高中数学新课标人教A版必修一第一章《1.3.1 函数的单调性》获奖教学设计+说课稿+教学设计说明
文档属性
| 名称 | 高中数学新课标人教A版必修一第一章《1.3.1 函数的单调性》获奖教学设计+说课稿+教学设计说明 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 83.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-12-25 16:47:56 | ||
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文档简介
《函数的单调性》教学设计
绵阳中学数学组 赵志明
一、教学目标：
1、理解增函数和减函数的定义；
2、会利用定义证明函数的单调性；
3、了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；
4、通过本节知识的学习，使学生理解数形结合等思想方法在分析解决问题中的作用,领会从特殊到一般,从直观到抽象,从感性到理性的数学思维方法。
二、重点和难点:
1、教学重点:函数单调性的概念和判断；
2、教学难点:利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性。
三、教学方法和手段:
1、教学方法:采用探索发现法和启发式讲解法；
2、教学手段:利用多媒体直观、形象的动态 ( http: / / www.21cnjy.com )功能，为函数单调性概念的理解提供直观、形象的认知基础;同时对函数在某一区间内的变化趋势进行动态演示，帮助学生理解。
四、教学过程：
（一）问题情境：
(1)近六届世界杯进球数如下表：
年份 进球数
1990 115
1994 137
1998 171
2002 161
2006 147
2010 145
画成折线图：
问题1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？
(2)绵阳市某天的气温变化曲线图：
问题2：随着时间的变化，温度的变化趋势是？（上升？下降？）
事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化
规律，对我们的生活很有帮助。观察满足函数关 ( http: / / www.21cnjy.com )系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性。
http://www.today.（板书课题）
（二）建构定义:
1、引入直观性定义：
观察下列函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）
问题3:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）
问题4:函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内
y随x的增大而减小；
总结到一般情况下：
在区间D内 在区间D内
图象
图象特征 从左到右，图象上升 从左到右，图象下降
数量特征 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
教师说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，右边的函数则称为区间I上单调递减函数。
2、严格数学语言定义：
多媒体展示：图象在区间D内呈上升趋势
当x的值增大时，函数值y也增大
区间内有两个点、，当时，有
问题5：若区间内有两点时，有，能否推出是单调递
增函数？
构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。
定义：一般地，设函数的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递增函数。
由学生类比得到减函数的定义：
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递减函数。
注:
(1)三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定；
(2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。
举例：在上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。
(三)定义应用:
例1、下图是定义在[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
3
分析：动画演示，帮助学生理解。
解：的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。
其中在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；
在[－2，1）， [3，5）上是增函数。
强调单调区间的写法：
问题6：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？
问题7：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？
多媒体展示构造反例说明：
（1）单调区间一般不能求并集；
（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。
例2、试判断函数 在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。
分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？
2：如何用定义法判定函数单调性？
3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）
证明：函数 在（0，＋∞）上是增函数
设 是(0,＋∞)上的任意两个值,且，
则
又，故，
则，即：
因此，函数 在（0，＋∞）上是增函数。
总结定义法证明函数单调性的步骤：
1、取值:设任意属于给定区间，且；
2、作差变形:变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；
3、定号:确定的正负号；
4、下结论:由定义得出函数的单调性。
思考题：
在上面证明中，你能理解的任意性的意义吗？
解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。
四、课堂练习：
（1）课本P65页1，
（2）证明:函数在上是减函数。（动画演示帮助理解）
课堂思考：
函数
单调区间
单调性
课后思考：
函数在R上单调递增，那么，的符号有什么规律？若单调递减，又该如何
五、回顾小结：
1、函数单调性的定义；
2、判定函数单调性：
（1）方法：图象法，定义法；
（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。
六、课后作业：
1、必做题：课后练习1，4，6，
2、选做题: 课后练习7
七、板书设计
函数单调性
一、函数单调性概念1、单调递增函数2、单调递减函数3、单调区间 (主板书) 二、例题及解答例1 例2 (副板书) 议练活动 (辅助性板书)
《函数的单调性》说课稿
绵阳中学数学组 赵志明
各位老师，你们好！我今天说 ( http: / / www.21cnjy.com )课的内容是全日制普通高中数学新课标人教A版必修一第一章第三节《函数的单调性》。以下我从六个方面来汇报我是如何研究教材、备课和设计教学过程的。
一、教材分析
1、教材内容
本节课是人教版必修一第一章《函数》第三节函数单调性的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题。
2、教材所处地位、作用
函数的单调性是对函数概念的延续和拓展， ( http: / / www.21cnjy.com )也是后续研究几类具体函数的单调性的基础；此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。在方法上，教学过程中还渗透了数形结合、类比化归等数学思想方法。它是高中数学中的核心知识之一，在函数教学中起着承上启下的作用。
二、学情分析
1、知识基础
高一学生已学习了函数的概念等知识，并且接触了一些特殊的单调函数。
2、认知水平与能力
高一学生已初步具有数形结合思维能力，能在教师的引导下解决问题。
3、任教班级学生特点
学生基础较扎实、思维较活跃，能较好地应用数形结合解决问题，但归纳转化的能力还有待进一步提高，观察讨论能力有待加强。
三、目标分析
（一）知识技能
1.让学生理解增函数和减函数的定义；
2.根据定义证明函数的单调性；
3.了解函数的单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间。
（二）过程与方法
1.通过证明函数的单调性的学习，培养学生的逻辑思维能力;
2.通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。
（三）情感态度与价值观
让学生积极参与观察、分析、探索等课 ( http: / / www.21cnjy.com )堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲。领会用从特殊到一般，再从一般到特殊的方法去观察分析事物。
由教学目标和学生的实际水平，我确定本节课的重、难点:
教材的重点、难点、解决策略
教学重点：函数单调性的概念与判断 。
教学难点：利用函数单调性定义或者函数图象判断简单函数的单调性。
解决策略：
本课在设计上采用了由特殊到 ( http: / / www.21cnjy.com )一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比化归的思想，层层深入，通过学生自主观察、讨论、探究得到单调性概念；同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点。
四、教学法分析
（一）教法：
1、从学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。
2、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的 ( http: / / www.21cnjy.com )主导作用。具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达。
3、应用多媒体，增大教学容量和直观性。
（二）学法：
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。
2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的认知飞跃。
五、过程分析
教学流程：（一）问题情景，引出新知（3’） （二）学生活动，归纳特征（5’）
（三）对比抽象，建构定义（7’） （四）定义讲解，理解概念（3’）
（五）数学应用，巩固提高（18’）（六）归纳讨论，引导小结（5’)
教学环节 教学过程 设计意图
(一) 引 入 新 课 近六届世界杯进球数变化折线图： 绵阳某天气温变化曲线图： 让学生观察两个图象从左到右变化趋势，指出图象这种在某区间内上升或下降的性质，正是今天要讲的函数的单调性。 1.通过学生熟悉的实际问题引入课题。为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。 2.提出问题，引出困惑。需要从新的高度来认识函数。对此提出进一步学习函数单调性的必要性。（板书课题）
教学环节 教学过程 设计意图
(二） 引入直观性定义 观察下列图象变化趋势 问题2：这两个函数图象的变化趋势？（上升？下降？）问题3：函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小； PPT展示讨论结果，给出单调递增函数和单调递减函数的直观性定义。 由特殊到一般的转化过程，培养了学生观察讨论的能力，而且为下一步给出严格的数学语言打下了铺垫。
(三)数学语言定义 难点：定义中“任意性”的提出。处理方式：反例说明。图象在区间I内呈上升趋势 当x的值增大时，函数值y也增大 区间内有两个点、，当时，有问题：若区间内有两点时，有，能否推出是单调递增函数？动画演示反例，由学生得出应为“任意的”。给出严格的数学语言（见PPT）；建议：只强调单调递增函数的关键词：同一区间、任意性、有大小等,鼓励学生自己得出单减函数的定义。同时让学生自主学习单调性和单调区间的概念。强调：函数单调性相对于定义域而言可以是局部性质。例如函数在上是单调增函数，但是在整个定义域上不是增（减）函数。 反例的构造，使学生完成从感性到理性的认识！ 培养学生类比化归能力。
教学环节 教学过程 设计意图
(四)定义应用 主要考查图象法和定义法判定单调性：例1．下图是定义在[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
教学中解决易错点和疑点：（1）单调区间一般不能合并；（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。处理方法：引导教学提出问题，构造反例，详见课件。例2．试判断函数 在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。难点在于：证明步骤的形成；关键在于：作差法的引入及论证技巧。处理：引导式提出问题：(1)判定单调性的方法？(2)如何利用定义判定单调性？(3)如何比较大小？提示：如何比较3和2的大小？从而引入作差法！鼓励学生自己写出过程；教师统一步骤：取值、作差、定号、下结论。思考：在证明中,你对“任意性”的意义有何认识？解答：有了“任意性”，在区间内不管取哪两个值，其证明过程和结论都是一样的！ 例1主要考查图象法。强调单调区间的写法。 例2主要考查定义法。让学生 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳证明单调性的一般步骤，使学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法，强化证题的规范性，从而提高学生的推理论证能力。通过解题，帮助学生初步构建解题模式。 提出思考，使学生体会定义中“任意性”的合理性和严谨性。
(五) 巩 固 练 习 课上练习： P65页 1、3 （多媒体展示图象） 主要考查图象法和定义法判定单调性
思考题： 1：简单含参（见PPT） 2：函数在R上单增，那么的符号有何规律？ 培养学生类比化归的能力；为导数判定单调性做铺垫。
教学环节 教学过程 设计意图
(六) 课 堂 小 结 师生互动，由学生得出总结，详见视频！1.函数的单调性定义。2.判定函数单调性：（1）方法：图象法，定义法；（2）定义法步骤： 取值，作差变形，定号，下结论。 通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明确的认识，能抓住重点进行课后复习。
(七)课下作业 必做：1、4、6 选做：7 重点练习图象法、定义法判定单调性同时，体现分层要求。
(八) 黑 板 设 计 函数单调性
一、函数单调性概念1.单调递增函数2.单调递减函数3.单调区间 (主板书) 二、例题及解答例1 例2 (副板书) 议练活动 (辅助性板书)
六、评价分析
1.设计体现了新课标的核心要求：发展学生的能力：
新课的引入－数形结合的能力；
直观性概念提出－由特殊到一般 －观察讨论的能力；
数学语言的提出－由感性到理性 －归纳总结的能力；
概念的应用－由一般到特殊－学以致用的能力。
2.目标达成:
概念的形成 －知识目标1 数学应用 －知识目标2
深化理解－能力目标 问题解决－情感目标
3.教学随想：
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。 ——华罗庚
以后教学中，要注意“数”和“形”的和谐统一。
《函数的单调性》教学设计说明
绵阳中学数学组 赵志明
一、教学内容分析:
函数的单调性是学生在掌握 ( http: / / www.21cnjy.com )了函数概念等基础知识后，学习函数的第一个性质，主要刻画了函数在某区间上图象的变化趋势（上升或下降），为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。而且在解决解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标的确定：
根据本课教材内容的特点、学生现有知识基 ( http: / / www.21cnjy.com )础、认知能力以及所任教班级学生的特点，本节课从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的理解；强调判断、证明函数单调性的方法的落实；突出逻辑思维能力、类比化归、数形结合能力的培养。
三、教学诊断分析:
在函数单调性这节课中，对于函数的单调性，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：
（1）“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难。困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述。即把某区间上“随着的增大，也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的，有”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的。
（2）利用定义证明函数的单调性过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )对学生在代数方面严格推理能力的要求对高一的学生同样比较困难。针对这两方面学生存在的困难，在教学中我所采用的教师启发引导，学生探究学习的教学方法，以及多媒体直观教学和反例的恰当应用，较好的解决了学生在这两方面的困惑。
此外，在教学过程中，单调性定义还需要注意以下易错点和疑点：
（1）单调性是函数的一个区间上的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，函数在不同的区间上可以有不同的单调性。在此需特别注意单调区间一般不能合并，在一般情况下，（端点处也满足单调性时）单调区间端点取舍对单调性没有影响。
（2）单调性相对于函数定义域可以是一个局部性质，
（3）定义中的取值必须是区间上任意的，不可由特殊的取值来代替。
四、教学方法以及手段的选择：
本节课是函数单调性的第一课时，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )采用教师启发引导、学生探究学习的教学方法。通过学生熟悉的现实问题创设情境，引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念。同时借助多媒体的直观演示，帮助学生更好的理解概念。在整个教学过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，成为课堂的主人；同时教师对范例进行恰当变形，并对学生进行点拨引导，发挥自身在教学中的主导地位。在完成本节课教学目标的前提下，更好地完成了新课标对课堂教学中学生主体和教师主导的双重要求，可以达到良好的教学效果。
五、教学过程设计说明：
为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：
（1）在创设情境阶段，让学生通过观察 ( http: / / www.21cnjy.com )世界杯进球折线图以及绵阳市某天的气温变化曲线图观察图像的变化趋势，完成学生对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性。并让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课。
（2）在探索概念阶段, 让学生经历从直 ( http: / / www.21cnjy.com )观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升，使得学生对概念的认识层层深入。
（3）在概念应用阶段，通过对定 ( http: / / www.21cnjy.com )义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力。
（4）针对于数学基础较好、思维较为活跃 ( http: / / www.21cnjy.com )的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更深层次的理解，同时也为在高三阶段中利用导函数研究函数的单调性奠定了良好的知识基础。
如果想在一节课中完成学生对函数单调性的真正 ( http: / / www.21cnjy.com )理解可能是不现实的。在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步加深对这个概念的理解。
绵阳中学数学组 赵志明
一、教学目标：
1、理解增函数和减函数的定义；
2、会利用定义证明函数的单调性；
3、了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；
4、通过本节知识的学习，使学生理解数形结合等思想方法在分析解决问题中的作用,领会从特殊到一般,从直观到抽象,从感性到理性的数学思维方法。
二、重点和难点:
1、教学重点:函数单调性的概念和判断；
2、教学难点:利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性。
三、教学方法和手段:
1、教学方法:采用探索发现法和启发式讲解法；
2、教学手段:利用多媒体直观、形象的动态 ( http: / / www.21cnjy.com )功能，为函数单调性概念的理解提供直观、形象的认知基础;同时对函数在某一区间内的变化趋势进行动态演示，帮助学生理解。
四、教学过程：
（一）问题情境：
(1)近六届世界杯进球数如下表：
年份 进球数
1990 115
1994 137
1998 171
2002 161
2006 147
2010 145
画成折线图：
问题1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？
(2)绵阳市某天的气温变化曲线图：
问题2：随着时间的变化，温度的变化趋势是？（上升？下降？）
事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化
规律，对我们的生活很有帮助。观察满足函数关 ( http: / / www.21cnjy.com )系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性。
http://www.today.（板书课题）
（二）建构定义:
1、引入直观性定义：
观察下列函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）
问题3:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）
问题4:函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内
y随x的增大而减小；
总结到一般情况下：
在区间D内 在区间D内
图象
图象特征 从左到右，图象上升 从左到右，图象下降
数量特征 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
教师说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，右边的函数则称为区间I上单调递减函数。
2、严格数学语言定义：
多媒体展示：图象在区间D内呈上升趋势
当x的值增大时，函数值y也增大
区间内有两个点、，当时，有
问题5：若区间内有两点时，有，能否推出是单调递
增函数？
构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。
定义：一般地，设函数的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递增函数。
由学生类比得到减函数的定义：
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递减函数。
注:
(1)三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定；
(2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。
举例：在上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。
(三)定义应用:
例1、下图是定义在[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
3
分析：动画演示，帮助学生理解。
解：的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。
其中在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；
在[－2，1）， [3，5）上是增函数。
强调单调区间的写法：
问题6：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？
问题7：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？
多媒体展示构造反例说明：
（1）单调区间一般不能求并集；
（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。
例2、试判断函数 在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。
分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？
2：如何用定义法判定函数单调性？
3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）
证明：函数 在（0，＋∞）上是增函数
设 是(0,＋∞)上的任意两个值,且，
则
又，故，
则，即：
因此，函数 在（0，＋∞）上是增函数。
总结定义法证明函数单调性的步骤：
1、取值:设任意属于给定区间，且；
2、作差变形:变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；
3、定号:确定的正负号；
4、下结论:由定义得出函数的单调性。
思考题：
在上面证明中，你能理解的任意性的意义吗？
解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。
四、课堂练习：
（1）课本P65页1，
（2）证明:函数在上是减函数。（动画演示帮助理解）
课堂思考：
函数
单调区间
单调性
课后思考：
函数在R上单调递增，那么，的符号有什么规律？若单调递减，又该如何
五、回顾小结：
1、函数单调性的定义；
2、判定函数单调性：
（1）方法：图象法，定义法；
（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。
六、课后作业：
1、必做题：课后练习1，4，6，
2、选做题: 课后练习7
七、板书设计
函数单调性
一、函数单调性概念1、单调递增函数2、单调递减函数3、单调区间 (主板书) 二、例题及解答例1 例2 (副板书) 议练活动 (辅助性板书)
《函数的单调性》说课稿
绵阳中学数学组 赵志明
各位老师，你们好！我今天说 ( http: / / www.21cnjy.com )课的内容是全日制普通高中数学新课标人教A版必修一第一章第三节《函数的单调性》。以下我从六个方面来汇报我是如何研究教材、备课和设计教学过程的。
一、教材分析
1、教材内容
本节课是人教版必修一第一章《函数》第三节函数单调性的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题。
2、教材所处地位、作用
函数的单调性是对函数概念的延续和拓展， ( http: / / www.21cnjy.com )也是后续研究几类具体函数的单调性的基础；此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。在方法上，教学过程中还渗透了数形结合、类比化归等数学思想方法。它是高中数学中的核心知识之一，在函数教学中起着承上启下的作用。
二、学情分析
1、知识基础
高一学生已学习了函数的概念等知识，并且接触了一些特殊的单调函数。
2、认知水平与能力
高一学生已初步具有数形结合思维能力，能在教师的引导下解决问题。
3、任教班级学生特点
学生基础较扎实、思维较活跃，能较好地应用数形结合解决问题，但归纳转化的能力还有待进一步提高，观察讨论能力有待加强。
三、目标分析
（一）知识技能
1.让学生理解增函数和减函数的定义；
2.根据定义证明函数的单调性；
3.了解函数的单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间。
（二）过程与方法
1.通过证明函数的单调性的学习，培养学生的逻辑思维能力;
2.通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。
（三）情感态度与价值观
让学生积极参与观察、分析、探索等课 ( http: / / www.21cnjy.com )堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲。领会用从特殊到一般，再从一般到特殊的方法去观察分析事物。
由教学目标和学生的实际水平，我确定本节课的重、难点:
教材的重点、难点、解决策略
教学重点：函数单调性的概念与判断 。
教学难点：利用函数单调性定义或者函数图象判断简单函数的单调性。
解决策略：
本课在设计上采用了由特殊到 ( http: / / www.21cnjy.com )一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比化归的思想，层层深入，通过学生自主观察、讨论、探究得到单调性概念；同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点。
四、教学法分析
（一）教法：
1、从学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。
2、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的 ( http: / / www.21cnjy.com )主导作用。具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达。
3、应用多媒体，增大教学容量和直观性。
（二）学法：
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。
2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的认知飞跃。
五、过程分析
教学流程：（一）问题情景，引出新知（3’） （二）学生活动，归纳特征（5’）
（三）对比抽象，建构定义（7’） （四）定义讲解，理解概念（3’）
（五）数学应用，巩固提高（18’）（六）归纳讨论，引导小结（5’)
教学环节 教学过程 设计意图
(一) 引 入 新 课 近六届世界杯进球数变化折线图： 绵阳某天气温变化曲线图： 让学生观察两个图象从左到右变化趋势，指出图象这种在某区间内上升或下降的性质，正是今天要讲的函数的单调性。 1.通过学生熟悉的实际问题引入课题。为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。 2.提出问题，引出困惑。需要从新的高度来认识函数。对此提出进一步学习函数单调性的必要性。（板书课题）
教学环节 教学过程 设计意图
(二） 引入直观性定义 观察下列图象变化趋势 问题2：这两个函数图象的变化趋势？（上升？下降？）问题3：函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小； PPT展示讨论结果，给出单调递增函数和单调递减函数的直观性定义。 由特殊到一般的转化过程，培养了学生观察讨论的能力，而且为下一步给出严格的数学语言打下了铺垫。
(三)数学语言定义 难点：定义中“任意性”的提出。处理方式：反例说明。图象在区间I内呈上升趋势 当x的值增大时，函数值y也增大 区间内有两个点、，当时，有问题：若区间内有两点时，有，能否推出是单调递增函数？动画演示反例，由学生得出应为“任意的”。给出严格的数学语言（见PPT）；建议：只强调单调递增函数的关键词：同一区间、任意性、有大小等,鼓励学生自己得出单减函数的定义。同时让学生自主学习单调性和单调区间的概念。强调：函数单调性相对于定义域而言可以是局部性质。例如函数在上是单调增函数，但是在整个定义域上不是增（减）函数。 反例的构造，使学生完成从感性到理性的认识！ 培养学生类比化归能力。
教学环节 教学过程 设计意图
(四)定义应用 主要考查图象法和定义法判定单调性：例1．下图是定义在[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
教学中解决易错点和疑点：（1）单调区间一般不能合并；（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。处理方法：引导教学提出问题，构造反例，详见课件。例2．试判断函数 在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。难点在于：证明步骤的形成；关键在于：作差法的引入及论证技巧。处理：引导式提出问题：(1)判定单调性的方法？(2)如何利用定义判定单调性？(3)如何比较大小？提示：如何比较3和2的大小？从而引入作差法！鼓励学生自己写出过程；教师统一步骤：取值、作差、定号、下结论。思考：在证明中,你对“任意性”的意义有何认识？解答：有了“任意性”，在区间内不管取哪两个值，其证明过程和结论都是一样的！ 例1主要考查图象法。强调单调区间的写法。 例2主要考查定义法。让学生 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳证明单调性的一般步骤，使学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法，强化证题的规范性，从而提高学生的推理论证能力。通过解题，帮助学生初步构建解题模式。 提出思考，使学生体会定义中“任意性”的合理性和严谨性。
(五) 巩 固 练 习 课上练习： P65页 1、3 （多媒体展示图象） 主要考查图象法和定义法判定单调性
思考题： 1：简单含参（见PPT） 2：函数在R上单增，那么的符号有何规律？ 培养学生类比化归的能力；为导数判定单调性做铺垫。
教学环节 教学过程 设计意图
(六) 课 堂 小 结 师生互动，由学生得出总结，详见视频！1.函数的单调性定义。2.判定函数单调性：（1）方法：图象法，定义法；（2）定义法步骤： 取值，作差变形，定号，下结论。 通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明确的认识，能抓住重点进行课后复习。
(七)课下作业 必做：1、4、6 选做：7 重点练习图象法、定义法判定单调性同时，体现分层要求。
(八) 黑 板 设 计 函数单调性
一、函数单调性概念1.单调递增函数2.单调递减函数3.单调区间 (主板书) 二、例题及解答例1 例2 (副板书) 议练活动 (辅助性板书)
六、评价分析
1.设计体现了新课标的核心要求：发展学生的能力：
新课的引入－数形结合的能力；
直观性概念提出－由特殊到一般 －观察讨论的能力；
数学语言的提出－由感性到理性 －归纳总结的能力；
概念的应用－由一般到特殊－学以致用的能力。
2.目标达成:
概念的形成 －知识目标1 数学应用 －知识目标2
深化理解－能力目标 问题解决－情感目标
3.教学随想：
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。 ——华罗庚
以后教学中，要注意“数”和“形”的和谐统一。
《函数的单调性》教学设计说明
绵阳中学数学组 赵志明
一、教学内容分析:
函数的单调性是学生在掌握 ( http: / / www.21cnjy.com )了函数概念等基础知识后，学习函数的第一个性质，主要刻画了函数在某区间上图象的变化趋势（上升或下降），为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。而且在解决解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标的确定：
根据本课教材内容的特点、学生现有知识基 ( http: / / www.21cnjy.com )础、认知能力以及所任教班级学生的特点，本节课从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的理解；强调判断、证明函数单调性的方法的落实；突出逻辑思维能力、类比化归、数形结合能力的培养。
三、教学诊断分析:
在函数单调性这节课中，对于函数的单调性，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：
（1）“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难。困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述。即把某区间上“随着的增大，也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的，有”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的。
（2）利用定义证明函数的单调性过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )对学生在代数方面严格推理能力的要求对高一的学生同样比较困难。针对这两方面学生存在的困难，在教学中我所采用的教师启发引导，学生探究学习的教学方法，以及多媒体直观教学和反例的恰当应用，较好的解决了学生在这两方面的困惑。
此外，在教学过程中，单调性定义还需要注意以下易错点和疑点：
（1）单调性是函数的一个区间上的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，函数在不同的区间上可以有不同的单调性。在此需特别注意单调区间一般不能合并，在一般情况下，（端点处也满足单调性时）单调区间端点取舍对单调性没有影响。
（2）单调性相对于函数定义域可以是一个局部性质，
（3）定义中的取值必须是区间上任意的，不可由特殊的取值来代替。
四、教学方法以及手段的选择：
本节课是函数单调性的第一课时，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )采用教师启发引导、学生探究学习的教学方法。通过学生熟悉的现实问题创设情境，引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念。同时借助多媒体的直观演示，帮助学生更好的理解概念。在整个教学过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，成为课堂的主人；同时教师对范例进行恰当变形，并对学生进行点拨引导，发挥自身在教学中的主导地位。在完成本节课教学目标的前提下，更好地完成了新课标对课堂教学中学生主体和教师主导的双重要求，可以达到良好的教学效果。
五、教学过程设计说明：
为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：
（1）在创设情境阶段，让学生通过观察 ( http: / / www.21cnjy.com )世界杯进球折线图以及绵阳市某天的气温变化曲线图观察图像的变化趋势，完成学生对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性。并让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课。
（2）在探索概念阶段, 让学生经历从直 ( http: / / www.21cnjy.com )观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升，使得学生对概念的认识层层深入。
（3）在概念应用阶段，通过对定 ( http: / / www.21cnjy.com )义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力。
（4）针对于数学基础较好、思维较为活跃 ( http: / / www.21cnjy.com )的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更深层次的理解，同时也为在高三阶段中利用导函数研究函数的单调性奠定了良好的知识基础。
如果想在一节课中完成学生对函数单调性的真正 ( http: / / www.21cnjy.com )理解可能是不现实的。在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步加深对这个概念的理解。