长方体和正方体的表面积预习讲义（思维导图、易错精讲、重难点特训）数学六年级上册苏教版

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长方体和正方体的表面积预习讲义（思维导图、易错精讲、重难点特训）数学六年级上册苏教版
思维导图
易错精讲
1．将4个长8cm，宽6cm，高1cm的长方体盒子用彩纸包装在一起，最省包装纸的包装方法是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据长方体表面积的意义可知，将4个长8cm、宽6cm、高1cm的长方体盒子用彩纸包在一起，要想最节省包装纸，也就是把4个长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装。据此解答即可。
【解答】解：要想最节省包装纸，也就是把4个长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装。
故选：D。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。
2．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（　　）
A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号
【分析】根据正方体表面积的意义，弄清取出一个小正方体后剩下图形的表面积与原来大正方体表面积的关系即可。
【解答】解：取出②或④后剩下图形的表面积不变；取出③后剩下图形的表面积比原来的表面积增加小正方体的2个面；取出①后剩下图形的表面积比原来增加小正方体的4个面。所以剩下图形的表面积最大的取法是取出①。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体表面积的意义及应用。
3．用一根36分米长的铁丝恰好围成一个正方体框架，这个正方体的表面积是（　　）平方分米。
A．27 B．54 C．81 D．216
【分析】由题意可知，铁丝的长度相当于正方体的棱长之和，根据“正方体的棱长＝棱长之和÷12”求出正方体的棱长，再利用“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出这个正方体的表面积，据此解答。
【解答】解：棱长：36÷12＝3（厘米）
表面积：3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
答：它的表面积是54平方厘米。
故选：B。
【点评】掌握正方体的棱长之和与表面积计算公式是解答题目的关键。
4．张老师用36dm长的铁丝做了一个正方体框架，这个框架的棱长是 　3　dm，如果在这个框架的表面糊一层纸，至少需要 　54　平方分米的纸。
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：36÷12＝3（分米）
3×3×6
＝9×6
＝54（平方分米）
答：这个框架的棱长是3分米，至少需要54平方分米的纸。
故答案为：3，54。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
5．有一个棱长总和为120厘米的长方体茶叶盒（如图），长、宽、高的比是2：1：3，如果围着它贴一圈商标纸（上下面不贴），需要 　450　平方厘米的商标纸（接头处忽略不计）。
【分析】先用棱长总和除以4得出长、宽、高的和，再根据按比例分配的知识计算出长方体的长、宽、高，最后用（长×高+宽×高）×2计算即可。
【解答】解：120÷4＝30（厘米）
2+1+3＝6
30×＝10（厘米）
30×＝5（厘米）
30×＝15（厘米）
（10×15+5×15）×2
＝（150+75）×2
＝225×2
＝450（平方厘米）
答：需要450平方厘米的商标纸。
故答案为：450。
【点评】本题考查的是长方体表面积和按比例分配知识的运用。
6．一个长方体礼品纸盒展开后它的平面图如图，这个长方体礼品盒的表面积是多少平方厘米？
【分析】由展开图得出：长方体的长是30﹣6﹣6＝18（厘米），宽是26﹣18＝8（厘米），高是6厘米，根据长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代数计算即可。
【解答】解：长是30﹣6﹣6＝18（厘米）
宽是26﹣18＝8（厘米）
高是6厘米
（18×8+8×6+18×6）×2
＝（144+48+108）×2
＝300×2
＝600（平方厘米）
答：这个长方体礼品盒的表面积是600平方厘米。
【点评】解决本题的关键是根据长方体展开图得出长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式计算。
7．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：60÷12＝5（分米）
5×5×6
＝25×6
＝150（平方分米）
答：至少需要150平方分米的铁皮。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
重难点特训
一、选择题
1．下图的纸片折起来可以做成一个正方体，与2号面相对的是（ ）号面。
A．3 B．4 C．5 D．6
2．一个长方体的无盖水箱，长是5米，宽是0.9米，高是1.5米，这个水箱占地面积是（ ）平方米。
A．450 B．4.5 C．13.5 D．7.5
3．一个棱长为的正方体，如果把它切成3个相同的长方体，每个长方体的表面积（ ）。
A．240 B．120 C．60 D．30
4．一块正方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长5cm的正方形，然后做成无盖盒子。这个盒子用了（ ）cm2的铁皮。
A．880 B．820 C．800 D．720
5．正方体的棱长扩大为原来的2倍，则表面积扩大到原来的（ ）。
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．6倍
6．下图几何体是由27个小正方体组成的，拿掉（ ）块小正方体后，剩下的图形表面积最大。
A．① B．② C．③ D．不确定
二、填空题
7．聪聪用纸板做了一个棱长5厘米的正方体，正方体的棱长总和是( )厘米，它的表面积是( )平方厘米。
8．把一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积最少增加( )平方厘米，最多增加( )平方厘米。
9．一个长方体的长、宽、高分别是2厘米，4厘米，5厘米，它的棱长总和是( )厘米。一个正方体的棱长总和是24厘米，它的表面积是( )平方厘米。
10．要制作25节长方体形状的通风管，管口是边长40厘米的正方形，管长2米。一共需要( )平方米的铁皮。
11．一个正方体的表面积是54cm2，它的棱长之和为( )cm。
12．如图所示两个立体图形都是由棱长为1cm的正方体搭成。
①号表面积是( )，②号表面积是( )。
三、判断题
13．2个棱长2cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是48cm2。( )
14．表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定分别相等。( )
15．把3个棱长为1厘米的正方体拼成1个长方体，表面积减少了3平方厘米。( )
16．从一个长方体的顶点处切下一个小正方体后，剩下的物体的表面积不变。( )
17．正方体的表面积比长方体的表面积小。( )
四、计算题
18．求出下列图形的棱长总和、表面积。
19．求出下面几何体的表面积。
五、解答题
20．学校准备给五（1）班粉刷教室四周的墙壁和房顶，教室长9米，宽5米，高3米，门窗面积是11平方米，需要粉刷的面积是多少平方米？
21．某游泳池长50米，宽25米，深2.5米。
（1）该游泳池占地多少平方米？
（2）要在游泳池的底部和四壁涂上防水涂层，要涂多少平方米？
22．王叔叔做一个棱长是4分米的正方体玻璃鱼缸（上面没盖），至少需要玻璃多少平方米？
23．一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长为3分米的正方形，桶高为5分米，做一个这样的水桶至少需要多少平方分米的铁皮？
24．一个长方体的饼干盒，长8厘米，宽6厘米，高10厘米。如果围着它四周贴商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？
参考答案：
1．D
【分析】此图属于正方体的“2－3－1”结构，根据正方体展开图的特征，我们可以确定面的相对关系。
【详解】折成正方体后，1号面与4号面相对，2号面与6号面相对，3号面与5号面相对。
故答案为：D
2．B
【分析】求长方体无盖水箱的占地面积就是求水箱的底面积，长方体的底面积＝长×宽，代入数据计算求解。
【详解】5×0.9＝4.5（平方米）
这个水箱占地面积是4.5平方米。
故答案为：B
3．B
【分析】根据正方体切成3个相同长方体的方法可知：6÷3＝2dm。所以切割后的长方体的长是6dm，宽是6dm，高是2dm，根据长方体表面积公式：面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】6÷3＝2（dm）
（6×6＋6×2＋6×2）×2
＝（36＋12＋12）×2
＝（48＋12）×2
＝60×2
＝120（dm2）
一个棱长为的正方体，如果把它切成3个相同的长方体，每个长方体的表面积120dm2。
故答案为：B
4．C
【分析】根据长方形的面积公式S＝ab和正方形的面积公式S＝a2求出长方形和正方形的面积，这个盒子用的铁皮的面积是这个长方形的面积减去4个边长为5厘米的小正方形的面积，据此即可解答。
【详解】30×30－5×5×4
＝900－100
＝800（cm2）
所以，这个盒子用了800cm2的铁皮。
故答案为：C
5．B
【分析】正方体表面积公式是，根据题意计算和时的两个长方体的表面积，再求表面积扩大到原来的几倍，据此解答。
【详解】当时，
当时，
，表面积扩大到原来的4倍。
故答案为：B
6．C
【分析】立体图形的表面积是各个面积的总和。从正方体的顶点拿走一个小正方体，剩下的图形的表面积不变；从正方体的棱和面分别拿走一个小正方体，剩下的图形表面积会增加。据此分类解答。
【详解】（1）若拿走①小正方体：
观察图中可知，拿走①小正方体，减少了3个小正方体的面，但空出来的面也恰好还是3个小正方体的面，表面积不变。
（2）若拿走②小正方体：
观察图中可知，拿走②小正方体，减少了2个小正方体的面，但空出来的面是4个小正方体的面，表面积增加了2个小正方体的面。
（3）若拿走③小正方体：
观察图中可知，拿走③小正方体，减少了1个小正方体的面，但空出来的面是5个小正方体的面，表面积增加了4个小正方体的面。
所以拿掉③块小正方体后，剩下的图形表面积最大。
故答案为：C
【点睛】理解表面积的意义，明确在顶点，棱、面不同部分拿走小正方体后，引起表面积的不同的变化。
7． 60 150
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把数据代入公式解答。
【详解】5×12＝60（厘米）
5×5×6
＝25×6
＝150（平方厘米）
正方体的棱长总和是60厘米，表面积是150平方厘米。
8． 80 160
【分析】把一个长方体木块锯成两个小长方体，会增加两个相同的长方形的面积；因为10×8＞10×5＞8×5，所以平行于“10×8”的面锯成两个小方体时，增加的表面积最多，增加2个“10×8”的面积；平行于“8×5” 的面锯成两个小方体时，增加的表面积最少，增加2个“8×5”的面积；据此解答。
【详解】10×8＝80（平方厘米）
10×5＝50（平方厘米）
8×5＝40（平方厘米）
80＞50＞40
表面积最少增加：40×2＝80（平方厘米）
表面积最多增加：80×2＝160（平方厘米）
所以，表面积最少增加80平方厘米，最多增加160平方厘米。
9． 44 24
【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长方体的棱长总和；再根据正方体的棱长和＝棱长×12，用正方体的棱长总和除以12，即可求出正方体的棱长，最后根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据求出正方体的表面积。
【详解】（2＋4＋5）×4
＝11×4
＝44（厘米）
24÷12＝2（厘米）
2×2×6＝24（平方厘米）
一个长方体的长、宽、高分别是2厘米，4厘米，5厘米，它的棱长总和是44厘米。一个正方体的棱长总和是24厘米，它的表面积是24平方厘米。
10．80
【分析】通风管没有底面，所以只需要求4个侧面的面积，根据长方体侧面积的计算方法：底面周长×高，代入数据，求出一个侧面积，再乘25，即可解答。
【详解】40厘米＝0.4米
0.4×4×2×25
＝1.6×2×25
＝3.2×25
＝80（平方米）
所以一共需要80平方米的铁皮。
11．36
【分析】已知一个正方体的表面积是54cm2，根据正方体的表面积公式S＝6a2，可知正方体的表面积÷6＝一个面的面积；
因为正方体的每个面都是相同的正方形，由正方体一个面的面积确定正方体的棱长；
再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出它的棱长之和。
【详解】54÷6＝9（cm2）
因为9＝3×3，所以这个正方体的棱长是3cm。
3×12＝36（cm）
它的棱长之和为36cm。
12． 34cm2/34平方厘米 32cm2/32平方厘米
【分析】①号从正面看有7个小正方形，从右面看有6个小正方形，从上面看有4个小正方形，因为前后、左右、上下，小正方形个数一样，①号表面小正方形总个数＝（7＋6＋4）×2，①号表面积＝小正方形总个数×小正方形面积；
②号从正面看有6个小正方形，从右面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，②号表面小正方形总个数＝（6＋5＋5）×2，②号表面积＝小正方形总个数×小正方形面积。
【详解】（7＋6＋4）×2×（1×1）
＝17×2×1
＝34（cm2）
（6＋5＋5）×2×（1×1）
＝16×2×1
＝32（cm2）
①号表面积是34cm2，②号表面积是32cm2。
13．×
【分析】拼成长方体后，长方体的长为（2×2）cm，宽和高相等都是2m，根据长方体的表面积＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，代入长宽高的数据，即可求出长方体的表面积再进行判断即可。
【详解】2×2＝4（cm）
（4×2＋4×2＋2×2）×2
＝（8＋8＋4）×2
＝（16＋4）×2
＝20×2
＝40（cm2）
2个棱长2cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是40cm2，原题计算错误。
故答案为：×
14．×
【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的表面积大小是由长、宽、高的数值根据公式求值决定的。假设其中一个长方体的长5厘米、宽1厘米、高1厘米，另一个长方体的长3厘米，宽2厘米，高1厘米，根据长方体的表面积公式，代入数据解答，再比较即可。
【详解】长5厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体的表面积是：
（5×1＋5×1＋1×1）×2
＝（5＋5＋1）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
长3厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体的表面积是：
（3×2＋3×1＋2×1）×2
＝（6＋3＋2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
所以两个长方体的表面积相等，它们的长、宽、高也不一定相等。原题干说法错误。
故答案为：×
15．×
【分析】如图所示，把2个正方体拼成1个长方体后，表面积减少2个正方形的面积，把3个正方体拼成1个长方体后，表面积减少4个正方形的面积，求出正方体一个面的面积，再乘减少正方形的数量，据此解答。
【详解】
1×1＝1（平方厘米）
1×2×2＝4（平方厘米）
所以，表面积减少了4平方厘米。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确减少正方形的数量是解答题目的关键。
16．√
【分析】根据题意可知，长方体一个顶点处切去一个小正方体，表面积减少了3个小正方形的面积，同时又增加了3个小正方形的面积，所以表面积没有变化，据此解答。
【详解】根据分析可知，从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，剩下的物体的表面积不变。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查长方体的表面积，明确表面积的意义是解答本题的关键。
17．×
【分析】根据长方体、正方体的表面积的意义，长方体的表面积是指长方体的6个面总面积，正方体的表面积是指正方体的6个面的总面积，因此它们表面积的大小跟各自的棱长及长宽高有关，大小并不一定，可举例说明。
【详解】比如长方体的长是3，宽为2，高是1，
长方体的表面积为：
3×2×2＋3×1×2＋2×1×2
＝12＋6＋4
＝22
正方体的棱长是3，则正方体的表面积是3×3×6＝54
22＜54
可见正方体的表面积并不一定比长方体的表面积小。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查正方体、长方体的表面积的意义及计算方法。
18．长方形的棱长总和为38，表面积是59；正方形的棱长总和为60，表面积是150
【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、正方体的棱长和＝棱长×12、正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据分别解答即可。
【详解】（4＋2.5＋3）×4
＝9.5×4
＝38
长方形的棱长总和为38；
（4×2.5＋4×3＋2.5×3）×2
＝（10＋12＋7.5）×2
＝29.5×2
＝59
长方形的表面积是59。
5×12＝60
正方形的棱长总和为60；
5×5×6＝150
正方形的表面积是150。
19．216cm2
【分析】观察图形可知，这个几何体虽然切去了一块，但是通过面的平移可得：这个几何体的表面积等于棱长为6cm的正方体的表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。
【详解】6×6×6＝216（cm2）
则这个几何体的表面积是216cm2。
20．118平方米
【分析】根据题意，粉刷教室四周的墙壁和房顶，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；
根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积。
【详解】9×5＋9×3×2＋5×3×2
＝45＋54＋30
＝129（平方米）
129－11＝118（平方米）
答：需要粉刷的面积是118平方米。
21．（1）1250平方米；（2）1625平方米
【分析】（1）占地面积指的是游泳池的底面积，用“长×宽”求解即可；
（2）要涂的面积是求五个面的面积和，用“长×宽＋长×深×2＋宽×深×2”求解即可。
【详解】（1）50×25＝1250（平方米）
答：该游泳池占地1250平方米。
（2）50×25＋50×2.5×2＋25×2.5×2
＝1250＋250＋125
＝1625（平方米）
答：要涂1625平方米。
22．0.8平方米
【分析】求出无盖的正方体玻璃鱼缸的表面积，相当于求正方体的5个面的面积，也就是棱长×棱长×5即可求出无盖鱼缸的表面积，再把单位换算成平方米。
【详解】4×4×5＝80（平方分米）
80平方分米＝0.8平方米
答：至少需要玻璃0.8平方米。
23．69平方分米
【分析】求做一个无盖的长方体铁皮水桶至少需要铁皮的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和。
已知这个长方体水桶的底面是边长为3分米的正方形，桶高为5分米，那么这个长方体的下面是“3×3”的正方形，前后面、左右面都是“3×5”的长方形，据此求出这5个面的面积之和即可。
【详解】3×3＋3×5×4
＝9＋60
＝69（平方分米）
答：做一个这样的水桶至少需要69平方分米的铁皮。
24．280平方厘米
【分析】上、下面不贴商标纸，求这张商标纸的面积，实际是求长方体4个侧面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝2ah＋2bh，代入数据即可求出这张商标纸的面积。
【详解】8×10×2＋6×10×2
＝80×2＋60×2
＝160＋120
＝280（平方厘米）
答：这张商标纸的面积至少有280平方厘米。
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