新课标人教A版高中数学必修二第二章《2.3.1直线与平面垂直的判定》获奖教学设计(含教学设计说明+点评）
文档属性
| 名称 | 新课标人教A版高中数学必修二第二章《2.3.1直线与平面垂直的判定》获奖教学设计(含教学设计说明+点评） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 41.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-12-24 22:41:36 | ||
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文档简介
《直线与平面垂直的判定》教学设计
包头市第一中学 付 强
使用教材：人教社A版教材必修2第二章第三节第一课时
【教学目标】
1.学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；
2.学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理；
3.在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；
【教学重点】
1.直线与平面垂直的定义；
2.直线与平面垂直的判定定理．
【教学难点】
1.直线与平面垂直的判定定理的探究;
2.定义和定理中转化思想的挖掘．
【教学方式】 启发探究式
【教学手段】 计算机、自制课件、实物模型
【教学过程】
一、创设情境，引出新知
1.复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．
设计意图：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．
2.给出学生熟悉的图片，引导他们观察国旗旗杆与地面的位置关系，广播塔与地面的位置关系，火箭与地面的位置关系等。然后引出：
问题1：将国旗旗杆与地面上的影子抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，从而引出——
直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．
设计意图：通过“具体形象——几何图形——数学语言”的学习过程，引导学生体会定义的合理性．
3.线面垂直定义的辨析
（1）说明直线与平面垂直的画法；介绍相关概念：垂面，垂线，垂足。
（2）提出辨析问题：能否将定义中的“任意一条直线”换成“一条直线或有限条直线或无数条直线”，并举例说明。
（3）如何说明一条直线与一个平面不垂直？只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即“一票否决”.
设计意图：通过定义辨析，加强对定义中“任意一条直线”的正确认识.
二、群策群力，探知循规
任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？引出课题：2.2.3直线与平面垂直的判定.
试验：准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A，，．如图，过△的顶点折叠纸片，得到折痕，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使、边与桌面接触）
问题:2：折痕与桌面一定垂直吗？
追问：为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）
设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.
问题3：如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？
追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）
（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形1不论在桌面上如何平移和转动，折痕AD与桌面的垂直关系为什么始终不变？
（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示（如右图），以折痕为轴转动纸片，来说明与平面内过点的所有直线都垂直，平面内不过点的直线，可以通过平移到点，说明它们与都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．
在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．
（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.
图形语言：
符号语言：，，，，．
设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知， 再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．
三、迁移拓展，学以致用
1.基础练习，规范格式
(1)正方体中，棱是什么位置关系，它们和底面垂直吗？
(2)变式：已知：，, 求证：．
分析：（1）教师引导学生完成说理过程，注意规范语言. （2）欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内可作两条相交直线为辅助线，命题可证．
证明：在平面内作两条相交直线．因为直线，
根据直线与平面垂直的定义知．
又因为，所以 ，．
又因为，，，是两条相交直线，所以 ．
方法二：引导学生用定义证明，并全班集体共同整理思路.
设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，第一个问题中通过观察即可得到定理的条件，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二个问题中强调线面垂直与线线垂直的相互转化.此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．
2.深化认识，提升能力
如图，在直四棱柱ABCD—A B C D 中，已知底面ABCD为正方形，
(1)试判断直线BD与平面A AC是否垂直？
(2)试判断直线BD与A C是否垂直？
解析：
（2）由（1）的结论知：BD与A C垂直.
变式：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，
(1)底面四边形ABCD满足什么条件时，
(2)底面四边形ABCD满足什么条件时，
分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线直，体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.
设计意图：本题为课本第66页的探究题，本题 ( http: / / www.21cnjy.com )思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。
四、自我总结，系统梳理
1．学习小结：从知识和方法两个方面进行．
知识方面：线面垂直的定义（1∞1）、线面垂直的判定定理（121）．方法方面：转化思想．概括为：1-1-1
2．布置作业：
（1）阅读课本相关内容进行复习；
（2）做课本79页复习参考题A组第10题，B组第1题；
（3）完成课本66页课后探究题并写出规范步骤．
《直线与平面垂直的判定》教学设计说明
包头市第一中学 付 强
一、教学内容分析
《直线与平面垂直的判定》共 ( http: / / www.21cnjy.com )2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识．本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。
其中核心内容为——直线与平面垂直的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )和判定定理。本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务．
二、教学目标的确定
1.课程目标
（1）对空间几何体整体观察，认识空间图形；
（2）以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；
（3）能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定；
（4）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
2.单元教学目标
本单元将在前一单元整体观察、认识几 ( http: / / www.21cnjy.com )何体的基础上，以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，能进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述集合对象的位置关系，初步体验公理化思想，养成逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.具体目标是：
（1）点、线、面之间的位置关系
①借助长方体模型，在直观认识和理解 ( http: / / www.21cnjy.com )空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，了解公理1、公理2、公理3、公理4以及等角定理作为推理的依据。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
3.“直线与平面垂直的判定”的课堂教学目标
立体几何的符号语言是数学简约美的重要体现之一 ( http: / / www.21cnjy.com )，从运动的观点来讲，线可以看成是点的轨迹，面可以看成是线的轨迹，因此，线、面可以看成是点的集合，从而抽象出用集合语言描述点、线、面关系的符号语言。教学中，通过捕捉生活中的数学现象，抽象得出线面垂直的定义及判定，使生活问题数学化，让学生感受数学与现实生活的联系，从现实生活中发现数学、学习数学、理解数学、应用数学，从而感受数学的魅力。正如荷兰数学家弗赖登塔尔在他所著的《作为教育任务的数学》一书中所讲：“数学起源于现实”，“数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。”
新课标中立体几何的体系和内容都发生了较大的变化，要求能通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面垂直的判定定理．
基于上述认识，将单元目标“ ( http: / / www.21cnjy.com )以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定.”具体化为：
（1）学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；
（2）学生通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并会用数学语言表述；
（3）会用直线与平面垂直的定义和判定定理进行简单的推理论证，并体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想。
三、学生学情分析
大千世界，数学无处不在， ( http: / / www.21cnjy.com )线面垂直的定义及判定定理来源于大量的生活现实，如：大桥的桥柱和水面的位置关系，火箭与地面的位置关系，国旗旗杆与地面上的影子的位置关系，为何木工师傅使用直角尺一量就知道物体是否垂直？……这些是学生能够感知的生活现实，所以学生很容易得出线面垂直的定义，从而引出课题：如果用定义来判定直线与平面垂直在实际应用时有困难（由于平面内直线有无数条），那么是否存在更加简便、易行的方法呢？线面垂直的判定定理则解决了上述困难。根据这一定理只要在平面内选择两条相交直线，考虑它们是否与平面外的直线垂直即可。另外，直线与平面垂直的判定定理，体现的仍然是“平面化”的思想。当然，通过直线与直线垂直判断直线与平面垂直，还蕴涵了“降维”的思想。
另外学生已经学习了点、线、面的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，已经初步具有辩证唯物主义观点和公理化的思想、空间想象能力和思维能力，以及学习了直线与直线、直线与平面的位置关系，也已经初步体验到了数学转化的基本思想。本节还需在此基础上进一步体会空间与平面的转化思想，使其得到螺旋式的巩固和提高。
学生在学习本节内容时主要有以下两个困难：
1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认 ( http: / / www.21cnjy.com )识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．
所以在设计教学时，首先通过一组图片 ( http: / / www.21cnjy.com )让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．
2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的 ( http: / / www.21cnjy.com )，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．
所以，在教学过程中，通过折纸试验，精 ( http: / / www.21cnjy.com )心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．
四、教学策略分析
学生已经学习了有关集合的内容，并且经过 ( http: / / www.21cnjy.com )函数、方程、不等式，三角函数等一系列内容对集合语言的应用，学生已经非常熟悉，所以很容易发现并掌握用集合语言表示空间点、线、面位置关系的符号语言。另外，在上一节当中学习了直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判定和性质，已经初步体会到数学中的转化思想.基于大多数学生本身的“数学现实”，通过直观感知，学生容易抽象出线面垂直的定义，但对定义中“任意性”的理解却是许多同学难以理解的，所以，在定义辨析中，通过一系列的设问，对“任意性”从正反两方面，全方位、多角度进行澄清，理解.
学生们通过动手探究的实践过程， ( http: / / www.21cnjy.com )也容易抽象出数学命题即线面垂直的判定定理，但在操作确认的过程中，有一点是学生不容易想到的，也是学生难以理解的，就是关于两个关键条件：“双垂直”和“相交”的感知和确认.这里只能利用定义一条途径来说明，通过阶梯性的设问逐渐引导学生通过操作模型——旋转和平移，并在教学过程中恰当地使用现代信息技术--几何画板展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力.将直线与平面内两条相交直线垂直转化为与平面内任意一条直线都垂直，从而加深对判定定理的理解.
在例题教学中，面向全体学生，创造平等的 ( http: / / www.21cnjy.com )教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，一方面能够加强对定义、定理的理解与应用能力，另一方面也能够调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。
根据以上分析，本节课采用启发探究式的教学方式．
在启发式教学过程中，以问题引导学生的思维活 ( http: / / www.21cnjy.com )动．教学设计突出了对问题串的设计，教学中，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．
尝试通过试验的方法进行立体几 ( http: / / www.21cnjy.com )何的教学．本节课主要是通过直观感知、操作确认归纳出直线和平面垂直的判定定理．但借助什么去感知？怎样操作才能归纳出判定定理？确认到什么程度，才能在不对定理进行证明的情况下，不失数学的逻辑性和严谨性？本节课立足教材，重视对具体实例的观察、分析，并且给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中．
五、教学过程
原苏联数学教育家斯托利亚尔在他所著的《 ( http: / / www.21cnjy.com )数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维活动，对数学家而言，这是一个发现活动；对于数学教学来说，我们要教给学生的不是死记现成的材料，而是发现数学真理（自己独立的发现科学上已经发现了的东西），学生发现那些在科学上早已被发现的东西的时候，他是像第一次发现者那样去推理的。”[3]在弗赖登塔尔的论述中也指出：“学生通过自己努力得到的结论和创造是数学教育内容的一部分”。 [2] 新课标也在倡导积极主动、勇于探索的学习方式。基于这样的理念的指导，结合本课的教学内容，本课采用启发探究发现式教学法，以问题为载体，学生活动为主线，给学生留下思考的空间，为学生创造合作、探索、发现、创新的氛围，激发学生的学习兴趣，体现学生的主体地位，将传授知识和培养能力融为一体。
本节课通过创设情境、系列设问，学生体验 ( http: / / www.21cnjy.com )探索新知的氛围，学生从已有的线线垂直知识的经验，容易迁移得到线面垂直，体验成功的乐趣，产生继续探索新发现的欲望，老师再带领学生发现线面垂直的判定定理，学生分组合作探究，使学生亲身经历数学知识的发生、发展及解决的全过程，体会到发现数学，应用数学的乐趣。
直线与平面垂直的判定定理将原本判定直线与 ( http: / / www.21cnjy.com )平面垂直的问题，通过判定直线和直线的垂直来解决。从获得判定定理的思维来看，与获得直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的过程类似。虽然平面内直线有无数多条，但它却可以由两条相交直线完全确定，因此是否有“一条直线和平面内两条相交直线垂直，那么就有这条直线就与平面内任意直线垂直”就成为重点考察问题。当然，这时学生也许会问，两条平行直线也确定一个平面，为什么不能用“一条直线与两条平行直线垂直来判定呢？”实际上，由公理4知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直。所以，为了更好地培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知、操作确认的基础上，归纳概括出直线与平面垂直的判定定理，学生通过教科书上的“探究”试验：通过折叠三角形纸片，探究在什么条件下，就能使折痕与桌面垂直，通过动手实践，自己发现“当且仅当折痕AD是BC边上的高时……”，并对65页的思考进行交流，然后得到一般的结论（即判定定理），如果此时仍有学生心存质疑，这时引导学生通过操作模型来认识其本质原因：一条直线和平面内两条相交直线垂直，那么只要以AD为轴通过旋转和平移就有这条直线就与平面内任意直线垂直，其中必须保证有足够的时间进行探索活动。
例题教学中，第一题给出了一个判定直线和平面垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直时常用的命题：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系。第二题本题为课本第66页的探究题，本题思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。两道例题均体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.
学生对如何运用定义、定理解决问题也是 ( http: / / www.21cnjy.com )跃跃欲试，在展示学生答案之后，给全体学生一个畅所欲言的机会，互相评价，最终得到完善的答案，在集体交流中感受合作的巨大力量。这样做，对于不善于表现自己的学生可能会失去和大家交流的机会，可能有个别学生要面临一定的问题、困惑、挫折甚至失败，但通过组内合作交流和老师的指导，也可以克服。这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程，对于培养意志品质起到了重要作用。
《直线与平面垂直的判断》课例点评
这节课，从整体来看，教师本着“让学生充 ( http: / / www.21cnjy.com )分经历知识的形成、发展和应用过程” 的教学理念，将教材中静态的数学知识还原成动态的生成过程，尽可能地为学生提供一种思考、交流、探究的空间，为促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习而教。
从教材处理看，重点突出了判定定理的教与学 ( http: / / www.21cnjy.com )，对试验“从一条直线垂直于平面上两条相交直线” 到“这条直线可以垂直于平面内任意一条直线”这个难点的突破，师生经历了有意义的探究活动。利用旗杆在太阳下的影子的运动，以及折纸试验中平移和旋转，较好地帮助学生突破了教学难点，抓住了“平移”和“旋转”这个关键，使问题化难为易。另外对例题的处理有教师的创新之处，通过变式把原来例题中的“直四棱柱”改为“底面为正方形的直四棱柱”，设计了两个问题，为解决原例题搭了台阶，进行了铺垫，使问题能使大部分学生理解，体现了面向全体学生的教学思想。
从教学程序看，教师设置了问题串来引 ( http: / / www.21cnjy.com )领学生探究和思考，设计的问题都在学生的最近发展区，有开放度、有思维量、能激发学生学习的积极性。课初承接直线与平面的位置关系，给出生活中直线与平面垂直的例子，自然引入旗杆和它在地面上的影子的垂直问题，为直线与平面垂直的意义的出台做了很好的铺垫。后续，教师设计了一系列的精彩问题，对直线与平面垂直的定义进行了深入剖析。在折纸试验中，教师自然提出折痕与桌面是否垂直的问题，以对话的形式层层设疑，不断的激发和调动学生去自主探究、交流反馈，促使学生的认知和思维得到深化，为直线与平面垂直的判定定理的产生奠定了基础。通过这些主体参与的学习活动，使学生体验了研究数学问题的方法，体现了“做中学”的教学思想。
从教学效果看，教师营造了宽松的教学氛 ( http: / / www.21cnjy.com )围，让学生有更多的展示机会，每当学生展示后，教师都要对学生的成果及时使用激励性语言进行评价，以激发学生的内驱力。我们能够看得出教师给予学生的都是恰到好处的扶持帮助、牵线搭桥、评价鼓励，为学生能够顺利地完成本节课的探究任务注入了“润滑剂”，使课堂教学得以深入发展。习氛围浓厚，问题解决质量较高，练习有反馈，学后有反思，重点知识和技能得到巩固和强化，学习能力得到提升，体现了效率意识。
需要改进的是，问题解决过程中，教师的引导有过头的现象，“做中学”还有待深入研究。
包头市第一中学 付 强
使用教材：人教社A版教材必修2第二章第三节第一课时
【教学目标】
1.学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；
2.学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理；
3.在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；
【教学重点】
1.直线与平面垂直的定义；
2.直线与平面垂直的判定定理．
【教学难点】
1.直线与平面垂直的判定定理的探究;
2.定义和定理中转化思想的挖掘．
【教学方式】 启发探究式
【教学手段】 计算机、自制课件、实物模型
【教学过程】
一、创设情境，引出新知
1.复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．
设计意图：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．
2.给出学生熟悉的图片，引导他们观察国旗旗杆与地面的位置关系，广播塔与地面的位置关系，火箭与地面的位置关系等。然后引出：
问题1：将国旗旗杆与地面上的影子抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，从而引出——
直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．
设计意图：通过“具体形象——几何图形——数学语言”的学习过程，引导学生体会定义的合理性．
3.线面垂直定义的辨析
（1）说明直线与平面垂直的画法；介绍相关概念：垂面，垂线，垂足。
（2）提出辨析问题：能否将定义中的“任意一条直线”换成“一条直线或有限条直线或无数条直线”，并举例说明。
（3）如何说明一条直线与一个平面不垂直？只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即“一票否决”.
设计意图：通过定义辨析，加强对定义中“任意一条直线”的正确认识.
二、群策群力，探知循规
任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？引出课题：2.2.3直线与平面垂直的判定.
试验：准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A，，．如图，过△的顶点折叠纸片，得到折痕，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使、边与桌面接触）
问题:2：折痕与桌面一定垂直吗？
追问：为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）
设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.
问题3：如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？
追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）
（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形1不论在桌面上如何平移和转动，折痕AD与桌面的垂直关系为什么始终不变？
（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示（如右图），以折痕为轴转动纸片，来说明与平面内过点的所有直线都垂直，平面内不过点的直线，可以通过平移到点，说明它们与都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．
在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．
（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.
图形语言：
符号语言：，，，，．
设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知， 再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．
三、迁移拓展，学以致用
1.基础练习，规范格式
(1)正方体中，棱是什么位置关系，它们和底面垂直吗？
(2)变式：已知：，, 求证：．
分析：（1）教师引导学生完成说理过程，注意规范语言. （2）欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内可作两条相交直线为辅助线，命题可证．
证明：在平面内作两条相交直线．因为直线，
根据直线与平面垂直的定义知．
又因为，所以 ，．
又因为，，，是两条相交直线，所以 ．
方法二：引导学生用定义证明，并全班集体共同整理思路.
设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，第一个问题中通过观察即可得到定理的条件，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二个问题中强调线面垂直与线线垂直的相互转化.此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．
2.深化认识，提升能力
如图，在直四棱柱ABCD—A B C D 中，已知底面ABCD为正方形，
(1)试判断直线BD与平面A AC是否垂直？
(2)试判断直线BD与A C是否垂直？
解析：
（2）由（1）的结论知：BD与A C垂直.
变式：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，
(1)底面四边形ABCD满足什么条件时，
(2)底面四边形ABCD满足什么条件时，
分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线直，体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.
设计意图：本题为课本第66页的探究题，本题 ( http: / / www.21cnjy.com )思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。
四、自我总结，系统梳理
1．学习小结：从知识和方法两个方面进行．
知识方面：线面垂直的定义（1∞1）、线面垂直的判定定理（121）．方法方面：转化思想．概括为：1-1-1
2．布置作业：
（1）阅读课本相关内容进行复习；
（2）做课本79页复习参考题A组第10题，B组第1题；
（3）完成课本66页课后探究题并写出规范步骤．
《直线与平面垂直的判定》教学设计说明
包头市第一中学 付 强
一、教学内容分析
《直线与平面垂直的判定》共 ( http: / / www.21cnjy.com )2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识．本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。
其中核心内容为——直线与平面垂直的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )和判定定理。本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务．
二、教学目标的确定
1.课程目标
（1）对空间几何体整体观察，认识空间图形；
（2）以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；
（3）能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定；
（4）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
2.单元教学目标
本单元将在前一单元整体观察、认识几 ( http: / / www.21cnjy.com )何体的基础上，以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，能进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述集合对象的位置关系，初步体验公理化思想，养成逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.具体目标是：
（1）点、线、面之间的位置关系
①借助长方体模型，在直观认识和理解 ( http: / / www.21cnjy.com )空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，了解公理1、公理2、公理3、公理4以及等角定理作为推理的依据。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
3.“直线与平面垂直的判定”的课堂教学目标
立体几何的符号语言是数学简约美的重要体现之一 ( http: / / www.21cnjy.com )，从运动的观点来讲，线可以看成是点的轨迹，面可以看成是线的轨迹，因此，线、面可以看成是点的集合，从而抽象出用集合语言描述点、线、面关系的符号语言。教学中，通过捕捉生活中的数学现象，抽象得出线面垂直的定义及判定，使生活问题数学化，让学生感受数学与现实生活的联系，从现实生活中发现数学、学习数学、理解数学、应用数学，从而感受数学的魅力。正如荷兰数学家弗赖登塔尔在他所著的《作为教育任务的数学》一书中所讲：“数学起源于现实”，“数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。”
新课标中立体几何的体系和内容都发生了较大的变化，要求能通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面垂直的判定定理．
基于上述认识，将单元目标“ ( http: / / www.21cnjy.com )以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定.”具体化为：
（1）学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；
（2）学生通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并会用数学语言表述；
（3）会用直线与平面垂直的定义和判定定理进行简单的推理论证，并体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想。
三、学生学情分析
大千世界，数学无处不在， ( http: / / www.21cnjy.com )线面垂直的定义及判定定理来源于大量的生活现实，如：大桥的桥柱和水面的位置关系，火箭与地面的位置关系，国旗旗杆与地面上的影子的位置关系，为何木工师傅使用直角尺一量就知道物体是否垂直？……这些是学生能够感知的生活现实，所以学生很容易得出线面垂直的定义，从而引出课题：如果用定义来判定直线与平面垂直在实际应用时有困难（由于平面内直线有无数条），那么是否存在更加简便、易行的方法呢？线面垂直的判定定理则解决了上述困难。根据这一定理只要在平面内选择两条相交直线，考虑它们是否与平面外的直线垂直即可。另外，直线与平面垂直的判定定理，体现的仍然是“平面化”的思想。当然，通过直线与直线垂直判断直线与平面垂直，还蕴涵了“降维”的思想。
另外学生已经学习了点、线、面的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，已经初步具有辩证唯物主义观点和公理化的思想、空间想象能力和思维能力，以及学习了直线与直线、直线与平面的位置关系，也已经初步体验到了数学转化的基本思想。本节还需在此基础上进一步体会空间与平面的转化思想，使其得到螺旋式的巩固和提高。
学生在学习本节内容时主要有以下两个困难：
1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认 ( http: / / www.21cnjy.com )识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．
所以在设计教学时，首先通过一组图片 ( http: / / www.21cnjy.com )让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．
2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的 ( http: / / www.21cnjy.com )，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．
所以，在教学过程中，通过折纸试验，精 ( http: / / www.21cnjy.com )心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．
四、教学策略分析
学生已经学习了有关集合的内容，并且经过 ( http: / / www.21cnjy.com )函数、方程、不等式，三角函数等一系列内容对集合语言的应用，学生已经非常熟悉，所以很容易发现并掌握用集合语言表示空间点、线、面位置关系的符号语言。另外，在上一节当中学习了直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判定和性质，已经初步体会到数学中的转化思想.基于大多数学生本身的“数学现实”，通过直观感知，学生容易抽象出线面垂直的定义，但对定义中“任意性”的理解却是许多同学难以理解的，所以，在定义辨析中，通过一系列的设问，对“任意性”从正反两方面，全方位、多角度进行澄清，理解.
学生们通过动手探究的实践过程， ( http: / / www.21cnjy.com )也容易抽象出数学命题即线面垂直的判定定理，但在操作确认的过程中，有一点是学生不容易想到的，也是学生难以理解的，就是关于两个关键条件：“双垂直”和“相交”的感知和确认.这里只能利用定义一条途径来说明，通过阶梯性的设问逐渐引导学生通过操作模型——旋转和平移，并在教学过程中恰当地使用现代信息技术--几何画板展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力.将直线与平面内两条相交直线垂直转化为与平面内任意一条直线都垂直，从而加深对判定定理的理解.
在例题教学中，面向全体学生，创造平等的 ( http: / / www.21cnjy.com )教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，一方面能够加强对定义、定理的理解与应用能力，另一方面也能够调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。
根据以上分析，本节课采用启发探究式的教学方式．
在启发式教学过程中，以问题引导学生的思维活 ( http: / / www.21cnjy.com )动．教学设计突出了对问题串的设计，教学中，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．
尝试通过试验的方法进行立体几 ( http: / / www.21cnjy.com )何的教学．本节课主要是通过直观感知、操作确认归纳出直线和平面垂直的判定定理．但借助什么去感知？怎样操作才能归纳出判定定理？确认到什么程度，才能在不对定理进行证明的情况下，不失数学的逻辑性和严谨性？本节课立足教材，重视对具体实例的观察、分析，并且给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中．
五、教学过程
原苏联数学教育家斯托利亚尔在他所著的《 ( http: / / www.21cnjy.com )数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维活动，对数学家而言，这是一个发现活动；对于数学教学来说，我们要教给学生的不是死记现成的材料，而是发现数学真理（自己独立的发现科学上已经发现了的东西），学生发现那些在科学上早已被发现的东西的时候，他是像第一次发现者那样去推理的。”[3]在弗赖登塔尔的论述中也指出：“学生通过自己努力得到的结论和创造是数学教育内容的一部分”。 [2] 新课标也在倡导积极主动、勇于探索的学习方式。基于这样的理念的指导，结合本课的教学内容，本课采用启发探究发现式教学法，以问题为载体，学生活动为主线，给学生留下思考的空间，为学生创造合作、探索、发现、创新的氛围，激发学生的学习兴趣，体现学生的主体地位，将传授知识和培养能力融为一体。
本节课通过创设情境、系列设问，学生体验 ( http: / / www.21cnjy.com )探索新知的氛围，学生从已有的线线垂直知识的经验，容易迁移得到线面垂直，体验成功的乐趣，产生继续探索新发现的欲望，老师再带领学生发现线面垂直的判定定理，学生分组合作探究，使学生亲身经历数学知识的发生、发展及解决的全过程，体会到发现数学，应用数学的乐趣。
直线与平面垂直的判定定理将原本判定直线与 ( http: / / www.21cnjy.com )平面垂直的问题，通过判定直线和直线的垂直来解决。从获得判定定理的思维来看，与获得直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的过程类似。虽然平面内直线有无数多条，但它却可以由两条相交直线完全确定，因此是否有“一条直线和平面内两条相交直线垂直，那么就有这条直线就与平面内任意直线垂直”就成为重点考察问题。当然，这时学生也许会问，两条平行直线也确定一个平面，为什么不能用“一条直线与两条平行直线垂直来判定呢？”实际上，由公理4知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直。所以，为了更好地培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知、操作确认的基础上，归纳概括出直线与平面垂直的判定定理，学生通过教科书上的“探究”试验：通过折叠三角形纸片，探究在什么条件下，就能使折痕与桌面垂直，通过动手实践，自己发现“当且仅当折痕AD是BC边上的高时……”，并对65页的思考进行交流，然后得到一般的结论（即判定定理），如果此时仍有学生心存质疑，这时引导学生通过操作模型来认识其本质原因：一条直线和平面内两条相交直线垂直，那么只要以AD为轴通过旋转和平移就有这条直线就与平面内任意直线垂直，其中必须保证有足够的时间进行探索活动。
例题教学中，第一题给出了一个判定直线和平面垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直时常用的命题：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系。第二题本题为课本第66页的探究题，本题思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。两道例题均体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.
学生对如何运用定义、定理解决问题也是 ( http: / / www.21cnjy.com )跃跃欲试，在展示学生答案之后，给全体学生一个畅所欲言的机会，互相评价，最终得到完善的答案，在集体交流中感受合作的巨大力量。这样做，对于不善于表现自己的学生可能会失去和大家交流的机会，可能有个别学生要面临一定的问题、困惑、挫折甚至失败，但通过组内合作交流和老师的指导，也可以克服。这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程，对于培养意志品质起到了重要作用。
《直线与平面垂直的判断》课例点评
这节课，从整体来看，教师本着“让学生充 ( http: / / www.21cnjy.com )分经历知识的形成、发展和应用过程” 的教学理念，将教材中静态的数学知识还原成动态的生成过程，尽可能地为学生提供一种思考、交流、探究的空间，为促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习而教。
从教材处理看，重点突出了判定定理的教与学 ( http: / / www.21cnjy.com )，对试验“从一条直线垂直于平面上两条相交直线” 到“这条直线可以垂直于平面内任意一条直线”这个难点的突破，师生经历了有意义的探究活动。利用旗杆在太阳下的影子的运动，以及折纸试验中平移和旋转，较好地帮助学生突破了教学难点，抓住了“平移”和“旋转”这个关键，使问题化难为易。另外对例题的处理有教师的创新之处，通过变式把原来例题中的“直四棱柱”改为“底面为正方形的直四棱柱”，设计了两个问题，为解决原例题搭了台阶，进行了铺垫，使问题能使大部分学生理解，体现了面向全体学生的教学思想。
从教学程序看，教师设置了问题串来引 ( http: / / www.21cnjy.com )领学生探究和思考，设计的问题都在学生的最近发展区，有开放度、有思维量、能激发学生学习的积极性。课初承接直线与平面的位置关系，给出生活中直线与平面垂直的例子，自然引入旗杆和它在地面上的影子的垂直问题，为直线与平面垂直的意义的出台做了很好的铺垫。后续，教师设计了一系列的精彩问题，对直线与平面垂直的定义进行了深入剖析。在折纸试验中，教师自然提出折痕与桌面是否垂直的问题，以对话的形式层层设疑，不断的激发和调动学生去自主探究、交流反馈，促使学生的认知和思维得到深化，为直线与平面垂直的判定定理的产生奠定了基础。通过这些主体参与的学习活动，使学生体验了研究数学问题的方法，体现了“做中学”的教学思想。
从教学效果看，教师营造了宽松的教学氛 ( http: / / www.21cnjy.com )围，让学生有更多的展示机会，每当学生展示后，教师都要对学生的成果及时使用激励性语言进行评价，以激发学生的内驱力。我们能够看得出教师给予学生的都是恰到好处的扶持帮助、牵线搭桥、评价鼓励，为学生能够顺利地完成本节课的探究任务注入了“润滑剂”，使课堂教学得以深入发展。习氛围浓厚，问题解决质量较高，练习有反馈，学后有反思，重点知识和技能得到巩固和强化，学习能力得到提升，体现了效率意识。
需要改进的是，问题解决过程中，教师的引导有过头的现象，“做中学”还有待深入研究。