）看作一个整体得方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的两根是：x-1=-3或x-1=1，解之可求解.
9．答案:B
解析：解：
；（1）符合题意．∵ =2，
∴4a+b=0．故符合题意．；（2）不符合题意．∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）不符合题意．（3）符合题意．由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），
∴ 解得 ，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）符合题意．（4）不符合题意，∵点A（-3，y1）、点B（- ，y2）、点C（ ，y3），
∵ -2= ，2-（- ）= ，
∴ ＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，-3＜- ＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）不符合题意．（5）符合题意．∵a＜0，
∴（x+1）（x-5）=- ＞0，
即（x+1）（x-5）＞0，
故x＜-1或x＞5，故（5）符合题意．
∴正确的有三个，
故答案为：B．
分析：（1）符合题意，根据对称轴公式计算即可．（2）不符合题意，利用x=-3时，y＜0，即可判断．（3）符合题意，由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）不符合题意，利用函数图象即可判断．（5）符合题意，利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
10．答案:A
解析：解：由题意可知，此二次函数的顶点坐标为：（1，m）
设函数解析式为：y=a（x-1）2+m
∵x=0时，y=-1，x=时，y=
∴
解之：
∴函数解析式为：y=（x-1）2-2=x2-2x-1
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，该二次函数有最小值，故①错误；
∵y=-1时，x2-2x-1=-1
解之x1=0，x2=2
∴ 不等式y＞-1 的解集是x＜0 或x＞2，故②正确；
观察表中数据，可知 方程 的两个实数根分别位于 和 之间，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上
∴当0＜x＜1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误；
故正确的有：②③
故答案为：A
分析：利用表中的数据，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的的二次项系数的值，可对①作出判断；求出函数值为-1时的x的值，可对②作出判断；观察表中数据，可得出方程 的两个实数根的取值范围，可对③作出判断，然后求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，可对④作出判断，综上所述，可得出答案。
11．答案:或
解析：解：二次函数(其中)的图象在轴下方的部分沿轴翻折得到的抛物线解析式为：，
直线，当时，，当时，，直线与轴交点为，与轴的交点为，
(1)如下图，当抛物线经过点时，，解得，
观察图象可知，当时，与恰有两个交点，
(2)由得，当时，解得：，
观察图象可知，当时，与恰有两个交点.
分析：根据对称的性质得出翻折后抛物线的解析式为y=-x2+m，再求出直线y=x+2与坐标轴的交点为（-2，0）和（0，2），分两种情况讨论：（1）当直线与y=-x2+m有一个交点时求出m=4，再结合图象得出当m＞4时，y1与y2恰有两个交点，（2）当直线与y=-x2+m有两个交点时联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求出m=，再结合图象得出当0＜m＜时，y1与y2恰有两个交点，即可得出答案.
12．答案:0和4
解析：解：令y=m，
∵关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，
∴二次函数y＝a（x-x1）（x-x2）与y＝m的交点分别为（-1，m）和（5，m），
又∵关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=n（m>n＞0）也有两个整数解，
∴设二次函数y＝a（x-x1）（x-x2）与y＝n的交点分别为（p，n）和（q，n），
∵m>n＞0，
∴直线y＝n在x轴和直线y＝m之间，
如图所示，
由图可知，-1＜p＜1，3＜q＜5
又∵p，q都为整数，
∴p＝0，q＝4.
故答案为：0和4.
分析：令y=m，由关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，得二次函数y＝a（x-x1）（x-x2）与y＝m的交点分别为（-1，m）和（5，m），由关于x的方程a（x-x1）（x-x2）=n（m>n＞0）也有两个整数解，得y＝n的交点分别为（p，n）和（q，n），再由m>n＞0可得直线y＝n在x轴和直线y＝m之间，结合图象易得-1＜p＜1，3＜q＜5，又p，q都为整数，求得p＝0，q＝4，即可求解.
13．答案:m=3或-6≤m＜-1
解析：解：分两种情况：
（ 1 ）有两个相等的实数根，此时有 ，解得：m=3；
（ 2 ）只有一个实数根，此时如图，函数 与x轴在 范围内只有
一个交点，由于 ，所以抛物线的对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的交点坐标的范围是： ，
由原方程可知：
∴ 6≤m< 1
故答案为：m=3或 6≤m< 1.
分析：只有一个实数解，有两种情况：1、有两个相等的实数根；2、只有一个实数根.针对每种情况进行讨论可以得解.
14．答案:x1=1，x2＝-1
解析：解：由表格得：（-3，-7），（5，7），（1，-9）在二次函数图象上，
∴二次函数 y=ax2+bx＋c的 对称轴为x=1，
设y=a（x-1） -9
又∵（0，-8）在抛物线上，
∴-8=a-9，即a=1，
∴y=（x-1） -9=x -2x-8，
∴b=-2，c=-8，
令2x＋1=m，
∴一元二次方程a(2x＋1)2+b(2x＋1)+c=-5 变形为：m2-2m-3=0，
整理解得：m=3或-1，
∴2x＋1=3或2x＋1=-1，
解得：x1=1，x2=-1.
故答案为：x1=1，x2=-1.
分析：观察表格可得：（-3，-7），（5，7），（1，-9）在二次函数 y=ax2+bx＋c的图象上，
求出对称轴为x=1，利用顶点式待定系数法求出a，b，c；将a(2x＋1)2+b(2x＋1)+c=-5 利用换元法求出方程的解.
15．答案:m＜a＜b＜n
解析：解：令函数y＝2+（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn+2，
∴抛物线开口向上，
令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝﹣2的两个根为a，b，
∵当x＝m或n时，y＝2＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为m＜a＜b＜n.
分析：令抛物线解析式中y=0，得到方程的解为a，b，即为抛物线与x轴交点的横坐标为a，b，再由抛物线开口向上得到a＜x＜b时y小于0，得到x=m与n时函数值大于0，即可确定出m，n，a，b的大小关系.
16．答案:（1）解：设抛物线解析式为 ，把 代入得 ．
∴ ，顶点
（2）y=x+8
（3）作 于M，设 ，
因为直线 与x轴的夹角为 ，
∴点P到 的距离 ，且 ，又 ．
∴由题意 ，即 ，
∴
整理得： ，
解得 ； （舍）．
∴P的坐标为 ．
（4）由上求得 ， ．
①若抛物线向上平移，可设解析式为
．
当 时， ．当 时， ，
∴ 或 ．∴ ．
②若抛物线向下移，可设解析式为 ．
由 ，有 ．
∴ ，∴ ．
∴向上最多可本题考查了平移72个单位长，向下最多可平移 个单位长．
解析：（2）①设CD的解析式为y=kx+b，
把 和 代入，得
解得
∴CD的解析式为：
分析：（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；（2）①解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．
17．答案:解：二次函数
∵ ， ， ，
∴
，
而 ，
∴ ，即m为任何实数时， 方程 都有两个不等的实数根，
∴二次函数的图象与x轴都有两个交点．
解析：计算判别式，并且配方得到△= ，然后根据判别式的意义得到结论．
18．答案:解：解法 ：选择小聪的作法，
列表并作出函数 的图象：
… -1 0 1 2 …
… …
根据函数图象，得近似解为 ， ， ．
解法2：选择小明的作法，
列表并作出函数 和 的图象：
… -1 0 1 2 3 …
… …
… -2 -1 1 2 …
… …
根据函数图象，得近似解为 ， ， .
解析：分别按照小聪和小明的作法列表，描点，连线画出图象然后找近似值即可.
19．答案:解：令y＝0，则kx2﹣2x﹣1＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的解，
解得：k＞﹣1且k≠0．
∴实数k的取值范围k＞﹣1且k≠0．
解析：根据题意将该题转化为求一元二次方程根的判别式求解。
20．答案:（1）解：由题意得
解之：
∴b的值为-6，c的值为3
（2）解： ∵y=x2-6x+3=（x-3）2-6，
当0≤x≤3时
∴当x=3时y的最小值为-6，
x=0时y最大值为-9-6=3；
当3＜x≤4时
当x=4时y的最小值为1-6=-5，
∴y的最大值为3，最小值为-6，
∴y的最大值和最小值的差为3-（-6）=9.
（3）解： 当k-4≤x≤k时，y=（x-3）2-6，
当k-4≤x≤k≤3时即k≤3，
仅当x=k时y的最小值为y=k2-6k+3，
仅当x=4-k时y取得最大值为y=（4-k-3）2-6，
∴（4-k-3）2-6-（k2-6k+3）=8，
解之：k=4，
∵k≤3，故不符合题意；
当k-4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时y的最小值为y=-6，
当x=k-4时，y取得最大值为y=（k-4-3）2-6，
∴（k-4-3）2-6-（-6）=8
解之：，，
∵3≤k≤7，
∴（不符合题意）和（符合题意）；
当x=k时，取得最大值为y=k2-6k+3，
k2-6k+3-（-6）=8，
解之：，（不符合题意），
当3≤k-4≤k，即k≥7，
仅当x=k-4，y取得最小值，
∴y=（k-4）2-6（k-4）+3，
当x=k时取得最大值为y=k2-6k+3，
∴k2-6k+3-[（k-4）2-6（k-4）+3]=8，
解之：k=6，
∵k≥7，
∴k=6不符合题意，
∴当k-4≤x≤k时，若y的最大值与最小值为8，k的值为或
解析：（1）将已知点的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到当x=3时y的最小值为-6，x=0时y最大值为-9-6=3；当3＜x≤4时，可得到y的最大值和最小值，然后求出最大值和最小值的差.
（3）分情况讨论：当k-4≤x≤k时，y=（x-3）2-6，可知k≤3，仅当x=k时y的最小值为y=k2-6k+3，仅当x=4-k时y取得最大值为y=（4-k-3）2-6，利用最大值和最小值的差为8，可得到关于k的方程，解方程求出k的值，利用k的取值范围可作出判断；当k-4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时y的最小值为y=-6，当x=k-4时，y取得最大值，可得到其最大值，据此可得到关于k的方程，解方程求出k的值，利用取值范围，可得到符合题意的k的值；当x=k时，取得最大值为y=k2-6k+3，可得到关于k的方程，解方程求出k的值，可得到符合题意的k的值；当3≤k-4≤k，即k≥7，仅当x=k-4，y取得最小值，当x=k时取得最大值为y=k2-6k+3，据此可得到关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值；综上所述可得到符合题意的k的值.
21．答案:（1）AC（或AD或CD）
（2）解：当△=b2-4ac<0时，有4ac-b2>0．
∵a>0，∴顶点纵坐标
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
示意图如图．
（3）解：可用函数观点来认识二元一次方程组的解、(答案不唯一．又如：可用函数观点来认．识一元一次不等式的解集等)
解析：（1）解： 上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是：数形结合和分类讨论或者是数形结合和转化思想或分类讨论和转化思想。
故答案为：AC（或AD或CD） .
分析：
（1）根据题意求所运用的数学思想即可；
（2）先求出 顶点纵坐标 ，再求出 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根，最后求解即可；
（3）根据题意求解即可。
22．答案:（1）解：设点E、F的横坐标分别为x1、x2，
∵直线 ，与抛物线 交于E、F两点，
∴当 时， ，即 ，
∴x1、x2是方程 的两个根，
∴x1+x2= ，x1·x2= ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵a≠0，
∴81a2-8a-1=0，
解得： ， ，
∴a的值为 或
（2）解：①∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
当y=0时， ，
解得： ， ，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-2，0），B（4，0），
∴AB=6，
当x=0时，y=4，
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∴S△ABC= =12．
②∵ <0，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为 ，
∴x=1时有最大值，当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴x=1时，有最大值为 ，x=6时有最小值为 ，
∴当 时，最大值与最小值的差为 ．
（3）解：∵当 时，若抛物线有最高点，
∴a<0，
∵当 时，若抛物线的最高点到直线 的距离为1，
∴当对称轴 时，即-1≤a<0时，最高点为抛物线顶点，
∴最高点纵坐标为 ，
∴ -6=1，
解得： ，
∵当 时，若抛物线的最高点到直线 的距离为1，
∴当对称轴 < 时，即 时， 时为最高点，
∴ ，
解得： （舍去）， （舍去），
综上所述：a的值为 ．
解析：（1）先求出 ， 再求出 x1、x2是方程 的两个根， 最后求解即可；
（2）①先求出 ， 再求出 ， ， 最后求解即可；
②根据题意先求出 x=1时有最大值，当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小， 再求出 x=1时，有最大值为 ，x=6时有最小值为 ， 即可作答；
（3）列方程计算求解即可。
23．答案:（1）解：因为当x=﹣2时，y＞0；当x=﹣1时，y＜0，
所以方程2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是﹣2＜x2＜﹣1．…
（2）解：取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=1＞0，
又因为当x=﹣1时，y=﹣1＜0，
所以﹣ ＜x2＜﹣1，
取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=﹣ ＜0，
又因为当x=﹣ 时，y＞0，
所以﹣ ＜x2＜﹣ ，
又因为﹣ ﹣（﹣ ）= ，
所以﹣ ＜x2＜﹣ 即为所求x2 的范围.
解析：（1）计算x=﹣2和x=﹣1时，y的值，确定其x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；（2）先根据第三步﹣2和﹣1的平均数确定x=﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，得﹣ ＜x2＜﹣1，同理再求﹣1和﹣ 的平均数为﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，从而得结论．