2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）第三次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）第三次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
2.某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下：
班级
得分
则下列说法正确的是( )
A. 得分的众数为 B. 得分的中位数为
C. 得分的分位数为 D. 得分的极差为
3.已知平面、，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知，，则“”是“”( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知正六棱柱的所有棱长均为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知，若函数在定义域内有且仅有两个不同的零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知集合，，，若对于任意，，以及任意，满足，则称集合为“类圆集”下列说法正确的是( )
A. 集合，为“类圆集”
B. 集合，为“类圆集”
C. 集合，不为“类圆集”
D. 若，都是“类圆集”，则也一定是“类圆集”
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 与的夹角为
D.
10.某学校为了解学生身高单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生该校男女生人数之比为：中抽取了一个容量为的样本其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为则下列说法正确的是参考公式：总体分为层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则( )
参考公式：
A. 抽取的样本里男生有人 B. 每一位学生被抽中的可能性为
C. 估计该学校学生身高的平均值为 D. 估计该学校学生身高的方差为
11.化学中经常碰到正八面体结构正八面体是每个面都是正三角形的八面体，如六氟化硫化学式、金刚石等的分子结构将一个正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体如图，已知正方体棱长为，则( )
A. 正八面体的内切球表面积
B. 正八面体的外接球体积为
C. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
D. 若点为棱上的动点包括端点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，已知，则 ______．
13.在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为______．
14.定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱，已知一个等边圆锥的底面圆的直径为，在该圆锥内放置一个等边圆柱，并且圆柱在该圆锥内可以任意转动，则该圆柱的体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
当时，求及的值；
若函数，其中，求的值域．
16.本小题分
某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的名学生的成绩中抽取容量为的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为．
求样本容量以及频率分布直方图中的；
估计全年级学生竞赛成绩的平均数；
从样本中得分在的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率是多少？
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且，．
求边长和角；
若的面积为，求中线的长度；
若，求角平分线的长度．
18.本小题分
在多面体中，，且，，．
证明：；
若平面平面，求二面角的余弦值；
在的条件下，求该多面体的体积．
19.本小题分
对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”．
若是位差值为的位差奇函数，求的值；
已知，，若存在，使得是位差值为的“位差奇函数”．
求实数的取值范围；
设直线，与函数的图象分别交于、两点，直线，与函数的图象分别交于、两点，若存在，且，，使得，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，
，，
则，；
，
，
所以，
若，则，，
所以，即的值域为．
16.解：成绩在区间的频率为，，
由频率分布直方图可得第组的频率为：
，故．
先估计所抽取的名学生成绩的平均数为：
分，
估计全年级学生竞赛成绩的平均数为；
得分成绩在有人，
这组的名学生分别为，，，
得分在区间有人，
这组的名学生分别为，，
随机抽取两人，所以可能的结果为：
，，，，，，，，，，共种，
所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的结果为：
，，，，，，，共种，
故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率是．
17.解：由，得，
结合，化简得，即，可得．
根据，可得，
即，所以或，结合，可得；
由，解得，
由余弦定理，得，所以，
因为，
所以
，解得，
综上所述，中线的长度为；
若，由余弦定理，得，所以，
可得，即，
因为为角平分线，所以，
根据，得，
整理得，所以．
18.解：证明：在中，，，，
由余弦定理可得，即；
满足，即；
又，所以；
同理可得，
因为，，，平面，，
所以平面，
又平面，所以；
又因为，，所以四边形是平行四边形；
因此，
所以．
若平面平面，由知，，
所以可得平面，平面，所以，
且，，
由勾股定理可知，
取的中点为，连接，，如下图所示：
易知，，即可得即为二面角的平面角，
显然，，又，
在中，，
即可得二面角的余弦值为．
连接，如下图所示：
易知多面体的体积等于四棱锥的体积加上三棱锥的体积；
由可知和分别是四棱锥和三棱锥的高，
易知，
，
可得多面体的体积．
19.解：
，
又是位差值为的位差奇函数，
即为上的奇函数，
易知为上的奇函数，
为上的偶函数，
可知，则，
解得；
，
由题意可知：对任意的，均存在成立，
，
整理可得，
又由基本不等可得，当且仅当，即时，等号成立，
则，即，
实数的取值范围为；
由可知：，
则，，
设，，，，
则，
，
，
且，即，
两边同时除以，
得，
即，
令，
则，且，，，
结合在上连续不断，可知在内不单调，
令，则，
且，在内均为单调递增函数，
在内单调递增，
当时，；当，；
即，
可得在内不单调，
又的图象开口向上，对称轴，
则，解得，
实数的取值范围为．
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