中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 二次函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024 秦都区校级一模）下列函数中，关于的二次函数是
A． B． C． D．
2．（2024春 青秀区校级期末）二次函数图象的顶点坐标为
A． B． C． D．
3．（2024 新城区校级一模）若抛物线是常数）的顶点到轴的距离为2，则的值为
A． B． C．或 D．或
4．（2024春 拱墅区期末）二次函数，为常数，且的图象可能是
A． B．
C． D．
5．（2024 吉木萨尔县校级模拟）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表：
0 1 2 3
1 1
下列判断正确的是
A． B． C． D．
6．（2024 夏邑县二模）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
7．（2024 姜堰区二模）二次函数，，为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则的值可能为
A．2 B．3 C． D．
8．（2024 福建模拟）已知抛物线经过，，三点，则下列说法正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2024 田阳区二模）如图，抛物线与直线相交于点、，是轴上一点，若最小，则点的坐标为
A． B． C． D．
10．（2023秋 城关区校级期末）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法：①；②；③；④；⑤（常数．其中正确的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题）
11．（2024 武威二模）将二次函数用配方法化成的形式为 ．
12．（2023春 酒泉期末）正方形边长3，若边长增加，则面积增加，与的函数关系式为 ．
13．（2024 开福区校级三模）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为 ．
14．（2024 梁溪区校级二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
15．（2019 深圳模拟）如图，四边形是边长为1的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
16．（2024 沭阳县校级二模）下列关于抛物线为常数）的结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点在直线上；③抛物线与轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点，，，，若，，则．其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 岷县期中）已知函数（其中．
（1）当为何值时，是的二次函数？
（2）当为何值时，是的一次函数？
18．（2024 唐河县模拟）已知二次函数．
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随增大而减小，当为何值时，随增大而增大．
19．（2022秋 台山市校级期中）对于抛物线．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式．
（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
（3）结合图象，当时，的取值范围 ．
20．（2024春 海曙区校级期末）如图，已知二次函数图象经过点和点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出：当时，函数的取值范围．
21．（2023秋 睢宁县期末）已知函数是常数）
（1）当时，该函数图象与直线有几个公共点？请说明理由；
（2）若函数图象与轴只有一公共点，求的值．
22．（2024 西岗区校级模拟）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元与一次性批发量（件为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
（1）直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若一次性批发量不低于20且不超过60件时，求获得的利润与的函数关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
23．（2023秋 淮安期末）如图，二次函数的图象交轴正半轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，，已知．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求的面积．
24．（2024 邹平市校级模拟）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
25．（2024 泸县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，若平分，求点的坐标；
（3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
第1页（共1页）中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 二次函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024 秦都区校级一模）下列函数中，关于的二次函数是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】、当时，不是二次函数；
、是二次函数；
、不是二次函数；
、为一次函数．
故选．
2．（2024春 青秀区校级期末）二次函数图象的顶点坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】二次函数图象的顶点坐标为，
故选．
3．（2024 新城区校级一模）若抛物线是常数）的顶点到轴的距离为2，则的值为
A． B． C．或 D．或
【答案】
【解析】，
抛物线是常数）的顶点坐标为，
顶点到轴的距离为2，
，
即或，
解得或，
故选．
4．（2024春 拱墅区期末）二次函数，为常数，且的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】二次函数，为常数，且，
对称轴为直线，在轴的左侧，与轴的交点为在正半轴，
故图象可能是．
故选．
5．（2024 吉木萨尔县校级模拟）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表：
0 1 2 3
1 1
下列判断正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由表格可得，
该函数的对称轴为直线，
，，
．
故选．
6．（2024 夏邑县二模）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】
【解析】二次函数图象开口向下，对称轴大于零，
，，
，
，
△，
关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根．
故选．
7．（2024 姜堰区二模）二次函数，，为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则的值可能为
A．2 B．3 C． D．
【答案】
【解析】图象开口向下，
，
将，；，代入，得：，
，
，
，
可能的值为，
故答案为：．
8．（2024 福建模拟）已知抛物线经过，，三点，则下列说法正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【解析】由题意，抛物线为，
对称轴是直线．
若，则，
抛物线开口向上．
此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
经过，，三点，
又，
，故错误，正确．
若，则，
抛物线开口向下．
此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大
经过，，三点，
又，
，故、错误．
故选．
9．（2024 田阳区二模）如图，抛物线与直线相交于点、，是轴上一点，若最小，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点．
当时代入到抛物线解析式得：，
解得或．
则由图可知点，点，
．
设直线的解析式为：．
代入，求得：，
则该直线与轴的交点为：当时，．
点．
故选．
10．（2023秋 城关区校级期末）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法：①；②；③；④；⑤（常数．其中正确的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【解析】①由抛物线的开口向下知，对称轴为直线，则，故本选项正确；
②由对称轴为直线，
，，则，故本选项正确；
③由图象可知，当时，，则，故本选项错误；
④从图象知，当时，，则，
，
，即，故本选项错误；
⑤对称轴为直线，
当时，抛物线有最大值，
，
（常数，故本选项正确；
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 武威二模）将二次函数用配方法化成的形式为 ．
【答案】．
【解析】，
故答案为：．
12．（2023春 酒泉期末）正方形边长3，若边长增加，则面积增加，与的函数关系式为 ．
【答案】
【解析】由正方形边长3，边长增加，增加后的边长为，
则面积增加．
故应填：．
13．（2024 开福区校级三模）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为 ．
【答案】．
【解析】把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为：，即．
故答案为：．
14．（2024 梁溪区校级二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
【答案】5．
【解析】，
抛物线的对称轴为直线，
，
．
故答案为：5．
15．（2019 深圳模拟）如图，四边形是边长为1的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
【答案】．
【解析】如图，连接，
四边形是边长为1的正方形，
，，
过点作轴于，
与轴正半轴的夹角为，
，
，
，
点的坐标为，，
点在抛物线的图象上，
，
解得．
故答案为：．
16．（2024 沭阳县校级二模）下列关于抛物线为常数）的结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点在直线上；③抛物线与轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点，，，，若，，则．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③．
【解析】，
开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，故①正确；
顶点坐标为，
抛物线的顶点在直线上，故②正确；
当时，，
抛物线与轴的交点在原点的上方，故③正确；
抛物线上有两点，，，，且，，
，
，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
，故④错误；
故答案为：①②③．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 岷县期中）已知函数（其中．
（1）当为何值时，是的二次函数？
（2）当为何值时，是的一次函数？
【解析】（1）根据题意得且，解得，
即当为2时，是的二次函数；
（2）当时，即时，是的一次函数；
当且时，是的一次函数，解得；
当且时，是的一次函数，解得；
即当为或或时，是的一次函数．
18．（2024 唐河县模拟）已知二次函数．
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随增大而减小，当为何值时，随增大而增大．
【解析】（1），
，
抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，顶点坐标为：；
（2）抛物线的开口向下，
时，随增大而减小，时，随增大而增大．
19．（2022秋 台山市校级期中）对于抛物线．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式．
（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
（3）结合图象，当时，的取值范围 ．
【解析】（1）．
抛物线的顶点式为故答案为：．
（2）列表：
0 1 2 3 4
3 0 0 3
函数图象如图所示：
（3）根据函数图象可知：当时，的取值范围．
故答案为：．
20．（2024春 海曙区校级期末）如图，已知二次函数图象经过点和点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出：当时，函数的取值范围．
【解析】（1）把和，代入二次函数中，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）如图所示，，
时，的最大值为4，
当时，
函数的取值范围为，，．
21．（2023秋 睢宁县期末）已知函数是常数）
（1）当时，该函数图象与直线有几个公共点？请说明理由；
（2）若函数图象与轴只有一公共点，求的值．
【解析】（1）时，，
，
，
△，
方程有两个不相等的实数根，
函数图象与直线有两个不同的公共点．
（2）①当时，函数的图象与轴只有一个交点，；
②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，
所以△，
解得．
综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或．
22．（2024 西岗区校级模拟）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元与一次性批发量（件为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
（1）直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若一次性批发量不低于20且不超过60件时，求获得的利润与的函数关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
【解析】（1）当且为整数时，；
当且为整数时，；
当且为整数时，；
（2）设所获利润（元，
当且为整数时，，
，
，
，
，
当时，最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
23．（2023秋 淮安期末）如图，二次函数的图象交轴正半轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，，已知．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求的面积．
【解析】（1）由题意，令，
．
又，
．
．
二次函数的表达式为．
（2）由题意，由（1）抛物线为，
令，则．
或．
．
又，
．
24．（2024 邹平市校级模拟）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【解析】（1）关于轴对称，
第二象限抛物线的顶点坐标为，
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为；
（2）当时，有，
解得：，，
为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；
（3）当时，，
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
该函数图象过点，
，
解得：，
改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
25．（2024 泸县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，若平分，求点的坐标；
（3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）点，点在抛物线上，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
（2）作轴，交于点，交轴于点，如图1所示：
轴，
，
平分，
，
，
设的解析式为，
将代入，得，
的解析式为，
设点的横坐标为，则有，，，
，
，
解得：，（舍去），
，
，
点的坐标为；
（3）存在，或，，
将绕点顺时针方向旋转，至△，如图2所示：
则，，
，
由题意知直线过点，设直线的解析式为，
将，，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
，，
此时使，
如图2所示，过作轴，过作轴，与交于点，则四边形为正方形，
作关于的对称点，点在上，作直线，则直线与抛物线的交点满足条件，
，，，
，与点重合，
点在抛物线上，
．
抛物线上存在点，使，点的坐标为或，．
第1页（共1页）
