数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示 课件（共20张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示 课件（共20张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 15:28:39 | ||
图片预览
文档简介
(共20张PPT)
新授课
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
第一章 空间向量与立体几何
在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}，以点O为原点，分别以, , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系Oxyz.
x
y
z
i
j
k
O
向量终点的坐标
A(x,y,z)
向量的坐标
OA=(x,y,z)
一一对应
以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同。
温故知新
1．在长方体OABC﹣D'A'B'C′中，OA＝3，OC＝4，OD'＝3，A'C′与B'D'交T点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点C，B'，P的坐标；
（2）写出向量，的坐标．
2．已知点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，求．
1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 ＋ ＋＝_______________________
减法 － －＝_______________________
数乘 λ λ＝______________，λ∈R
数量积 · ·＝________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
新知探究
下面我们来证明空间向量的数量积运算的坐标表示：
设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k , b=b1i+b2 j+b3k
∴ab=（a1i+a2 j+a3k）（b1i+b2 j+b3k）
∵ii=j j=k k=1 ij=j k=k i=0
∴ab=a1b1+a2b2+a3b3
2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有
①b1，b2，b3≠0时，∥ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
②⊥ ·＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
③求模：；
④求夹角：cos<,>==
3.设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则
①=(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
向量坐标等于终点坐标减起点坐标.
②空间两点距离公式：
=
【注】点A(x，y，z)到原点O的距离
4、空间两点的中点公式
例1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),
(1) 求a+b，a-b，|a|，8a，a·b。
(1) 求| 2a+b | 及向量a与b的夹角余弦值。
例题讲解
例2. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上，
(1) 求AM的长.
(2) 求BE1与DF1所成角的余弦值.
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
E1
F1
M
方法总结
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为几何结论．
巩固练习
【练习1】已知＝(2，-1，3)，＝(-4，2，x)，且⊥()，求x的值.
【练习2】已知＝(1，-1，1)，＝(1，3，2)，＝(1，2，1)，则()＝____.
【练习3】已知＝(1，0，1)，＝(2，0，-2)，若(k()=2，则k＝ .
【练习4】已知＝(2，x，-1)，＝(x，8，x-6)，且//，求x的值.
【练习5】点B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，若＝6，//，则的坐标为____.
【练习6】在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)和到点B(1,-3,1)的距离相等.
【练习7 】点P(1,3,5)关于点M(2,﹣1,﹣4)的对称点的坐标是__________.
8.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
解：如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．
(1)∵H是C1G的中点，∴H . 又F (，，0)，
∴FH＝||＝＝.
(2)∵ ＝，则| |＝. 又||＝，且 ·＝，
∴cos〈，〉＝＝， 即EF与C1G所成角的余弦值为 .
9.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3 ＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标．
解：由题可知：A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为 .
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以 · ＝0，所以 ·＝0，
即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为.
新授课
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
第一章 空间向量与立体几何
在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}，以点O为原点，分别以, , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系Oxyz.
x
y
z
i
j
k
O
向量终点的坐标
A(x,y,z)
向量的坐标
OA=(x,y,z)
一一对应
以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同。
温故知新
1．在长方体OABC﹣D'A'B'C′中，OA＝3，OC＝4，OD'＝3，A'C′与B'D'交T点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点C，B'，P的坐标；
（2）写出向量，的坐标．
2．已知点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，求．
1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 ＋ ＋＝_______________________
减法 － －＝_______________________
数乘 λ λ＝______________，λ∈R
数量积 · ·＝________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
新知探究
下面我们来证明空间向量的数量积运算的坐标表示：
设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k , b=b1i+b2 j+b3k
∴ab=（a1i+a2 j+a3k）（b1i+b2 j+b3k）
∵ii=j j=k k=1 ij=j k=k i=0
∴ab=a1b1+a2b2+a3b3
2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有
①b1，b2，b3≠0时，∥ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
②⊥ ·＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
③求模：；
④求夹角：cos<,>==
3.设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则
①=(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
向量坐标等于终点坐标减起点坐标.
②空间两点距离公式：
=
【注】点A(x，y，z)到原点O的距离
4、空间两点的中点公式
例1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),
(1) 求a+b，a-b，|a|，8a，a·b。
(1) 求| 2a+b | 及向量a与b的夹角余弦值。
例题讲解
例2. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上，
(1) 求AM的长.
(2) 求BE1与DF1所成角的余弦值.
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
E1
F1
M
方法总结
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为几何结论．
巩固练习
【练习1】已知＝(2，-1，3)，＝(-4，2，x)，且⊥()，求x的值.
【练习2】已知＝(1，-1，1)，＝(1，3，2)，＝(1，2，1)，则()＝____.
【练习3】已知＝(1，0，1)，＝(2，0，-2)，若(k()=2，则k＝ .
【练习4】已知＝(2，x，-1)，＝(x，8，x-6)，且//，求x的值.
【练习5】点B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，若＝6，//，则的坐标为____.
【练习6】在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)和到点B(1,-3,1)的距离相等.
【练习7 】点P(1,3,5)关于点M(2,﹣1,﹣4)的对称点的坐标是__________.
8.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
解：如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．
(1)∵H是C1G的中点，∴H . 又F (，，0)，
∴FH＝||＝＝.
(2)∵ ＝，则| |＝. 又||＝，且 ·＝，
∴cos〈，〉＝＝， 即EF与C1G所成角的余弦值为 .
9.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3 ＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标．
解：由题可知：A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为 .
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以 · ＝0，所以 ·＝0，
即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为.