湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系 教学设计

一元二次方程根与系数的关系
【学习目标】
1掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用定理求一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力。
3通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
【学习重、难点】
重点: 根与系数关系及运用
难点：定理的发现及运用。
【知识链接】1.一元二次方程的一般形式是什么？
2. 一元二次方程的求根公式是什么？
3.如何判断一元二次方程根的情况？
教学设想：提这个问题目的既是复习了前面学习过的知识，也为本节课学习做个铺垫。
【自主学习】
1．思考：解方程并观察x1＋x2, x1·x2与系数的关系
方 程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2－5x＋6=0
2x2＋5x＋3＝0
3x2－2x－2＝0

2.问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？
猜一猜：请根据以上的观察猜想：方程的两根与系数a,b,c之间的关系：
4.验证结论：
设为方程的两个实数根，证明上述结论
①当满足条件___________时，方程的两根是，
②两根之和
两根之积
5.结论：一元二次方程根与系数关系：
如果为方程的两个实数根，那么________,_________.
教学设想：由实验——猜想——验证——得出结论的思维过程，既符合认知规律，也是一种研究性学习的示范，一种创造性能力的培养。为了让每一个学生都亲身参与其中，真正感受由“实践——认识——再实践——再认识” 这一客观认知世界的基本规律。
师生共同小结：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2=
由此得出一元二次方程的根与系数的关系，并向学生介绍这个关系是由被称为欧洲“代数学之父”的16世纪法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
【合作探究】
探究主题一：不解一元二次方程，求方程两根的和与积.
例1．根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2－3x＋1＝0; x1＋x2＝ _________, x1x2＝__________.
（2）3x2＋5x＝0; x1＋x2＝ _________,x1x2＝__________ .
（3）5x2＋x－2＝0; x1＋x2＝ _________,x1x2＝__________. ）
变式训练1.设x1、x2是一元二次方程x2＋3x－4＝0的两个根，不解方程，求x1＋x2＋2x1x2的值．
探究主题二：利用根与系数的关系求方程的另一根及字母系数的值.
例2.已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值.
变式训练2.已知关于x的方程3x2-19x+m=0的一个根为1，求它的另一个根及m的值.
探究主题三：利用根与系数的关系求有关代数式的值.
你能将a2＋b2表达成含有a＋b和ab的代数式吗？a2＋b2＝_________________________
＋呢？ ＋＝_________________________________________________
变式训练：
1. 若方程x2－3x－1＝0的两根为x1、x2，则＋的值为（ ）
A．3 B．－3 C． D．－
若一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根为a、b,求a2+b2.
教学设想：设计这一题既是为了巩固知识，也是让学生体会成功的喜悦，学生根据刚刚得到的规律很容易得出正确答案，从而激发学习的兴趣，继续探究。
【归纳反思】（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
【作业布置】课本48页习题2.4 A组1、2、3 ；B组4题。