人教版高中数学选择性必修第一册-1.1.1 空间直角坐标系-课时作业（含解析）

课时作业4　空间直角坐标系【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．点M(－1,3，－4)在坐标平面Oxy，Ozx，Oyz内的射影的坐标分别是(　　)
A．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
B．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
C．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)
D．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)
2．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
②点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，－2，－3)；
③点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确说法的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
3．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　　)
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
5．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　)
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
6．已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{，，}下的坐标为(　　)
A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)
C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)
7．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，－2)关于点(－1，0,1)的对称点是(　　)
A．(－3，－2,4) B．(3，－2，－4)
C．(－3,2，－4) D．(－3,2,4)
8．(多选题)在空间直角坐标系中，下列结论正确的是(　　)
A．点(－2,1,4)关于x轴对称的点的坐标为(2,1,4)
B．点(3,2,4)关于z轴对称的点的坐标为(－3，－2,4)
C．点(1,2,3)与点(3,2,1)的中点坐标是(2,2,2)
D．点(1,2,0)关于平面Oyz对称的点的坐标为(－1,2,0)
二、填空题
9．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为10.如图所示，在长方体OABC O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是
11．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为
所三、解答题
12．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标．
13．已知A(3,1,3)，B(1,5,0)，求：
(1)线段AB的中点坐标和长度；
(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
14．已知{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，且a＝－2i＋2j－2k，b＝i＋4j－6k，c＝xi－8j＋8k，若向量a，b，c共面，则向量c的坐标为(　　)
A．(8，－8,8) B．(－8，－8,8)
C．(－6，－8,8) D．(6，－8,8)
15．空间直角坐标系中，点A(a,3,4)和点B(－1，b，c)关于点C(1，－3,2)对称，则a＋b＋c＝
16．已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量，，的坐标．
课时作业4　空间直角坐标系【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．点M(－1,3，－4)在坐标平面Oxy，Ozx，Oyz内的射影的坐标分别是(　A　)
A．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
B．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
C．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)
D．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)
2．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
②点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，－2，－3)；
③点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确说法的个数是(　C　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：在①中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故①不正确；在②中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故②不正确；在③中，由对称的性质得与点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2，－3)，故③正确，故选C.
3．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　D　)
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
解析：＝－i＋j－k，只能确定的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定，故选D.
4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　A　)
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
解析：＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故选A.
5．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　D　)
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
解析：因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B，C都不正确；由于＝－，所以D正确，故选D.
6．已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{，，}下的坐标为(　B　)
A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)
C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)
解析：∵a＝2＋－3＝2－－3＝－＋2－3，∴向量a在基底{，，}下的坐标为(－1，2，－3)，故选B.
7．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，－2)关于点(－1，0,1)的对称点是(　D　)
A．(－3，－2,4) B．(3，－2，－4)
C．(－3,2，－4) D．(－3,2,4)
解析：设对称点为(x，y，z)，根据中点坐标公式有＝－1，＝0，＝1，解得x＝－3，y＝2，z＝4，故对称点的坐标为(－3,2,4)，故选D.
8．(多选题)在空间直角坐标系中，下列结论正确的是(　BCD　)
A．点(－2,1,4)关于x轴对称的点的坐标为(2,1,4)
B．点(3,2,4)关于z轴对称的点的坐标为(－3，－2,4)
C．点(1,2,3)与点(3,2,1)的中点坐标是(2,2,2)
D．点(1,2,0)关于平面Oyz对称的点的坐标为(－1,2,0)
解析：对于A，∵在空间直角坐标系中，点(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y，－z)，∴点(－2,1,4)关于x轴对称的点的坐标为(－2，－1，－4)．故A错误；对于B，∵在空间直角坐标系中，点(x，y，z)关于z轴对称的点的坐标为(－x，－y，z)，∴点(3,2,4)关于z轴对称的点的坐标为(－3，－2,4)，故B正确；对于C，由中点坐标公式得：点(1,2,3)与点(3,2,1)的中点坐标是(2,2,2)，故C正确；对于D，∵在空间直角坐标系中，点(x，y，z)关于平面Oyz对称的点的坐标为(－x，y，z)，∴点(1,2,0)关于平面Oyz对称的点的坐标为(－1,2,0)．故D正确．故选BCD.
二、填空题
9．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为(4，－8，3)，(－2，－3,7)．
解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．
10.如图所示，在长方体OABC O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是.
解析：由题意可知B1(2,3,2)．M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是.
11．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(5,13，－3)．
解析：由四边形ABCD是平行四边形知＝，
设D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1,12，－6)，
所以解得即D点坐标为(5,13，－3)．
三、解答题
12．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标．
解：(1)∵在长方体ABCD A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，
分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∴点A(0,0,0)，
∵B在x轴的正半轴上，且|OB|＝4，∴B(4,0,0)，
同理得：D(0,3,0)，A1(0,0,5)，
∵C在坐标平面Oxy内，且BC⊥AB，CD⊥AD，∴C(4,3,0)，同理得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)，
与点C的坐标相比，点C1的坐标只有竖坐标与点C不同，
且|CC1|＝|AA1|＝5，则点C1(4,3,5)．
(2)由(1)知C(4,3,0)，C1(4,3,5)，∴CC1的中点坐标为N.
13．已知A(3,1,3)，B(1,5,0)，求：
(1)线段AB的中点坐标和长度；
(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
解：(1)∵A(3,1,3)，B(1,5,0)，
∴AB的中点坐标，＝(－2,4，－3)，
∴||＝.
(2)A(3,1,3)，B(1,5,0)，P(x，y，z)，由PA＝PB得：
＝
，
整理得：4x－8y＋6z＋7＝0.
14．已知{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，且a＝－2i＋2j－2k，b＝i＋4j－6k，c＝xi－8j＋8k，若向量a，b，c共面，则向量c的坐标为(　A　)
A．(8，－8,8) B．(－8，－8,8)
C．(－6，－8,8) D．(6，－8,8)
解析：∵a，b，c共面，∴可设c＝λa＋μb，∴xi－8j＋8k＝λ(－2i＋2j－2k)＋μ(i＋4j－6k)，
由此可得解得x＝8.
向量c的坐标为(8，－8,8)，故选A.
15．空间直角坐标系中，点A(a,3,4)和点B(－1，b，c)关于点C(1，－3,2)对称，则a＋b＋c＝－6.
解析：∵空间直角坐标系中，点A(a,3,4)和点B(－1，b，c)关于点C(1，－3,2)对称，∴由中点坐标公式，
得解得故a＋b＋c＝－6.
16．已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量，，的坐标．
解：过点A作AG垂直于平面BCD于点G，所以G为△BCD的中心，过点G作GF∥CD，延长BG交CD于点E，则E为CD的中点．
以G为坐标原点，GF，GE，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，
因为△BCD的边长为1，
所以BE＝，GE＝，又＝，所以GF＝×＝，又BG＝，所以AG＝＝.
设单位正交基底为{e1，e2，e3}，则
＝－＝－e2－e3＝，
＝－＝＋－＝
e2＋e1－e3＝，
＝－＝＋－＝
e2－e1－e3＝.