人教版九年级数学上册24.2.1 点和圆的位置关系 同步测试（含解析）

人教版九年级数学上册
24.2.1 点和圆的位置关系 同步测试
在解决点和圆的位置关系问题时，首先要明确点与圆心的距离与圆的半径之间的关系。当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时，点在圆上；大于半径时，点在圆外。这是解题的基础。
解题时，要准确计算点到圆心的距离，并与半径进行比较。例如，利用勾股定理在直角坐标系中求点到圆心的距离。此外，要注意题目的细节，如点的坐标、圆的方程等。
掌握这些方法与技巧，将帮助你更好地理解和应用点与圆的位置关系。
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（　　）
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
2．已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
3．已知⊙O的直径为4，若，则点与⊙O的位置关系是（　　）
A．点在⊙O上 B．点在⊙O内 C．点在⊙O外 D．无法判断
4．已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，△ABC为锐角三角形，BC=6，∠A=45°，点O为△ABC的重心，D为BC中点，若固定边BC，使顶点A在△ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠A的大小不变，则线段OD的长度的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形 中， ， .若以点B为圆心，以4cm长为半径作OB，则下列选项中的各点在 外的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．如图， 中， 于点D，点P为 上的点， ，以点P为圆心 为半径画圆，下列说法错误的是（　　）
A．点A在 外 B．点B在 外
C．点C在 外 D．点D在 内
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（　　）
A．（－2，－1） B．（－1，0）
C．（－1，－1） D．（0，－1）
9．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法错误的是（　　）
A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外
10．如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么ABC的外接圆圆心是（　　）
点E B．点F C．点G D．点H
二、填空题
11．如图，和都是等边三角形，，，固定，把绕点C旋转任意角度，连接AD，BE，设AD，BE所在的直线交于点O，则在旋转过程中，始终有，且的大小保持不变，这时点O到直线AB的最大距离为　 　．
12．边长为2的正三角形的外接圆的半径等于　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为　 　．
14．⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1，最远点的距离为7，则⊙O的半径为　 　．
15．如图，O是的外心，且∠ABC=40°，∠ACB=70°，则　 　．
三、解答题
16．已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离OP=m，且m使关于x的方程 有实数根，求点P与⊙O的位置关系.
17．已知：如图，△ABC中， ， cm， cm，CM是中线，以C为圆心，以 cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？
18．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，求线段OM的最小值．
19．如图，在 中， ， 是线段 的中点，以 为直径作 ，试判断点 与 的位置关系．
20．如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C.
①用尺规作图法找出 所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；
②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R.
21．如图，AD为△ABC的外接圆O的直径，AE⊥BC于E．求证：∠BAD=∠EAC．
22．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，
（1）求证：△PCM为等边三角形；
（2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．
23．已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；
（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；
（2）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2，OF=3，求⊙O的直径．
24．如图所示，已知⊙O和直线L，过圆心O作OP⊥L，P为垂足，A，B，C为直线L上三个点，且PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，若⊙O的半径为5cm，OP=4cm，判断A，B，C三点与⊙O的位置关系．
1．答案:A
解析：解：在中，°，，，
．
，，
．
以点为圆心作，其半径长为，要使点恰在外，点在内，
的范围是，
故答案为：A．
分析：先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论。
2．答案:C
解析：解：∵圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），
∴
⊙O半径为4，
点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外
故答案为：C
分析：先利用勾股定理求出OP的长，再根据OP的长与半径的大小关系即可得到点P与⊙O的位置关系。
3．答案:C
解析：由⊙O的直径为4，可知圆的半径为r=2，又因为，可得4＞2，所以点P在⊙O外；
故答案为：C．
分析：先利用直径求出半径，再根据OP的长与半径的大小关系即可得到点P与⊙O的位置关系。
4．答案:D
解析：解：由点与圆的位置关系可知，的半径
故答案为：D.
分析：由点与圆的位置关系可知，当点在圆内的时候，点到圆心的距离小于半径，据此即可得出答案.
5．答案:D
解析：解：如图，作△ABC的外接圆，点E为圆心， AD⊥BC，
由题意知
∵
∴
∴
∴，由勾股定理知
∴
∵时， 最长，
∴最大值为
∵
∴
∴
故答案为：D.
分析：作 △ABC的外接圆，点E为圆心，BC固定，A在圆周上运动，则 固定不变，由圆周角定理 ， O为 △ABC的重心，重心为三条中线的三等分点，即 ，在Rt△BED中，由勾股定理知 ，即可得到 AD的长，当AD⊥BC时，AD最长，此时OD最大值为 ，由 ，可知 ，据此即可得出答案.
6．答案:D
解析：解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∵∠B＝90°，
∴BD 5，
∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4，
∴点D在⊙B外，点C在⊙B上，点A在⊙B内.
故答案为：D.
分析：连接BD，利用矩形的性质可证得∠B=90°，利用勾股定理求出BD的长；再利用点与圆的位置关系，可得答案.
7．答案:A
解析：解：∵ ，
∴BD=CD=6cm，∠ADC=90°，
∴ cm，
∵DP=2cm，
∴AP=6cm，
∴点A在 上，故A选项符合题意；
连接BP、CP，
∵ ，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP= ，
∴点B、C都在 外，故B、C选项都不符合题意；
∵DP=2<6，
∴点D在 内，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
分析：根据等腰三角形的性质可得BD=CD=6cm，由勾股定理可得AD，结合DP的值可得AP，据此判断A；连接BP、CP，则AD垂直平分BC，BP=CP，利用勾股定理可得CP，据此判断B、C；根据DP的值结合点与圆的位置关系可判断D.
8．答案:A
解析：解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：A
分析：根据△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，得出EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，从而得出答案。
9．答案:A
解析：解：∵圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，
故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意．
故答案为：A．
分析：根据点与圆的位置关系判断各选项即可。
10．答案:C
解析：解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，
则△ABC的外接圆圆心是点G，
故答案为：C．
分析：先作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，再求解即可。
11．答案:
解析：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC = BC， CD = CE，∠BAC =∠ABC =∠ACB =∠DCE=60°，
∴∠ACE＋∠DCE =∠ACE＋∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
则△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD = ∠CBE，
∴∠AOB = ∠ACB=60°，
作△ABC的外接圆⊙M，如图：
则点O在⊙M上，
作OF⊥AB于点F，
则当点O与点C重合时，点O到直线AB的距离最大，最大距离为线段CF的长，
在Bt△ACF中，
AF = BF = AB=3，
CF =AF =3，
即点O到直线AB的最大距离为3
故答案为：.
分析：根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠DCE=60°，结合角的和差关系得∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE，得到∠CAD=∠CBE，推出∠AOB=∠ACB=60°，作△ABC的外接圆⊙M，作OF⊥AB于点F，则当点O与点C重合时，点O到直线AB的距离最大，最大距离为线段CF的长，据此求解.
12．答案:
解析：如图所示，是正三角形，故O是的中心，，
∵正三角形的边长为2，OE⊥AB
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴（负值舍去）．
故答案为：．
分析：等边三角形的边长是其外接圆半径的倍，据此直接算出答案。
13．答案:（2，1）
解析：解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，即可得出答案。
14．答案:4
解析：解：∵⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1，最远点的距离为7，
∴⊙O的直径是8，
∴⊙O的半径是4．
故答案为：4
分析：根据点和圆的位置关系，再结合最近点的距离为1，最远点的距离为7，可得到⊙O的直径是8，即可得到⊙O的半径是4．
15．答案:140°
解析：解：∵∠ABC=40°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-40°-70°=70°，
∵O是△ABC的外心，
∴以O为圆心，OB为半径的圆是△ABC的外接圆，
∴∠BOC=2∠BAC=140°．
故答案为：140°．
分析：先利用三角形的内角和可得∠BAC=180°-40°-70°=70°，再利用圆周角的性质可得∠BOC=2∠BAC=140°．
16．答案:解：∵关于x的方程2x2 x+m 1=0有实数根，
∴△=( )2 4×2×(m 1) 0，解得m 2，
即OP 2，
∵⊙O的半径为2，
∴点P在⊙O上或⊙O内.
解析：先根据判别式的意义得到△=（2 ）2-4×2×（m-1）≥0，解得m≤2，则OP≤2，所以OP≤r，然后根据点与圆的位置关系进行判断.
17．答案:解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， （cm）；∵ cm cm，∴点A在⊙O内；∵ cm cm，∴点B在⊙C外；∵ ，CM斜边上的是中线，∴ cm∴M点在⊙C上．
解析：在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的长，由点到圆心的距离即可判断点A在⊙O内；点B在⊙C外；M点在⊙C上．
18．答案:解：设OP与O交于点N，连结MN，OQ，如图，
∵OP=4，ON=2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN= OQ= ×2=1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1.
解析：根据题意，易知MN为△POQ的中位线，可根据中位线定理求得MN的长，可知点M在以N为圆心，MN为半径的圆上， 当点M在ON上时，OM最小，求得此时OM的值即可。
19．答案:解：点 在 上．
理由如下：
连接 ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴
∴点 在⊙O上。
解析：连接OD，易证明OD是△ABC的中位线，根据中位线定理求得OD的长，再确定点D与圆的位置关系即可。
20．答案:解：①作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；②连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE= BC= ×8=4，在Rt△ABE中，AE= =3，设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2，即R2=42+（R-3）2，∴R= (cm)，答：圆片的半径R为 cm
解析：①分别作出AB和AC的垂直平分线，交点为O，即O为所求圆的圆心；②连接AO、BO，AO交BC于E，利用垂径定理求出BE的长，再在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，然后在Rt△BEO中求出圆的半径即可。
21．答案:证明：连接BD，
∵AD是△ABC的外接圆直径，
∴∠ABD=90°．
∴∠BAD+∠D=90°．
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°．
∴∠CAE+∠ACB=90°．
∵∠D=∠ACB，
∴∠BAD=∠EAC．
解析：因为AD是△ABC的外接圆直径，所以∠ABD=90°，根据∠BAD+∠D=90°，∠AEC=90°，可知∠D=∠ACB，所以∠BAD=∠CAE．
22．答案:（1）证明：作PH⊥CM于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∠BAC=∠BPC=60°，
∵CM∥BP，
∴∠BPC=∠PCM=60°，
∴△PCM为等边三角形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，
∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA，
∴∠BCP=∠ACM，
在△BCP和△ACM中，
，
∴△BCP≌△ACM（SAS），
∴PB=AM，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S梯形PBCM=（PB+CM）×PH=×（2+3）×=．
解析：（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM为等边三角形；
（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．
23．答案:（1）证明：连接AE交OD于点F，
∵AB为直径，
∴AE⊥BE，
∵BE∥OD，
∴AE⊥OD，
∵AD=AO，
∴AE平分∠CAB，
∴OD=2OF，
∵BE=2OF，
∴BE=OD；
（2）分别作弦BE∥OD，AH∥OF，连接AE，BH，AE与BH交于点P，
由（1）得：E为的中点，同理H为的中点，
∴∠HAE=∠HBE=45°，
∵AB为直径，
∴∠H=∠E=90°，
∴AP=AH，PE=BE，
∵点O为AB的中点，BE∥OD，
∴EB=OD=2，
∴PE=BE=2，
同理AH=OF=3，
∴AP=3，
在Rt△ABE中，AE=5，BE=2，
根据勾股定理得：AB=，
则圆的直径为．
解析：（1）连接AE交OD于点F，由AB为直径，利用直角所对的圆周角为直角得到AE与BE垂直，再由BE与OD平行，得到AE垂直于OD，再由AD=AO，利用三线合一得到AE为角平分线，且F为OD中点，利用中位线定理得到BE=2OF，等量代换即可得证；
（2）分别作弦BE∥OD，AH∥OF，连接AE，BH，AE与BH交于点P，由（1）得到E与H分别为弧BC与弧AC的中点，进而确定出∠HAE=∠HBE=45°，根据AB为直径，得到所对的圆周角为直角，确定出三角形APH与三角形BEP都为等腰直角三角形，由AP+PE求出AE的长，在直角三角形AEB中，利用勾股定理求出AB的长，即为圆的直径．
24．答案:解：PA=2cm，OA==＜5，A在⊙O内部；
当PB=3cm，OB==5=r，B点在⊙O上；
当PC=4cm，OC=＞5=r，点C是⊙O外．
解析：点与圆的位置关系由三种情况：
（1）当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；
（2）当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；
（3）当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．