8.2 立体图形的直观图
学习目标
1、了解斜二测画法的概念并掌握用斜二测画法画直观图的步骤；
2、会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；
3、会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图。
思维导图
概念知识
一、空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。
二、立体图形的直观图的画法
1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
（1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；
平行于轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于，且使（或）它们确定的平面表示水平面；
第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段，在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段；
第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半，
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4、直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”:(1)坐标轴的夹角改变；(2)与轴平行的线段长度变为原来的一半；(3)图形改变。
“三不变”:(1)平行性不改变；(2)与轴和轴平行的线段长度不改变；(3)相对位置不改变。
三、直观图与原图多边形面积之间的关系
若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有，
举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为，
则其面积为，
在直观图中，，，
在直观图中，
题型一 斜二测画法的概念辨析
【例1】（23-24高一·全国·课时练习）用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
【答案】C
【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，
所以在直观图中∠A′等于45°或135°.故选：C
【变式1-1】（23-24高一·全国·课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【答案】B
【解析】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；
对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；
对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，
还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；
对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.
故选：B.
【变式1-2】（22-23高一下·重庆·月考）对于用“斜二侧画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．梯形的直观图可能不是梯形
C．正方形的直观图为平行四边形
D．正三角形的直观图一定是等腰三角形
【答案】C
【解析】根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，可知：
选项A，如图1，因为等腰三角形顶点在上，画直观图时，顶点在轴上，
如图2，故，所以选项A错误；
选项B，梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行，两腰不平行，
在直观图中仍然不平行，且长度不变，所以梯形的直观图仍是梯形，所以B错误；
选项C，因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，
故正方形的直观图为平行四边形，所以选项C正确；
选项D，如下图3，因为等边三角形顶点在上，
画直观图时，顶点在轴上，如图4，故，所以选项D错误；
故选：C．
【变式1-3】（22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）（多选）用斜二测画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．平行线段在直观图仍是平行线段 B．相等的角在直观图仍是相等的角
C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形
【答案】AD
【解析】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；
对于B，对于平面多边形，不妨以正方形为例，
其直观图直角变为或，B错误；
对于C，根据斜二测画法知，平行于轴的线段长度不变，
平行于轴的线段长度变为原来的一半，故菱形的直观图不是菱形，C错误；
对于D，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，
且长度不相等，故一个梯形的直观图仍然是梯形，D正确；故选：AD
题型二 画平面图形的直观图
【例2】（23-24高一·全国·课后作业）图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，
且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，
原图形如图所示：
此平面图形可能是C.故选：C.
【变式2-1】（22-23高一下·福建三明·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为，
所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为，故选：A．
【变式2-2】（22-23高一下·四川成都·阶段练习）如图，是的直观图，则是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】因为线段与轴相交，设交点为，如图（1）所示，
在直角坐标系中，点在轴上，
可得，点C在y轴上，可得，
如图（2）所示，因此点必在线段的延长线上，所以，
所以是钝角三角形．故选：C．
【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出直角梯形的直观图如下图所示：
A选项满足要求.故选：A.
【变式2-4】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先作出一个正三角形，然后以所在直线为轴，
以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
画对应的轴，使夹角为，
画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，
与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，
然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，
故选：A
题型三 由直观图还原几何图形
【例3】（23-24高一下·全国·练习）如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】根据题意，，所以是直角三角形.故选：B.
【变式3-1】（22-23高一下·湖北·期末）如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，则其表示的原平面图形是（ ）
A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形
【答案】B
【解析】因为直观图中，，
所以原图形中，
因为直观图中，
所以原图形中，
综上，原图形是直角梯形，故选：B．
【变式3-2】（22-23高一下·安徽·阶段练习）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上选项都不对
【答案】C
【解析】根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，.
因为，所以，
则是以AC为斜边的等腰直角三角形，如图所示：
故选：C.
【变式3-3】（22-23高一下·全国·课时练习）如图是水平放置的三角形ABC的直观图，是中边上的一点，且离比离近，轴，轴，那么线段AB，AD，AC中，最长、最短的线段分别是（ ）
A．AB，AC B．AC，AD C．AD，AC D．AB，AD
【答案】B
【解析】原的平面图如图所示．
由题意可知，，，所以，
所以在线段AB，AC，AD中，最长的是AC，最短的是AD．故选：B．
题型四 斜二测画法中相关量计算
【例4】（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）已知正方形的边长为a，按照斜二测画法作出它的直观图，直观图面积为，则a值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】利用斜二测画法得到直观图，则，，，
过点作⊥轴于点，则，
所以平行四边形的面积为，解得.故选：C
【变式4-1】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图，
因为斜二测直观图为矩形，，,
则，
可得原图中（右图），,,
四边形的面积为.故选：D.
【变式4-2】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长 .
【答案】
【解析】如图，根据斜二测画法，因为，，所以，，
且轴，轴，是的中点，所以，
在直角中，由勾股定理有：，所以，
则的周长.
【变式4-3】（22-23高一下·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，
由斜二测法则知，，，
所以.故选：C
题型五 画立体图形的直观图
【例5】（23-24高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（ ）
A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm
C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm
【答案】D
【解析】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高
分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm，
又因为斜二测画直观图的画法：
已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变；
已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半；
已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变.
所以该建筑物按的比例画出它的直观图，
直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为
2cm，0.25cm，1cm和0.8cm．故选：D.
【变式5-1】（23-24高一·全国·课后作业）画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．
【答案】画图见解析
【解析】根据斜二测画法的规则可知, 底面矩形的直观 图为平行四边形,
其中 , ,
作 底面, 在 轴上截取 ,
过 作 , 使 , 过、
分别作 平行于 且等于 ,
连接 可得长、宽、高 分别为，，的长方体的直观图.
【变式5-2】（22-23高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3cm的正四棱锥的直观图．
【答案】答案见解析
【解析】画法：（1）画轴，画轴、轴、轴，它们交于点，使.
（2）画底面，按轴、轴画正方形的直观图，取边长等于，
使正方形的中心对应于点，在轴上分别取点、、、，
且使，，
分别过、、、作平行于轴的直线，分别交于、、、四点.
（3）画高（线），在轴上取
（4）成图，连结,,,，并加以整理，就得到所要画的正四棱雉的直观图.
【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm）
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，．
（2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
（3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线，
在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm.
（4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线，
将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图．8.2 立体图形的直观图
学习目标
1、了解斜二测画法的概念并掌握用斜二测画法画直观图的步骤；
2、会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；
3、会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图。
思维导图
概念知识
一、空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。
二、立体图形的直观图的画法
1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
（1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；
平行于轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于，且使（或）它们确定的平面表示水平面；
第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段，在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段；
第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半，
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4、直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”:(1)坐标轴的夹角改变；(2)与轴平行的线段长度变为原来的一半；(3)图形改变。
“三不变”:(1)平行性不改变；(2)与轴和轴平行的线段长度不改变；(3)相对位置不改变。
三、直观图与原图多边形面积之间的关系
若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有，
举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为，
则其面积为，
在直观图中，，，
在直观图中，
题型一 斜二测画法的概念辨析
【例1】（23-24高一·全国·课时练习）用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
【变式1-1】（23-24高一·全国·课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【变式1-2】（22-23高一下·重庆·月考）对于用“斜二侧画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．梯形的直观图可能不是梯形
C．正方形的直观图为平行四边形
D．正三角形的直观图一定是等腰三角形
【变式1-3】（22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）（多选）用斜二测画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．平行线段在直观图仍是平行线段 B．相等的角在直观图仍是相等的角
C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形
题型二 画平面图形的直观图
【例2】（23-24高一·全国·课后作业）图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）
A． B． C． D．
【变式2-1】（22-23高一下·福建三明·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（22-23高一下·四川成都·阶段练习）如图，是的直观图，则是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 由直观图还原几何图形
【例3】（23-24高一下·全国·练习）如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【变式3-1】（22-23高一下·湖北·期末）如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，则其表示的原平面图形是（ ）
A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形
【变式3-2】（22-23高一下·安徽·阶段练习）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上选项都不对
【变式3-3】（22-23高一下·全国·课时练习）如图是水平放置的三角形ABC的直观图，是中边上的一点，且离比离近，轴，轴，那么线段AB，AD，AC中，最长、最短的线段分别是（ ）
A．AB，AC B．AC，AD C．AD，AC D．AB，AD
题型四 斜二测画法中相关量计算
【例4】（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）已知正方形的边长为a，按照斜二测画法作出它的直观图，直观图面积为，则a值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式4-1】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长 .
【变式4-3】（22-23高一下·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．5
题型五 画立体图形的直观图
【例5】（23-24高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（ ）
A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm
C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm
【变式5-1】（23-24高一·全国·课后作业）画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．
【变式5-2】（22-23高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3cm的正四棱锥的直观图．
【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm）
