数学人教A版（2019）必修第一册1.4.2充要条件 课件（共41张ppt）

(共41张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4.2　充要条件
学习目标
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．
(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
(难点)
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
我们初中学过的勾股定理内容是什么？
勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.
在勾股定理中：
“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件;
“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件.
充分
设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.
必要
在勾股定理的逆定理中：
“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件;
“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件.
必要
充分
勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形.
学习目标
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探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
勾股定理及其逆定理有何关系？
勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形.
“若p，则q”
“若q，则p”
1.充要条件
学习目标
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探究新知
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知识总结
课后作业
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，
则这两个三角形全等；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．


学习目标
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探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，
则这两个三角形全等；
(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．
(1) p:两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等
q:两个三角形全等


(4) p: A∪B是空集
q: A与B均是空集


学习目标
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知识总结
课后作业
充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p ，就记作p q .
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
学习目标
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知识总结
课后作业
思考：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假.
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；
p:两个三角形全等
q:两个三角形
的周长相等

p:一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不相等的实数根
q: ac<0

(2) 原命题真，逆命题假


(3) 原命题假，逆命题真
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
学习目标
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知识总结
课后作业
充分必要
充要
互为充要
学习目标
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知识总结
课后作业
下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
2. 充要条件的判断
学习目标
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知识总结
课后作业
(1)p是q的充分不必要条件
(2)p是q的充要条件
(3)p是q的必要不充分条件
(4)p是q的充要条件
总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
学习目标
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知识总结
课后作业
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件
答案　B　
解析　|x|＝|y| x＝y或x＝－y，x＝y |x|＝|y|.
2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______．
解析　因为p q，q r，所以p r，所以p是r的充要条件．
答案　充要条件
练一练
学习目标
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知识总结
课后作业
已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切.
（1）充分性( p q):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.
若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，
连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线
l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共
点P.所以直线l与 O 相切.
（2）必要性(q p):若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
2. 充要条件的证明
学习目标
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课后作业
总结：充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，
q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
学习目标
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知识总结
课后作业
例1.已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明　先证必要性：因为a＋b＝1，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0.所以必要性成立．
再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
典例剖析
学习目标
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课后作业
1.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
练一练
学习目标
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课后作业
学习目标
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知识总结
课后作业
设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解　设A＝{x|x>1}， B＝{x|x>a}.
因为p是q的充分不必要条件，
所以A B，∴a＜1.
3. 充要条件的应用
学习目标
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探究新知
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知识总结
课后作业
由p是q的充分不必要条件，可知A B，
典例剖析
学习目标
课堂导入
探究新知
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知识总结
课后作业
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
练一练
学习目标
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知识总结
课后作业
题型一　充要条件的判断　
条件p与结论q的关系与充分、必要条件
条件p与结论q的关系 结论
p q，但q p p是q的充分不必要条件
q p，但p q p是q的必要不充分条件
p q且q p，即p q p与q互为充要条件
p q ，且q p p是q的既不充分也不必要条件
典例剖析
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
[解析]　在A、D中，p q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p，
∴p不是q的充要条件，故选A、D.
[答案]　AD
典例剖析
学习目标
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知识总结
课后作业
[方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤
概念归纳
学习目标
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课后作业
1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p＝3 A＝{－1,3,2} B A A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝B B A {2,3} {2，－1，p} p＝3，所以是必要条件．故选C.
答案：C　
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课后作业
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形；
(3)p：A∩B＝A，q： UB UA.
解：(1)∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．
(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，
∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件．
(3)∵A∩B＝A A B UB UA，∴p是q的充要条件．
学习目标
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课后作业
题型二　利用充分、必要条件求参数　
从集合角度看充分、必要条件
如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表．
记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 A B B A A＝B
图示
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
典例剖析
学习目标
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探究新知
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知识总结
课后作业
[例2]　已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？
(3)当a为何值时，p是q的充要条件？
学习目标
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课后作业
[方法技巧]
由条件关系求参数的值(范围)的步骤
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．　　
概念归纳
学习目标
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课后作业
1．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？
解：若q是p的充分不必要条件，即q p，但p q，亦即p是q的必要不充分条件，同典例2(2)．
所以当a＞2时，q是p的充分不必要条件．
2．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？
解：若q是p的必要不充分条件，即p q，但q p，亦即p是q的充分不必要条件，同典例2(1)．
所以当1≤a＜2时，q是p的必要不充分条件．
练一练
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课后作业
题型三　充要条件的证明与探究　
[例3]　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
典例剖析
学习目标
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探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
[方法技巧]
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.　　
概念归纳
学习目标
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探究新知
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知识总结
课后作业
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；
(2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集．
p是q的充要条件
p不是q的充要条件
p不是q的充要条件
课本练习
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
①“两个三角形的三边相等”
③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”
②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”
④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”
两个三角形全等
①“两个三角形的三边成比例”
③“两个三角形的其中两角相等”
②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”
两个三角形相似
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
分析：设p： AC=BD.
充分性: AC=BD 梯形ABCD为等腰梯形.
AB=CD
q：梯形ABCD为等腰梯形.
必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD.
学习目标
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探究新知
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知识总结
课后作业
习题1.2
复习巩固
1.举例说明：
（1）p是q的充分不必要条件；（2） p 是q 的必要不充分条件；（3） p 是q 的充要条件.
(1)p :0(2)p :0(3)p :x>1, q:x-1>0.
学习目标
课堂导入
探究新知
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知识总结
课后作业
2.在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）：
（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；
（2） p ：一元二次方程ax +bx+c=0有实数根， q :b -4ac≥0（a≠0）；
（3） p ：a∈P∩Q， q ：a∈P；
（4） p ：a∈P∪Q， q ：a∈P；
（5） p ：x>y， q ：x >y .
p是q的必要不充分条件.
p是q的充要条件.
p是q的充分不必要条件.
p是q的必要不充分条件.
p是q的既不充分又不必要条件.
3.判断下列命题的真假：
（1）点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径是点 P 在⊙O 外的充要条件；
（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；
（3）A∪B=A是B A的必要不充分条件；
（4）x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件.
解：（1）真.（2）假.（3）假.（4）真.
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
1．充要条件的概念
既有p q，又有q p，就记作p q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系
(1)p是q的充分不必要条件
(2)p是q的必要不充分条件
(3)p是q的充分必要条件
(4)p是q的既不充分又不必要条件
课堂小结
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性，B A证明了充分性；“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性，B A证明了必要性．
作业 完成书本综合运用练习题
4.已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，
（1）如果 A B，那么p 是q的什么条件？
（2）如果B A，那么p是q的什么条件？
（3）如果A=B，那么p是q的什么条件？
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
5.设a，b，c∈R.证明：a +b +c =ab+ac+bc 的充要条件是a=b=c.
6.设 a，b，c 分别是△ABC 的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC 为直角三角形，那么 a +b =c （勾股定理）.反过来，如果 a +b =c ，那么△ABC 为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a +b =c .
请利用边长 a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.
感谢观看