（暑假培优）简易方程复习讲义-数学五年级下册苏教版（含解析）

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（暑假培优）简易方程复习讲义-数学五年级下册苏教版
1．用字母表示数
【知识点归纳】
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．
用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．
注意：
1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“ ”（点）表示．
2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．
3．出现除式时，用分数表示．
4．结果含加减运算的，单位前加“（　　）”．
5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．
例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法交换律：a×b＝b×a．
【命题方向】
例：甲数为x，乙数是甲数的3倍多6，求乙数的算式是（　　）
A、x÷3+6 B、（x+6）÷3 C、（x﹣6）÷3 D、3x+6
分析：由题意得：乙数＝甲数×3+6，代数计算即可．
解：乙数为：3x+6．
故选：D．
点评：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
2．等式的意义
【知识点归纳】
含有等号的式子叫做等式．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．
等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．若a＝b，那么a+c＝b+c
性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．若a＝b，那么有a c＝b c，或a÷c＝b÷c （c≠0）
性质3：等式具有传递性．若a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4，…am＝an，那么a1＝a2＝a3＝a4＝…＝an
等式的意义：
等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，去分母等．
运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义．
【命题方向】
例1：500+△＝600+□，比较△和□大小，（　　）正确．
A、△＞□B、△＝□C、△＜□
分析：依据等式的意义，即表示左右两边相等的式子，叫做等式，于是即可进行正确选择．
解：因为500+△＝600+□，
且500＜600，
所以△＞□；
故选：A．
点评：此题主要考查等式的意义．
例2：等式两边同时乘或除以一个相同的数，所得的结果仍是一个等式．　×　．（判断对错）
分析：根据等式的性质，可知：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立．
解：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；需要限制相同的这个数，必须得0除外，因为0做除数无意义；
故答案为：×．
点评：此题考查等式的性质，即“方程的两边同加上或减去一个相同的数，同乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立”．
3．方程需要满足的条件
【知识点归纳】
方程必须满足两个条件（缺一不可）：
1、含有未知数；
2、是等式．
【命题方向】
例1：下面的式子中，（　　）是方程．
A、45÷9＝5 B、y+8 C、x+8＜15 D、4y＝2
分析：分析各个选项，根据方程的定义找出是方程的选项．
解：A，45÷9＝5这虽然是等式，但不含有未知数，它不是方程；
B，y+8，虽然含义未知数但不是等式，它不是方程；
C，x+8＜15，虽然含义未知数但不是等式，它不是方程；
D，4y＝2，这是一个含有未知数的等式，它是方程．
故选：D．
点评：本题考查了方程满足的条件，含有未知数的等式是方程，那么它要满足两个条件：一是等式，二是等式中要有未知数．
例2：x＝2是方程．　√　．（判断对错）
分析：方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．
解：x＝2，是含有未知数的等式，所以x＝2是方程，原题说法正确．
故答案为：√．
点评：此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
4．列方程解应用题（两步需要逆思考）
【知识点归纳】
列方程解应用题的步骤：
①弄清题意，确定未知数，并用x表示．
②找出题中数量之间的相等关系．
③列方程，解方程．
④检查或验算，写出答案．
列方程解应用题的方法：
①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知．
②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知．
【命题方向】
例1：元旦期间，合益商场搞优惠活动，买一箱牛奶送一盒，五（1）班一共52人，如果买4箱，正好每人一盒，每箱牛奶有　12　盒．
分析：观察题干，分析数量关系，如果设每箱牛奶有x盒，则买的加送的牛奶盒数为4x+4，正好等于人数，则可得方程，解方程即可．
解：设每箱牛奶有x盒，
4x+4＝52，
4x＝52﹣4，
x＝48÷4，
x＝12．
答：每箱牛奶有12盒．
故答案为：12．
点评：观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可．
例2：同学们植树，一班比二班多植63棵，一班42人，平均每人植8棵，二班39人，平均每人植多少棵？（用方程解答）
分析：根据题意可找出数量间的相等关系：一班植树的棵树﹣二班植树的棵数＝一班比二班多植的63棵，已知一班的人数和平均每人植的棵数，二班的人数，所以设二班平均每人植x棵，列方程解答即可．
解：设二班平均每人植x棵，由题意得，
42×8﹣39x＝63，
39x＝336﹣63，
39x＝273，
x＝7．
答：二班平均每人植7棵．
点评：此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
跟踪训练
一．选择题（共6小题）
1．（2024 西城区）x＝1.5是下列方程中（　　）的解。
A．x+0.3＝1.2 B．1﹣x＝0.5 C．10x+3＝18 D．2x﹣x＝3
2．（2024春 潼南区期末）在对方程3m+5＝21进行求解时，小刚下一步写的是3m+5﹣5＝21﹣5。小刚这一步的解题思路是（　　）
A．一个加数＝和﹣另一个加数
B．减数＝被减数﹣差
C．等式两边同时减去5
D．等式两边同时加上5
3．（2024春 江宁区期末）下列问题可以用方程2x+25＝85解决的是（　　）
③一件上衣85元，比一条裤子价格的2倍还多25元，一条裤子多少元？（解：设一条裤子x元）
④一个等腰三角形的周长是85厘米，底边长为25厘米，求腰长多少厘米？（解：设其中一条腰长x厘米）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
4．（2024 郾城区）买鞋的学问：如果鞋子是a码，也就是b厘米，它们有这样的关系：a＝2b﹣10．小明要穿40码的鞋子，也就是要穿（　　）厘米的鞋子．
A．35 B．30 C．25 D．15
5．（2024春 洪泽区期中）一个两位数，十位上的数字是y，个位上的数字是x，如果这个两位数是72，那么根据题意列出的方程是（　　）
A．yx＝72 B．x+y＝72 C．10x+y＝72 D．10y+x＝72
6．（2024春 洪泽区期中）若x＝2是方程3x+4a＝22的解，则a的值为（　　）
A．7 B．10 C．4 D．12
二．填空题（共6小题）
7．（2024春 昆山市期末）如果x＝2.5是方程4x+3a＝18.4的解，那么a＝　 　。
8．（2024春 鼓楼区校级期中）马小虎在解方程x﹣5.4+4.6＝11时，先算了5.4+4.6。马小虎求得的方程的解与正确的结果相差 　 　。
9．（2024春 湖滨区期中）如果35×a+65×a＝4500，那么a的值是 　 　。
10．（2024春 隆回县期中）x的5倍与36的差是12，列方程是 　 　。
11．（2023秋 正安县期末）已知方程x÷4＝100与y﹣x＝80中的x为同一个数，则x＝　 　，y＝　 　。
12．（2023秋 乌鲁木齐期末）华氏温度＝摄氏温度×1.8+32，当一个人的体温为华氏温度97.7度时，其体温相当于摄氏温度 　 　度．
三．计算题（共1小题）
13．（2024春 建邺区期末）解方程。
2x÷2.5＝0.8 4.2x+0.6x＝24
5x﹣0.4×30＝48 x﹣63+37＝150
四．应用题（共5小题）
14．（2022春 本溪县期末）小明心里想了一个数，把它乘4再加12，就等于80。请你利用方程求出小明心里想的这个数。
15．（2022春 秦都区期末）学校组织五、六年级同学听抗疫英雄巡回演讲会，一共有972人。报告厅每排可以坐18人，五年级坐了26排，六年级坐了多少排？（列方程解答）
16．（2022春 苏州期末）曲米利用周末制作了一些环保宣传卡，装在6个袋子中，每袋装的数量一样多，都是14张。一共制作了多少张环保宣传卡？
17．（2024春 邛崃市期末）笑笑和她的爷爷今年一共72岁，爷爷今年的年龄是笑笑今年的年龄的5倍。笑笑和爷爷今年各多少岁？（用方程解）
18．（2024春 莲湖区期末）中国二十四节气中的“冬至”是一年中黑夜最长、白昼最短的一天。这一天，北京的白昼时长是黑夜时长的0.6倍。白昼和黑夜分别是多少小时？（用方程解决）
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参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【分析】根据等式的性质或加减法算式各部分之间的关系，分别计算出每个方程的解，再选择正确答案。
【解答】解：x+0.3＝1.2
x+0.3﹣0.3＝1.2﹣0.3
x＝0.9
1﹣x＝0.5
x＝1﹣0.5
x＝0.5
10x+3＝18
10x+3﹣3＝18﹣3
10x＝15
10x÷10＝15÷10
x＝1.5
2x﹣x＝3
（2﹣1）x＝3
x＝3
所以x＝1.5是方程10x+3＝18的解。
故选：C。
【点评】本题解题的关键是熟练掌握解方程的方法。
2．【分析】在对方程3m+5＝21进行求解时，先要根据等式的性质方程两边同时减去5，对方程进行简化，据此解答。
【解答】解：根据上面的分析，小刚这一步的解题思路是：等式两边同时减去5。
故选：C。
【点评】本题解题的关键是熟练掌握解方程的依据。
3．【分析】①求一个排球多少钱，根据等量关系，一个足球25元+2个排球＝85元，可得方程2x+25＝85；
②一条线段是25，先用25×3求出下面线段的长度，然后再加上x就是85，列方程为：25×3+x＝85；
③一件上衣85元，比一条裤子价格的2倍还多25元，设一条裤子x元，可得方程式：2x+25＝85；
④一个等腰三角形的周长是85厘米，底边长为25厘米，设其中一条腰长x厘米，可得方程式：2x+25＝85；由此求解即可。
【解答】解：根据分析可得：
可以用方程2x+25＝85解决的是①③④。
故选：B。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是了解每个数据代表的含义，然后找出题目中的等量关系求解。
4．【分析】把a＝40代入a＝2b﹣10，再依据等式的性质，方程两边同时加10，最后同时除以2求解．
【解答】解：把a＝40代入a＝2b﹣10，可得：
40＝2b﹣10，
40+10＝2b﹣10+10，
50÷2＝2b÷2，
b＝25．
故选：C．
【点评】本题的关键是把a＝40代入方程a＝2b﹣10，再运用等式的性质解方程．
5．【分析】十位上的数字是y，表示y个十，可以写成（10×y）；个位上的数字是x，表示x个一，可以写成（1×x）；如果这个两位数是72，也就是y个十与x个一相加之和等于72，据此解答。
【解答】解：十位上的数字是y，可以写成（10×y）；
个位上的数字是x，可以写成（1×x）；
因此如果这个两位数是72可以表示成10×y+1×x＝72，即10y+x＝72。
故选：D。
【点评】解答此题应明确：十位上的数字是y，表示y个十；个位上的数字是x，表示x个一。
6．【分析】把x＝2代入方程3x+4a＝22，则方程转化为：3×2+4a＝22，再根据等量关系，算出a的值。
【解答】解：把x＝2代入方程3x+4a＝22，则方程转化为：3×2+4a＝22。
3×2+4a＝22
6+4a＝22
6+4a﹣6＝22﹣6
4a＝16
a＝4
故选：C。
【点评】本题解题的关键是熟练掌握解方程的方法。
二．填空题（共6小题）
7．【分析】把x＝2.5代入方程4x+3a＝18.4，可得4×2.5+3a＝18.4，然后根据等式的基本性质求出a的值。
【解答】解：把x＝2.5代入方程4x+3a＝18.4得
4×2.5+3a＝18.4
10+3a＝18.4
10+3a﹣10＝18.4﹣10
3a＝8.4
3a÷3＝8.4÷3
a＝2.8
故答案为：2.8。
【点评】解答此题要运用等式的基本性质。
8．【分析】依据题意可知，利用解小数方程的方法，分别计算错误的解与正确的解，由此解答本题。
【解答】解：错误的：
x﹣5.4+4.6＝11
x﹣10＝11
x＝21
正确的：
x﹣5.4+4.6＝11
x﹣0.8＝11
x＝11.8
21﹣11.8＝9.2
答：马小虎求得的方程的解与正确的结果相差9.2。
故答案为：9.2。
【点评】本题考查的是解小数方程。
9．【分析】先计算35×a+65×a＝35a+65a＝100a，然后根据等式的基本性质，方程两边同时除以100计算即可。
【解答】解：35×a+65×a＝4500
35a+65a＝4500
100a＝4500
100a÷100＝4500÷100
a＝45
故答案为：45。
【点评】解答此题要运用等式的基本性质。
10．【分析】x的5倍是5x，根据x的5倍与36的差是12，列方程是5x﹣36＝12。
【解答】解：x的5倍与36的差是12，列方程是5x﹣36＝12。
故答案为：5x﹣36＝12。
【点评】此题主要考查了整数方程求解，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系。
11．【分析】根据x÷4＝100，可以求出x的值，再将x 的值代入y﹣x＝80中，即可求出y的值。
【解答】解：x÷4＝100
x÷4×4＝100×4
x＝400
y﹣400＝80
y﹣400+400＝80+400
y＝480
答：x＝400，y＝480。
故答案为：400；480。
【点评】本题考查整数方程的计算。注意计算的准确性。
12．【分析】根据华氏温度＝摄氏温度×1.8+32，可得摄氏温度＝（华氏温度﹣32）÷1.8，进而代数计算得解．
【解答】解：当华氏温度是97.7度时，
摄氏温度＝（97.7﹣32）÷1.8
＝65.7÷1.8
＝36.5（度）
答：其体温相当于摄氏温度36.5度．
故答案为：36.5．
【点评】解答此题根据给出的等式，直接代数计算得解．
三．计算题（共1小题）
13．【分析】根据等式的性质，方程两端同时乘2.5，再同时除以2，求出方程的解。
先化简，再根据等式的性质，方程两端同时除以4.8，求出方程的解。
先化简，再根据等式的性质，方程两端同时加上12，再同时除以5，求出方程的解。
根据等式的性质，方程两端同时减去37，再同时加上63，求出方程的解。
【解答】解：2x÷2.5＝0.8
2x÷2.5×2.5＝0.8×2.5
2x＝2
2x÷2＝2÷2
x＝1
4.2x+0.6x＝24
4.8x＝24
4.8x÷4.8＝24÷4.8
x＝5
5x﹣0.4×30＝48
5x﹣12＝48
5x﹣12+12＝48+12
5x＝60
5x÷5＝60÷5
x＝12
x﹣63+37＝150
x﹣63+37﹣37＝150﹣37
x﹣63＝113
x﹣63+63＝113+63
x＝176
【点评】本题解题的关键是熟练掌握解方程的方法。
四．应用题（共5小题）
14．【分析】设小明心里想的这个数是x，根据题意得：4x+12＝80，根据等式的基本性质，方程两边同时减去12，两边再同时除以4即可解答。
【解答】解：设小明心里想的这个数是x。
4x+12＝80
4x+12﹣12＝80﹣12
4x＝68
4x÷4＝68÷4
x＝17
答：小明心里想的这个数是17。
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
15．【分析】根据题意，设六年级坐了x排；根据题意可得：（五年级坐的排数+六年级坐的排数）×每排坐的人数＝总人数，据此列出方程进行解答。
【解答】解：设六年级坐了x排，根据题意可得：
（26+x）×18＝972
（26+x）×18÷18＝972÷18
26+x＝54
26+x﹣26＝54﹣26
x＝28
答：六年级坐了28排。
【点评】列方程解决实际问题，关健是根据题意设出未知数，找出等量关系，然后再列出方程进行解答。
16．【分析】首先根据题意，设一共制作了x张环保宣传卡，然后根据：一共制作的环保宣传卡的数量÷装的袋子的数量＝每袋装的数量，列出方程，求出x的值即可。
【解答】解：设一共制作了x张环保宣传卡，
则x÷6＝14
x÷6×6＝14×6
x＝84
答：一共制作了84张环保宣传卡。
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，解答此题的关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系。
17．【分析】设笑笑今年x岁，根据等量关系：爷爷今年的年龄+笑笑今年的年龄＝72岁，列方程解答即可。
【解答】解：设笑笑今年x岁。
5x+x＝72
6x＝72
x＝12
72﹣12＝60（岁）
答：笑笑今年12岁，爷爷今年60岁。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
18．【分析】设黑夜时长为x小时，则白昼时长为0.6x小时，一天有24小时，根据黑夜时长+白昼时长＝24，列出方程求出x的值是黑夜时长，黑夜时长×0.6＝白昼时长。
【解答】解：设黑夜时长为x小时。
x+0.6x＝24
1.6x＝24
1.6x÷1.6＝24÷1.6
x＝15
白昼：15×0.6＝9（小时）
答：白昼是9小时，黑夜是15小时。
【点评】解决这类问题主要找出题里面蕴含的数量关系，由此列出方程解决问题。
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