数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理 课件（共25张ppt）

(共25张PPT)
1.2 空间向量基本定理
1、了解空间向量基本定理及其意义；
2、掌握空间向量的正交分解；
3、会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量；
4、会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角
5、通过本节学习，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养.
重点：空间向量基本定理
难点：选择恰当的基底表示向量
回顾：平面向量基本定理的内容是什么？
若是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使＝＋．
若, 不共线，则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底．
思考：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，类似地，空间中任意一个向量能否用两个不共线的向量来表示呢？
追问：那么至少需要几个向量呢？这些向量间又有何关系呢？
猜想：任意一个空间向量都可以由三个不共面的向量来表示.
探究：设是空间中两两垂直的向量，表示它们的有向线段有公共点，
对于任意一个空间向量，可以通过平移使得，
设为在所确定的平面上的投影向量，则.
又共线，因此存在唯一的实数，使得，从而.
猜想：任意一个空间向量都可以由三个不共面的向量来表示.
而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，
存在唯一的有序数对，使得.
从而.
如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
我们称分别为向量在上的分向量.
思考1：你能证明唯一性吗？
证明：如果存在另一组有序实数组，使得，
则，即，
不妨设，则，所以共面，这与已知矛盾，
则，因此，又不共线，则，.
过点作，，，对于任一空间向量，作，
过点作直线交平面于点，则.
又共线，因此存在唯一的实数，使得，
从而，
由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对，
使得，从而，
思考2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？
又由思考1的方法可证明唯一性
一、空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得.
●叫做基向量；
●叫做空间向量的一个基底；
●如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示，
●把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
思考：零向量可以作为基向量吗？
×
隐函了它们为非零向量
思考：构成空间向量的基底唯一吗？
×
1、已知{，，}是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量=构成空间的另一个基底？
教材P12
练习
解：已知{，，}是空间的一个基底，所以不共面，
由共面向量的充要条件可知，向量=均与共面，
所以应该选择.
2、已知，，，为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点，，，是否共面
解：因为，，不构成空间的一个基底，所以，，共面，
又有公共点，所以点，，，共面.
1、如果，与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么间有何关系
共线
2、若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A.+，， B.，+，
C.+，， D.+，++，
若三个向量中存在一个向量可用另外两个表示，则三向量共面，不能做基底.
C
变式：若{，，}构成空间的一个基底，则，能否构成空间中的一个基底？
解：假设这三个向量共面，则存在，使得，
整理得，
则，假设不成立，则不共面，可作为基底.
假设三向量共面，建立x,y的方程组，若有解，则不可作基底；若无解，则可作基底.
判断三个空间向量是否能构成一个基底：判断是否共面（若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底，）
方法:①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；
②如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；
③假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，
若有解则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底；
例题：如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示.
解：
用基底表示向量
3、如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的中心，
且＝，＝，＝．
(1)是否构成空间的一个基底？
(2)如果构成空间的一个基底，
那么用它表示下列向量：， ，，．
教材P12
练习
解：(2)；
是
应用1——求线段长度
例1：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA=2，且PA与AB，AD的夹角均为60°，点M是PC的中点，求BM的长.
解：设，易知构成空间的一个基底，
则
所以
所以的长度为.
例2：如图，在平行六面体中，,
分别为，的中点.求证.
应用2——证明垂直、平行
证明:设，易知构成空间的一个基底，
则，
所以
所以
例3：如图，正方体的棱长为1，分别为，
的中点.
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值.
解：(1)证明：法一：几何法
法二：设
则构成空间的一个单位正交基底.
所以，
所以，且与无公共点，所以.
应用3——求余弦值
例3：如图，正方体的棱长为1，分别为，
的中点.
(1)求证：；
(2)求直线与所成角的余弦值.
解：(2)法一：几何法
法二：，
，
所以
所以直线与所成角的余弦值为.
应用3——求余弦值
注意：直线所成角范围与向量所成角范围
例3：如图，正方体的棱长为1，分别为，
的中点.
(1)求证：；
(2)求直线与所成角的余弦值.
解：(2)，
所以
所以直线与所成角的余弦值为.
应用3——求余弦值
解：由题意，，，
所以
教材P14
练习
1、已知四面体中，，，求证：.
解：
又因为，则，所以
9、如图，在四面体中，，，求证：.
另解：
8、已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体的相对的棱两两垂直。
已知：在四面体中，分别是棱
的中点，且，求证：，，
解：设则，
，，
因为，所以，
即
8、已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体的相对的棱两两垂直。
已知：在四面体中，分别是棱
的中点，且，求证：，，
解：所以 ，即，
所以()，即，所以.
同理可证：，.
②四面体中的3组对棱中有2组两两垂直，则另一组对棱也互相垂直.
③四面体中3组对棱的中点间的距离相等，则这3组对棱两两垂直.
①正四面体的3组对棱两两垂直.
教材P14
练习
2、如图，在平行六面体中，，
，求直线与所成角的余弦值.
解：设，
则，，，，
又
所以直线
6、如图，平行六面体的底面是菱形，且，求证：平面.
证明：由题意，，各棱长均相等
设，，
则，，
又
所以且，又，
所以
一、空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得.
●叫做基向量；
●叫做空间向量的一个基底；
●如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示，
●把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
零向量不可以作为基向量
构成空间向量的基底不唯一
判断三个空间向量是否能构成一个基底：判断是否共面（若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底，）
方法:①如果向量中存在零向量，则不能作为基底;
②如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底
③假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，
若有解则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底
基底的构建：常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并尽量选已知夹角和长度的向量．
基底的运用：用基底法解决立体几何中的垂直、共线、角度、模长等问题.
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