2023-2024学年北京市怀柔区高二（下）期末数学（PDF版，含答案）

2024北京怀柔高二（下）期末
数 学
2024．7
注意事项：
1.考生要认真填写姓名和考号.
2.本试卷分第一部分（选择题)和第二部分(非选择题)，共 150 分，考试时间 120 分钟.
3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置,在试卷上作答无效.第一部分必须用 2B 铅笔作答；
第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.
4.考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回.
第一部分 选择题 （共 40 分）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.)
1.集合 A= x x + 2 0 ，B= x - 3 x 1 ，则 A B=
A. x - 2 x 1 B. x x -3 C. - 2，-1 ， 0 D. - 2，-1， 0， 1
1
2.等比数列 ，-1，2，-4，……则数列的第七项为
2
A.32 B.-32 C. 64 D. -64
2
在二项式（x ）63. 的展开式中，常数项为
x
A.20 B.-40 C.80 D. -160

4.已知函数 f (x) = sin x +1，则 f ( )的值为
3
1 1 3 3
A. - B. C. D.
2 2 2 2
1
5.某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为 ，则四道题中恰好做对 2 道的概
4
率是
9 27 27 81
A. B. C. D.
256 256 128 256
6．2021 年 7 月 20 日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决
定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施。假设生男、生女的概率相等，如果一对夫
妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为
1 1 1 1
A. B. C. D.
8 4 3 2
7.已知函数 y = f (x)的图象如图所示，则下列各式中正确的是
第1页/共12页
A． f (1) f (3) - f (2) f (3) B． f (3) f (1) f (3) - f (2)
C． f (3) f (3) - f (2) f (1) D． f (1) f (3) f (3) - f (2)
8.若 an 是公比为 q 的等比数列，其前 n项和为 S n , a1 0 ，则“ 0 q 1 ”是“ S n 单调递增”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
b
9.设函数 f (x) = + x 2ea x ，曲线 y = f (x) 在点（1，f (1)）处的切线方程为 y = 2e，则 a，b 值分别为 x
A. a = e , b =1 B. a = 2, b = e C. a =1, b =1 D. a =1, b = e
x
10.若函数 f (x) = xe ax ，则根据下列说法选出正确答案是
① 当 a (- ，- e -2 时， f (x) 在 x R 上单调递增；
2
② 当a ( e ,0)时， f (x) 有两个极值点；
③ 当 a (- ，- e -2 时， f (x) 没有最小值.
A. ①② B. ②③ C.① ③ D. ①② ③
第二部分 非选择题 (共 110 分）
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.）
11.已知等差数列 an 的前 n项和 S n ，若 a1 = 7 , a5 = 1，则 an = ________ ；前 n项和 S n 的最大值为
______.
12.若随机变量 X 的分布列为（如表），则a = ；
X 1 2 3
若随机变量 Y=2X+1，则随机变量 Y 的数学期望 E(Y)=__________．（用数字作
答） 1 1
P a
6 3
若（1+ x）6 = a + a 2 3 4 5 613. 0 1x + a2 x + a3 x + a4 x + a5 x + a6 x ，
则 a0 + a2 + a4 + a6 =______．32
14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个
局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形。例如图（1）是一个边长为 1 的正三角形，将每边 3 等
分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第
三个图形的边数________；第 n个图形的周长________.
15. 已知数列 a 2n 的通项公式 an = n 2an，则下列各项说法正确的是________.( 填写所有正确选项的序
第2页/共12页
号)
1 1 1 1 1
①当 a = 1时，数列 的前 n 项和Tn = (1+ ) ；
an 2 2 n +1 n + 2
②若数列 an 是单调递增数列，则 a ( , 1 ；
③ a R ,数列 an 的前 n 项积既有最大值又有最小值；
④若 n N ，an -4恒成立，则a (- ， 2 .
三、解答题（本题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16（本小题 13 分）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了 200 名学生进行调查，获取
数据如下：
满意度 满意 不满意 弃权
性别
男生 80 30 10
女生 50 20 10
（I） 用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从上表中不满意的 50 人中抽取 5 人征求整改建议，再从这 5 个人中随机抽取 2 人
参与食堂的整改监督，则抽取的 2 人中女生的人数 X,求 X的分布列和期望.
17.（本小题 13 分）已知等差数列 an 的前 n项和为 S n ，且 a4 =10, S3 =18 .
（Ⅰ）求等差数列 an 的通项公式；
（Ⅱ）若各项均为正数的数列 b nn 其前 项和为Tn ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个
作为已知，设 c = a + b nn n n ，求数列 bn 的通项公式和数列 cn 的前 项和M n ．
条件①：Tn = 3
n 1；
b
条件②：b1 = 2 ,
n+1 = 3 ；
bn
2
条件③： n 2且n Z , 都有bn = bn 1 bn+1成立, b1 = 2,b3 = S3 .
1
18.（本小题 14 分）设函数 f (x) = x3 + x 2 3x +1，
3
（Ⅰ）求曲线 y= f (x) 在点（0， f (0) ）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[ 4, 3]上的最大值与最小值；
（Ⅲ）若方程 f (x) = b在 x R 有三个不同的根，求 b 的取值范围.
第3页/共12页
19.（本小题 15 分）为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，
得到以下数据（单位：小时）：
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6, 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
（I）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在 8-10（含 8 小时）小时，估计该校高三学生睡眠
时间在最佳范围的概率；
（Ⅱ）现从该校的男生和女生中分别随机抽取 1 人， X 表示这 2 个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求 X
的分布列和数学期望 E(X ) ；
2
（Ⅲ）原女生组睡眠时间的样本方差为 s0 ，若女生组中增加一个睡眠时间为 6.5 小时的女生，并记新得到
s2 2 s2的女生组睡眠时间的样本方差为 1 ．写出 s0 与 1 的大小关系．（结论不要求证明）
20（本小题 15 分）已知函数 f (x) = a ln x + x 2 ，其中 a R
（I） 求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）当曲线 y = f (x) 在点（1，f (1)）处的切线与直线 y=-x 垂直时，若函数 y = f (x)的图象总在函数
g(x) = bx图象的上方，则 b 的取值范围.
21（本小题 15 分）已知数集 A = a1,a2 , ,a （1 a1 a2 an ,n 2）,若对任意的 i, jn
a j
（1 i j n ），a 与 两数中至少有一个属于 A . ia j ，则称数集 A 具有性质 P
ai
（Ⅰ）分别判断数集 B= 1, 2, 4 与数集 C= 1,3,5,7 是否具有性质 P ，并说明理由；
（Ⅱ）若数集 A 具有性质 P.
（i）当 n = 3时，证明 a1 =1，且 a1,a2 ,a3 成等比数列；
1 1 1
（ii）证明：a1 + a2 + + an = an ( + + ) .
a1 a2 an
第4页/共12页
参考答案
一、 选择题：本题共 10 道小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
答案 A A D B C D C A B D
二、填空题：本题共 5 道小题，每小题 5 分，共 25 分.
题号 （11） （12） （13） （14） （15）
1 16 4
答案 an = 2n + 9
n-1
；16 ； 32 48；3 （ ） ① ④
2 3 3
注：1.（11）（12）作对一个给 3 分，作对二个给 5 分.
2.(14)第一空 2 分，第二空 3 分.
3.(15)选对一个给 3 分，选对二个给 5 分，多选不给分.
三、解答题：本题共 6 道小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
1 6.【解析】
（I）设“对食堂饭菜质量满意”为事件 A. ------1 分
在 200 人中对饭菜质量满意的有 130 人 ------ 3 分
13 ------ 5 分
p(A) =
20
5 1
（Ⅱ）分层抽取比例 = =
50 10
1 1
男生抽取人30 = 3 ，女生抽取 20 = 2 人 ------ 7 分
10 10
抽取的 2 人中女生人数 X的所有可能为 0，1，2 ---------8 分
C 2C 0 3
P(X = 0) = 3 2 = -----9 分
C 2 10
5
1 1 -------10 分 C3C2 6 3P(X =1) = = =
C 2 10 55
C 0 2
--------11 分
P(X = 2) = 3
C2 1=
C 2 105
X X=0 X=1 X=2
P 3 3 1
10 5 10
3 3 1 4
随机变量 X 的数学期望 E(X ) = 0 +1 + 2 =
10 5 10 5 ------13 分
第5页/共12页
17.【解析】
（Ⅰ）已知等差数列 an 中，满足 a4 =10, S3 =18 ．
-------- 4 分
a4 = a1 + 3d =10 a1 = 4
解得
S3 = 3a1 + 3d =18 d = 2
an = 2n + 2
---------- 5 分
（Ⅱ） 选条件①
T = 3nn 1 .
n =1时，b1= 3 1= 2
当 n 2时，b =T T = (3n 1) (3n 1 1) = 2 3n 1n n n 1
当 n =1时，b1 = 2 3
0 = 2
bn = 2 3
n 1 ---------- 8 分
b 2 3n
n+1 = = 3
n 1
bn 2 3
bn 是以2为首项， 3为公比的等比数列. --------- 9 分
cn = an + bn = (2n + 2) + 2 3
n 1 的前 n项和M n
M n = 4 + 2 3
0 + 6 + 2 3+ 8+ 2 32 + .........+（2n + 2）+ 2 3n=1
= (4 + 6 + 8+ ........+ 2n + 2) + 2(30 + 3+ 32 + 33 + ....+ 3n-1)
4 +（2n + 2) n 1 3n
= + 2 = n(n + 3) + 3n 1 - - - - - - - - 13分
2 1 3
（Ⅱ） 选条件②
b
b1 = 2 ,
n+1 = 3 bn 是以2为首项，3为公比的等比数列。 ------- 7 分
bn
bn = 2 3
n 1
--------- 9 分
cn = an + bn =（2n + 2）+ 2 3
n 1的前 n项和M n
M 0n = 4 + 2 3 + 6 + 2 3 + 8 + 2 3
2 + .........+（2n + 2）+ 2 3n=1
= (4 + 6 + 8 + ........+ 2n + 2) + 2(30 + 3 + 32 + 33 + ....+ 3n-1 )
4 +（2n + 2) n 1 3n
= + 2 = n(n + 3) + 3n 1 - - - - - -13分
2 1 3
（Ⅱ） 选条件③
2 n 2且n Z , 都有bn = bn 1 bn+1成立, bn 为等比数列。 --------- 6 分
b1 = 2 b1 = 2 ,b3 = S3
b
2
3 = s3 = b1q =18
第6页/共12页
q 2 = 9, q = 3(舍负)
----------8 分
bn 是以2为首项，3为公比的等比数列。
b = 2 3n 1n ------ 9 分
cn = an + bn =（2n + 2）+ 2 3
n 1的前 n项和M
n
M = 4 + 2 30
n + 6 + 2 3 + 8 + 2 3
2 + .........+（2n + 2）+ 2 3n=1
= (4 + 6 + 8 + ........+ 2n + 2) + 2(30 + 3 + 32 + 33 + ....+ 3n-1 )
4 +（2n + 2) n 1 3n
= + 2 = n(n + 3) + 3n 1 - - - - - - - 13分
2 1 3
18.【解析】
（Ⅰ） x = 0 代入得到 f (0) =1 即切点坐标（0，1） ------1 分
1
由 3 2 ，得 f (x) = x 2f (x) = x + x 3x +1 + 2x 3．
3
f ( 0) =—3
-------3 分
所以曲线 y= f (x) 在点（0， f (x) ）处的切线方程为 y = 3x +1
------ 5 分
（Ⅱ）x [ 4,3]
1
由 f (x) = x3 + x 2 3x +1，得 f (x) = x 2 + 2x 3．
3
令 2f (x) = 0，得 x + 2x 3 = 0 ，解得 x = 3 或 x =1 -------- 6 分
f (x) 与 f (x)在区间 [ 4,3]上的情况如下：
f (x) 在区间[ 4, 3]上，
x -4 （-4，-3） -3 （-3，1） 1 （1，3） 3
f (x) + 0 0 +
23 2f (x) ↗ 10 ↘ ↗ 10 3 3
2
当 x=-3 或 x=3 时, f (x) 最大值为 10；当 x=1 时， f (x) 最小值为
3 。 -- 10 分
（没画表格，写清调递区间 8 分，求对最值 10 分）
（Ⅲ）若方程 f (x) = b在 x R 上有三个不同的根
可得 y= f (x) 的图象与直线 y= b 有 3 个交点． -----11 分
第7页/共12页
由（II）可知
x （- ，-3） -3 （-3，1） 1 （1，+ ）
f (x) + 0 0 +
2
f (x) ↗ 10 ↘ ↗
3
当 x →+ 时，f (x) →+
当 x → - 时，f (x) → -
2
所以b ( ,10)时，方程 f (x) = b有三个不同根． -----14 分
3
18. （本小题 15 分）
为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据
（单位：小时）：
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6, 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
（I）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在 8-10（含 8 小时）小时，估计该校高三学生睡眠
时间在最佳范围的概率；
（Ⅱ）现从该校的男生和女生中分别随机抽取 1 人， X 表示这 2 个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求 X
的分布列和数学期望 E(X ) ；
2
（Ⅲ）原女生组睡眠时间的样本方差为 s0 ，若女生组中增加一个睡眠时间为 6.5 小时的女生，并记新得到
2 2 2
的女生组睡眠时间的样本方差为 s1 ．写出 s0 与 s1 的大小关系．（结论不要求证明）
【解析】
（I）设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件 A -------1 分
在随机抽取的 17 人中有 4 人的睡眠时间在最佳范围 -------2 分
4 -------4 分
所以 P(A) =
17
（Ⅱ）由题意，“从男生中随机选出 1 人,其睡眠时间在最佳范围”为事件 B,
3 1 ------5 分
P(B) = =
9 3
“从女生中随机选出 1 人，其睡眠时间在最佳范围”为事件 C,
1
P(C) = ． -------6 分
8
由条件可知， X 的所有可能取值为 0，1，2． -------7 分
第8页/共12页
1 1 7
P(X = 0) = (1 )(1 ) = ；
3 8 12
1 1 1 1 9 3
P(X =1) = (1 ) + (1 ) = = ；
3 8 3 8 24 8
1 1 1 ---------10 分
P(X = 2) = = .
3 8 24
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
7 3 1
P
12 8 24
14 9 1 11
E(X ) = 0 +1 + 2 =
24 24 24 24 --------12 分
s2（Ⅲ） 0 s
2
1 ． --------15 分
20（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = a ln x + x 2 ，其中 a R
（I） 求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）当曲线 y = f (x) 在点（1，f (1)）处的切线与直线 y=-x 垂直时，若函数 y = f (x)的图象总在函数
g(x) = bx图象的上方，则 b 的取值范围.
【解析】
（ 2I）因为 f (x) = a ln x + x ，所以函数 f (x) 的定义域为 x (0,+ )
------1 分
a 2x 2 + a
f (x) = + 2x =
x x ------2 分
a 2x 2 + a
当 a 0 时， f (x) = + 2x = 0对任意的 x (0,+ )恒成立，
x x
所以函数 f (x) 的增区间为（0，+ ），无减区间； -------4 分
a 2x 2 + a 2a
当 a 0 时，令 f (x) = + 2x = = 0，得 x = 舍负，
x x 2
- 2a - 2a - 2a
x （0，- ） - （ ，+ ）
2 2 2
f ( x) — 0 +
f ( x) 极小值
- 2a - 2a
所以 f (x) 的减区间为（0，- ），增区间为（ ，+ ）.
2 2
综上所述，当 a 0 时，函数 f (x) 的增区间为（0，+ ），无减区间；
第9页/共12页
- 2a - 2a
当 a 0 时， f (x) 的单调减区间为（0，- ），单调增区间为（ ，+ ）. -----7 分
2 2
（Ⅱ）解法一：
a
f (x) = + 2x
x
又 曲线 y = f (x) 在点（1，f (1)）的切线与直线 y=-x 垂直
f (1) = a + 2 =1 即a = 1 -------8 分
若函数 y = f (x)的图象总在 g(x) = bx图象的上方，即 x(0,+ ), f (x) bx恒成立。
x （0，+ ），x2 ln x bx 恒成立
x2 ln x
即 x (0,+ ),b 恒成立 -------10 分
x
x 2 ln x
令 k(x) = ，则b k(x)min
x
1
(2x ）x (x 2 ln x) 2
k (x) = x
x 1+ ln x
=
x 2 x 2
令 (x) = x 2 1+ ln x x (0,+ )
1
则 （x）= 2x + 0恒成立
x
则 (x) 在 (0,+ )上单调递增． ---13 分
又 (1) = 0，
所以当 0 x 1时， (x) 0 ，即 k (x) 0 所以函数 k(x) 在（0，1）上单调递减
当 x 1时， (x) 0，即 k (x) 0，所以函数 k(x) 在（1，+ ）上单调递增 ------14 分
所以 k(x)min = k(1) =1
故b 1，即实数b ( ,1) . ------15 分
（Ⅱ）解法二：
a
f (x) = + 2x
x
又 曲线 y = f (x) 在点（1，f (1)）的切线与直线 y=-x 垂直
f (1) = a + 2 =1 即a = 1 ------8 分
y = bx是一条过原点的直线
假设直线 y = bx 与曲线 y = f (x)相切，设切点坐标（x0 , y0）
x 2
0
ln x0 = bx0
则 1 所以 x
2
0 + ln x 1= 0 2x0 = b
0 ------9 分

x0
第10页/共12页
1
令 k(x) = x 2 + ln x 1 则 k (x) = 2x + 0 恒成立
x
k(x) = x 2 + ln x 1在 x (0,+ )单调递增
k(1) = 0
所以 x 20 + ln x0 1= 0有且仅有一解 x0 =1，即切点坐标（1，1）
当直线 y = bx 与曲线 y = f (x)相切时，切点（1，1）
-------13 分
此时直线 y = bx的斜率为 1，即b =1
所以当函数 y = f (x)的图象总在 g(x) = bx图象的上方时
b 1,即b (- ,1)
-------15 分
21（本小题 15 分）已知数集 A = a1,a2 , ,an （1 a1 a2 an ,n 2）,若对任意的 i, j
a j
（1 i j n ），a a 与 两数中至少有一个属于 Ai j ，则称数集 A 具有性质 P.
ai
（Ⅰ）分别判断数集 B= 1, 2, 4 与数集 C= 1,3,5,7 是否具有性质 P ，并说明理由；
（Ⅱ）若数集 A 具有性质 P.
（i）当 n = 3时，证明 a1 =1，且 a1,a2 ,a3 成等比数列；
1 1 1
（ii）证明：a1 + a2 + + an = a . n ( + + )
a1 a2 an
【解析】
（Ⅰ）数集 1, 2, 4 具有性质 P ， 1,3,5,7 不具有性质 P ，理由如下：
4 4
因为1 1，1 2 ，1 4 ， 2 2， ， 都属于数集 1, 2, 4 ，所以 1, 2, 4 具有性质 P ；
2 4
5
因为3 5 ， 都不属于数集 1,3,5,7 ，所以 1,3,5,7 不具有性质 P . ------3 分
3
（Ⅱ）当 n = 3时， A = a ,a 1 a a a1 2 ,a3 ， 1 2 3 .
因为1 a2 a3 ，所以 a2a3 a3， a3a3 a3 ，所以 a2a A3 与 a3a3 都不属于 ，
a3 a因此 A , 3 =1 A ,所以a1 =1 . ------------5 分
a2 a3
a a a
因为1 3 a ，且 3 A，所以 3 ， 3 = a2
a2 a2 a2
a a
又 2
a
= a ，所以 2 = 3 = a ，所以 a1,a2 ,a3 成等比数列. ----------8 分 2 2
a1 a1 a2
a
（Ⅲ）因为 A = a1,a2 , ,an 具有性质 P ，所以 ana
n
n ， 至少有一个属于 A ，
an
第11页/共12页
a
因为1 a1 a2 an ，所以 anan an ， anan A，因此
n =1 A , a1 =1 . ---9 分
an
因为1= a1 a2 an ，所以 akan an （ k = 2,3, 4, n），故当 k 2 时，akan A
a
, n A ,（ k = 2,3, 4, n） -------11 分
ak
a a a a a
又因为 n n n n n
a1 a2 a3 an 1 an
an a a a所以 a = ， a = n ， ，n n 1 a2 =
n ， a = n 1
a1 a2 an 1 an -------13 分
a
所以 a + a n
an an an ，
n n 1 + + a2 + a1 = + + + +
a1 a2 an 1 an
1 1 1
所以 a1 + a2 + + an = an ( + + )
a1 a2 an --------15 分
第12页/共12页