2023-2024学年北京顺义区高二(下)期末数学（PDF版含答案）

2024北京顺义高二(下)期末
数 学
1.本试卷总分 150 分，考试时间 120 分钟.
考
2.本试卷共 5 页，分为选择题(40 分)和非选择题(110 分)两个部分.
生
3.试卷所有答案必须填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用
须
2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.
知
4.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留.
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题(本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项.)
(1)函数 f ( x) = ln x 1的零点是
1 1
(A) e (B) (C)10 (D)
e 10
C3(2) 5 3! 的值为
(A) 10 (B) 30 (C) 60 (D) 180
(3)下列函数中，在R 上为减函数的是
1 x
(A) f (x) = cos x (B) f (x) = ( )
2
1
(C) f (x) = x2 (D) f (x) =
x
(4) 已知等差数列{ }前 n项和为S ， 1 + 2 = 0， 3 + 4 = 8，则S6的值为
(A)16 (B) 20 (C) 24 (D) 28
(5) 函数 y = sin 2x 的导数为

(A) y = cos 2x

(B) y = cos 2x (C) y = 2cos 2x (D) y = 2cos 2x
(6) 下列函数中，图象不存在与 x轴平行的切线的是
(A) y = x3 1 (B) y = x (C) y = sin x (D) y = cos x
(7) 2016 年 11 月 30 日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名
录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的
“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着
季节，每一句诗歌包含了这个季节中的 6 个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从
24 个节气中选择 2 个节气，且 2 个节气不在同一个季节，那么不同的选法有
(A)60 种 (B) 216 种 (C)276 种 (D)432 种
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(8) 若奇函数 f (x)的定义域为 ( ,0) (0,+ ) , f (x)在 ( , 0)上的图象如图所示，则不等式
f (x) f (x) 0的解集是
(A) ( , 1) (0,1)
(B) ( 1,0) (1,+ )
(C) ( , 1) (1,+ )
(D) ( 1,0) (0,1)
(9) 碳 14 是透过宇宙射线撞击空气中的氮 14 原子所产生.碳 14 原子经过 β 衰变转变为氮原子. 由于其半衰
期达 5730 年，经常用于考古年代鉴定.半衰期(Half-life)是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要
的时间.对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳 14 含量约为原来的 1%，则这块化石距今约为(参考数据：
lg 2 0.3010 )
(A)40 万年 (B)20 万年 (C)4 万年 (D)2 万年
(10)对于数列 an ，若存在M 0 ，使得对任意 n N * ，有 a2 a1 + a3 a2 + + an+1 an M ，则称
an 为“有界变差数列”．给出以下四个结论：
① 若等差数列 an 为“有界变差数列”，则 an 的公差 d 等于 0；
② 若各项均为正数的等比数列 an 为“有界变差数列”，则其公比 q 的取值范围是 (0,1)；
1
③ 若数列 xn 是“有界变差数列”， yn 满足 y = ，则 xn yn n 是“有界变差数列”；
2n
x
④ 若数列 xn 是“有界变差数列”， yn 满足 yn = 2n ，则
n
是“有界变差数列”；
yn
其中所有正确结论的个数是
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题(本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡上.)
(11)函数 f (x) = lg(1 x) x +3的定义域为 .
1
(12)已知各项均为正数的等比数列{ }， 3 = ， 5 = 2，则 7 = ; 2
{ }前 n项积 的最小值为 ．
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(13)已知随机变量 X 取所有值1， 2， ， n 是等可能的，且 E(X ) = 2 ，则n =___________.
(14)顺义石门农副产品批发市场是北京市重要的农产品集散地之一，该市场每天要对进场销售的蔬菜进行无
公害检测.来自 A，B，C 三个产区的土豆在某天的进场数量(单位：吨)如下表：
产区 A B C
进场数量 30 50 20
工作人员用分层随机抽样的方法从进场销售的土豆中共抽取10 个进行了农药残留量检测(忽略土豆的个体
大小差异)，再从这10 个土豆中随机抽取 2 个进行重金属残留量检测，则来自 A 产区的土豆被抽到的概率
为____________.
3x x3, x a，
(15)已知函数 f (x) =
2x, x a.
①当 a = 0时，函数 f ( x)的最小值是 ；
②若函数 f ( x)无最小值，则实数 a的取值范围是 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(16)(本小题 13 分)
n
已知 1 2x + 的展开式中，各项的系数之和为 729.
x
(Ⅰ)求n的值；
(Ⅱ)判断展开式中是否存在含 x2 的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由.
(17)(本小题 13 分)
已知各项均为正数的等比数列{ }满足 1=8， 2 4 = 4，设 = log2 .
(Ⅰ)证明：数列{ }是等差数列；
(Ⅱ)记数列{ }的前 n项和为S ，求S 的最大值．
(18)(本小题 14 分)
已知函数 f (x)=x3+ax2+1.
(Ⅰ)求 f (x) 在点(0，f (0))处的切线方程；
3
(Ⅱ)当 a 0 时，求f (x)在区间[0,1]上的最大值.
2
(19)(本小题 15 分)
某学校有 A，B 两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用
餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了100 名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经
过整理得到如下数据：
用餐时段 早餐 午餐 晚餐
用餐地点
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A 餐厅 35 人 60 人 30 人
B 餐厅 48 人 40 人 60 人
不在学校用餐 17 人 0 人 10 人
用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定.
(Ⅰ)若该学校共有 2000 名学生，估计每日在 A 餐厅用早餐的人数；
(Ⅱ)从该学校每日用午餐的学生中随机抽取3人，设 X 表示这3人中在 A 餐厅用餐的人数，求 X 的分布列
和数学期望 E(X ) ；
(Ⅲ)一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10 人，发现在 B 餐厅用晚餐的有 2 人.根据抽查
结果，能否认为在 B 餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由．
(20)(本小题 15 分)
2 x
已知函数 f (x) = ax e ，设 h(x) = f (x) .
e
(Ⅰ)若 a = ，求 h(x) 的单调区间；
2
(Ⅱ)若 f (x) 在区间 (0,+ )上存在极小值 m，
(ⅰ) 求 a 的取值范围；
(ⅱ)证明：m a．
(21)(本小题 15 分)
若数列 An：a1,a2 , ,an (n 2) 满足 ak+1 ak 1,0, 1 (k =1,2, ,n 1) ，则称 An 为 E 数列．
记 S(An ) = a1 + a2 + + an .
(Ⅰ)若 E 数列 A5 满足 a1 = 1,a5 =1，直接写出 S (A5 )所能取到的最大值和最小值；
(Ⅱ)若 E 数列 An 满足 n = 2024, a1 = 1, an =1，求证：存在 k 1,2, , 2024 ，使得 ak = 0 ；
(Ⅲ)若 E 数列 An (n 2) 满足 a1 = an =1，求 S (An ) 所能取到的最大值(结果用含n 的代数式表示).
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参考答案
一、选择题
ACBCD BBACC
二、填空题
8
11. 3,1) 12.8,
1
13. 3 14. 15. -2（, - ，-1）
64 15
三、解答题
(16)(本小题 13 分)
n
1
解：(Ⅰ) 2x + 的展开式中，各项的系数之和为 729，
x
n
令 x =1，得3 = 729， --------------------------4 分
解得 n = 6 . --------------------------6 分
6
1 r 6 r 12x + r 6 r r 6 2r(Ⅱ) 的展开式的通项为C6 (2x) ( ) = 2 C6x ， --------8 分
x x
2
若存在含 x 的项，则6 2r = 2 ， --------10 分
解得 r = 2 . --------12 分
2 4 2 2 2
所以展开式中存在含 x 的项，此项为 2 C6 x = 240x . --------13 分
(17)(本小题 13 分)
解：(Ⅰ)设等比数列{ }的公比为 q,
∵数列{ }是等比数列，且 > 0,
∴ 2
2
4 = 3 = 4, -------------------------------------------------------------------1 分
∴ 3 = 2 , --------------------------------------------------------------------2 分
∴ 3=
2
1 q =2 . (或 2 4 = 1
3
1 =
2 41 = 4) --------------2 分
又∵ 1=8,
1
∴q = , -------------------------------------------------------------------------------4 分
2
∴ = 1 q
n 1 = 24 n , --------------------------------------------------------5 分
∴ = log2 = 4 , -----------------------------------------------------------------6 分
∴ +1 = [4 (n + 1)] (4 n) ----------------------------------------------7 分
= 1 是常数.
∴数列{ }是等差数列， 首项 1 = 3 ,公差d = 1. -----------------------------8 分
(Ⅱ)(法一)
1+ 1 7∵ = =
2 + , -------------------------------------------------10 分
2 2 2
7
∴对称轴n = , ----------------------------------------------------------------------------11 分
2
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∴n = 3 或 4时， 最大，最大值为 6.---------------------------------------------------------13 分
(法二) ∵ = 4 ,
∴数列{ }是递减数列. -------------------------------------------------------------9 分
又由 = 4 ，可知： 当 < 4时， > 0 ;
当 = 4时， = 0 ;
当 > 4时， < 0 ;
-------------------------------------------------------------11 分
∴ S1 S2 S3 = S4 S5 .
∴n = 3 或 4时， 最大 . --------------------------------------------12 分
∵ S3 = b1 + b2 + b3 = 3+ 2+1= 6，
∴ 的最大值为 6 . --------------------------------------------13 分
(18)(本小题 14 分)
解:(Ⅰ)
∵ f (x) = x
3 + ax2 +1, x R,
∴ f '(x) = 3x
2 + 2ax .
————————————————————2 分
f (0) =1, f '(0) = 0 .
————————————————————————4 分
∴ f (x)在(0，f (0))处的切线方程为 y 1= 0(x 0) ，即 y =1
.———--————5 分
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f '(x) = 3x + 2ax .
2
令 f '(x) = 0 ，可得 x = 0 或 x = a
3 .
3 2
a 0, 0 a 1.
2 3
—————————————————————7 分
当 x 变化时， f (x)与 f (x) 的变化情况如下表所示.
x 0 2 2 2 1
(0, a) a ( a,1)
3 3 3
f (x) - 0 +
f (x) 1
单调递减 极小值 单调递增 a+2
——————————————9 分
2 2
∴ f (x) 在 (0, a)上单调递减，在 ( a,1)上单调递增.
3 3
3 1 ———————————10 分
a 0, a + 2 2
2 2
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3
当 a + 2 1，即 a 1时， f (x)max = f (0) =1
2 . ———————————12 分
当 a + 2 1，即 1 a 0时， f (x)max = f (1) = a + 2 . ——————————14 分
3
所以当 a 1时， f (x) 的最大值为 1；当 1 a 0时， f (x) 的最大值为 a + 2. .
2
19.(本小题 15 分)
35
解：(Ⅰ)样本中学生在 A 餐厅用早餐的频率为 ，据此估计该学校 2000 名学生每日在 A 餐厅用早餐的人
100
35
数为： 2000 = 700 . -------------------4 分
100
60 3
(Ⅱ)从该学校用午餐的学生中随机抽取1人，由样本的频率估计该学生在 A 餐厅用餐的概率 p = = . --
100 5
-------------------------------------------------5 分
3
X 的可能取值为0,1,2,3 , X ～（3 ， ）.-----------------------------------6 分
5
3 8
P(X = 0) =C03 (1 )
3 = ；
5 125
1 3 3 36P(X =1) = C3 (1 )
2 = ；
5 5 125
3 3 54
P(X = 2) =C23 ( )
2 (1 )1 = ；
5 5 125
3 3 3 27P(X = 3) = C ( ) = . ----------------------------------------10 分3
5 125
X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 8 36 54 27
125 125 125 125
3 9
E(X ) = np = 3 = . -------------------------------------------12 分
5 5
(Ⅲ)此问 3 分，结论和理由不唯一，阅卷时结合给出的理由酌情给分.
设事件 E 为“随机抽查10 人，有 2 人在 B 餐厅用晚餐”. 假设在 B 餐厅用晚餐的人数较上个星期没有变化，
60 2
由样本估计从在学校用晚餐的学生中随机抽查 1 人，此人在 B 餐厅用晚餐的概率为 = .由上个星期的
90 3
2 2 20
样本数据估计 P(E) = C 210 ( )
2 (1 )8 = 0.003，
3 3 6561
示例答案 1:可以认为发生了变化.理由如下：
事件 E 是一个小概率事件，一般认为小概率事件在一次随机试验中不易发生，如果发生了，可以认为在 B
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餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化；
示例答案 2：无法确定有没有变化.理由如下：
P(E) 比较小，一般不容易发生，随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，事件 E 也是有可能发生
的，所以无法确定有没有变化；
示例答案 3：无法确定有没有变化.理由如下：
抽查的人数少，样本容量太小，可能抽到的大部分是在 A 餐厅用餐的学生(抽到了极端情形)，所以抽查结
果可能无法准确反映在两个餐厅的实际用餐人数.
-------------------------------------------15 分
(20)(本小题 15 分)
e
解：(Ⅰ)若 a = ，
2
e
则 f (x) = x2 ex ， f '(x) = ex ex
2 . ——————————————1 分
所以 h(x) = f '(x) = ex e
x
，则 h '(x) = e e
x
.
——————————————2 分
x
令 h '(x) 0，即 e e 0 ，解得 x 1;
令 h '(x) 0
x
，即 e e 0 ，解得 x 1 .
所以 h(x) 在 ( ,1)上单调递增，在 (1,+ )上单调递减 .
——————————4 分
(Ⅱ)(ⅰ)法一：因为 h(x) = 2ax e
x (x (0,+ )) ，所以 h '(x) = 2a e
x
.
易知 h '(x) 在 (0,+ )上单调递减， h '(0) = 2a 1
.——————————————6 分
1
当 2a 1 0即 a 时， h '(x) h (0) 0， h(x) 在 (0,+ )上单调递减，
2
因为 h(0) = 1 0，所以 h(x) = f '(x) 0，所以 f (x) 在 (0,+ )上单调递减，
所以 f (x) 无极值.
—————————————————————————————7 分
1
当 2a 1 0即 a 时，
2
由 h '(x) = 0
x
可得 e = 2a, x = ln(2a) .
当 x 变化时， h (x)与 h(x) 的变化情况如下表所示.
x (0,ln(2a)) ln(2a) (ln(2a),+∞)
h’(x) + 0
h(x) 单调递增 极大值 单调递减
∴ h(x) 在 (0, ln(2a)) 上单调递增，在 (ln(2a),+ )上单调递减.
当 x = ln(2a) 时， h(x) 有极大值
h(ln(2a)) = 2a ln(2a) 2a = 2a(ln(2a) 1)
.—————————————————8 分
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1 e
①当 h(ln(2a)) 0 即 ln(2a) 1, a 时，
2 2
h(x) = f '(x) 0， f (x) 在 (0,+ )上单调递减.
所以 f (x) 无极值.
—————————————————————————————9 分
e
②当 h(ln(2a)) 0 即 ln(2a) 1, a 时，
2
因为 h(0) = 1 0，所以 h(x) 在 (0, ln(2a)) 上有且只有一个零点，记为 x0 .
当 x 变化时， h(x)即f (x)与 f (x) 的变化情况如下表所示.
x (0,x0) x0 (x0,ln(2a))
f (x) 0 +
f (x) 单调递减 极小值 单调递增
e
所以，当 a 时， f (x) 有极小值.
2 —————————————————————11 分
(ⅰ)法二：
ex
h(x) = f '(x) = 2ax ex = x(2a )((x (0,+ )) .
x
ex ex x ex ex (1 x)
令g(x) = 2a (x 0)，则g'(x) = = . x x2 x2 ———————————6分
当 x (0,1)时， g '(x) 0, g(x) 在 (0,1) 上单调递增；
当 x (1,+ ) 时， g '(x) 0, g(x) 在 (1,+ )上单调递减，
g(x)max = g(1) = 2a e.———————————————————————7分
e ex
①当 2a e 0 ，即 a 时，2a 0,
2 x
h(x) = f '(x) 0, f (x) 在 (0,+ )上单调递减，
所以 f (x) 无极值.
—————————————————————————————8分
e
②当 2a e 0 ，即 a 时，
2
ex ex ex
当 x 0 且 x → 0
x
时， e →1, →+ , → , 2a → .
x x x
又 g(1) = 2a e 0， x0 (0,1),使 g(x0 ) = 0 . h(x0 ) = 0 ———————9分
所以当 x (0, x0 )时， h(x) 0,即 f '(x) 0, f (x)在 (0,+ )上单调递减.
当 x (x h(x) 0, f '(x) 0, f (x) (0,+ )0 ,1) 时， 即 在 上单调递增.
当 x = x0 时， f (x) 有极小值.
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e
f (x) 有极小值时， a的取值范围是 ( ,+ ) .
2 ———————————————11分
x
(ⅱ) m = f (x0 ) = ax
2 0
0 e .
x
h(x0 ) = 0, 2ax0 e
0 = 0 . ———————————————————————12 分
m = ax 20 2ax0 = a(x0 1)
2 a
.
—————————————————————13 分
h(0) = 1 0, h(1) = 2a e 0,
e
x0 (0,1) , a
2 ———————————————14 分 .
m a. ———————————————————————————————15 分
(21)(本小题 15 分)
解答：(Ⅰ) S (A5 )所能取到的最大值是 3，所能取到的最小值是-3； —————4 分
(Ⅱ)用反证法，假设任意 k 1,2, , 2024 ， ak 0 . —————5 分
设 al 是 An 中最后一个小于零的项(由 a1 = 1,n = 2024可知这样的项存在)，并且由 an =1可知 l n .
由 a1 = 1， ak+1 ak 1,0, 1 (k =1,2, ,n 1) 可知 An 是整数列，
从而 al 1, al+1 1，所以 al+1 al 2 ，与 ak+1 ak 1,0, 1 (k =1,2, ,n 1) 矛盾.
所以假设不成立，从而存在 k 1,2, , 2024 ，使得 ak = 0 ； ————— 9 分
(Ⅲ)令 ck = ak+1 ak ( k =1, 2, , n 1) ，则 ck 1,0,1 .
因为 a2 = a1 + c1 ， a3 = a1 + c1 + c2 ,…, an = a1 + c1 + c2 + + cn 1，
所以 S(An ) = na1 + (n 1)c1 + (n 2)c2 + (n 3)c3 + + cn 1 = n + (n 1)c1 + (n 2)c2 + (n 3)c3 + + cn 1
根据 a1 = an 可知 c1 + c2 + + c cn 1 = 0 ，注意到 k 1,0,1 ( k =1, 2, , n 1) ，并且 ck 中 1 与-1 的个数相
等.
当 n = 2k +1(k N * ) 时，
S(An ) = n + (n 1)c1 + (n 2)c2 + (n 3)c3 + + cn 1
= 2k +1+ 2kc1 + (2k 1)c2 + + 2c2k 1 + c2k
1 3 3 1 1
= 2k +1+ k c1 + k c2 + + k c2k 1 + k c2k + k + (c1 + c2 + + c2k 1 + c2k )
2 2 2 2 2
1 3 1 1
= 2k +1+ k (c1 c2k ) + k (c2 c2k 1 ) + + (ck ck+1 ) + k + 0 等号取
2 2 2 2
1 3 1
2k +1+ k 2 + k 2 + + 2
2 2 2
= 2k +1+ 2k 1+ 2k 3+ +1
2
2 n +1
= (k +1) = ,
2
到当且仅当 c1 = c2 = = ck =1, ck+1 = ck+2 = = c2k = 1 .
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当 n = 2k (k N * ) 时，
S(An ) = n + (n 1)c1 + (n 2)c2 + (n 3)c3 + + cn 1
= 2k + (2k 1)c1 + (2k 2)c2 + + 2c2k 2 + c2k 1
= 2k + (k 1)c1 + (k 2)c2 + + (2 k )c2k 2 + (1 k )c2k 1 + k (c1 + c2 + + c2k 2 + c2k 1 )
= 2k + (k 1)(c1 c2k 1 ) + (k 2)(c2 c2k 2 ) + +1 (ck 1 ck+1 ) + 0 ck + k 0
2k + (k 1) 2 + (k 2) 2 + +1 2
2 n +1
= k (k +1) = ,
2
等号取到当且仅当 c1 = c2 = = ck 1 =1, ck+1 = ck+2 = = c2k = 1,ck = 0 .
2 n +1 k (k +1) , n = 2k,
综上所述， S (An ) 所能取到的最大值是 S (A ) = = n max
2
2
(k +1) , n = 2k +1.
—————15 分
(注：第三问，奇数偶数结果各占 1 分，证明过程各占 2 分.)
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