2023-2024学年江西省赣州市高二(下)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. 或 D.
2.命题“,”的否定是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
3.正项等比数列中,,则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域为且导函数为,函数的图像如图,则下列说法正确的是( )
A. 函数的增区间是,
B. 函数的减区间是,
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
5.“”是“函数在单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在人工智能神经网络理论中,根据不同的需要,设置不同激活神经单元的函数,其中函数是比较常用的一种,其解析式为关于函数,下列结论错误的是( )
A. 有解 B. 是奇函数
C. 不是周期函数 D. 是单调递增函数
7.已知是函数图像上的动点,是直线上的动点,则,两点间距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设等差数列的前项和为,公差为,,则下列结论正确的是( )
A. B. 使得成立的最小自然数是
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知,,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知正数,满足,则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.记方程的实数解为是无理数,被称为在指数函数中的“黄金比例”下列有关的结论正确的是( )
A. B.
C. D. 函数的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知函数是上的奇函数,,则 ______.
13.数列的前项和为,若,则 ______.
14.已知定义在上的函数满足,当时,,则在上的零点个数为______个
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象过点,且在点处的切线恰好与直线平行.
求函数的解析式;
求在上的最大值和最小值.
16.本小题分
已知等差数列的公差,,,,成等比数列,数列的前项和公式为.
求数列和的通项公式;
设,求数列的前项和.
17.本小题分
已知函数为二次函数,有,,_____.
从下列条件中选取一个,补全到题目中,
,
函数为偶函数,
.
求函数的解析式;
若,若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
18.本小题分
已知函数,为的导函数,记,其中为常数.
讨论的单调性;
若函数有两个极值点,,
求的取值范围;
求证:
19.本小题分
若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现对数列,进行构造,第一次得到数列,,;第二次得到数列,,,,;依次构造,第次得到的数列的所有项之和记为,如.
求;
求的通项公式;
证明:.
答案解析
1.
【解析】解:因为集合,,
则.
故选:.
2.
【解析】解:根据题意,命题“,”是全称命题,
其否定为,,
故选:.
3.
【解析】解:正项等比数列中,,即,
则.
故选:.
4.
【解析】根据的图象可知:当时,;
当时,,
当时,,
当时,,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
因此函数在时取得极小值,在取得极大值.
故ABD错误,C正确.
故选:.
5.
【解析】解:根据题意,设,
若函数在单调递增,则在区间单调递增且恒成立,
则有,解可得,
反之,当时,在区间单调递增且恒成立,
此时函数在单调递增,
故函数在单调递增的充要条件为,
则“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件.
故选:.
6.
【解析】解:由,
因,则,
可得,即,故A错误;
因为的定义域为,且,
所以是奇函数,故B正确;
,
因为是增函数,是增函数且恒为正数,则是减函数,故是增函数,故D正确;
由可知函数在上单调递增,所以当时,,所以函数不是周期函数,C正确.
故选:.
7.
【解析】解:由,得,
设,
则,
令,
则当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
则,
故.
故选:.
8.
【解析】解:由公差为,,得等差数列为递减数列,且,,,
对于,,故A错误;
对于,,,
,故B错误;
对于,,且,
由一次函数单调性知为单调递减数列,,故C正确;
对于,由知,且,,
,,
,,且,
,,
,,显然矛盾,故不成立,故D错误.
故选:.
9.
【解析】解:当,时,显然错误,
由不等式性质可知,当时,一定成立,B正确;
由选项C可知,,若,则,C正确.
由指数函数在上单调递减可知,,D错误.
故选:.
10.
【解析】解:由正数,满足,可得,
解得,即,当且仅当,即,时等号成立,故A正确;
由正数,满足,可得,
解得或舍去,当且仅当,即,时等号成立,故B正确;
,由选项A知,
由二次函数的单调性知,时,的最小值为,故C错误;
由可得,即,
所以,
所以,
当且仅当,即,时等号成立,故D正确.
故选:.
11.
【解析】解:构建,则为的零点,
因为,若,则,
可知在内单调递减,且所以在内无零点;
若,则,可知在内单调递增,
,
所以在内存在难一零点;
对于选项A:因为,,即,
两边取对数可得:,,故A正确;
对于选项B:由上可知,故B不正确;
对于选项C:对称轴为,而,故单调递增,
当,最小值为,所以,故C正确;
对于选项D:构建,,则,
令,解得;令,解得;可知在内单调递减,在内单调递增,
则,可得,当且仅当时,等号成立,
可得,令,,,
,,,
当且仅当,等号成立,
所以的最小值为,故D正确.
故选:.
12.
【解析】解:因为函数是上的奇函数,
所以,
因为,
所以,
则.
故答案为:.
13.
【解析】解:令,
其前项的和为,
因为的周期为,,
故,
则.
故答案为:.
14.
【解析】解:由可得,
所以周期,当时,,
令,解得,,
即一个周期内有个零点,因为,
所以在上的零点个数为.
故答案为:
15.解:因为函数的图象过点,所以.
又因为,且在点处的切线恰好与直线平行,
所以,由,
得:,所以.
由知:,
由得,由得或.
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
又,,,,
所以在上的最大值为,最小值为.
【解析】根据函数的图象过点,得到关于,的一个关系式,再根据函数在处的导数为,又得到关于,的一个关系式,可求、的值.
利用导数分析函数的单调性,可求函数的最大、最小值.
16.解:等差数列的公差,,,,成等比数列,
所以,即,
所以,
解得,或舍,
故,
因为数列的前项和公式为,
所以,
故时,两式相减可得,,即,
因为,即,
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,
所以;
,
,
则,
两式相减得,
,
,
所以.
【解析】结合等比数列与等差数列的性质即可求解,结合数列和与项的递推关系及等比数列的通项公式可求;
先求出,然后结合错位相减求和即可求解.
17.解:设,
因为,,
若选,,则的图象关于对称,
故,
联立,可得,,,
所以;
若选,函数为偶函数,则的图象关于对称,
故,
联立,可得,,,
所以;
若选,
联立,可得,,,
所以;
,,
令,则,,
因为,当且仅当,即时取等号,
可化为,即的最小值为,
若对任意的,总存在,使得成立,
则成立,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,
所以在上恒成立,
令,,
则在上单调递减,
所以,
所以.
故的范围为.
【解析】结合所选条件,利用待定系数法可求函数解析式;
先对等进行化简,结合对数函数的性质及基本不等式先求出的最小值,若对任意的,总存在,使得成立,则成立,分离参数,结合恒成立与最值关系的转化即可求解.
18.解:定义域为,,
,
,
当时,恒成立,
在上单调递增,当时,令,则,解得,
令,则,解得,
在单调递增,在单调递减.
综上,当时,在上单调递增;
当时,在单调递增,在单调递减.
由知,时,最多一个根,不符合题意,
故,
函数有两个极值点,,
在有两个不同零点的必要条件是,
解得,当,在单调递增,在单调递减,
,,
,,
由零点存在性定理得:在各有个零点,
的取值范围是.
证明:函数有两个极值点,,
,,
得:,要证,
即证,即证,
即证,令,
则,令,
则.
在上单调递增,
,所以 在上成立,
,得证.
【解析】求出,分类讨论,利用,解不等式即可得解;
先分析不合题意,再求出时函数在有两个极值点,的必要条件,再此条件下分析即可得解;
对结论进行转化,换元后利用导数确定飘带函数单调性,得出函数最值,即可得证.
19.解:因为第二次得到数列,,,,,
所以第三次得到数列,,,,,,,,,
所以;
设第次构造后得的数列为,,,,,,
则,
则第次构造后得到的数列为,,,,,,,,,,
则,
,可得,,
所以是以为公比,为首项的等比数列,
所以,即;
证明:由得,
所以当时,,
当时,所以,
综上所述,.
【解析】求出第三次得到数列再求和即可;
设出第次构造后得到的数列求出,则得到第次构造后得到的数列求出,得与关系,再利用构造法求通项即可;
利用放缩法求等比数列和可得答案.
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