江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试卷（含解析）

江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．若向量，为单位向量，且，则( )
A. B. C. D.1
3．已知向量，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．若，，则用a，b表示( )
A. B. C. D.
5．若直线a与平面不垂直，那么在平面内与直线a垂直的直线( )
A.只有一条 B.无数条 C.是平面内的所有直线 D.不存在
6．若，则( )
A. B. C.1 D.3
7．《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
8．设函数，若恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.（1）
二、多项选择题
9．若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有( )
A. B.z的虚部为
C. D.z在复平面内对应的点在第二象限
10．若函数，则( )
A.函数的一个周期为 B.函数的图象关于y轴对称
C.函数在区间上单调递减 D.函数的最大值为2，最小值为0
11．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点P为的中点，动点Q在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是( )
A.
B.若点Q在线段上，则四面体的体积为定值
C.若，则点Q轨迹的长度为
D.若点E在直线上，则的最小值为
三、填空题
12．若，，，的方差为2，则，，，的方差为________.
13．若，，，则的最小值为________.
14．已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为________.
四、解答题
15．2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：
（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；
（2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
16．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求B的大小；
（2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长.
18．如图，在四棱锥中，，，，E为的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求点A到平面的距离.
19．若对于实数m，n，关于x的方程在函数的定义域D上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数m，n，对任意实数，x都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.
（1）若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；
（2）若为函数的“可消数对”，求m的值；
（3）若函数的定义域为R，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：
由图可知，，
故选：C.
2．答案：A
解析：因为向量，为单位向量，所以，，
因为，
所以
，
所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为，可得，，，
则是的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：D
解析：由对数运算性质可得，
故选：D.
5．答案：B
解析：直线a与平面不垂直，一定存在，使得成立，
因此在平面内，与b平行的所有直线都与直线a垂直，因此有无数条直线在平面内与直线a垂直.
故选：B
6．答案：B
解析：因为，所以，即，
所以，
故选：B.
7．答案：C
解析：因为，，，所以，
又为直棱柱，平面，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
又矩形外接球的直径为，
设的外接球的半径为R，又，，
所以，所以，
所以阳马的外接球的表面积.
故选：C
8．答案：C
解析：若，当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即，
当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即，
综上，，同理时，
又，
所以，，当且仅当时，取等号
故选：C.
9．答案：AC
解析：因为，所以，故A正确；
z的虚部为，故B错误；
，所以，故C正确；
z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误.
故选：AC
10．答案：ABC
解析：A选项，，
故的一个周期为，A正确；
B选项，定义域为R，
，
故函数的图象关于y轴对称，B正确；
C选项，当时，，在上单调递增，
故，
由于在上单调递减，
由同增异减，可知在区间上单调递减，C正确；
D选项，当时，，，
当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为0，
又的图象关于轴对称，的一个周期为，
故在R上的最大值为，最小值为0，D错误.
故选：ABC
11．答案：ABD
解析：
连接，，，由菱形可得，
再由直棱柱，可得底面，
又因为底面，所以，而，
所以平面，又因为平面，所以，故A正确；
取的中点为M，连接，，，又由点P为的中点，可得，而，所以，即四点M，P，B，共面，
由平面，平面，所以平面，
因为动点，所以动点Q到平面的距离不变，
又因为P，B，三点固定，则四面体的体积为定值，故B正确；
动点Q在侧面内（包含边界），过作，垂足为N，
由直棱柱，易证明平面，
而侧面，即有，
由菱形边长为2，，可得，
再由勾股定理得：，则点Q的轨迹是以N为圆心，以2为半径的圆弧，则由侧面正方形，可知，，可得，
所以点Q的轨迹的圆弧长为，故C错误；
利用直棱柱的所有棱长为2，可计算得：
，，，
再把这三角形与三角形展开成一个平面图，如下图：
先解三角形，由余弦定理得：，
利用平方关系得：，
所以，
再由余弦定理得：，
即，故的最小值为，故D正确；
故选：ABD.
12．答案：18
解析：方法一：因为，，，的方差为2
所以，，，的方差为；
方法二：设，，，的平均数为k，则，
显然，，，的平均数为：，
所以它们的方差为，
故答案为：18.
13．答案：
解析：因为，，，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为25.
故答案为：25
14．答案：
解析：
如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则
，，，，
，，，，
所以
，
所以，
令，，
当时，，
当或时，，
所以，
故答案为：
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：
（2）样本中年龄在区间的频率为，
年龄在区间的频率为，
则年龄在区间抽取人，分别记作a、b、c、d，
年龄在区间抽取人，分别记作A、B，
从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共15个，
其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共8个，所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
所以最小正周期为：；
（2）由（1）知，
所以函数图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的解析式为
，
因为，所以，
所以当时，；当时，，
所以的值域为：.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
所以，又，所以，
所以，即，又，
所以；
（2）因为的面积为，即，
即，则，，
因为，所以，
在中，
即，当且仅当，即，时取等号，所以，即的最小值为，此时，，
则，
所以，即.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）因为，，E为的中点，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）连接，因为，，E为的中点，
则，所以四边形为菱形，所以，
又，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（3）因为平面，平面，
所以，，，又，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角，即，
所以为等腰直角三角形，
所以，又，，，
所以，又平面，平面，所以，
所以，
设点A到平面的距离为d，则，即，
即，解得，即点A到平面的距离为.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）因为函数是“可消函数”，
所以，对，使得，
整理得，
当时，;当时，，解得，.
经检验，满足条件，所以所求函数的“可消数对”为.
（2）因为为函数的“可消数对”，
所以为函数的“可消数对”，
所以，对，都有，整理得，
所以，所以.
（3）因为存在，使得同时为函数的“可消点”与“可消点”，
所以，，
化简可得，，
因为，
则，
所以，
故的取值范围为.