北京市第二中学2023-2024学年高二下学期第六学段考试（期末）数学试题（PDF版无答案）

北京二中 2023—2024 学年度第六学段高二年级学段考试试卷
数学选择性必修Ⅲ
得分：
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项）
1.已知集合 = { || | < 3, ∈ }， = { || | > 1, ∈ }，则 ∩ =
A. B. { 3, 2,2,3} C. { 2,0,2} D. { 2,2}
2.李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活
的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3. 已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘
记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为
A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6
3.已知函数 ( ) = 2 + ， ( ) = log 32 + ， ( ) = + 的零点分别为 ， ， ，则 ， ，
的大小顺序为
A. > > B. > > C. > > D. > >
4.已知 ， 为异面直线， ⊥平面 ， ⊥平面 .若直线 满足 ⊥ ， ⊥ ， ， ，
则
A. // ， // B. 与 相交，且交线平行于
C. ⊥ ， ⊥ D. 与 相交，且交线垂直于
5.已知函数 f (x) = 2sin( x+ ), x R,其中 0, .若 f (x)的最小正周期为6 ,且

当 x = 时, f (x)取得最大值,则
2
A. f (x)在区间[ 2 ,0]上是减函数 B. f (x)在区间[ 3 , ]上是减函数
C. f (x) 在区间[ 2 ,0]上是增函数 D. f (x)在区间[ 3 , ]上是增函数

6.命题“ ∈ [1,2]，2 + ≥ 0”为真命题的一个充分不必要条件是

A. ≥ 1 B. ≥ 2 C. ≥ 3 D. ≥ 4
7.有8位学生春游，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名．现将他们排成一列，要求2名小学
生相邻、3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有
A. 288种 B. 144种 C. 72种 D. 36种
8.已知函数 ( )对任意的 ∈ 都有 ( + 8) = ( )，若 = ( + 2)的图象关于点( 2,0)对
称，且 (3) = 3，则 (43) =
A. 0 B. 3 C. 3 D. 4
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班级 学号 姓名
密 封 线
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9.已知 ( )是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 ( 1) = 1，当 ， ∈ [ 1,1]，且 + ≠ 0时，( +
)( ( ) + ( )) > 0成立，若 ( ) < 2 2 + 1对任意的 x [ 1,1] , t [ 1,1]恒成立，则实数
的取值范围是
A. ( ∞, 2) ∪ {0} ∪ (2,+∞) B.( 2,2)
C. ( ∞, 2) ∪ (2,+∞) D. ( 2,0) ∪ (0,2)
1 1
10.已知 > 0， > 0，且 = 1，不等式 + + ≥ 4恒成立，则正实数 的取值范围是
2 2 +
A. [2,+∞) B. [4,+∞) C. [6, +∞) D. [8, +∞)
二．填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
11.命题“ ∈ ， 2 + 2 + 2 > 0”的否定是 ．
1
12. 在二项式 (x
2 )5的展开式中，含 x 的项的系数是 ．
x
1
1 4x
2 , x [0, ]
2 5
13.已知 f (x) 为偶函数，当 x 0 时， f (x) = ，则 f [ f ( )] = ；
1 82x 1, x ( ,+ )
2
3
不等式 f (x 1) 的解集为 ．
4
14.已知抛物线 2
| |
= 8 的焦点为 ，点 是抛物线上的动点．设点 ( 2,0)，当 取得最小值时，
| |
| | = ；此时△ 内切圆的半径为 ．
|a
x 1|, x ≤1,
15.已知函数 f (x) = 其中 a 0且 a 1. 给出下列四个结论：
(a 2)(x 1), x 1.
① 若 a 2，则函数 f (x) 的零点是0 ；
② 若函数 f (x) 无最小值，则 a的取值范围为 (0,1) ；
③ 若存在实数M ，使得对任意的 x R ,都有 f (x) M ，则M 的最小值为 1；
④ 若关于 x的方程 f (x) = a 2恰有三个不相等的实数根 x1, x2 , x3，则a的取值范围
为 (2,3) ，且 x1 + x2 + x3的取值范围为 ( ,2) .
其中，所有正确结论的序号是 ．
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三．解答题（共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16.（本小题 13 分）在△ABC中， , , 分别是角 , , 的对边，且 2acos B = 2c 3b ．
（1）求 A 的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确
定，求 BC 边上高线的长.
3 21 21
条件①： cos B = ，b = ；
14 2
条件②： a = 2， c = 2 3 ；
条件③：b = 3， c = 3 .
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
17. （本小题 14 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面
ABCD ， AB = 2 ，BC =1， PC = PD = 2 ，点 E 在棱PB 上，且PD ∥平面 ACE ．
（1）求证：E 为PB 中点；
（2）求二面角E AC D 的余弦值；
（3）在棱 PD 上是否存在点M ，使得 AM 与
2
平面 ACE 所成角的正弦值为 ？若存在，
3
PM
求出 的值；若不存在，说明理由．
PD
18.（本小题 13 分）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了 A、B、C、D、E、F 共 6 座
车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的 200 名乘客，记录了他们的乘车情况，
得到下表（单位：人）：
下车站
A B C D E F 合计
上车站
A /// 5 6 4 2 7 24
B 12 /// 20 13 7 8 60
C 5 7 /// 3 8 1 24
D 13 9 9 /// 1 6 38
E 4 10 16 2 /// 3 35
F 2 5 5 4 3 /// 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
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（1）在试运营期间，从在 B 站上车的乘客中任选 1 人，估计该乘客在 C 站下车的概率；
（2）在试运营期间，从在 A 站上车的所．有．乘客和在 B 站上车的所．有．乘客中各随机选取 1 人，
设其中在 C 站下车的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列以及数学期望；
（3）为了研究各站客流量的相关情况，用 1表示所有在 B 站上下车的乘客的上、下车情况，
“ 1 =1”表示上车，“ 1 = 0 ”表示下车.相应地，用 2 ， 3 分别表示在 C 站，D 站上、下车
情况，直接写出方差D 1，D 2， D 3 大小关系.
x2 y2 6
19.（本小题 15 分）已知椭圆C： + =1(a b 0)的离心率为 ，以椭圆C 的四个顶点为顶
a2 b2 3
点的四边形的周长为 8．
（1）求椭圆C 的方程；
3
（2）设直线 l 是圆 x2 + y2 = 的一条切线，且直线 l 与椭圆C 交于 A,B 两点，求 AB 的最大值．
4
f (x) = xex
1 2
20.（本小题 15 分）已知函数 ax ax (a 0).
2
(1)求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0))处的切线方程；
1
(2)若 f (x) 的极大值为1 ，求 a的值；
e
1
(3)当 a 时，若 x1 [1,+ ), x2 ( ,0 使得 f (x1 ) + f (x2 ) = 0，求 a的取值范围.
e
21.（本小题 15 分）数列 A ：n a1, a2 , , an (n≥2) 满足：ak 1 (k =1,2, ,n) ．记 A 的前 项和n k
为 S ，并规定 S = 0．定义集合 En = {k
*
N ， k ≤ n | Sk S j ， j = 0,1, ,k 1}． k 0
（1）对数列 A ： 0.3， 0.7 ， 0.1， 0.9 ，0.1，求 ， ， ， ， 以及集合 E ； 5 S1 S2 S3 S4 S5 5
（2）若集合 En ={k1,k2 , ,km} (m 1， k1 k2 km ) ，设 k0 = 0 ，
证明： Sk Sk 1 (i = 0,1,2, ,m 1)； i+1 i
（3）给定正整数C ．对所有满足 Sn C 的数列 A ，求集合En 的元素个数的最小值． n
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密 封 线
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------