实验六 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
物理观念
1.会用控制变量法探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系.
2.会用作图法处理数据，掌握化曲为直的思想．
梳理·必备知识
1．实验思路
本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了 ，如图所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内(指向圆周运动的圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力，可以通过 上露出的红白相间等分标记，粗略计算出两球所需向心力的比值．
在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形：
(1)在 一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系．
(2)在 一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系．
(3)在 一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系．
2．实验器材
向心力演示器、小球．
3．实验过程
(1)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同，即圆周运动半径相同．将皮带放置在适当位置使两转盘转动，记录不同角速度下的向心力大小(格数)．
(2)分别将两个质量 的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度 ，小球到转轴(即圆心)距离不同，即圆周运动半径不等，记录不同半径的向心力大小(格数)．
(3)分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同，即圆周运动半径相等，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等，记录不同质量下的向心力大小(格数)．
4．数据处理
分别作出Fn－ω2、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论．
5．注意事项
摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数．达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数．
考点一 教材原型实验
提升·关键能力
考向一 实验原理与操作
例1 (2023·湖南邵阳市第二中学模拟)用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动．横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值．实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题：
(1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相等，将皮带处于左、右塔轮的半径不等的层上．转动手柄，观察左右标尺的刻度，此时可研究向心力的大小与________的关系．
A．质量m B．角速度ω C．半径r
(2)在(1)的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为________；其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左、右两标尺的示数将________，两标尺示数的比值____________(均选填“变大”“变小”或“不变”)．
考向二 实验数据处理
例2 用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式．匀速转动手柄，可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动．使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺．
(1)为了探究向心力大小与物体质量的关系，可以采用______________________(选填“等效替代法”“控制变量法”或“理想模型法”).
(2)根据标尺上露出的等分标记，可以粗略计算出两个球做圆周运动所需的向心力大小之比；为研究向心力大小跟转速的关系，应比较表中的第1组和第________组数据．
组数 小球的 质量m/g 转动半径 r/cm 转速n/(r·s－1)
1 14.0 15.00 1
2 28.0 15.00 1
3 14.0 15.00 2
4 14.0 30.00 1
(3)本实验中产生误差的原因有__________________________．(写出一条即可)
考点二 探索创新实验
提升·关键能力
考向1 实验方案的创新
例3 如图所示是“DIS向心力实验器”，当质量为m的砝码随旋转臂一起在水平面内做半径为r的圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋转臂另一端的挡光杆(挡光杆的挡光宽度为Δs，旋转半径为R)每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力大小F和角速度ω的数据．
(1)某次旋转过程中挡光杆经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω＝________.
(2)以F为纵坐标，以________(选填“Δt”“”“(Δt)2”或“”)为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝________.(用上述已知量的字母表示)
例4 (2023·河北省石家庄二中实验学校月考)某同学用如图(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系．其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt.
(1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心．
(2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出__________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝__________.(用题中所给字母和测出的物理量符号表示)
(3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的______________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)．
(4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示．已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________ kg，光电门到悬点的距离为__________ m.
考向2 实验目的的创新
例5 如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置．已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速．在电脑上记录如图乙所示图像．换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系．回答下列问题：
(1)物块没有看作质点对实验是否有影响？______(选填“是”或“否”)
(2)物块a、b、c的密度之比为________．
(3)物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为________．
考向三 实验思路的创新
例6 (2024辽宁大连模拟)某实验小组用力传感器和光电门等器材设计实验,探究向心力与线速度的关系。实验装置如图甲所示,半径为R的半圆弧体固定在水平面上,在圆弧的最低点的小凹槽里安装一个力传感器(与圆弧面平滑相接),用来测量小球运动到圆弧最低点时对半圆弧体的压力大小,圆弧最低点的侧面安装光电门,可以记录小球经过圆弧最低点时的挡光时间。已知小球的质量为m,重力加速度的大小为g。
(1)实验前先测量出小球直径为d。将小球在圆弧面上某一位置由静止释放,记录力传感器的示数F1和小球的挡光时间t1,则小球经过最低点时小球的线速度大小v1= (用d、t1表示)。
(2)改变小球在圆弧上的释放位置,多次实验测得小球的挡光时间t及力传感器的示数F,为了能直观地研究实验规律,作F- 图像,如果图像是一条倾斜的直线,图像与纵轴的截距为 ,图像的斜率为 (以上两空均用题目给出的物理量的字母表示),则表明向心力与线速度的二次方成正比。
练习·固本增分
1、(2024·吉林通化市检测)一同学用如图甲所示的装置探究向心力与角速度的关系。将力传感器固定在铁架台上，将细线一端固定在力传感器上，另一端固定一个直径为d的金属小球，该同学测出小球重心到悬点的距离为L，然后拉起小球，使细线伸直与竖直方向成一角度，静止释放小球，让小球在竖直平面内做圆周运动，当小球摆到最低点时，小球中心恰好经过光电门，该同学在一次实验中测得小球通过光电门的时间为Δt。
(1)小球通过光电门时的角速度为________。
(2)多次拉起小球，每次拉起小球时细线与竖直方向的夹角不同，每次都记录小球通过光电门的时间Δt，作出细线拉力F与的关系图像如图乙所示，已知图像的斜率为k，截距为b，则小球的质量为________，当地的重力加速度为________。(用题中给出的字母表示)
课时精练
1．如图所示为向心力演示装置，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动．使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板(即挡板A、B、C)对小球的压力提供．球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8.根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球做圆周运动所需的向心力的比值．利用此装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关．已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1.
(1)要探究向心力与轨道半径的关系时，把皮带套在左、右两个塔轮的半径相同的位置，把两个质量________(选填“相同”或“不同”)的小球放置在挡板________和挡板________位置(选填“A”“B”或“C”)．
(2)把两个质量不同的小球分别放在挡板A和C位置，皮带套在左、右两个塔轮的半径之比为1∶2，则放在挡板A处的小球与C处的小球角速度大小之比为________．
(3)把两个质量相同的小球分别放在挡板B和C位置，皮带套在左、右两边塔轮的半径之比为3∶1，则转动时左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为________．
2．(2023·山东泰安市模拟)为探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，小明按图甲装置进行实验，物块放在平台卡槽内，平台绕轴转动，物块做匀速圆周运动，平台转速可以控制，光电计时器可以记录转动快慢．
(1)为了探究向心力与角速度的关系，需要控制__________保持不变，小明由计时器测转动的周期T，计算ω2的表达式是____________．
(2)小明按上述实验将测算得的结果用作图法来处理数据，如图乙所示，纵轴F为力传感器读数，横轴为ω2，图线不过坐标原点的原因是__________________，用电子天平测得物块质量为1.50 kg，直尺测得半径为50.00 cm，图线斜率为__________ kg·m(结果保留两位有效数字)．
3．(2023·山东烟台市模拟)某同学为了测量当地的重力加速度，设计了一套如图甲所示的实验装置．拉力传感器竖直固定，一根不可伸长的细线上端固定在传感器的固定挂钩上，下端系一小钢球，钢球底部固定有遮光片，在拉力传感器的正下方安装有光电门，钢球通过最低点时遮光片恰能通过光电门．小明同学进行了下列实验步骤：
(1)用游标卡尺测量遮光片的宽度d，如图乙所示，则d＝____________ mm；
(2)用游标卡尺测量小钢球的直径为D，用刻度尺测量小钢球到悬点的摆线长为l；
(3)拉起小钢球，使细线与竖直方向成不同角度，小钢球由静止释放后均在竖直平面内运动，记录遮光片每次通过光电门的遮光时间Δt和对应的拉力传感器示数F；
(4)根据记录的数据描绘出如图所示的F－图像，已知图像与纵轴交点为a，图像斜率为k，则通过以上信息可求出当地的重力加速度表达式为g＝____________(用题目中所给物理量的符号表示)；
(5)如果在实验过程中所系的细线出现松动，则根据实验数据求出的当地重力加速度g的值比实际值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)．
4．(2023·重庆市第八中学高三检测)小明同学为探究向心力F与线速度v的关系，用如图所示的实验装置完成实验．其中质量为m的小圆柱体放在未画出的水平光滑圆盘上，沿图中虚线做匀速圆周运动．力电传感器测定圆柱体的向心力，光电传感器测定线速度，轨迹的半径为r.实验过程中保持圆柱体质量和运动半径不变．
(1)该同学采用的实验方法为________．
A．等效替代法
B．理想化模型法
C．控制变量法
(2)改变线速度v，并进行多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如下表所示：
v/(m·s－1) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.88 1.98 3.50 5.50 7.90
该同学利用实验数据作出了以下四个图像，其中能较为直观地展示向心力F与线速度v关系的图像是________．
(3)根据图像分析的结果，小明可以得到实验结论__________．
5．某同学设计了用如图所示装置探究向心力与质量、半径关系的实验．水平杆光滑，竖直杆与水平杆铰合在一起，互相垂直，绕过定滑轮的细线两端分别与物块和力传感器连接．
(1)探究向心力与质量关系时，让物块1、2的质量不同，测出物块1、2的质量分别为m1、m2，保持________相同，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与质量成正比．
(2)探究向心力与半径关系时，让物块1、2的________相同，测出物块1和物块2到竖直杆的距离分别为r1、r2，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与半径成正比．
6．(2023·福建厦门市二模)如图甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A．探究平抛运动的特点
B．用单摆测量重力加速度的大小
C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________层塔轮(选填“一”“二”或“三”)；
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
7．(2023·湖北武汉市检测)利用如图甲所示的圆锥摆装置验证向心力表达式，步骤如下：
(1)用天平测出密度较大的小球的质量为m，如图乙所示用20分度游标卡尺测出小球的直径D＝________ cm。小球静止时，用刻度尺测量此时悬挂点与小球上端之间的竖直距离为L。
(2)在白纸上画几个不同半径的同心圆，用刻度尺测量各个圆的半径r。将白纸平铺在水平桌面上，使同心圆的圆心刚好位于________。让小球做圆锥摆运动，俯视观察小球，其在水平面上沿着白纸上某个圆做圆周运动，当运动稳定时，用秒表测量小球运动5圈所用的时间t。
(3)用向心力表达式推导出Fn＝________(用m、t、r和圆周率π表示)；通过受力分析，推导出小球做圆周运动时所受合力F合＝________(用m、r、D、L和重力加速度g表示)。将记录的数据代入到上述两个表达式中进行计算。
(4)改变绳长，重复(2)、(3)实验步骤，记录多组数据。
(5)通过比较每一组实验数据计算出的Fn和F合的大小，在误差允许的范围内近似相等。由此，向心力的表达式得以验证。
8．某同学想测量某地重力加速度g的大小和圆弧轨道的半径R。所用装置如图甲所示，一个倾角为37°的固定斜面与竖直放置的光滑圆弧轨道相切，一个可以看作质点、质量为m的滑块从斜面上某处由静止滑下，滑块上有一个宽度为d的遮光条，在圆弧轨道的最低点有一光电门和一压力传感器(没有画出)，可以记录挡光时间t和压力传感器受到的压力F。
(1)若某次挡光时间为t0，则此时遮光条速度v＝________；
(2)实验过程中从斜面的不同位置释放滑块，然后记录对应的挡光时间t和压力传感器的示数F，得到多组数据，该同学通过图像法来处理数据，得到如图乙所示的图像，但忘记标横轴表示的物理量，请通过推理补充，横轴表示的物理量为________(填“t”“”“t2”或“”)；
(3)已知图乙中图线的斜率为k，纵截距为b，则可知某地重力加速度g＝________；圆弧轨道的半径R＝________。(用题给物理量符号表示)
1实验六 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
物理观念
1.会用控制变量法探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系.
2.会用作图法处理数据，掌握化曲为直的思想．
梳理·必备知识
1．实验思路
本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了控制变量法，如图所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内(指向圆周运动的圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力，可以通过标尺上露出的红白相间等分标记，粗略计算出两球所需向心力的比值．
在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形：
(1)在质量、半径一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系．
(2)在质量、角速度一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系．
(3)在半径、角速度一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系．
2．实验器材
向心力演示器、小球．
3．实验过程
(1)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同，即圆周运动半径相同．将皮带放置在适当位置使两转盘转动，记录不同角速度下的向心力大小(格数)．
(2)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等，小球到转轴(即圆心)距离不同，即圆周运动半径不等，记录不同半径的向心力大小(格数)．
(3)分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同，即圆周运动半径相等，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等，记录不同质量下的向心力大小(格数)．
4．数据处理
分别作出Fn－ω2、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论．
5．注意事项
摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数．达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数．
考点一 教材原型实验
提升·关键能力
考向一 实验原理与操作
例1 (2023·湖南邵阳市第二中学模拟)用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动．横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值．实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题：
(1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相等，将皮带处于左、右塔轮的半径不等的层上．转动手柄，观察左右标尺的刻度，此时可研究向心力的大小与________的关系．
A．质量m B．角速度ω C．半径r
(2)在(1)的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为________；其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左、右两标尺的示数将________，两标尺示数的比值____________(均选填“变大”“变小”或“不变”)．
答案 (1)B (2)1∶2 变大 不变
解析 (1)把两个质量相等的钢球放在A、C位置时，则控制质量相等、半径相等，研究的目的是向心力的大小与角速度的关系，故选B.
(2)由题意可知左、右两球做圆周运动所需的向心力之比为F左∶F右＝4∶1，则由F＝mrω2，可得＝2，由v＝Rω可知，皮带连接的左、右塔轮半径之比为R左∶R右＝ω右∶ω左＝1∶2, 其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则角速度均增大，由F＝mrω2，可知左、右两标尺的示数将变大，但半径之比不变，由＝可知，角速度比值不变，两标尺的示数比值不变．
考向二 实验数据处理
例2 用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式．匀速转动手柄，可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动．使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺．
(1)为了探究向心力大小与物体质量的关系，可以采用______________________(选填“等效替代法”“控制变量法”或“理想模型法”).
(2)根据标尺上露出的等分标记，可以粗略计算出两个球做圆周运动所需的向心力大小之比；为研究向心力大小跟转速的关系，应比较表中的第1组和第________组数据．
组数 小球的 质量m/g 转动半径 r/cm 转速n/(r·s－1)
1 14.0 15.00 1
2 28.0 15.00 1
3 14.0 15.00 2
4 14.0 30.00 1
(3)本实验中产生误差的原因有__________________________．(写出一条即可)
答案 (1)控制变量法 (2)3 (3)见解析
解析 (1)根据F＝mω2r，为了探究向心力大小与物体质量的关系，应控制半径r相等，角速度ω大小相等，即采用控制变量法．
(2)为研究向心力大小跟转速的关系，必须要保证质量和转动半径均相等，则应比较表中的第1组和第3组数据．
(3)本实验中产生误差的原因有：质量的测量引起的误差；弹簧测力套筒的读数引起的误差等．
考点二 探索创新实验
提升·关键能力
考向1 实验方案的创新
例3 如图所示是“DIS向心力实验器”，当质量为m的砝码随旋转臂一起在水平面内做半径为r的圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋转臂另一端的挡光杆(挡光杆的挡光宽度为Δs，旋转半径为R)每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力大小F和角速度ω的数据．
(1)某次旋转过程中挡光杆经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω＝________.
(2)以F为纵坐标，以________(选填“Δt”“”“(Δt)2”或“”)为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝________.(用上述已知量的字母表示)
答案 (1) (2) mr
解析 (1)挡光杆通过光电门时的线速度大小为v＝，由ω＝，解得ω＝
(2)根据向心力公式有F＝mω2r，将ω＝，代入上式解得F＝mr，可以看出，以为横坐标，以F为纵坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝mr.
例4 (2023·河北省石家庄二中实验学校月考)某同学用如图(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系．其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt.
(1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心．
(2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出__________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝__________.(用题中所给字母和测出的物理量符号表示)
(3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的______________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)．
(4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示．已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________ kg，光电门到悬点的距离为__________ m.
答案 (2)小球的直径d (3)最大值 (4)0.05 1
解析 (2)根据v＝知，要测量速度，需要知道钢球在挡光时间内通过的位移，即小球的直径d，速度表达式为v＝.
(3)小球摆动过程中受力分析如图所示，则有FT－F1＝m，F1＝mgcos θ，故FT＝mgcos θ＋m，由于F2始终指向轨迹的最低点，故小球向最低点运动过程中速度增大，到达最低点时速度最大，故在最低点FT最大，所以应选拉力FT的最大值．
(4)小球摆至最低点时，由向心力公式得细线的最大拉力FTm＝mg＋v2，当小球速度为零时，此时拉力与重力大小相等，对比图线可知mg＝0.485 N，解得m＝0.05 kg，由斜率k＝＝ kg/m，解得r＝1 m.
考向2 实验目的的创新
例5 如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置．已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速．在电脑上记录如图乙所示图像．换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系．回答下列问题：
(1)物块没有看作质点对实验是否有影响？______(选填“是”或“否”)
(2)物块a、b、c的密度之比为________．
(3)物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为________．
答案 (1)否 (2)2∶2∶1 (3)1∶2∶2
解析 (1)物块的形状和大小相同，做圆周运动的半径相同，所以物块没有看作质点对实验没有影响．
(2)当物块随转盘缓慢加速过程中，物块所需的向心力先由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后由绳子的拉力和最大静摩擦力提供，即F向＝F＋μmg＝mrω2，所以有F＝mrω2－μmg，题图乙中图线的斜率为mr，与纵轴的截距为－μmg，根据题图乙知a的斜率ka＝mar＝1 kg·m，b的斜率kb＝mbr＝1 kg·m，c的斜率kc＝mcr＝ kg·m，所以a、b、c的质量之比为2∶2∶1，因为体积相同，所以物块a、b、c的密度之比为2∶2∶1.
(3)由题图乙知a的纵轴截距－μamag＝－1 N，b的纵轴截距－μbmbg＝－2 N，c的纵轴截距－μcmcg＝－1 N，结合质量之比得到物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1∶2∶2.
考向三 实验思路的创新
例6 (2024辽宁大连模拟)某实验小组用力传感器和光电门等器材设计实验,探究向心力与线速度的关系。实验装置如图甲所示,半径为R的半圆弧体固定在水平面上,在圆弧的最低点的小凹槽里安装一个力传感器(与圆弧面平滑相接),用来测量小球运动到圆弧最低点时对半圆弧体的压力大小,圆弧最低点的侧面安装光电门,可以记录小球经过圆弧最低点时的挡光时间。已知小球的质量为m,重力加速度的大小为g。
(1)实验前先测量出小球直径为d。将小球在圆弧面上某一位置由静止释放,记录力传感器的示数F1和小球的挡光时间t1,则小球经过最低点时小球的线速度大小v1= (用d、t1表示)。
(2)改变小球在圆弧上的释放位置,多次实验测得小球的挡光时间t及力传感器的示数F,为了能直观地研究实验规律,作F- 图像,如果图像是一条倾斜的直线,图像与纵轴的截距为 ,图像的斜率为 (以上两空均用题目给出的物理量的字母表示),则表明向心力与线速度的二次方成正比。
答案 mg
解析 (1)小球经过最低点时的速度大小v1=。
(2)由向心力公式得F-mg=m,整理得F=+mg,为了能直观地研究实验规律,应作出F-图像,如果图像是一条倾斜的直线,图像与纵轴的截距为mg,图像的斜率为,则表明向心力与线速度的二次方成正比。
练习·固本增分
1、(2024·吉林通化市检测)一同学用如图甲所示的装置探究向心力与角速度的关系。将力传感器固定在铁架台上，将细线一端固定在力传感器上，另一端固定一个直径为d的金属小球，该同学测出小球重心到悬点的距离为L，然后拉起小球，使细线伸直与竖直方向成一角度，静止释放小球，让小球在竖直平面内做圆周运动，当小球摆到最低点时，小球中心恰好经过光电门，该同学在一次实验中测得小球通过光电门的时间为Δt。
(1)小球通过光电门时的角速度为________。
(2)多次拉起小球，每次拉起小球时细线与竖直方向的夹角不同，每次都记录小球通过光电门的时间Δt，作出细线拉力F与的关系图像如图乙所示，已知图像的斜率为k，截距为b，则小球的质量为________，当地的重力加速度为________。(用题中给出的字母表示)
答案 (1) (2)
解析 (1)小球通过最低点时的线速度v＝，
由v＝ωL，可得角速度ω＝。
(2)在最低点对小球受力分析可得F－mg＝mω2L，把ω＝代入，可得F＝mg＋·，可得＝k，mg＝b，解得m＝，g＝。
课时精练
1．如图所示为向心力演示装置，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动．使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板(即挡板A、B、C)对小球的压力提供．球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8.根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球做圆周运动所需的向心力的比值．利用此装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关．已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1.
(1)要探究向心力与轨道半径的关系时，把皮带套在左、右两个塔轮的半径相同的位置，把两个质量________(选填“相同”或“不同”)的小球放置在挡板________和挡板________位置(选填“A”“B”或“C”)．
(2)把两个质量不同的小球分别放在挡板A和C位置，皮带套在左、右两个塔轮的半径之比为1∶2，则放在挡板A处的小球与C处的小球角速度大小之比为________．
(3)把两个质量相同的小球分别放在挡板B和C位置，皮带套在左、右两边塔轮的半径之比为3∶1，则转动时左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为________．
答案 (1)相同 C B(或者B C) (2)2∶1
(3) 2∶9
解析 (1)探究向心力与轨道半径的关系时，根据Fn＝mω2r，采用控制变量法，应使两个相同质量的小球放在不同半径挡板处，以相同角速度运动，因此将质量相同的小球分别放在B和C处．
(2)皮带套在左、右两个塔轮的半径之比为1∶2，两个塔轮边缘处的线速度大小相等，根据v＝ωr可知，角速度与半径成反比，所以放在挡板A处的小球与C处的小球角速度大小之比为2∶1.
(3) 把两个质量相同的小球分别放在挡板B和C位置，则两小球的转动半径关系为r1∶r2＝2∶1，皮带套在左、右两边塔轮的半径之比为3∶1，两个塔轮边缘处的线速度大小相等，根据v＝ωr可知，角速度与半径成反比，所以放在挡板B处的小球与C处的小球角速度大小之比为1∶3，即ω1∶ω2＝1∶3，根据Fn＝mω2r可知，两小球做圆周运动所需的向心力之比为F1∶F2＝2∶9，则转动时左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为2∶9.
2．(2023·山东泰安市模拟)为探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，小明按图甲装置进行实验，物块放在平台卡槽内，平台绕轴转动，物块做匀速圆周运动，平台转速可以控制，光电计时器可以记录转动快慢．
(1)为了探究向心力与角速度的关系，需要控制__________保持不变，小明由计时器测转动的周期T，计算ω2的表达式是____________．
(2)小明按上述实验将测算得的结果用作图法来处理数据，如图乙所示，纵轴F为力传感器读数，横轴为ω2，图线不过坐标原点的原因是__________________，用电子天平测得物块质量为1.50 kg，直尺测得半径为50.00 cm，图线斜率为__________ kg·m(结果保留两位有效数字)．
答案 (1)质量和半径 ω2＝ (2)存在摩擦力的影响 0.75
解析 (1)由向心力公式Fn＝mω2r可知，探究向心力和角速度的关系，保持质量和半径不变，根据ω＝，可得ω2＝.
(2)实际表达式为F＋Ff＝mω2r，图线不过坐标原点的原因是存在摩擦力的影响．斜率为k＝mr＝0.75 kg·m.
3．(2023·山东烟台市模拟)某同学为了测量当地的重力加速度，设计了一套如图甲所示的实验装置．拉力传感器竖直固定，一根不可伸长的细线上端固定在传感器的固定挂钩上，下端系一小钢球，钢球底部固定有遮光片，在拉力传感器的正下方安装有光电门，钢球通过最低点时遮光片恰能通过光电门．小明同学进行了下列实验步骤：
(1)用游标卡尺测量遮光片的宽度d，如图乙所示，则d＝____________ mm；
(2)用游标卡尺测量小钢球的直径为D，用刻度尺测量小钢球到悬点的摆线长为l；
(3)拉起小钢球，使细线与竖直方向成不同角度，小钢球由静止释放后均在竖直平面内运动，记录遮光片每次通过光电门的遮光时间Δt和对应的拉力传感器示数F；
(4)根据记录的数据描绘出如图所示的F－图像，已知图像与纵轴交点为a，图像斜率为k，则通过以上信息可求出当地的重力加速度表达式为g＝____________(用题目中所给物理量的符号表示)；
(5)如果在实验过程中所系的细线出现松动，则根据实验数据求出的当地重力加速度g的值比实际值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)．
答案 (1)12.35 (4) (5)偏大
解析 (1)遮光片的宽度为d＝12 mm＋7×0.05 mm＝12.35 mm.
(4)在最低点，根据牛顿第二定律得F－mg＝m＝m，解得F＝()2＋mg，则有＝k，a＝mg，所以有g＝＝.
(5)如果在实验过程中所系的细线出现松动，则摆长真实值变大，则根据实验数据求出的当地重力加速度g的值比实际值偏大．
4．(2023·重庆市第八中学高三检测)小明同学为探究向心力F与线速度v的关系，用如图所示的实验装置完成实验．其中质量为m的小圆柱体放在未画出的水平光滑圆盘上，沿图中虚线做匀速圆周运动．力电传感器测定圆柱体的向心力，光电传感器测定线速度，轨迹的半径为r.实验过程中保持圆柱体质量和运动半径不变．
(1)该同学采用的实验方法为________．
A．等效替代法
B．理想化模型法
C．控制变量法
(2)改变线速度v，并进行多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如下表所示：
v/(m·s－1) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.88 1.98 3.50 5.50 7.90
该同学利用实验数据作出了以下四个图像，其中能较为直观地展示向心力F与线速度v关系的图像是________．
(3)根据图像分析的结果，小明可以得到实验结论__________．
答案 (1)C (2)B (3)在质量和轨迹半径一定的情况下，向心力F与线速度v的平方成正比
解析 (1)探究向心力与质量、半径和线速度的关系时，为了只研究向心力与速度的关系，应采用控制变量法，故选C.
(2)根据F＝m可知F－v2的图像是一条过原点的倾斜直线，在四幅题图中最为直观，故选B.
(3)在质量和轨迹半径一定的情况下，向心力F与线速度v的平方成正比．
5．某同学设计了用如图所示装置探究向心力与质量、半径关系的实验．水平杆光滑，竖直杆与水平杆铰合在一起，互相垂直，绕过定滑轮的细线两端分别与物块和力传感器连接．
(1)探究向心力与质量关系时，让物块1、2的质量不同，测出物块1、2的质量分别为m1、m2，保持________相同，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与质量成正比．
(2)探究向心力与半径关系时，让物块1、2的________相同，测出物块1和物块2到竖直杆的距离分别为r1、r2，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与半径成正比．
答案 (1)物块到竖直杆距离 (2)质量
解析 (1)探究向心力与质量关系时，让物块1、2的质量不同，保持物块到竖直杆的距离相同，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，由F＝mrω2可知，＝，因此如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于，则表明在此实验过程中向心力与质量成正比．
(2)探究向心力与半径关系时，让物块1、2的质量相同，测出物块1和物块2到竖直杆的距离分别为r1、r2，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，由F＝mrω2可知，＝，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于，则表明在此实验过程中向心力与半径成正比．
6．(2023·福建厦门市二模)如图甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A．探究平抛运动的特点
B．用单摆测量重力加速度的大小
C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________层塔轮(选填“一”“二”或“三”)；
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
答案 (1)C (2)一 (3)B
解析 (2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，则探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，则两球做圆周运动的半径相等；传动皮带位于第二层，则两球做圆周运动的角速度之比为ω左∶ω右＝R2∶2R2＝1∶2，根据F＝mω2r，可知当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为F左∶F右＝ω左2∶ω右2＝1∶4，故选B。
7．(2023·湖北武汉市检测)利用如图甲所示的圆锥摆装置验证向心力表达式，步骤如下：
(1)用天平测出密度较大的小球的质量为m，如图乙所示用20分度游标卡尺测出小球的直径D＝________ cm。小球静止时，用刻度尺测量此时悬挂点与小球上端之间的竖直距离为L。
(2)在白纸上画几个不同半径的同心圆，用刻度尺测量各个圆的半径r。将白纸平铺在水平桌面上，使同心圆的圆心刚好位于________。让小球做圆锥摆运动，俯视观察小球，其在水平面上沿着白纸上某个圆做圆周运动，当运动稳定时，用秒表测量小球运动5圈所用的时间t。
(3)用向心力表达式推导出Fn＝________(用m、t、r和圆周率π表示)；通过受力分析，推导出小球做圆周运动时所受合力F合＝________(用m、r、D、L和重力加速度g表示)。将记录的数据代入到上述两个表达式中进行计算。
(4)改变绳长，重复(2)、(3)实验步骤，记录多组数据。
(5)通过比较每一组实验数据计算出的Fn和F合的大小，在误差允许的范围内近似相等。由此，向心力的表达式得以验证。
答案 (1)1.500 (2)静止的小球球心正下方
(3)
解析 (1)游标卡尺读数为D＝15 mm＋0×0.05 mm＝15.00 mm＝1.500 cm；
(2)将白纸平铺在水平桌面上，使同心圆的圆心刚好位于静止的小球球心正下方；
(3)根据向心力周期公式，得Fn＝mr＝＝，设小球做圆周运动时，悬线与竖直方向的夹角为θ，根据受力分析可知F合＝mgtan θ，又由几何关系可知tan θ＝，
联立解得F合＝。
8．某同学想测量某地重力加速度g的大小和圆弧轨道的半径R。所用装置如图甲所示，一个倾角为37°的固定斜面与竖直放置的光滑圆弧轨道相切，一个可以看作质点、质量为m的滑块从斜面上某处由静止滑下，滑块上有一个宽度为d的遮光条，在圆弧轨道的最低点有一光电门和一压力传感器(没有画出)，可以记录挡光时间t和压力传感器受到的压力F。
(1)若某次挡光时间为t0，则此时遮光条速度v＝________；
(2)实验过程中从斜面的不同位置释放滑块，然后记录对应的挡光时间t和压力传感器的示数F，得到多组数据，该同学通过图像法来处理数据，得到如图乙所示的图像，但忘记标横轴表示的物理量，请通过推理补充，横轴表示的物理量为________(填“t”“”“t2”或“”)；
(3)已知图乙中图线的斜率为k，纵截距为b，则可知某地重力加速度g＝________；圆弧轨道的半径R＝________。(用题给物理量符号表示)
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)利用极短时间内的平均速度表示瞬时速度，则遮光条通过光电门的速度v＝
(2)由牛顿第二定律有，在最低点FN－mg＝
由牛顿第三定律有FN＝F
解得F＝mg＋＝mg＋＝mg＋·，所以横轴表示
(3)由表达式可知k＝，b＝mg
解得g＝；R＝。
1
