数学人教A版（2019）必修第一册2.1等式性质与不等式性质 课件（共64张ppt）

(共64张PPT)
人教A版必修第一册
2.1《等式性质与不等式性质》
（ 2课时 ）
第二章 一元二次函数、方程和不等式
教学目标
学习目标：1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;
2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；
3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.
4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.
教学重点：运用不等式表示实际问题中的不等关系，用作差法、作商法比较两个实数的大小；不等式的十条基本性质及其应用.
教学难点：用作差法、作商法比较两个实数的大小.不等式性质的运用.
1、情景：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示。
情景问题1
01
2、问题
各位同学，在初中我们已经学习了不等式的定义、基本性质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识进行阐述并运用吗？
那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.
情景问题1
01
复习旧知
01
1.不等式的定义是什么？
用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接表示不等关系的式子就叫做不等式.
例如 2x-5 > -3 , 6 < 9 等.
复习旧知
01
2.不等式的解集是什么？
能使不等式不等关系成立的未知数x的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集.
例如：2x-5>-3, 解得 x>1
故原不等式的解集为 { x ∣x＞1 }，将其表示在数轴上如下图所示：
复习旧知
01
3.问题探究：用不等式表示不等关系
问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量 应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
复习旧知
01
3.问题探究：用不等式（组）表示不等关系
（1）某路段限速；
解：设该路段行驶的汽车速度为，
则“限速40 ”可用不等式表示为
注：高中不等式的形式可能是三边及其以上
复习旧知
01
3.问题探究：用不等式（组）表示不等关系
解：由题意可将题中不等关系表示为
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量 应不少于2.3%；
注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示.
复习旧知
01
3.问题探究：用不等式（组）表示不等关系
解：由题意可将题中不等关系表示为
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系.
复习旧知
01
3.问题探究：用不等式（组）表示不等关系
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
解：设 C 是直线 AB 外任意一点，
过点 C 作 垂足为 D,
E 是直线 AB 上不同于 D 的任意一点，
则
情景问题2
1、问题：如下图所示：两个周长相等的矩形，它们的面积相等吗？
答：它们的面积不相等.
S正方形 = 边长 x 边长
= 3 x 3
= 9cm2
S长方形 = 长 x 宽
= 4 x 2
= 8 cm2
01
情景问题2
问 题
相信大家经过对这一方法的学习，将会为后面学习不等式的新知识打下坚实的基础.
既然两个矩形的面积不相等，那么我们应该用什么方法才能严密性的判断9cm2与8cm2的大小呢
01
(2)数轴法比较大小：数轴上的任意两点中，①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小；③当两点重合时，这两点对应的数相等.
点 A 表示实数 3，点 B 表示实数－2 ,点 A 在点 B 右边，那么 3 ＞-2 ．
x
0
1
2
3
－1
－2
4
5
－3
－4
A
B
P
(1)实数与数轴上的点是一一对应的．
当点 P 在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与点 A、点 B 对应的实数的大小．
探究新知1——实数的大小比较
1、利用数轴法比较两数的大小
01
探究新知1——实数的大小比较
2、利用作差法比较两个实数的大小
探究1：比较实数3与-2的大小
解法一：
∵3 -（- 2）=3+2=5＞0
∴3＞- 2
解法二：
∵（- 2）- 3= -5＜0
∴ - 2＜3
01
探究新知——实数的大小比较
2、利用作差法比较两个实数的大小
探究2：比较实数 3 与 3 的大小
解：∵3 -3=0
∴3=3
作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法.
即：当 时
01
探究新知1——实数的大小比较
3、利用作商法比较两个正数的大小
探究3：比较正数 3 与 5 的大小
解法一：
∵
∴ 3＜5
解法二：
∵
∴ 5＞3
01
探究新知1——实数的大小比较
探究4：比较正数 3 与 3 的大小
解：∵
∴3 = 3
作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.
即：当
01
3、利用作商法比较两个正数的大小
探究新知1——实数的大小比较
小 结
方法一：数轴法（优点是形象生动）
方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）
当 时
01
探究新知1——实数的大小比较
小 结
方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）
当
01
典型例题
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
小组合作、讨论交流1
例2 比较与的大小．
例1 比较 与 的大小.
提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小
提示：利用作差法比较大小
01
成果展示1
解法一（作差法）：
例1 比较 与 的大小.
∵
∴
注：作差法适合一切实数比较大小
01
解法二（作商法）：
例1 比较 与 的大小.
∵
而
∴
注：作商法只适合两个正数比较大小
成果展示1
01
成果展示1
解（作差法）：
∵ -
= 2
＞0
∴
例2 比较与的大小．
01
提升演练
1.设均为实数，试比较与的大小.
解：
∵
∴
(当且仅当时等号成立)
01
提升演练
2、已知证明
解（作差法）：
∵ 已知，∴
又 ∵
∴
又 ∵
∴
综上所述， 成立
01
1.比较下列各组实数的大小
（1）与 （2）与 （3）与0.83
2.若a>b,比较2a-1与 2b-1的大小。
3.比较x2-1与2x2+3的大小
达标检测
课堂演练
＞
＜
＜
＞
＜
01
a＞b
a＋c＞b＋c
b
a
如果a＞b，那么 a c＞b c成立吗？
02
情景问题2
请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？
思考
c
c
02
情景问题2
2、探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
6 ＞4
6 - 2
4 - 2
＞
探究新知2——性质1（加法法则）
3、性质1（可加性）：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变.
即： 如果 a > b , 那么 a±c > b±c
简称为：“加减同数不变号”
02
探究新知2——性质1（加法法则）
4、证明：我们能用上节课学习的作差法来证明加法法则成立吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？
求证：如果 a > b , 那么 a+c > b+c
证明：∵ 已知 a > b , ∴ a - b > 0
又∵（a+c）- (b+c) = a + c - b - c
= a - b
>0
∴ a + c > b + c 成立
你们还能求证：如果 a > b , 那么 a-c > b-c 成立吗？
02
a＞b
2a＞2b
情景问题3
请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？
思考
a
b
a
b
02
情景问题3
2、探究3：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
6 ＞4
＞
02
探究新知2——性质2（乘法法则）
3、性质2 （可乘性）（1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
简称为：“乘除正数不变号”
02
探究新知2——性质2（乘法法则）
4、证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？
证明：∵ 已知 a > b , c＞0，∴ a - b > 0
又∵ac - bc = c ( a - b ) >0
∴ ac > bc 成立
求证： 如果 a > b , c＞0,那么 ac > bc
02
情景问题4
5、探究3：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
6 ＞4
＜
6×(-2)
4×(-2)
02
情景问题4
6、探究4：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
6 ＞4
＜
02
探究新知2——性质2（乘法法则）
7、性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
简称为：“乘除负数要变号”
02
探究新知2——性质2（乘法法则）
8、证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？
证明：∵ 已知 a > b , c＜0，∴ a - b > 0
又∵ac - bc = c ( a - b ) ＜0
∴ ac ＜ bc 成立
求证： 如果 a > b , c＜0,那么 ac ＜ bc
02
a＞b
a＞c
b
a
b＞c
情景问题5
请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？
b
c
a
c
02
探究新知2——性质3（传递性）
2、性质3 （传递性） 如果 a ＞ b , b ＞ c , 那么 a ＞ c
证明：∵ 已知 a > b , b＞c，∴ a - b > 0, b - c ＞0
又∵a - c = a - b + b - c = ( a - b ) + ( b - c ) ＞0
∴ a ＞ c 成立
我们能用上节课学习的作差法来证明传递性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？
02
探究新知2——性质3（传递性）
2、性质3 （传递性）
如果 , 那么
02
探究新知2——性质4（对称性）
2、性质4 （对称性）
(1) 如果 a ＞ b , 那么 b ＜ a
(2) 如果 b ＜ a , 那么 a ＞ b
即
02
情景问题7
1、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
6+2＞4
＞
6
4 - 2
02
探究新知3——性质3（传递性）
2、性质5 （可移性）
从左向右：移正为负
从左向右：移负为正
思考：你们能利用可加性证明可移性“ ”成立吗？
探究新知2——不等式的可移性（自学）
02
1、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
6＞4
＞
0＞-5
6+0
4+(-5)
探究新知2——不等式的同向可加性（互学）
02
探究新知2——（同向可加性）
2、性质6（同向可加性） 如果 a＞b , c＞d ,那么 a+c ＞b+d
证明：∵ 已知 a > b , c＞d，
∴ a+c ＞b+c , b+c ＞b+d （可加性）
∴ a+c ＞b+d 成立 （传递性）
我们能用上节课学习的作差法来证明同向可加性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？
02
探究新知2——（同向可加性）
解：不成立，反例为
3、思考：如果 a＞b , c＞d ,是否有“a-c＞b-d”成立呢？
6＞4
0＞-5
但是
6-0
4-(-5)
＜
02
情景问题9
1、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
6＞4＞0
＞
3＞1＞0
6×3
4×1
02
2、性质7（同向同正可乘性）
如果 那么
证明 : ∵ a >b , c >0,
∴ ac > bc （可乘性：乘除正数不变号）
又∵ c>d, b>0 ,
∴ bc > bd（可乘性：乘除正数不变号）
故 ac > bd（传递性）
02
探究新知2——（同向同正可乘性）
情景问题10
1、探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
3＞2＞0
＞
02
探究新知2——性质8（同向同正可乘方性）
2、性质8（同向同正可乘方性）
如果 , 那么
02
情景问题11
1、探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
16＞9＞0
＞
02
探究新知2——性质9（同正可开方性）
2、性质9（同正可开方性）
如果 , 那么
02
情景问题12
1、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
5＞3＞0
＜
02
10
情景问题12
2、探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？
-3＜-2＜0
＞
探究新知2——性质10（同号可倒性）
3、性质10（同号可倒性）
如果 , 那么
02
1、性质1（可加性） 如果 a > b , 那么 a±c > b±c
2、性质2（可乘性） ① 如果 a > b，c＞0, 那么 ac > bc 或
②如果 a > b，c＜0, 那么 ac ＜ bc 或
3、性质3 （传递性) 如果 a ＞ b , b ＞ c , 那么 a ＞ c
4、性质4（对称性）
5、性质5 （可移性）
6、性质6（同向可加性） 如果 a＞b , c＞d ,那么 a+c ＞b+d
7、性质7（同向同正可乘性）
如果 那么
8、性质8（同向同正可乘方性）
如果 , 那么
9、性质9（同正可开方性）
如果 , 那么
10、性质10（同号可倒性）
如果 , 那么
典型例题
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
小组合作、讨论交流2
02
例4、已知 求证
例4、已知 求证
证明：∵ 已知
∴ （同号可倒性）
又∵已知
∴ （可乘性：乘除负数要变号）
成果展示2
02
达标检测
练习2.1.2
1.已知a>b，用符号“>”或“<”填空
（1）a+1 b+1 (2)-5a -5b (3)3a+3 3b+2
2.判断下列结论是否正确，并说明理由
（1）如果a（2）如果a>b，那么a2>b2
（3）若a>b且cb+d.
>
＜
>



02
课堂小结
今天我们学习了哪些内容？
1、了解与认识了不等式的定义与解集的概念;
2、能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系；
3、牢固掌握了比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立.
4.理解与掌握了不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题；
03
家庭作业
1、完成课本第40页练习1、2小题（做在作业本上）
2、完成《课时规范训练》第10、11页题型；
04