2.3.1等腰（边）三角形的性质 课件(共21张PPT)湘教版数学八年级上册

(共21张PPT)
2.3 等腰三角形
第2章 三角形
第1课时 等腰（边）三角形的性质
等腰三角形
定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？
互动探究
等腰三角形的性质
A
B
C
AB = AC
等腰三角形
操作内容：
1、按照步骤，用剪刀裁剪一个等腰三角形。
2、这个三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
操作时间：3分钟
3分钟
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴，对称轴是顶角角平分线所在的直线.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合（相等）的线段 重合（相等）的角
　
A
C
B
D
AB 与 AC
BD 与 CD
AD 与 AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
由此得到等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
总结归纳
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
为什么不一样
1. 等腰三角形的顶角一定是锐角.
2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角.
3. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
4. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（ X ）
（ X ）
（ X ）
（√）
明辨是非
判断下列说法正误：
A
B
C
D
(
(
1
2
填一填：根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.
在△ABC 中，AB = AC.
(1) ∵ AD⊥BC，
∴∠____=∠____，_____=_____.
(2) ∵ BD=CD，
∴ ____⊥____，∠____ =∠____.
(3) ∵ ∠1=∠2，
∴ ____⊥____，____ =____.
1
2
2
BD
CD
AD
BC
BD
1
BC
AD
CD
例 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 在边 BC 上，且 AD = AE. 求证：BD = CE.
证明：作 AF⊥BC，垂足为点 F，
则 AF 是等腰△ABC 和等腰△ADE 底边上的高，也是底边上的中线.
∴ BF = CF，
∴ BF - DF = CF - EF，
DF = EF.
即 BD = CE.
F
典例精析
方法总结：在等腰三角形的有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
A
B
C
A
B
C
等腰三角形
AB = AC
∠B = ∠C
等边三角形
AB = AC = BC
AB = AC
∠B =∠C
AC = BC
∠A =∠B
∠A =∠B =∠C
类比探究
等边三角形的性质
性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于 60°.
已知：△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明： ∵ AB = AC，
∴∠B =∠C (等边对等角).
同理，∠A =∠C.
∴∠A =∠B =∠C.
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
问题 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，过点 A 作 AD∥BC，若∠1 = 70°，则∠BAC 的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
B
1. 等腰三角形有一个角是 90°，则另两个角的度数分别是 （　　）
A. 30°，60° B. 45°，45°
C. 45°，90° D. 20°，70°
B
A
B
C
D
1
⌒
3. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为
__________；
(2) 等腰三角形的一个角为 36°，它的另外两个角为
____________________；
(3) 等腰三角形的一个角为 120°，它的另外两个角为
.
75°，30°
72°，72° 或 36°，108°
30°，30°
4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，
∠B = 30°，求∠BAD 和 ∠ADC 的度数.
A
B
C
D
解：∵ AB = AC，D 是 BC 边上的中点，
∴∠C =∠B = 30°，
∠ADC = 90°.
∴∠BAD =∠ADC -∠B = 90° - 30° = 60°.
5. 如图，点 P 为等边△ABC 的边 BC 上一点，且∠APD = 80°，AD = AP，求∠DPC 的度数.
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠C = 60°.
∵ AD = AP，
∴∠APD =∠ADP = 80°.
∴∠DPC =∠ADP -∠C = 20°.
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
推论
等边三角形三个内角相等，且均等于 60°