小升初数学知识点总结（小考复习精编专项讲义）六年级数学小升初复习系列：数与式知识点梳理大全
文档属性
| 名称 | 小升初数学知识点总结（小考复习精编专项讲义）六年级数学小升初复习系列：数与式知识点梳理大全 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 144.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-11 10:12:10 | ||
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文档简介
小升初数学知识点总结（小考复习精编专项讲义）
六年级数学小升初复习系列 ：
（数与式知识点梳理大全）
第一章：数的认识
（一） 整数
一、概念：整数
1.整数的意义：整数主要包括自然数和负整数。
2.自然数：用来表示物体数量的0，1，2，13、19、25……叫做自然数。
特别要注意的：0也是自然数，很多同学都会忽略这点。
3.计数单位：个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿……都是计数单位。
十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率是10。
4.数位：计数单位按照一定的顺序从右到左（从小到大）排列起来，所处的位置就叫做数位。
例如：35601
3、5、6、0、1这样的每个数都对应了一个数位。
二、数的整除：
1.整除：整数x除以整数y(y≠0），除得的商是整数（没有余数），那么x就能被y整除。
2.如果数x能被数y（b≠0）整除，同时，x就叫做y的倍数；y就叫做x的因数。倍数和因数是相互存在的，必须两个一起说才有存在的意义。
例如：45能被5或9整除，所以45是5或9的倍数，5或9是45的因数。
3.一个数分解出来的因数的个数是有限的， 这个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。
例如：8的因数有1、2、4、8，其中最小的因数是1，最大的因数是其本身8。
4.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
例如：5的倍数有：5、10、15、20、25……其中最小的倍数是5 ，没有最大的倍数。
5.整除的特殊类型：
（1）个位上的数是0、2、4、6、8的数，属于偶数，都能被2整除。
例如：2、80、14，36类似此类数都能被2整除。
（2）个位上的数是0或5的数，都能被5整除，
例如：5、35、70、125类似此类数都能被5整除。
（3）一个数的各个数位上的数的和能被3整除时，这个数就能被3整除，
例如：18、48、126、522类似此类数都能被3整除。
（4）一个数的末两位数能被4整除，这个数就能被4整除。
例如：116、540、1428类似此类数都能被4整除。
（5）一个数的各位数字之和能被6整除，且是偶数时，这个数就能被6整除。
例如：156、2808、1302类似此类数都能被6整除。
三、奇数与偶数：
（1）能被2整除的数就叫做偶数。 特别的：0也是偶数。
（2）整数除了偶数外，还有奇数。因此，不能被2整除的数就叫做奇数。
因此：自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
（3）奇数与偶数的运算关系：
奇数＋奇数＝偶数
奇数－奇数＝偶数
奇数＋偶数＝奇数
奇数－偶数＝奇数
奇数×奇数＝奇数
奇数×偶数＝偶数
偶数×偶数＝偶数
（二） 质数与合数
1、质数：一个数如果分解后，只有1和它本身两个因数，那么这样的数就叫做质数。
例如：30以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
注意：
（1）质数又称素数，在自然数内有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。
（2）最简分数：当分数的分子和分母互质时（只有公因数1），即为最简分数。
2、合数：一个数，如果除了1和它本身之外，还有别的因数，那么这样的数就叫做合数。
例如：4、6、8、9、12、24、100都是合数。
3、特别的：1既不是质数也不是合数。自然数除了0和1外，不是质数就是合数。
4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式分解出来，就叫做分解质因数。
注意：每个合数都能写成若干个质数相乘的形式。其中的每个质数都是这个合数的因数，并且叫做这个合数的质因数。
例如：12＝2×2×3，2和3就叫做12的质因数。
（三） 公因数和公倍数
一、公因数：如果几个数公有相同的若干个因数，那么这些因数就叫做这几个数的公因数。
二、最大公因数：
1、几个公因数当中，最大的那一个，就叫做这几个数的最大公因数。
2、若较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
例如：9的因数有1、3、9；12的因数有1、2、3、4、6、12。
其中，1、3是9和12的公因数；3就是它们的最大公因数。
特别的：公因数只有1的两个数，叫做互质数，简称“互质”。
换句话说，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1。
成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1、任何自然数和1互质。
2、不同的两个质数互质。
3、相邻的两个自然数互质。
4、当合数不是质数的整数倍时，它们也互为质数。
5、0与任何质数不能存在互质关系。
例如：4和7互质；16和11互质；25和13互质。
6、当两个合数的公因数只是1时，这两个合数也会互质。
三、公倍数：如果几个数公有相同的倍数，那么这些倍数叫做这几个数的公倍数。
四、最小公倍数：
1、几个公倍数中存在最小的一个，且这个公倍数就叫做这几个数的最小公倍数。
例如：4的倍数有4、8、12、16、20、24……
3的倍数有3、6、9、12、15、18、21、24……
其中12、24……就是4和3的公倍数；而12是它们的最小公倍数。
2、较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
3、如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
例如：4和5是互质数，那么它们的最小公倍数就是：4×5=20
4、几个数的公因数的个数是有限的；而它们的公倍数的个数却是无限的。
（四） 小数
一、小数
1、小数的意义：
（1）把整数1平均分成10份、100份、1000份、10000份……，得到的十分之几、百分之几、千分之几、万分之几…… 都可用小数来表示。
例如：
（2）反过来，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几、四位小数表示万分之几……等。
例如：
（3）一个小数通常由整数部分、小数点和小数部分组成。
整个数中的小圆点叫做小数点；小数点左边的数叫做整数部分；小数点右边的数叫做小数部分。
例如：
（4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都10。
因此，整数部分的最低单位是“一（也叫个）”，其相邻两个数之间的进率是10；小数部分的最高分数单位是“十分之一”， 其相邻两个数之间的进率也是10。
2、小数的读写：
（1）含有整数部分和小数部分的小数读法：
先读整数数位，再读小数点，最后读小数数位。
小数部分：非零数字前的0都要读，而末尾的0则不读。
整数部分：之前整数读法一样，每级末尾不管有几个0都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。
例如：23.02030读作：二十三点零二零三
300102.005100读作：三十万零一百零二点零零五一
（2）含有整数部分和小数部分的小数写法：
写数要按照从左到右、从高位数写到低位数的方法。
要按照“亿、万、个、十分……”的数级单位来读写。
例如：五百零三万零二十七点零三零零一六写作：5030027.030016
二、小数的分类
1、纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。
例如：0.152、0.0237都是纯小数。
2、带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如： 2.185、15.0960 都是带小数。
3、有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：21.71、 28.03 、 10.083 都是有限小数。
4、无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如： 4.3031 …… ；3.1415926 ……
注意：无限小数与有限小数无法简单的以定义来确定大小，必须结合具体小数的大小。
5、无限小数又分为无限不循环小数和循环小数
（1）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限个，这样的小数就叫做无限不循环小数。
例如：Π， 2.1231591268728 ……
（2）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
例如：3.205205205……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字部分叫做这个循环小数的循环节。
例如3.205205205 …… 里面的“205”就是循环节。
（a）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如：6.11111 ……；
(b)混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
例如：7.031525252 ……；
（3）为了简便，写循环小数时小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点即可。
特别的：如果循环节只有一个数字，那么就只在它的上面点一个点即可。
（五）分数
一、分数的概念
1、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数就叫做分数。
在分数里，中间的横线“—”叫做分数线，也叫分号；
分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；
分数线上面的数叫做分子，表示有这样的分数单位多少份。
2、分数单位
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
例如： 的分数单位就是 ，表示有5个这样的分数单位。
3、分数的分类
（1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数；真分数小于1。
例如： 这些就是真分数。
（2）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
例如：，，这些就是假分数。
（3）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
例如： 这些就是带分数。
4、分数的读法
读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
例如： ，读作：十五分之八
5、分数的写法
写分数时，先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
例如：六分之五，写作：
二、分数的约分和通分
1、约分：把一个分数化简成同它大小相等但分子、分母都缩小的分数，叫做约分。 换句话说，分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
例如：
这就是分数的约分。分数的约分，要先找出分子与分母的最大公因数，然后分子与分母同时除以这个最大公因数，从而进行约分。
2、通分：把各个异分母分数分别化成和原来分数相等，且分母都变得相同的同分母分数，就叫做通分。
例如：
就是通成同分母分数的通分。分数的通分，主要先算出各分母的最小公倍数，然后每个分数的分母都变成该“最小公倍数”。同时，分子也跟着扩大与分母扩大相同的倍数，从而进行通分。
三、倒数
1、将一个分数的分子和分母交换位置后，就变成了原分数的倒数；并且，互为倒数的两个数之积为1。
2、整数的倒数是分数；真分数的倒数是假分数；假（带）分数的倒数是真分数。
3、乘积是1的两个数互为倒数，倒数不是单独存在的，不能说某个数是倒数，要说明谁和谁互为倒数。
4、0没有倒数。
（六）百分数和正负数
一、百分数
1、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
2、百分号：百分数通常用数后面加“%”来表示。百分号是表示百分数的专有符号。
例如：30%、25.6%、89.3% 这些都是百分数。
3、小数、分数和百分数的相互换算：
（1）小数化成百分数：
只要把小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号“%”即可。
例如：2.36＝23.6%；0.037＝3.7%
（2）百分数化成小数：
把百分数化成小数，只要先把百分号“%”去掉，同时把小数点向左移动两位。
例如：25.6%＝0.256；86%＝0.86
（3）分数化成百分数：
通常要先把分数化成小数（商有余数，除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。
例如：
（4）百分数化成分数：
先把百分数的百分号去掉，改写成小数；再化成分数，能约分的要约成最简分数。
例如：
4、出勤率和缺勤率
出勤率与缺勤率：是指出（缺）勤的人数占总人数的百分之几。
计算方法为：
二、数的意义
1、整数
像…－5、－2、－1、0、1、4、6…这样的数统称为整数；整数个数是无限个；没有最小的整数，也没有最大的整数。
2、正整数和负整数
像5、8、10、16 …这样的数叫做正整数；
像…－7、－6、－3 … 这样的数叫做负整数；
最小的正整数是1，没有最大的正整数；
最大的负整数是－1，没有最小的负整数。
3、自然数
最小的自然数数是0，没有最大的自然数；
自然数都是整数。
但整数不一定都是自然数。
三、正数和负数
1、正数
像＋8、120、、1.28 …这些大于0的数叫做正数。
“＋”读作“正”…，“＋”后面加什么数（几）就读“正几”。
例如：＋59 读作：正五十九
在数的前面加“＋”，但是正数的“＋”号可以省略不写。
2、负数
像－12、－20、－π、、－3.266 …这些小于0的数叫做负数。
“－”读作负…，“－”后面加几就读“负几”。
例如：－28读作：负二十八
在数的前面加“－”，“－”不可以省略。
例如：负三分之一，写作：
3、特别的，0既不是正数也不是负数。
第二章：数和数的运算
（一）数的读法和写法
一、整数的读法和写法
1、整数的读法：
从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读，其它数位连续有几个0也都只读一个零。
例如：3050102300读作：三十亿五千零一十万二千三百
2、整数的写法：
一级一级地从高位到低位写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
例如：五亿零三十二万零七百零二，写作：500320702
整数部分：亿级、万级、个级
小数部分：十分位、百分位、千分位、万分位……
二、小数的读法和写法
1、小数的读法：
读小数的时候，整数部分按照整数的读法，小数点读作“点”；小数部分按照从左向右的顺序直接读出每一个数字。
例如： 52302.308读作：五万二千三百零二点三零八
2、小数的写法：
写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分按顺序写出每一个数位上的数字。
例如：一千零九十三点零零八二，写作：1093.0082
三、分数的读法和写法
1、分数的读法：
读分数时，先读分母，再读“分之”，最后读分子。同时，分子和分母按照整数的读法来读。
例如： ，读作：一百一十二分之五十九
2、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
例如：三千二百三十七分之六百八十五，写作：
四、百分数的读法和写法
1、百分数的读法：
读百分数时，先读“百分之”，再读百分号前面的数；读数时数位要按照整数和小数的读法规则来读。
例如：25.89%读作：百分之二十五点八九
2、百分数的写法：
百分数通常不写成分数形式，如果是分数要先化为小数，然后再向右移动小数点两位，后面加上百分号“%”来表示百分数。
例如：百分之三百一十六点一三七写作： 316.137%
五、数的改写
一个较大的多位数，为了方便读写，有时会改写成用“万”或“亿”作单位的数来表示。还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
改写的方法技巧：
多位数改写为“万”、“亿”…
（1）直接改写：改写为“万”，小数点向左移4位，后面加万；改写为“亿”，小数点左移8位，后面加亿。
（2）近似改写：先四舍五入省略掉“万”或“亿”后面的尾数，再在后面加“万”或“亿”。
1、准确数：
为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。
例如：1637300000
改写成以“万”做单位的数：163730万；
改写成以“亿”做单位的数：16.373亿。
2、近似数：
根据实际需要，可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
例如：2708390015省略“亿”后面的尾数是27亿。
3、四舍五入法：
（1）要省略的数，如果尾数的最高位上的数是4或者比4小的数，就把尾数去掉；
（2）如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，把尾数舍去，并向它的前一位进1。
例如：2335900省略万后面的尾数约是234万。
（二）数的比较大小与互化
一、数的比较大小
1、整数比较大小：
比较整数的大小，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位上的数的大小，最高位上的数大的，该数就大；最高位上的数相同，就看下一位，直到能比较出哪一位上的数大的，那个数就大。
2、比较小数的大小：
先看要比较的数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，就看小数部分。从十分位看起，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，直到能比较出哪一位上的数大的，那个数就大。
3、比较分数的大小：
（1）同分母的分数比较大小，分子大的分数比较大；
（2）分子相同的数，分母小的分数就大；
（3）而分母和分子都不相同的分数，要先通分，然后再比较两个数的大小。
二、数的互化
1、 小数化成分数：
原来的小数，整数部分先不看，只看有几位小数，就在1的后面写几个零作为转换后的分数的分母。同时，把原来整个小数的小数点去掉，作为分子，然后简称是否为最简分数，能约分的一定要约分。
例如：
2、分数化成小数：
分子直接除以分母，结果就是小数了，能除尽的就化成有限小数；有的不能除尽，商有余数的，不能化成有限小数的，一般都是保留三位小数。
例如：
3、一个最简分数判断是否为有限小数的方法技巧：
最简分数的分母，分解质因数后，如果除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
例如：（有限小数）
因为20＝2×2×5
（无限小数）
因为12＝2×2×3
4、带分数化为假分数
将带分数前面的系数乘以分母，然后加上原来的分子，即成为新的分子，分母不变。此时就变成了一个分子大于分母的假分数。
例如：
5、假分数化为带分数
假分数化为带分数是带分数化为假分数的逆运算，只需要将假分数的分子除以分母，商为系数，余数为带分数的分子即可。
例如：（因为 19÷7＝2……5）
（三）求最大公因数和最小公倍数
一、 短除法
把一个合数分解成质因数，通常采用短除法。那什么是短除法呢？先用能整除这个合数的质数去除它，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式，这种方法就是短除法。
例如：
所以，36分解质因数是：36＝2×2×3×3
二、求几个数的最大公因数
求几个数的最大公因数的方法：先找出这几个数的公因数，然后用这些公因数逐个去除这几个数，一直除到各个数所得的商只有公因数1时停止；然后，把所有的除数连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最大公因数。
例如：求18和24的最大公因数
所以，18和24的最大公因数是：2×3＝6
三、求几个数的最小公倍数
求几个数的最小公倍数的方法：先用全部数的公因数去除这几个数；或者其中某几个数的公因数去除，一直除到各数互质为止；然后，把所有的除数和商连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例如：求12、15和20的最小公倍数
所以，12、15和20的最小公倍数是：2×2×3×5×1×1×1＝60
四、互质关系的数
公因数只有1的两个数，叫做互质数，简称“互质”；互质数的两个数最大公因数是1。
成为互质关系的两个数，有下列几种情况：
（1）1和任何自然数互质。
例如：1和9互质，最大公因数是1。
（2）相邻的两个自然数互质。
例如：4和5互质，最大公因数是1。
（3）不同的两个质数互质。
例如：3和11互质，最大公因数是1。
（4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数也互质。
例如：9和13互质；27和7互质，最大公因数是1
（5）两个合数的公因数只有1时，这两个合数也互质。
例如：12和25互质，最大公因数是1。
（四）通分和约分
一、分数的基本性质
分数的分子和分母同时都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小保持不变。
二、 分数的约分
1、约分：用分子和分母的公因数（1除外）持续去除分子、分母；一般要除到得出最简分数为止，也就是约到不能约分为止。此时，最简分数的分子与分母是互质数。
注意：公因数只有1的两个数，叫做互质数，简称“互质”；互质数的两个数最大公因数是1。
2、约分的意义：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比原来分数小的分数，就叫做约分。
3、约分的方法：
（1）逐步约分法。用分子和分母的公因数（1除外）去除，一直除到分数的分子和分母只有公因数1为止。
（2）一次约分法。先找出原分数的分子和分母的最大公因数，然后用这个最大公因数（1除外）去除分子、分母，得出最简分母。
4、分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（分子和分母是互质数的分数叫做最简分数）。完全约分后的分数就是最简分数。
三、分数的通分
1、通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数的值相等的同分母分数的过程，叫做通分。
2、通分的方法：先求出原来几个分数的分母的最小公倍数；然后，每个分数的分母都需要变成该“最小公倍数”；同时，分子也跟着分母扩大相同的倍数，从而达到通分的目的。
3、通分的依据：
分数的分子、分母同时乘以或除以一个不为零的数，分数的大小保持不变。
4、通分的要点是确定几个异分母分数的“最简公分母”。其方法如下：
（1）采用短除法，求出这些分母的最小公倍数；
（2）该“最小公倍数”即是这些异分母分数的最简公分母；
（3）根据分数的基本性质，把原来分数化为以该“最简公分母”为分母的分数。
（五）小数与分数的性质
一、商不变的规律：
1、在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。
例如：18÷6＝3
被除数和除数同时缩小3倍后是：6÷2＝3
被除数和除数同时扩大2倍后是：36÷12＝3
2、在除法里，被除数和除数同时乘以或者除以相同的一个数（零除外），商保持不变。
例如：75÷15＝5
被除数和除数同时除以5后是：（75÷5）÷（15÷5）＝15÷3＝5
被除数和除数同时乘以3后是：（75×3）÷（15×3）＝225÷45＝5
二、小数的性质：
1、在小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小保持不变。
例如：3.2600末尾去掉0后是：3.26
15.81末尾添加0后是：15.810
小数的大小都会保持不变。
2、小数点位置的移动引起小数大小的变化：
（1）小数点向右移动一位，原来的数就会扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就会扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……以此类推，就是小数点向右移动会引起小数的扩大。
例如：13.52小数点向右移动一位，原来的数扩大10倍后是：135.2
（2）小数点向左移动一位，原来的数就会缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就会缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就会缩小1000倍……以此类推，就是小数点向右移动会引起小数的扩大。
例如：175.3小数点向左移动两位，原来的数缩小100倍后是：1.753
（3）小数点向左移或者向右移动位数时，不够数位的，要用“0”来补足位。
例如：6.51小数点向右移动三位，原来的数扩大1000倍后是：6510
三、分数的基本性质
1、分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的一个数（零除外），分数的大小保持不变。分数的约分和通分就是分数的基本性质的体现。
例如：
2、分数与除法的关系
（1）式子表达关系：。
（2）0不能作为除数，因此，分数的分母不可以为零。
（3）被除数就相当于分子，除数就相当于分母。
（六）四则运算
一、四则混合运算的意义：
1、加法：把两个（或者几个）数合并成一个数的运算叫做加法。加法是将加数与加数合并起来的运算，求出的得数是几个数合并的结果。
方法：相同数位要对齐，从低位加起，满十就向高位进一。
例如：183＋108＝291
2、减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，去求另一个加数的运算叫做减法。减法是加法的逆运算。
方法：相同数位要对齐，从低位减起，不够减就向高位借一。
例如：83－57＝26
在减法中，已知的两个加数的和叫做被减数，其中一个加数叫做减数，求出的得数，也即是另一个加数叫做差。几个数连续相减的减法也是以此类推。
例如：223－20－65＝138
3、乘法：一个数乘以整数，是求这几个相同加数的和的简便运算，或者可以理解为：是求这个数的几倍的结果。
例如：12＋12＋12＝12×3＝36
4、除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。除法是乘法的逆运算。
方法：在除法中，已知的两个因数的积叫做被除数，其中一个因数叫做除数，求出的得数，也即是另一个因数就叫商。
例如：63÷9＝7
5、加、减、乘、除四种运算统称四则运算。四则运算分为二级：加、减法为同一级运算，也叫做第一级运算；乘、除法为同一级运算，也叫做第二级运算。
二、运算的顺序：
1、在一个算式里，如果没有括号，且只含有同一级运算，要从左到右依次计算；如果含有两级运算，需要先算第二级运算（乘、除法先算），然后再算第一级运算（加、减法后算）。
2、在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。但是，括号里与括号外也同样要遵循四则运算顺序。
3、四则运算的顺序的简单记忆法：
(1)运算等级
第一级:加减法
第二级:乘除法
(2)运算顺序
先乘除，后加减；
左到右，依次算；
有括号，优选算。
（七）小数的运算
一、小数的加法
1、小数加法的意义
小数加法，即是将两个小数合并成一个数的运算，其运算结果可以是小数，或者整数。
2、小数加法的法则
小数加法的法则与整数加法的法则基本一致，相同的数位要对齐。但是，小数中有小数点，要优先考虑小数点对齐；然后，相同的位数就能对齐。
小数加法步骤：
（1）把各个加数的小数点上、下对齐；
（2）按照加法的法则进行计算，从右边最末一位加起，一旦满十进一；
（3）计算结果（得数）的小数点要与加数的小数点上下对齐。
二、小数的减法
1、小数减法的意义
小数减法，即是已知两个小数的和与其中的一个小数，求另一个小数的运算，是小数加法的逆运算。
2、小数减法的法则：小数点先对齐，相同位数也要对齐。
小数减法步骤：
（1）把被减数和减数的小数点上、下对齐；
（2）按照减法的法则进行计算，从右边最末一位数减起；遇到数不够减时，要从其左边的数位借一当十；
（3）计算的结果（得数）的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐。
三、小数的乘法
1、小数乘法的意义
小数乘法和整数乘法的一样，即是求几个相同加数的和的简便运算形式；也即是将几个相同加数简写成乘法的运算。
2、小数乘法法则：
（1）把相乘的各个小数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，先求出整数乘法的积；
（2）再看各个相乘的小数一共有几位小数，便从积的右边算起，数出几位数，点上小数点。
（3）如果乘法的得数，即积为小数，其末尾出现0时，可把小数末尾的0去掉。
四、小数的除法
1、小数除法与整数除法的意义相同，即是已知两个小数的积与其中一个小数，求另一个因数（小数）的运算，是乘法的逆运算。
2、小数除法的法则
小数除法与整数除法的法则基本一致：
（1）当除数是整数时，可按照整数除法的法则直接进行计算；商的小数点与被除数的小数点对齐即可。如果商有余数，就按照整数除法的计算方式即可。
（2）当除数是小数时，根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的基本性质，先把除数的小数点去掉，使它变成整数。此时，梳理清楚除法扩大了几倍，被除数的小数点也向右移动相同的位数，随着除数扩大几倍。
如果被除数位数不够的，要进行添0补足，再按照整数的除法法则进行计算即可。
五、小数四则运算的顺序：
1、在一个小数四则运算算式里，如果没有括号，且只含有同一级运算，从左到右依次计算；如果含有两级运算，需先算第二级运算（小数乘、除法先算）；然后算第一级运算（小数加、减法）。
2、在有括号的小数算式里，要先算括号里的乘除、加减；后算括号外的乘除、加减法。
（八）分数的运算
一、分数的加法
1、分数加法的意义
分数加法，即是将两个分数合并成一个数的运算，其运算结果可以约分的要进行约分，得数可以是分数，也可以是整数。
2、小数加法的法则
（1）同分母分数相加，分母不变，分子进行相加即可。得数作分子，分母不变。得数可以约分时，要进行约分。
（2）异分母分数相加，首先要通分；然后，按照同分母分数相加的方法进行分子相加计算，分母不变。同样，得数可以约分时，要进行约分。
（3）带分数相加，可以先把带分数化为假分数，然后再按照分数加法法则进行计算。
二、分数的减法
1、分数减法的意义
分数减法，即是已知两个分数的和与其中的一个分数，求另一个分数的运算，是分数加法的逆运算。
2、分数减法的法则：
（1）同分母分数相减，分母不变，分子进行相减即可。得数作分子，分母不变。得数可以约分时，要进行约分。但当分子相减为0时，整个分数的值为0，也就是运算结果为0。
（2）异分母分数相减，首先要通分；然后，按照同分母分数相减的方法进行分子相减计算，分母不变。同样，得数可以约分时，要进行约分。同样，分子相减为0时，整个分数的值为0。
（3）带分数相减，可以先把带分数化为假分数，然后再按照分数减法法则进行计算。
注意：当带分数相减采取“整数部分减整数部分，分数部分减分数部分”的方法时。如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1或者更多的其他数字，化成假分数，与原来被减数的分数部分合在一起，从而凑成分数（被减数）够相减。
三、分数的乘法
1、分数乘法的意义
分数乘法，主要是分子乘以分子，分母乘以分分母即可。得数能约分的要进行约分。
注意：0乘以分数，结果还是得0。
四、分数的除法
1、分数除法，最重要的是将除号变成乘号，除号后的数变成倒数，然后按照分数乘法的法则进行计算即可。
2、倒数：一个分数的倒数，就是将分数的分子与分母进行调换位置。
注意：
（1）0没有倒数；
（2）真分数的倒数是假分数；
（3）不等于1的假分数的倒数是真分数；
（4）带分数的倒数也是真分数。
五、分数四则运算的顺序：
1、在分数四则运算的算式里，如果没有括号，且只含同一级运算的，从左到右依次计算；如果含有两级运算的，需要先算第二级运算（分数乘除法先计算）；然后算第一级运算（分数加减法）。
2、如果分数算式含有括号的，要先算括号里的乘除法、依次是加减法；后算括号外的乘除法、最后是加减法。
（九）简便运算
一、简便运算的简述：
简便运算，是一种十分特殊却又好用的计算方法。如果能够掌握该计算方法，将使题目的运算变得既快速又准确。在小学阶段对计算题目将起到很大的辅助作用。
简便运算的本质就是想方设法将计算结果凑得整十、整百、整千等。运用一些简便运算定律，可以十分巧妙的将一些看似复杂的数，很快的得出一个工整易算的得数。
简便运算的三种常见又十分主要的运算定律，分别是：交换律、结合律和乘法分配律。这是三种既基本又巧妙的运算方法与技巧。学习简便运算定律的目的，就是看题目怎么简便就怎么算！做到熟能生巧，基本的运算定律公式定要熟练过关。
二、交换律：
交换律，就是交换数字的位置。在计算的式子中，结合数字与数字之间的特点，找到合适的位置放在一起加减或乘除，使计算简便，结果易得。
注意：交换数字的位置时，要学会带着符号“搬家”，也就是当一个数字要调换位置的时候，记得要将它前面的符号（比如＋、－或者×、÷）也一起搬运走，切记是数字前面的符号。例如： “－12.6”、 “÷5”就是符号和数字要一起搬动位置。
三、结合律：
结合律，经常与交换律一起运用。经过交换位置后，或者采取直接添括号或去括号的方法与技巧，使数字与数字计算简便，结果易得、工整。使看似复杂的计算题目变得快速与准确。
注意：添括号时：
（1）“－（ ）”， “－号”后面带个括号，此时括号里面的数要变符号，“＋”的变“－”，“－”的变“＋”。但是，数字的位置却不改变。
（2）“÷（ ）”，“÷号”后面带个括号，此时括号里面要改变符号，原来“÷”的变“×”、“×”的变“÷”。同样，数字的位置不改变。
四、分配律：
要熟练掌握乘法分配律的基本运用及其变形变形，以及拆数法、补数法、分解法等方法的使用。对题目进行详细分析，选择适合的方法让计算题目更为容易计算，运算过程更加简便。
要过关的一些运算定律公式：
（1） a＋b＋c=a＋c＋b
（2） a＋b－c=a－c＋b
（3） a－b－c=a－(c＋b)
（4） a÷b÷c=a÷c÷b
（5） a×b÷c=a÷c×b
（6） a÷b×c=a×c÷b
（7） a÷b÷c=a÷(b×c)
（8） a÷b×c=a÷(b÷c)
（9） a×(b＋c)=a×b＋a×c
（10）a×(b－c)=a×b－a×c
（11）a×b＋a×c=a×(b＋c)
（12）a×b－a×c=a×(b－c)
第三章：式与方程
（一）等式
一、用字母表示数
1.任意数或者式子都可以用字母来表示。而且，字母也可以表示符合特定条件的某一个数；或者表示具有某些变化规律的数。总之，字母具有表示数或者关系式的功能。
2.用字母表示数有助于对概念定义的理解合消化，能使数与数间的关系变得简明、扼要，具有重要的意义。
3.用字母表示数时，要注意书写格式。
（1）数字与字母、字母与字母相乘，中间的乘号省略不写；或者用“ ”（点）来表示。
例如：a×c＝a c；
b×c＝bc；
（2）字母和数字相乘时，除了省略乘号外，数字也要放到字母的前面。
（3）“1”与任何字母相乘时，“1”都省略不写。
例如：1×c＝c
4.当出现除式时，除式变成分数形式，通常用分数表示。
5.字母间的运算结果含加、减算式子时，单位前要加“（ ）”。
6.分数是带分数时，带分数要化成假分数。
二、字母式子的求解
用字母来表示一个数，那么数与数之间的运算，就变成了字母与字母之间的运算。此时，可以通过四则运算法则求解出某个字母所表示的数。
这就是我们通常所谓的求解含x的方程，也即是含字母式子的求解。
例如：x的2倍与6的和等于18，求解出x？
解：用式子表示是2x＋6＝18，求出x＝6。
三、等式的意义
1.含有等号的式子叫做等式。
等式两边同时加上（或减去）同一个整式；或等式两边同时乘以或除以同一个（不为0）的整式，等式的值保持不变。
2.等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。
性质2：等式两边同时乘或除以同一个（不为0）的整式，等式仍然成立。
性质3：等式具有传递性．若a＝b，b＝c，c＝d，…x＝y，那么a＝b＝c＝d＝…x＝y
3.等式的意义：
等式的性质是解方程的根本，解方程的基本方法就是运用等式的性质来求解的。等式的基本性质扩展运用后即是解方程中常用的移项、去分母等方法。
（二）方程
一、方程与等式的关系
1、方程的概念：含有未知数的等式。
两个条件：（1）方程中必须含有未知数；
（2）方程是等式，但是等式不一定是方程。
2、方程是表示两个数学式之间相等关系的一种等式，在两者之间含有“＝”等号。
例如：两个数、函数间相等的关系。
3、利用方程解决实际问题，可不需要按逆向思维去思考，直接列出含有未知数的等式即可。
二、方程的解和解方程
1、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
2、求方程的解的过程，就叫做解方程。解方程是一种特殊的计算过程，也是在求解某个得数。
例如：x＝6，是方程2x＝12的解。
（三）解方程
一、方程
是指含有未知数的等式。方程必须具备以下两个要素：一是含有未知数；二是等式。式子同时具备这两个因素，才能称为方程。
二、解方程
是求出方程中未知数的值的过程，是求方程的解的具体方法。
其步骤是：
（1）写“解”字；
（2）方程最终化为ax＝b（a0）的形式；
（3）方程两边同时除以a，求出未知数的值。
第四章 比和比例
（一）比的意义和性质
一、比的意义：
1、两个数相除，也叫做两个数的比。
2、读法：几比几，
例如，11:10读作：11比10。
3、写法：“比”字可用比号“:”代替。
例如，18比23 记作18:23。
4、比各部分的名称：
（1）比的前项：在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项。
（2）比的后项：在两个数的比中，比号后面的数叫做比的后项。
例如，38:13，38是比的前项；13是比的后项。
5、比值：比的前项除以后项所得的商，就是比值。
二、比与分数、除法的关系
1、三者之间的关系：
（1）比的前项，相当于分数的分子、除法中的被除数；
（2）比号，相当于分数中的分数线、除法中的除号；
（3）比的后项，相当于分数中的分母、除法中的除数；
（4）比值，相当于分数中的分数值、除法中的商。
2、三者的区别：比是数之间的一种关系；分数是数分类中的一种数；除法是运算法则中的一种运算。
三、比的性质
比的前项和后项同时乘以或除以相同的一个数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
（二）求比值和化简比
1、求比值：求两个数的比值，用比的前项除以比的后项，得数是一个数值，该数值就是比值。这个数值可以是整数、小数或分数。
2、化简比：把两个数的比化成最简的整数比。
（1）化简整数比：就是把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
例如：28:49＝4:7
（2）化简小数比：首先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数（即扩大相同的倍数），变成整数比；然后，再按照化简整数比的方法进行化简。
例如：0.36:1.2
＝36:120
＝3:10
（3）化简分数比：就是减比的前项和后项同时乘以它们分母的最小公倍数，变成整数比；然后进行化简。也可以按照分数除法的形式去计算，从而化简分数比，但结果需要写成比的形式。
例如：
（三）比例
一、比例的意义
1、比例的意义：表示两个比相等的式子，就叫做比例。
2、组成比例的四个数，叫做比例的项。比例中首尾两端的两项叫做比例外项；中间的两项叫做比例内项。
例如：16:20＝12:15
16和15是比例外项，20和12是比例内项。
二、比例的基本性质
在一组比例中，两个比例外项的积等于两个比例内项的乘积，这叫做比例的基本性质。
例如：8:12＝6:9中可得：8×9＝12×6
三、解比例
根据比例的基本性质，先把比例转化成简易方程，然后求比例中的未知项，相当于解简易方程，这种解法就叫做解比例。
例题1：3:6=x:8，根据“内项乘内项，外项乘外项”的法则可得：
6x=3×8，
6x=24
x=4
例题2：，根据比例“交叉相乘”的法则可得：
12x＝5×6，
12x＝30
x＝2.5
四、比例的应用
在比例的实际问题中，需要结合问题中给出的不变量，找出两种有关联的量；然后根据正、反比例的关系式列出相应合适的方程并进行求解。
（四）正比例和反比例
一、比例尺
比例尺是测量距离或者测量制作零件部件数据的一种实用工具。比例尺分为缩小比例尺、扩大比例尺两种。
其公式为：比例尺＝图上距离÷实际距离
注意：计算比例尺时单位要统一，然后代入数据即可解决问题。
二、正比例的意义
1、正比例的意义：两种相关联的量，如果一种量变化，另一种量也跟随着变化，且这两种量中的数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，这种关系叫做正比例关系。
2、通常用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示比值，则正比例关系可以用式子表示为：（一定）。
三、反比例的意义
1、反比例的意义：两种相关联的量，如果一种量变化，另一种量也跟随着变化，这两种量中的数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，这种关系叫做反比例关系。
2、通常用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示乘积，反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）。
四、如何辨别成正比例的量或成反比例的量
1、成正比例的量：
（1）x与y变化的方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也跟着扩大或缩小。
（2）相对应的两个数的比值k不变（一定）。
2、成反比例的量：
（1）x与y 变化的方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。
（2）相对应的两个数xy的乘积k不变（一定）。
3、判断方法：
主要是观察两种相关量中的两个数：
（1）如果两个数是商一定，就成正比例；
（2）如果两个数是积一定，就成反比例。
例如：xy＝4就是反比例； y÷x＝5就是正比例
六年级数学小升初复习系列 ：
（数与式知识点梳理大全）
第一章：数的认识
（一） 整数
一、概念：整数
1.整数的意义：整数主要包括自然数和负整数。
2.自然数：用来表示物体数量的0，1，2，13、19、25……叫做自然数。
特别要注意的：0也是自然数，很多同学都会忽略这点。
3.计数单位：个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿……都是计数单位。
十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率是10。
4.数位：计数单位按照一定的顺序从右到左（从小到大）排列起来，所处的位置就叫做数位。
例如：35601
3、5、6、0、1这样的每个数都对应了一个数位。
二、数的整除：
1.整除：整数x除以整数y(y≠0），除得的商是整数（没有余数），那么x就能被y整除。
2.如果数x能被数y（b≠0）整除，同时，x就叫做y的倍数；y就叫做x的因数。倍数和因数是相互存在的，必须两个一起说才有存在的意义。
例如：45能被5或9整除，所以45是5或9的倍数，5或9是45的因数。
3.一个数分解出来的因数的个数是有限的， 这个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。
例如：8的因数有1、2、4、8，其中最小的因数是1，最大的因数是其本身8。
4.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
例如：5的倍数有：5、10、15、20、25……其中最小的倍数是5 ，没有最大的倍数。
5.整除的特殊类型：
（1）个位上的数是0、2、4、6、8的数，属于偶数，都能被2整除。
例如：2、80、14，36类似此类数都能被2整除。
（2）个位上的数是0或5的数，都能被5整除，
例如：5、35、70、125类似此类数都能被5整除。
（3）一个数的各个数位上的数的和能被3整除时，这个数就能被3整除，
例如：18、48、126、522类似此类数都能被3整除。
（4）一个数的末两位数能被4整除，这个数就能被4整除。
例如：116、540、1428类似此类数都能被4整除。
（5）一个数的各位数字之和能被6整除，且是偶数时，这个数就能被6整除。
例如：156、2808、1302类似此类数都能被6整除。
三、奇数与偶数：
（1）能被2整除的数就叫做偶数。 特别的：0也是偶数。
（2）整数除了偶数外，还有奇数。因此，不能被2整除的数就叫做奇数。
因此：自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
（3）奇数与偶数的运算关系：
奇数＋奇数＝偶数
奇数－奇数＝偶数
奇数＋偶数＝奇数
奇数－偶数＝奇数
奇数×奇数＝奇数
奇数×偶数＝偶数
偶数×偶数＝偶数
（二） 质数与合数
1、质数：一个数如果分解后，只有1和它本身两个因数，那么这样的数就叫做质数。
例如：30以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
注意：
（1）质数又称素数，在自然数内有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。
（2）最简分数：当分数的分子和分母互质时（只有公因数1），即为最简分数。
2、合数：一个数，如果除了1和它本身之外，还有别的因数，那么这样的数就叫做合数。
例如：4、6、8、9、12、24、100都是合数。
3、特别的：1既不是质数也不是合数。自然数除了0和1外，不是质数就是合数。
4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式分解出来，就叫做分解质因数。
注意：每个合数都能写成若干个质数相乘的形式。其中的每个质数都是这个合数的因数，并且叫做这个合数的质因数。
例如：12＝2×2×3，2和3就叫做12的质因数。
（三） 公因数和公倍数
一、公因数：如果几个数公有相同的若干个因数，那么这些因数就叫做这几个数的公因数。
二、最大公因数：
1、几个公因数当中，最大的那一个，就叫做这几个数的最大公因数。
2、若较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
例如：9的因数有1、3、9；12的因数有1、2、3、4、6、12。
其中，1、3是9和12的公因数；3就是它们的最大公因数。
特别的：公因数只有1的两个数，叫做互质数，简称“互质”。
换句话说，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1。
成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1、任何自然数和1互质。
2、不同的两个质数互质。
3、相邻的两个自然数互质。
4、当合数不是质数的整数倍时，它们也互为质数。
5、0与任何质数不能存在互质关系。
例如：4和7互质；16和11互质；25和13互质。
6、当两个合数的公因数只是1时，这两个合数也会互质。
三、公倍数：如果几个数公有相同的倍数，那么这些倍数叫做这几个数的公倍数。
四、最小公倍数：
1、几个公倍数中存在最小的一个，且这个公倍数就叫做这几个数的最小公倍数。
例如：4的倍数有4、8、12、16、20、24……
3的倍数有3、6、9、12、15、18、21、24……
其中12、24……就是4和3的公倍数；而12是它们的最小公倍数。
2、较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
3、如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
例如：4和5是互质数，那么它们的最小公倍数就是：4×5=20
4、几个数的公因数的个数是有限的；而它们的公倍数的个数却是无限的。
（四） 小数
一、小数
1、小数的意义：
（1）把整数1平均分成10份、100份、1000份、10000份……，得到的十分之几、百分之几、千分之几、万分之几…… 都可用小数来表示。
例如：
（2）反过来，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几、四位小数表示万分之几……等。
例如：
（3）一个小数通常由整数部分、小数点和小数部分组成。
整个数中的小圆点叫做小数点；小数点左边的数叫做整数部分；小数点右边的数叫做小数部分。
例如：
（4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都10。
因此，整数部分的最低单位是“一（也叫个）”，其相邻两个数之间的进率是10；小数部分的最高分数单位是“十分之一”， 其相邻两个数之间的进率也是10。
2、小数的读写：
（1）含有整数部分和小数部分的小数读法：
先读整数数位，再读小数点，最后读小数数位。
小数部分：非零数字前的0都要读，而末尾的0则不读。
整数部分：之前整数读法一样，每级末尾不管有几个0都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。
例如：23.02030读作：二十三点零二零三
300102.005100读作：三十万零一百零二点零零五一
（2）含有整数部分和小数部分的小数写法：
写数要按照从左到右、从高位数写到低位数的方法。
要按照“亿、万、个、十分……”的数级单位来读写。
例如：五百零三万零二十七点零三零零一六写作：5030027.030016
二、小数的分类
1、纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。
例如：0.152、0.0237都是纯小数。
2、带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如： 2.185、15.0960 都是带小数。
3、有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：21.71、 28.03 、 10.083 都是有限小数。
4、无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如： 4.3031 …… ；3.1415926 ……
注意：无限小数与有限小数无法简单的以定义来确定大小，必须结合具体小数的大小。
5、无限小数又分为无限不循环小数和循环小数
（1）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限个，这样的小数就叫做无限不循环小数。
例如：Π， 2.1231591268728 ……
（2）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
例如：3.205205205……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字部分叫做这个循环小数的循环节。
例如3.205205205 …… 里面的“205”就是循环节。
（a）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如：6.11111 ……；
(b)混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
例如：7.031525252 ……；
（3）为了简便，写循环小数时小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点即可。
特别的：如果循环节只有一个数字，那么就只在它的上面点一个点即可。
（五）分数
一、分数的概念
1、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数就叫做分数。
在分数里，中间的横线“—”叫做分数线，也叫分号；
分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；
分数线上面的数叫做分子，表示有这样的分数单位多少份。
2、分数单位
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
例如： 的分数单位就是 ，表示有5个这样的分数单位。
3、分数的分类
（1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数；真分数小于1。
例如： 这些就是真分数。
（2）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
例如：，，这些就是假分数。
（3）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
例如： 这些就是带分数。
4、分数的读法
读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
例如： ，读作：十五分之八
5、分数的写法
写分数时，先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
例如：六分之五，写作：
二、分数的约分和通分
1、约分：把一个分数化简成同它大小相等但分子、分母都缩小的分数，叫做约分。 换句话说，分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
例如：
这就是分数的约分。分数的约分，要先找出分子与分母的最大公因数，然后分子与分母同时除以这个最大公因数，从而进行约分。
2、通分：把各个异分母分数分别化成和原来分数相等，且分母都变得相同的同分母分数，就叫做通分。
例如：
就是通成同分母分数的通分。分数的通分，主要先算出各分母的最小公倍数，然后每个分数的分母都变成该“最小公倍数”。同时，分子也跟着扩大与分母扩大相同的倍数，从而进行通分。
三、倒数
1、将一个分数的分子和分母交换位置后，就变成了原分数的倒数；并且，互为倒数的两个数之积为1。
2、整数的倒数是分数；真分数的倒数是假分数；假（带）分数的倒数是真分数。
3、乘积是1的两个数互为倒数，倒数不是单独存在的，不能说某个数是倒数，要说明谁和谁互为倒数。
4、0没有倒数。
（六）百分数和正负数
一、百分数
1、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
2、百分号：百分数通常用数后面加“%”来表示。百分号是表示百分数的专有符号。
例如：30%、25.6%、89.3% 这些都是百分数。
3、小数、分数和百分数的相互换算：
（1）小数化成百分数：
只要把小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号“%”即可。
例如：2.36＝23.6%；0.037＝3.7%
（2）百分数化成小数：
把百分数化成小数，只要先把百分号“%”去掉，同时把小数点向左移动两位。
例如：25.6%＝0.256；86%＝0.86
（3）分数化成百分数：
通常要先把分数化成小数（商有余数，除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。
例如：
（4）百分数化成分数：
先把百分数的百分号去掉，改写成小数；再化成分数，能约分的要约成最简分数。
例如：
4、出勤率和缺勤率
出勤率与缺勤率：是指出（缺）勤的人数占总人数的百分之几。
计算方法为：
二、数的意义
1、整数
像…－5、－2、－1、0、1、4、6…这样的数统称为整数；整数个数是无限个；没有最小的整数，也没有最大的整数。
2、正整数和负整数
像5、8、10、16 …这样的数叫做正整数；
像…－7、－6、－3 … 这样的数叫做负整数；
最小的正整数是1，没有最大的正整数；
最大的负整数是－1，没有最小的负整数。
3、自然数
最小的自然数数是0，没有最大的自然数；
自然数都是整数。
但整数不一定都是自然数。
三、正数和负数
1、正数
像＋8、120、、1.28 …这些大于0的数叫做正数。
“＋”读作“正”…，“＋”后面加什么数（几）就读“正几”。
例如：＋59 读作：正五十九
在数的前面加“＋”，但是正数的“＋”号可以省略不写。
2、负数
像－12、－20、－π、、－3.266 …这些小于0的数叫做负数。
“－”读作负…，“－”后面加几就读“负几”。
例如：－28读作：负二十八
在数的前面加“－”，“－”不可以省略。
例如：负三分之一，写作：
3、特别的，0既不是正数也不是负数。
第二章：数和数的运算
（一）数的读法和写法
一、整数的读法和写法
1、整数的读法：
从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读，其它数位连续有几个0也都只读一个零。
例如：3050102300读作：三十亿五千零一十万二千三百
2、整数的写法：
一级一级地从高位到低位写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
例如：五亿零三十二万零七百零二，写作：500320702
整数部分：亿级、万级、个级
小数部分：十分位、百分位、千分位、万分位……
二、小数的读法和写法
1、小数的读法：
读小数的时候，整数部分按照整数的读法，小数点读作“点”；小数部分按照从左向右的顺序直接读出每一个数字。
例如： 52302.308读作：五万二千三百零二点三零八
2、小数的写法：
写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分按顺序写出每一个数位上的数字。
例如：一千零九十三点零零八二，写作：1093.0082
三、分数的读法和写法
1、分数的读法：
读分数时，先读分母，再读“分之”，最后读分子。同时，分子和分母按照整数的读法来读。
例如： ，读作：一百一十二分之五十九
2、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
例如：三千二百三十七分之六百八十五，写作：
四、百分数的读法和写法
1、百分数的读法：
读百分数时，先读“百分之”，再读百分号前面的数；读数时数位要按照整数和小数的读法规则来读。
例如：25.89%读作：百分之二十五点八九
2、百分数的写法：
百分数通常不写成分数形式，如果是分数要先化为小数，然后再向右移动小数点两位，后面加上百分号“%”来表示百分数。
例如：百分之三百一十六点一三七写作： 316.137%
五、数的改写
一个较大的多位数，为了方便读写，有时会改写成用“万”或“亿”作单位的数来表示。还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
改写的方法技巧：
多位数改写为“万”、“亿”…
（1）直接改写：改写为“万”，小数点向左移4位，后面加万；改写为“亿”，小数点左移8位，后面加亿。
（2）近似改写：先四舍五入省略掉“万”或“亿”后面的尾数，再在后面加“万”或“亿”。
1、准确数：
为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。
例如：1637300000
改写成以“万”做单位的数：163730万；
改写成以“亿”做单位的数：16.373亿。
2、近似数：
根据实际需要，可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
例如：2708390015省略“亿”后面的尾数是27亿。
3、四舍五入法：
（1）要省略的数，如果尾数的最高位上的数是4或者比4小的数，就把尾数去掉；
（2）如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，把尾数舍去，并向它的前一位进1。
例如：2335900省略万后面的尾数约是234万。
（二）数的比较大小与互化
一、数的比较大小
1、整数比较大小：
比较整数的大小，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位上的数的大小，最高位上的数大的，该数就大；最高位上的数相同，就看下一位，直到能比较出哪一位上的数大的，那个数就大。
2、比较小数的大小：
先看要比较的数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，就看小数部分。从十分位看起，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，直到能比较出哪一位上的数大的，那个数就大。
3、比较分数的大小：
（1）同分母的分数比较大小，分子大的分数比较大；
（2）分子相同的数，分母小的分数就大；
（3）而分母和分子都不相同的分数，要先通分，然后再比较两个数的大小。
二、数的互化
1、 小数化成分数：
原来的小数，整数部分先不看，只看有几位小数，就在1的后面写几个零作为转换后的分数的分母。同时，把原来整个小数的小数点去掉，作为分子，然后简称是否为最简分数，能约分的一定要约分。
例如：
2、分数化成小数：
分子直接除以分母，结果就是小数了，能除尽的就化成有限小数；有的不能除尽，商有余数的，不能化成有限小数的，一般都是保留三位小数。
例如：
3、一个最简分数判断是否为有限小数的方法技巧：
最简分数的分母，分解质因数后，如果除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
例如：（有限小数）
因为20＝2×2×5
（无限小数）
因为12＝2×2×3
4、带分数化为假分数
将带分数前面的系数乘以分母，然后加上原来的分子，即成为新的分子，分母不变。此时就变成了一个分子大于分母的假分数。
例如：
5、假分数化为带分数
假分数化为带分数是带分数化为假分数的逆运算，只需要将假分数的分子除以分母，商为系数，余数为带分数的分子即可。
例如：（因为 19÷7＝2……5）
（三）求最大公因数和最小公倍数
一、 短除法
把一个合数分解成质因数，通常采用短除法。那什么是短除法呢？先用能整除这个合数的质数去除它，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式，这种方法就是短除法。
例如：
所以，36分解质因数是：36＝2×2×3×3
二、求几个数的最大公因数
求几个数的最大公因数的方法：先找出这几个数的公因数，然后用这些公因数逐个去除这几个数，一直除到各个数所得的商只有公因数1时停止；然后，把所有的除数连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最大公因数。
例如：求18和24的最大公因数
所以，18和24的最大公因数是：2×3＝6
三、求几个数的最小公倍数
求几个数的最小公倍数的方法：先用全部数的公因数去除这几个数；或者其中某几个数的公因数去除，一直除到各数互质为止；然后，把所有的除数和商连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例如：求12、15和20的最小公倍数
所以，12、15和20的最小公倍数是：2×2×3×5×1×1×1＝60
四、互质关系的数
公因数只有1的两个数，叫做互质数，简称“互质”；互质数的两个数最大公因数是1。
成为互质关系的两个数，有下列几种情况：
（1）1和任何自然数互质。
例如：1和9互质，最大公因数是1。
（2）相邻的两个自然数互质。
例如：4和5互质，最大公因数是1。
（3）不同的两个质数互质。
例如：3和11互质，最大公因数是1。
（4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数也互质。
例如：9和13互质；27和7互质，最大公因数是1
（5）两个合数的公因数只有1时，这两个合数也互质。
例如：12和25互质，最大公因数是1。
（四）通分和约分
一、分数的基本性质
分数的分子和分母同时都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小保持不变。
二、 分数的约分
1、约分：用分子和分母的公因数（1除外）持续去除分子、分母；一般要除到得出最简分数为止，也就是约到不能约分为止。此时，最简分数的分子与分母是互质数。
注意：公因数只有1的两个数，叫做互质数，简称“互质”；互质数的两个数最大公因数是1。
2、约分的意义：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比原来分数小的分数，就叫做约分。
3、约分的方法：
（1）逐步约分法。用分子和分母的公因数（1除外）去除，一直除到分数的分子和分母只有公因数1为止。
（2）一次约分法。先找出原分数的分子和分母的最大公因数，然后用这个最大公因数（1除外）去除分子、分母，得出最简分母。
4、分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（分子和分母是互质数的分数叫做最简分数）。完全约分后的分数就是最简分数。
三、分数的通分
1、通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数的值相等的同分母分数的过程，叫做通分。
2、通分的方法：先求出原来几个分数的分母的最小公倍数；然后，每个分数的分母都需要变成该“最小公倍数”；同时，分子也跟着分母扩大相同的倍数，从而达到通分的目的。
3、通分的依据：
分数的分子、分母同时乘以或除以一个不为零的数，分数的大小保持不变。
4、通分的要点是确定几个异分母分数的“最简公分母”。其方法如下：
（1）采用短除法，求出这些分母的最小公倍数；
（2）该“最小公倍数”即是这些异分母分数的最简公分母；
（3）根据分数的基本性质，把原来分数化为以该“最简公分母”为分母的分数。
（五）小数与分数的性质
一、商不变的规律：
1、在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。
例如：18÷6＝3
被除数和除数同时缩小3倍后是：6÷2＝3
被除数和除数同时扩大2倍后是：36÷12＝3
2、在除法里，被除数和除数同时乘以或者除以相同的一个数（零除外），商保持不变。
例如：75÷15＝5
被除数和除数同时除以5后是：（75÷5）÷（15÷5）＝15÷3＝5
被除数和除数同时乘以3后是：（75×3）÷（15×3）＝225÷45＝5
二、小数的性质：
1、在小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小保持不变。
例如：3.2600末尾去掉0后是：3.26
15.81末尾添加0后是：15.810
小数的大小都会保持不变。
2、小数点位置的移动引起小数大小的变化：
（1）小数点向右移动一位，原来的数就会扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就会扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……以此类推，就是小数点向右移动会引起小数的扩大。
例如：13.52小数点向右移动一位，原来的数扩大10倍后是：135.2
（2）小数点向左移动一位，原来的数就会缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就会缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就会缩小1000倍……以此类推，就是小数点向右移动会引起小数的扩大。
例如：175.3小数点向左移动两位，原来的数缩小100倍后是：1.753
（3）小数点向左移或者向右移动位数时，不够数位的，要用“0”来补足位。
例如：6.51小数点向右移动三位，原来的数扩大1000倍后是：6510
三、分数的基本性质
1、分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的一个数（零除外），分数的大小保持不变。分数的约分和通分就是分数的基本性质的体现。
例如：
2、分数与除法的关系
（1）式子表达关系：。
（2）0不能作为除数，因此，分数的分母不可以为零。
（3）被除数就相当于分子，除数就相当于分母。
（六）四则运算
一、四则混合运算的意义：
1、加法：把两个（或者几个）数合并成一个数的运算叫做加法。加法是将加数与加数合并起来的运算，求出的得数是几个数合并的结果。
方法：相同数位要对齐，从低位加起，满十就向高位进一。
例如：183＋108＝291
2、减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，去求另一个加数的运算叫做减法。减法是加法的逆运算。
方法：相同数位要对齐，从低位减起，不够减就向高位借一。
例如：83－57＝26
在减法中，已知的两个加数的和叫做被减数，其中一个加数叫做减数，求出的得数，也即是另一个加数叫做差。几个数连续相减的减法也是以此类推。
例如：223－20－65＝138
3、乘法：一个数乘以整数，是求这几个相同加数的和的简便运算，或者可以理解为：是求这个数的几倍的结果。
例如：12＋12＋12＝12×3＝36
4、除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。除法是乘法的逆运算。
方法：在除法中，已知的两个因数的积叫做被除数，其中一个因数叫做除数，求出的得数，也即是另一个因数就叫商。
例如：63÷9＝7
5、加、减、乘、除四种运算统称四则运算。四则运算分为二级：加、减法为同一级运算，也叫做第一级运算；乘、除法为同一级运算，也叫做第二级运算。
二、运算的顺序：
1、在一个算式里，如果没有括号，且只含有同一级运算，要从左到右依次计算；如果含有两级运算，需要先算第二级运算（乘、除法先算），然后再算第一级运算（加、减法后算）。
2、在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。但是，括号里与括号外也同样要遵循四则运算顺序。
3、四则运算的顺序的简单记忆法：
(1)运算等级
第一级:加减法
第二级:乘除法
(2)运算顺序
先乘除，后加减；
左到右，依次算；
有括号，优选算。
（七）小数的运算
一、小数的加法
1、小数加法的意义
小数加法，即是将两个小数合并成一个数的运算，其运算结果可以是小数，或者整数。
2、小数加法的法则
小数加法的法则与整数加法的法则基本一致，相同的数位要对齐。但是，小数中有小数点，要优先考虑小数点对齐；然后，相同的位数就能对齐。
小数加法步骤：
（1）把各个加数的小数点上、下对齐；
（2）按照加法的法则进行计算，从右边最末一位加起，一旦满十进一；
（3）计算结果（得数）的小数点要与加数的小数点上下对齐。
二、小数的减法
1、小数减法的意义
小数减法，即是已知两个小数的和与其中的一个小数，求另一个小数的运算，是小数加法的逆运算。
2、小数减法的法则：小数点先对齐，相同位数也要对齐。
小数减法步骤：
（1）把被减数和减数的小数点上、下对齐；
（2）按照减法的法则进行计算，从右边最末一位数减起；遇到数不够减时，要从其左边的数位借一当十；
（3）计算的结果（得数）的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐。
三、小数的乘法
1、小数乘法的意义
小数乘法和整数乘法的一样，即是求几个相同加数的和的简便运算形式；也即是将几个相同加数简写成乘法的运算。
2、小数乘法法则：
（1）把相乘的各个小数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，先求出整数乘法的积；
（2）再看各个相乘的小数一共有几位小数，便从积的右边算起，数出几位数，点上小数点。
（3）如果乘法的得数，即积为小数，其末尾出现0时，可把小数末尾的0去掉。
四、小数的除法
1、小数除法与整数除法的意义相同，即是已知两个小数的积与其中一个小数，求另一个因数（小数）的运算，是乘法的逆运算。
2、小数除法的法则
小数除法与整数除法的法则基本一致：
（1）当除数是整数时，可按照整数除法的法则直接进行计算；商的小数点与被除数的小数点对齐即可。如果商有余数，就按照整数除法的计算方式即可。
（2）当除数是小数时，根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的基本性质，先把除数的小数点去掉，使它变成整数。此时，梳理清楚除法扩大了几倍，被除数的小数点也向右移动相同的位数，随着除数扩大几倍。
如果被除数位数不够的，要进行添0补足，再按照整数的除法法则进行计算即可。
五、小数四则运算的顺序：
1、在一个小数四则运算算式里，如果没有括号，且只含有同一级运算，从左到右依次计算；如果含有两级运算，需先算第二级运算（小数乘、除法先算）；然后算第一级运算（小数加、减法）。
2、在有括号的小数算式里，要先算括号里的乘除、加减；后算括号外的乘除、加减法。
（八）分数的运算
一、分数的加法
1、分数加法的意义
分数加法，即是将两个分数合并成一个数的运算，其运算结果可以约分的要进行约分，得数可以是分数，也可以是整数。
2、小数加法的法则
（1）同分母分数相加，分母不变，分子进行相加即可。得数作分子，分母不变。得数可以约分时，要进行约分。
（2）异分母分数相加，首先要通分；然后，按照同分母分数相加的方法进行分子相加计算，分母不变。同样，得数可以约分时，要进行约分。
（3）带分数相加，可以先把带分数化为假分数，然后再按照分数加法法则进行计算。
二、分数的减法
1、分数减法的意义
分数减法，即是已知两个分数的和与其中的一个分数，求另一个分数的运算，是分数加法的逆运算。
2、分数减法的法则：
（1）同分母分数相减，分母不变，分子进行相减即可。得数作分子，分母不变。得数可以约分时，要进行约分。但当分子相减为0时，整个分数的值为0，也就是运算结果为0。
（2）异分母分数相减，首先要通分；然后，按照同分母分数相减的方法进行分子相减计算，分母不变。同样，得数可以约分时，要进行约分。同样，分子相减为0时，整个分数的值为0。
（3）带分数相减，可以先把带分数化为假分数，然后再按照分数减法法则进行计算。
注意：当带分数相减采取“整数部分减整数部分，分数部分减分数部分”的方法时。如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1或者更多的其他数字，化成假分数，与原来被减数的分数部分合在一起，从而凑成分数（被减数）够相减。
三、分数的乘法
1、分数乘法的意义
分数乘法，主要是分子乘以分子，分母乘以分分母即可。得数能约分的要进行约分。
注意：0乘以分数，结果还是得0。
四、分数的除法
1、分数除法，最重要的是将除号变成乘号，除号后的数变成倒数，然后按照分数乘法的法则进行计算即可。
2、倒数：一个分数的倒数，就是将分数的分子与分母进行调换位置。
注意：
（1）0没有倒数；
（2）真分数的倒数是假分数；
（3）不等于1的假分数的倒数是真分数；
（4）带分数的倒数也是真分数。
五、分数四则运算的顺序：
1、在分数四则运算的算式里，如果没有括号，且只含同一级运算的，从左到右依次计算；如果含有两级运算的，需要先算第二级运算（分数乘除法先计算）；然后算第一级运算（分数加减法）。
2、如果分数算式含有括号的，要先算括号里的乘除法、依次是加减法；后算括号外的乘除法、最后是加减法。
（九）简便运算
一、简便运算的简述：
简便运算，是一种十分特殊却又好用的计算方法。如果能够掌握该计算方法，将使题目的运算变得既快速又准确。在小学阶段对计算题目将起到很大的辅助作用。
简便运算的本质就是想方设法将计算结果凑得整十、整百、整千等。运用一些简便运算定律，可以十分巧妙的将一些看似复杂的数，很快的得出一个工整易算的得数。
简便运算的三种常见又十分主要的运算定律，分别是：交换律、结合律和乘法分配律。这是三种既基本又巧妙的运算方法与技巧。学习简便运算定律的目的，就是看题目怎么简便就怎么算！做到熟能生巧，基本的运算定律公式定要熟练过关。
二、交换律：
交换律，就是交换数字的位置。在计算的式子中，结合数字与数字之间的特点，找到合适的位置放在一起加减或乘除，使计算简便，结果易得。
注意：交换数字的位置时，要学会带着符号“搬家”，也就是当一个数字要调换位置的时候，记得要将它前面的符号（比如＋、－或者×、÷）也一起搬运走，切记是数字前面的符号。例如： “－12.6”、 “÷5”就是符号和数字要一起搬动位置。
三、结合律：
结合律，经常与交换律一起运用。经过交换位置后，或者采取直接添括号或去括号的方法与技巧，使数字与数字计算简便，结果易得、工整。使看似复杂的计算题目变得快速与准确。
注意：添括号时：
（1）“－（ ）”， “－号”后面带个括号，此时括号里面的数要变符号，“＋”的变“－”，“－”的变“＋”。但是，数字的位置却不改变。
（2）“÷（ ）”，“÷号”后面带个括号，此时括号里面要改变符号，原来“÷”的变“×”、“×”的变“÷”。同样，数字的位置不改变。
四、分配律：
要熟练掌握乘法分配律的基本运用及其变形变形，以及拆数法、补数法、分解法等方法的使用。对题目进行详细分析，选择适合的方法让计算题目更为容易计算，运算过程更加简便。
要过关的一些运算定律公式：
（1） a＋b＋c=a＋c＋b
（2） a＋b－c=a－c＋b
（3） a－b－c=a－(c＋b)
（4） a÷b÷c=a÷c÷b
（5） a×b÷c=a÷c×b
（6） a÷b×c=a×c÷b
（7） a÷b÷c=a÷(b×c)
（8） a÷b×c=a÷(b÷c)
（9） a×(b＋c)=a×b＋a×c
（10）a×(b－c)=a×b－a×c
（11）a×b＋a×c=a×(b＋c)
（12）a×b－a×c=a×(b－c)
第三章：式与方程
（一）等式
一、用字母表示数
1.任意数或者式子都可以用字母来表示。而且，字母也可以表示符合特定条件的某一个数；或者表示具有某些变化规律的数。总之，字母具有表示数或者关系式的功能。
2.用字母表示数有助于对概念定义的理解合消化，能使数与数间的关系变得简明、扼要，具有重要的意义。
3.用字母表示数时，要注意书写格式。
（1）数字与字母、字母与字母相乘，中间的乘号省略不写；或者用“ ”（点）来表示。
例如：a×c＝a c；
b×c＝bc；
（2）字母和数字相乘时，除了省略乘号外，数字也要放到字母的前面。
（3）“1”与任何字母相乘时，“1”都省略不写。
例如：1×c＝c
4.当出现除式时，除式变成分数形式，通常用分数表示。
5.字母间的运算结果含加、减算式子时，单位前要加“（ ）”。
6.分数是带分数时，带分数要化成假分数。
二、字母式子的求解
用字母来表示一个数，那么数与数之间的运算，就变成了字母与字母之间的运算。此时，可以通过四则运算法则求解出某个字母所表示的数。
这就是我们通常所谓的求解含x的方程，也即是含字母式子的求解。
例如：x的2倍与6的和等于18，求解出x？
解：用式子表示是2x＋6＝18，求出x＝6。
三、等式的意义
1.含有等号的式子叫做等式。
等式两边同时加上（或减去）同一个整式；或等式两边同时乘以或除以同一个（不为0）的整式，等式的值保持不变。
2.等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。
性质2：等式两边同时乘或除以同一个（不为0）的整式，等式仍然成立。
性质3：等式具有传递性．若a＝b，b＝c，c＝d，…x＝y，那么a＝b＝c＝d＝…x＝y
3.等式的意义：
等式的性质是解方程的根本，解方程的基本方法就是运用等式的性质来求解的。等式的基本性质扩展运用后即是解方程中常用的移项、去分母等方法。
（二）方程
一、方程与等式的关系
1、方程的概念：含有未知数的等式。
两个条件：（1）方程中必须含有未知数；
（2）方程是等式，但是等式不一定是方程。
2、方程是表示两个数学式之间相等关系的一种等式，在两者之间含有“＝”等号。
例如：两个数、函数间相等的关系。
3、利用方程解决实际问题，可不需要按逆向思维去思考，直接列出含有未知数的等式即可。
二、方程的解和解方程
1、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
2、求方程的解的过程，就叫做解方程。解方程是一种特殊的计算过程，也是在求解某个得数。
例如：x＝6，是方程2x＝12的解。
（三）解方程
一、方程
是指含有未知数的等式。方程必须具备以下两个要素：一是含有未知数；二是等式。式子同时具备这两个因素，才能称为方程。
二、解方程
是求出方程中未知数的值的过程，是求方程的解的具体方法。
其步骤是：
（1）写“解”字；
（2）方程最终化为ax＝b（a0）的形式；
（3）方程两边同时除以a，求出未知数的值。
第四章 比和比例
（一）比的意义和性质
一、比的意义：
1、两个数相除，也叫做两个数的比。
2、读法：几比几，
例如，11:10读作：11比10。
3、写法：“比”字可用比号“:”代替。
例如，18比23 记作18:23。
4、比各部分的名称：
（1）比的前项：在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项。
（2）比的后项：在两个数的比中，比号后面的数叫做比的后项。
例如，38:13，38是比的前项；13是比的后项。
5、比值：比的前项除以后项所得的商，就是比值。
二、比与分数、除法的关系
1、三者之间的关系：
（1）比的前项，相当于分数的分子、除法中的被除数；
（2）比号，相当于分数中的分数线、除法中的除号；
（3）比的后项，相当于分数中的分母、除法中的除数；
（4）比值，相当于分数中的分数值、除法中的商。
2、三者的区别：比是数之间的一种关系；分数是数分类中的一种数；除法是运算法则中的一种运算。
三、比的性质
比的前项和后项同时乘以或除以相同的一个数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
（二）求比值和化简比
1、求比值：求两个数的比值，用比的前项除以比的后项，得数是一个数值，该数值就是比值。这个数值可以是整数、小数或分数。
2、化简比：把两个数的比化成最简的整数比。
（1）化简整数比：就是把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
例如：28:49＝4:7
（2）化简小数比：首先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数（即扩大相同的倍数），变成整数比；然后，再按照化简整数比的方法进行化简。
例如：0.36:1.2
＝36:120
＝3:10
（3）化简分数比：就是减比的前项和后项同时乘以它们分母的最小公倍数，变成整数比；然后进行化简。也可以按照分数除法的形式去计算，从而化简分数比，但结果需要写成比的形式。
例如：
（三）比例
一、比例的意义
1、比例的意义：表示两个比相等的式子，就叫做比例。
2、组成比例的四个数，叫做比例的项。比例中首尾两端的两项叫做比例外项；中间的两项叫做比例内项。
例如：16:20＝12:15
16和15是比例外项，20和12是比例内项。
二、比例的基本性质
在一组比例中，两个比例外项的积等于两个比例内项的乘积，这叫做比例的基本性质。
例如：8:12＝6:9中可得：8×9＝12×6
三、解比例
根据比例的基本性质，先把比例转化成简易方程，然后求比例中的未知项，相当于解简易方程，这种解法就叫做解比例。
例题1：3:6=x:8，根据“内项乘内项，外项乘外项”的法则可得：
6x=3×8，
6x=24
x=4
例题2：，根据比例“交叉相乘”的法则可得：
12x＝5×6，
12x＝30
x＝2.5
四、比例的应用
在比例的实际问题中，需要结合问题中给出的不变量，找出两种有关联的量；然后根据正、反比例的关系式列出相应合适的方程并进行求解。
（四）正比例和反比例
一、比例尺
比例尺是测量距离或者测量制作零件部件数据的一种实用工具。比例尺分为缩小比例尺、扩大比例尺两种。
其公式为：比例尺＝图上距离÷实际距离
注意：计算比例尺时单位要统一，然后代入数据即可解决问题。
二、正比例的意义
1、正比例的意义：两种相关联的量，如果一种量变化，另一种量也跟随着变化，且这两种量中的数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，这种关系叫做正比例关系。
2、通常用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示比值，则正比例关系可以用式子表示为：（一定）。
三、反比例的意义
1、反比例的意义：两种相关联的量，如果一种量变化，另一种量也跟随着变化，这两种量中的数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，这种关系叫做反比例关系。
2、通常用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示乘积，反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）。
四、如何辨别成正比例的量或成反比例的量
1、成正比例的量：
（1）x与y变化的方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也跟着扩大或缩小。
（2）相对应的两个数的比值k不变（一定）。
2、成反比例的量：
（1）x与y 变化的方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。
（2）相对应的两个数xy的乘积k不变（一定）。
3、判断方法：
主要是观察两种相关量中的两个数：
（1）如果两个数是商一定，就成正比例；
（2）如果两个数是积一定，就成反比例。
例如：xy＝4就是反比例； y÷x＝5就是正比例
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