人教版高中数学选择性必修第一册-1.3.1 空间向量运算的坐标表示-课时作业（含解析）

课时作业5　空间向量运算的坐标表示【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　)
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是(　　)
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
3．若在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(　　)
A. B．－
C．2 D．±
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则
|a－b＋2c|等于(　　)
A．3 B．2
C. D．5
5．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则|a|＝(　　)
A. B.
C. D.
6．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n的值为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．－2
7．已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝
3||且∥，则Q点的坐标为(　　)
A．(2,5,0)
B．(－4，－1，－6)或(2,5,0)
C．(3,4,1)
D．(3,4,1)或(－3，－2，－5)
8．(多选题)下列各组向量中平行的是(　　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
二、填空题
9．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝
10．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则在上的投影为
11．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则||的取值范围是
三、解答题
12．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c所成角的余弦值．
13.如图所示，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？并说明理由．
14．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
15．已知三角形的顶点是A(1，－1,1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)．则这个三角形的面积为.
16．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且向量a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.
(1)当|c|取最小值时，求t的值；
(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．
课时作业5　空间向量运算的坐标表示【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　B　)
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是(　D　)
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
3．若在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(　D　)
A. B．－
C．2 D．±
解析：＝(－6,1,2k)，＝(－3,2，－k)，则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，
∴k＝±，故选D.
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则
|a－b＋2c|等于(　A　)
A．3 B．2
C. D．5
解析：a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3，故选A.
5．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则|a|＝(　C　)
A. B.
C. D.
解析：因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝××＝
，所以＝－λ.解得λ2＝，
所以|a|＝＝，故选C.
6．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n的值为(　A　)
A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，由题意得∥，所以＝＝，所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0，故选A.
7．已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝
3||且∥，则Q点的坐标为(　B　)
A．(2,5,0)
B．(－4，－1，－6)或(2,5,0)
C．(3,4,1)
D．(3,4,1)或(－3，－2，－5)
解析：设Q(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，＝(1,1,1)，
∴
解得或
∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)，故选B.
8．(多选题)下列各组向量中平行的是(　ABC　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
解析：b＝－2a a∥b；d＝－3c d∥c；零向量与任何向量都平行，故选ABC.
二、填空题
9．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝2.
解析：c－a＝(0,0,1－x)，(c－a)·(2b)＝2(0,0,1－x)·(1,2,1)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
10．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则在上的投影为－4.
解析：∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影为
||cos〈，〉＝×＝－4.
11．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则||的取值范围是1≤||≤5.
解析：因为＝(2cosθ－3cosα，2sinθ－3sinα，0)，
所以||2＝(2cosθ－3cosα)2＋(2sinθ－3sinα)2
＝4＋9－12(cosθcosα＋sinθsinα)＝13－12cos(θ－α)．
因为－1≤cos(θ－α)≤1，
所以1≤||2≤25，即1≤||≤5.
三、解答题
12．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c所成角的余弦值．
解：(1)∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，∴解得
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．
(2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，
|b＋c|＝＝，
∴向量a＋c与b＋c所成角的余弦值为
＝＝.
13.如图所示，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？并说明理由．
解：不存在，理由如下：∵PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD.
又AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.
在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.
设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)．
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
∴E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)．
假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G(0，m,0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1,3－t－m,0)，＝(0,4－t－m,0)，＝(0，－m，t)，＝(t，－m,0)．
由||＝||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，
即t＝3－m.①
由||＝||，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
14．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　C　)
A. B.
C. D.
解析：设＝λ，则＝－＝－λ＝
(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝
(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝
2.
所以当λ＝时，·最小，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选C.
15．已知三角形的顶点是A(1，－1,1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)．则这个三角形的面积为.
解析：由题意得＝(1,2，－2)，＝(－2,0，－3)，
∴||＝＝3，
||＝＝，
·＝(1,2，－2)·(－2,0，－3)＝－2＋6＝4，
∴cos A＝cos〈，〉＝
＝＝，
∴sin A＝＝，
S△ABC＝||||·sin A＝.
16．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且向量a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.
(1)当|c|取最小值时，求t的值；
(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．
解：(1)∵关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，
∴Δ＝[－(t－2)]2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.又c＝a＋tb＝(－1＋t,1,3－2t)，∴|c|＝
＝.
∵当t∈时，关于t的函数y＝52＋是单调递减的，∴当t＝－时，|c|取最小值.
(2)由(1)，知当t＝－时，c＝，
|b|＝＝，|c|＝，
∴cos?b，c?＝＝－.