人教版高中数学选择性必修第一册-3.1.1椭圆及其标准方程-课时作业（含解析）

课时作业21　椭圆及其标准方程【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式＋＝4，则椭圆C的标准方程为(　 )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
2．设α∈，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为(　)
A．9 B．4
C．3 D．2
4．已知椭圆＋＝1的左焦点为F1，一动直线过椭圆右焦点F2且与椭圆交于点M，N，则△F1MN的周长为(　)
A．16 B．20
C．32 D．40
5．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0)
6．若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为(　　)
A．9 B．12
C．15 D．18
7．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　　)
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
8．(多选题)下列命题是真命题的是(　　)
A．已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|
＝的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|
＝4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的和，则点P的轨迹为椭圆
二、填空题
9．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为
10．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝11．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是
三、解答题
12．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
13．设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)，B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
14．(多选题)已知椭圆的焦距为4，椭圆上动点P与两个焦点距离乘积的最大值为13，则该椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
15．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是6.
16．已知点P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
课时作业21　椭圆及其标准方程【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式＋＝4，则椭圆C的标准方程为(　B　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
解析：由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为(1,0)，(－1,0)，2a＝4，故a＝2，c＝1，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1，故选B.
2．设α∈，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为(　C　)
A. B.
C. D.
解析：由题意知，cosα>sinα>0，∴tanα<1，
∵α∈，∴0<α<，故选C.
3．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为(　C　)
A．9 B．4
C．3 D．2
解析：由题意可知25－m2＝16，解得m＝3，故选C.
4．已知椭圆＋＝1的左焦点为F1，一动直线过椭圆右焦点F2且与椭圆交于点M，N，则△F1MN的周长为(　D　)
A．16 B．20
C．32 D．40
解析：结合椭圆的定义，知a＝10，且△F1MN的周长为4a＝40，故选D.
5．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　B　)
A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0)
解析：由|AB|＋|AC|＝12＞|BC|＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(x≠0)，故选B.
6．若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为(　A　)
A．9 B．12
C．15 D．18
解析：方法一：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90°且|F1F2|＝8，知r＋r＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝r1r2＝9，故选A.
方法二：S△PF1F2＝b2tan＝9tan45°＝9.
7．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　C　)
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
解析：当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个，故选C.
8．(多选题)下列命题是真命题的是(　BD　)
A．已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|
＝的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|
＝4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的和，则点P的轨迹为椭圆
解析：A.因为<2，所以点P的轨迹不存在；B.因为|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C.到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；D.因为点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的和为4>8，所以点P的轨迹为椭圆，故选BD.
二、填空题
9．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
解析：由已知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
10．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝12.
解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，即点F1，F2分别为MA，MB的中点，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
11．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是4.
解析：设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4.
三、解答题
12．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1，
得＋＝1，即x2＝9，解得x＝±3，即M的横坐标为3或－3.
(2)椭圆＋＝1的焦点在x轴上且c2＝9－4＝5.
设所求椭圆的方程为＋＝1(a2＞5)，
把M点坐标代入椭圆方程，得＋＝1，
解得a2＝15(a2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为＋＝1.
13．设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)，B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解：∵点P在椭圆＋＝1上，
∴y2＝16×＝16×.①
∵点P的纵坐标y≠0，∴x≠±5.∴kPA＝，kPB＝.
∴kPA·kPB＝·＝，②
将①代入②，得kAP·kPB＝＝－.
∴kPA·kPB为定值，这个定值是－.
14．(多选题)已知椭圆的焦距为4，椭圆上动点P与两个焦点距离乘积的最大值为13，则该椭圆的标准方程是(　CD　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a(常数)，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立．
所以a2＝13，又c＝2，所以b2＝1.
故椭圆的标准方程为＋y2＝1或x2＋＝1，故选CD.
15．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是6.
解析：设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0,6)，半径r＝.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则＋y＝1，即x＝10－10y，
|CQ|＝＝
＝，
因为y0∈[－1,1]，所以当y0＝－时，|CQ|有最大值5，则P，Q两点间的最大距离为5＋r＝6.
16．已知点P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，①
且F1(－，0)，F2(，0)．
在△F1PF2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得·<0，即(x＋，y)·(x－，y)<0，
又y2＝1－，所以x2<2，解得－所【含解析】以点P横坐标的取值范围是－－