专题:相似三角形的几种基本模型
(1)如图:DE∥BC,则△ADE∽△ABC称为“平截型”的相似三角形.
“A”字型 “X”(或8)字型 “A” 字型
(2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜截型”的相似三角形.
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“母子” (双垂直)型
射影定理:
由_____________ ,得____________ __,即______________ _;
由_____________ ,得____________ __,即______________ _;
由_____________ ,得____________ __,即______________ _。
“母子” (双垂直)型 “旋转型”
(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形.
(5)一线“三等角”型
“K” 字(三垂直)型
(6)“半角”型
图1 :△ABC是等腰直角三角形,∠MAN=∠BAC,结论:△ABN∽△MAN∽△MCA;
图2 :△ADE是等边三角形, ∠DAE=∠BAC,结论:△ABD∽△CAE∽△CBA;
应用
1.如图3,在△ABC中, ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图4,在△ABC中,AB=AC, ( http: / / www.21cnjy.com )∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,那么在下列三角形中,与△ABC相似的三角形是 ( ) A.△DBE B.△AED和△BDC C.△ABD D.不存在
图3 图4 图5
3.如图5, □ABCD中, G是AB延长线上一点, DG交AC于E, 交BC于F, 则图中所有相似三角形有( )对。
A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对
4.如图6,在△ABC中,D,E分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是AB,AC上的点,在下列条件下:①∠AED=∠B;②AD∶AC=AE∶AB;③DE∶BC=AD∶AC.能判定△ADE与△ACB相似的是 ( )A.①② B.①③ C.①②③ D.①
5.如图7,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,则下列结论:①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;
③=.其中正确的有 ( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
6.如图8,添加一个条件:_____________________________,使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)
7.如图9,在四边形ABCD中,A ( http: / / www.21cnjy.com )B∥CD,∠B=∠C=90°,点E在BC边上,AB=3,CD=2,BC=7.若△ABE与△ECD相似,则CE=___________.
图6 图7 图8 图9
8.如图10,已知∠C=∠E,则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是 ( )
A.∠BAD=∠CAE B.∠B=∠D C.= D.=
9.如图11,在正方形ABCD中,E是BC的 ( http: / / www.21cnjy.com )中点,F是CD上一点,且CF=CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE∽△AEF,③AE⊥EF, ④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为 个。
图10 图11
10.如图12,在Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中,∠ACB 90°,CD⊥AB于点D,BD 2,AD 8,则CD ______,AC ______,BC ______.
11.如图13,在平面直角坐标系中,直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作矩形ABCD,使AD=.则点C的坐标为_______,点D的坐标为_______.
图12 图13 图14 图15
12.如图14,把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA,OC分别落在x轴、y轴上,连接OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在点A′的位置上.若OB=,,则点A′的坐标为________.
13.如图15,在边长为 9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则 AE的长为_____.
14.四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点,EF与BD相交于点M.
(1)求证:△EDM∽△FBM;
(2)若DB=9,求BM.
15.在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:△ABD∽△CBE.
16.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,AD,BE交于点F.求证:.
17.如图所示,Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
18.如图,已知矩形ABCD的边长AB ( http: / / www.21cnjy.com )=3 cm,BC=6 cm.某一时刻, 动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速 度向B点匀速运动;同时,动点N从D点 出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动,问:
(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?
(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
A
B
C
D
E
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
A
B
C
D
A
A
B
F
C
D
E
G