1.1.1 集合的概念与表示 课件（共15张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共17张PPT)
1.1.1 集合的概念与表示
1.理解集合定义，了解元素特性及元素与集合的关系，熟记不同数集的符号.
2.掌握集合的表示方法.
一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；
把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的6个集合.
（1）1~10之间的所有偶数；
（2）卢老师所在初中今年入学的全体高一新生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线M的距离等于定长d的所有点；
（5）方程的所有解；
（6）地球上的七大洲
2，4，6，8，10
全部正方形，无数个
点构成了直线
亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲
全部新生
1.集合和元素的概念
集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等。
集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了。
对象
总体
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，对于一个
已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里，是确定的，要么在 ，
要么不在，不能含糊其辞。比如“较小的数”就不能构成集合，因为
组成它的元素是不确定的。
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
出现
集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同，
那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合。
互异性
无序性
确定性
2.集合中元素的性质
一般来说：
用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
元素与集合的关系：
如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A；
3.元素、集合的表示和关系
用小写拉丁字母…等表示元素
如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作 A；
比如，3∈自然数集；4 奇数集
【自然数集】
全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】
全体正整数组成的集合，记作N*或N+；
【整数集】
全体整数组成的集合，记作Z；
【有理数集】
全体有理数组成的集合，记作Q；
【实数集】
全体实数组成的集合，记作R；
以上数集之间的关系如图所示：
N*
N
Z
Q
R
注意写法
从上面的例子可以看
出：我们可以用自然
语言来描述集合，还
可以用什么方法呢？
4.常用数集及其表示
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝；“方程的所有实数根”组成的集合可以表示为｛0，2｝；像这样，把集合的元素一一列出来，并用花括号｛｝括起来表示集合的方法叫做列举法。
【注意】
（1）花括号表示的是“所有”“整体”的含义，如实数集可以写成
｛实数｝，但不能写成｛实数集｝｛全体实数｝｛R｝
（2）列举法表示集合时要注意：
①元素之间用逗号隔开；
②一个集合中的元素书写一般不考虑顺序
5.列举法
【问题】哪些集合适合用列举法表示呢？
（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合
（2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况
下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集
N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝
集合的分类
【有限集】含有有限个元素的集合
【无限集】含有无限个元素的集合
（3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如
｛｝
练习：用列举法表示下列集合
（1）小于7的所有自然数的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，｝
（2）｛-2，0｝
注意：
由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式，
如｛1，2，4，5，6，0，3｝等
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P()的元素
所组成的集合表示为｛ ∈A|P()｝，这种表示集合的方法称为描述法。例如，
我们可以把奇数集表示为｛ ∈Z| =(∈Z)｝，偶数集表示为
｛ ∈Z| =(∈Z)｝；把不等式的解集表示为｛ ∈R| ＞3｝
温馨提示：有时也用冒号或者分号代替竖线，写成
｛ ∈A：P()｝或｛ ∈A；P()｝
6.描述法
问题：用描述法表示集合需要注意什么问题？
（1）竖线前面表示的是集合的元素，｛ |｝，
｛ |｝， ｛ |｝分别是三个不同的集合.
（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式.
（3）不能出现未说明的字母，如｛｝未说明的取值情况，故集合中的
元素不确定.
（4）所有描述内容都要写在花括号里面，如写法｛ ｝，∈Z不符合
要求，应改为｛ ，∈Z ｝
（5）多层描述时，要准确适用“或”“且”等表示元素关系的词语，如
{|}
练习： 请用描述法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B.
【解】（1）A={| }
（2）B={∈Z|}
自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。
列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。
描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。
｛1｝
7.三种表示集合的方法
方程的解集
｛| ｝
(1)列举法和描述法的转化
列举法表
示的集合
描述法表
示的集合
明确集合中元素的共同特征
找准代表元素，满足什么条件
描述法表
示的集合
列举法表
示的集合
分析集合中的元素及其特征
逐一列出集合中的元素
(2)几何语言及其他语言的关系及构成
形象化
具体化
自然语言
(通俗、易懂)
图形语言
(形象、直观)
集合语言
简介、抽象
文字化
抽象化
抽象化
形象化
文字语言
符号语言
图形语言