第二章一元二次函数、方程和不等式检测卷（含解析）-高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册

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第二章一元二次函数、方程和不等式检测卷-高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，，则（ ）
A． B． C． D．不确定
3．用一段长为cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列区间中，使函数逐渐增加的区间是（　　）
A． B．
C． D．
6．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为（　　）
A．50 B．
C． D．100
7．下面四个推导过程正确的有（ ）
A．若a，b为正实数，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列式子中，使的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．方程的两根是，1
C．不等式的解集是
D．不等式的解集是
11．设，，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值为 D．有最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．利用基本不等式求最值
已知，，则：
（1）如果和等于定值s，那么当时，积xy有最大值 ；
（2）如果积xy等于定值p，那么当时，和有最小值 ．
13．已知,，则“,”是“”的 条件，“”是“”的 条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
14．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
(1)当时，解不等式
(2)若关于的不等式的解集为，求的值；
16．如图，试用直观的方法比较以为边长的正方形的面积与四个长为、宽为的矩形面积之和的大小，把这种大小关系用不等式表示出来，并证明．

17．已知x，y均为正数，试求证：若（p为定值），则当且仅当时，取得最小值．
18．重新考查不等式.这个不等式的左边可分解因式为.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集
不等式组（1）的解为，不等式组（2）无解，从而不等式的解集为.
试用上述方法解下面的不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
19．一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创收价值（元）之间有如下关系式：．若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量应满足什么条件？
参考答案：
1．D
【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，不等式恒成立时，，
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
2．A
【分析】运用作差法比较大小即可.
【详解】因为，所以.
故选：A.
3．C
【分析】设矩形的长为，宽为，则有，再利用基本不等式即可得解.
【详解】设矩形的长为，宽为，，
则，即，
所以这个模型的面积为，
当且仅当时取等号，
所以这个模型的最大面积为.
故选：C.
4．C
【分析】由一元二次不等式的解法求解．
【详解】原不等式可化为，而，故，
图象开口向下，
故原不等式的解集为
故选：C
5．D
【分析】利用二次函数的单调性可得出结果.
【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
所以，函数的增区间为，
故选：D.
6．A
【分析】设矩形的长和宽分别为，则，然后利用基本不等式可求出面积的最大值.
【详解】设矩形的长和宽分别为，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积最大的一个矩形的面积为50.
故选：A
7．A
【分析】对每个选项，分析所给条件，结合基本不等式来判断.
【详解】A中，∵a，b为正实数，∴，则，
当且仅当时等号成立，故A正确；
B中，∵，当时，，
当且仅当，即时等号成立，故B不正确；
C中，由，得，则，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故C不正确；
D中，对任意的，都有，即，
当且仅当时等号成立，所以D不正确．
故选：A
8．D
【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为，
由，得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：D
9．BD
【分析】由，得，根据选项，结合充分条件的定义即可求解.
【详解】由，得，
又，
故选：BD.
10．ABD
【分析】根据给定条件，求出，再逐项判断即可得解.
【详解】依题意，方程的两根是，1，B正确；
显然，即，，A正确；
不等式，即的解集为或，C错误；
不等式，即的解集是，D正确.
故选：ABD
11．AD
【分析】利用基本不等式直接判断与的最值情况.
【详解】，，，
当且仅当即时，等号成立，A选项正确，B选项错误；
又，时，，即，
所以，当且仅当时，等号成立，C选项错误，D选项正确；
故选：AD.
12．
【分析】略.
【详解】略.
13． 充分不必要 必要不充分
【分析】由不等式的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由可得，
由，得或，
所以“”是“”的充分不必要条件；
由可得，
由，得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：充分不必要；必要不充分
14．
【分析】结合一元二次不等式的性质计算即可得.
【详解】由题意可得，解得．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）代入参数直接解析一元二次不等式即可；
（2）根据一元二次不等式解集的端点即为对应方程的根就可以求解参数.
【详解】（1）将代入可得，解不等式，
即，所以不等式解集为；
（2）因为关于的不等式的解集为，
所以和为方程的两个解，
即，解得.
16．，证明见解析.
【分析】利用作差法证明.
【详解】根据题意，由图形可得，
以为边长的正方形的面积大于等于四个长为、宽为的矩形面积之和，
即，
证明如下：
，
当且仅当时取得等号，
故.
17．证明见解析.
【分析】根据均值不等式，结合已知推理即可得解.
【详解】因为x，y均为正数，，则由均值不等式得，
当且仅当时取等号，由，解得，
所以当时，取得最小值．
18．(1)或
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用实数乘除法的符号法则，列一元一次不等式组分别解不等式求解集.
【详解】（1）由，得或，解得或，
所以原不等式的解集为或；
（2）由，得或，解得或，
所以原不等式的解集为；
（3）由，得或，解得或，
所以原不等式的解集为；
（4）由，得或，解得或，
所以原不等式的解集为或.
19．.
【分析】根据已知列出一元二次不等式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】由题意可得：，
解得：.
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