第三章圆锥曲线的方程检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章圆锥曲线的方程检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-12 11:02:55 | ||
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文档简介
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第三章圆锥曲线的方程检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
5． 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．2
6．设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（ ）
A．1 B． C． D．2
7．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为大于0的常数），则点的轨迹可能是（ ）
A．两条直线的一部分 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
10．双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（ ）
A．3 B． C． D．
11．已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．线段的长度的最小值为4
C．存在唯一直线，使得为线段的中点
D．以线段为直径的圆与的准线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 .
13．已知分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，且为等边三角形；过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为 ．
14．设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为.
(1)求拋物线的标准方程；
(2)设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率.
16．已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求的方程;
(2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.
17．已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.
18．已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
19．已知椭圆经过点，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.
(3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.
参考答案：
1．A
【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由椭圆的方程，可得：
当时，可得，此时椭圆的离心率为，
由，可得，解得；
当时，可得，此时椭圆的离心率为，
由，可得，解得，所以
所以是椭圆C的离心率为的充分不必要条件．
故选：A.
2．C
【分析】双曲线的渐近线方程为，离心率，由于，由离心率和渐近线斜率平方，可得出两者之间的关系即可解题.
【详解】曲线的渐近线方程为，因为双曲线C的离心率为，所以.
两边平方，即，又，所以.
解得，则.
故双曲线C的渐近线方程为．
故选：C.
3．D
【分析】根据已知条件，结合椭圆的标准方程和性质，即可求解．
【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆
则应满足即．
故选：D．
4．D
【分析】利用抛物线的知识可以知道点，然后再利用切线和垂直即可求解.
【详解】由题意易得，
过上一点作圆的两条切线，切点分别为，且，
且，
将点代入抛物线方程可得，即，
，解得.
故选：D.
5．D
【分析】首先把问题转化为和到轴的距离之和的最小值，再根据抛物线的定义最小，根据数形结合得出结论.
【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离，
所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小，
根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为.
故选：D
6．B
【分析】利用双曲线的几何定义，结合图中等腰直角三角形，能求解出的长，从而问题可求解.
【详解】
结合题意可知,设，则，
结合双曲线的定义可得，则，
又由双曲线的定义可得，则，解得，
所以，，，
在中，则余弦定理得：
，
所以，则，即.
故选：B.
7．D
【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解．
【详解】设，，，
则，，，
所以，所以，
将，两点坐标代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：，
所以，则，
故选：D
8．A
【分析】由题意可得，再结合双曲线的定义可得，设，在中，利用余弦定理求出，再利用双余弦定理得出的关系式，即可得解.
【详解】因为，，成等差数列，
所以，即，
又因为，
所以，所以，
设，则，
故，
在中，由余弦定理得，
，
解得（舍去），
所以，
因为，所以，
即，
即，
整理得，所以，
即的离心率是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
9．AD
【分析】设出切线方程且斜率为，联立椭圆化简使判别式等于零得到关于等式，根据判别式及二次方程和韦达定理可得的范围及，根据的不同取值分别判断关于方程所对应的轨迹即可.
【详解】依题意可知直线和直线的斜率存在，
设过的椭圆的切线方程为，
联立化简可得：
，
取，
即，
且有，且上式两根分别为，
则上式的判别式，
整理得，符合题意，所以，
①若，则，
即点的轨迹是直线（两条）的一部分；
②若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分；
若且，整理可得，
③当时，12，
轨迹方程可化为，即点的轨迹是圆的一部分；
④当或时，，且，
由于，且，所以点的轨迹是椭圆的一部分；
⑤当时，，表示焦点在轴上的双曲线，
由于，所以点的轨迹是双曲线的一部分.
又因为为大于0的常数，所以点的轨迹可能是两条直线的一部分或双曲线的一部分.
故选：AD.
10．AB
【分析】根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，比较各个选项即可
【详解】因为
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：AB
11．BCD
【分析】由抛物线方程就可求出准线方程，即可判断A；设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，再逐一判断BCD即可.
【详解】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误；
对于B，，
由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，，
联立，消得，，
则，所以，
所以，时取等号，
所以线段的长度的最小值为4，故B正确；
对于C，由B选项得线段的中点坐标为，
若点为线段的中点，
则，解得，
所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确；
对于D，由C选项知线段的中点坐标为，
则中点到准线的距离为，
所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故选：BCD.
12．
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再借助抛物线的定义求解即可.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
设所求点的坐标为，依题意，，解得，而，则，
所以所求点的坐标为.
故答案为：
13．16
【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义可得
【详解】
由，得
因为为等边三角形，，
且过且垂直于的直线与椭圆交于两点，
所以DE为线段的垂直平分线，
得，
则的周长为，
故答案为：16
14．3
【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解．
【详解】如图，画出草图．
由的离心率为，且，可得，解得.
因为，
所以由双曲线的定义，可得.
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程；
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率.
【详解】（1）
设，
则，解得，即，
将代入抛物线，解得，
拋物线的标准方程为：.
（2）由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为，
则直线的方程为，
则直线的方程为，
设点，
联立，得，
由韦达定理，，
即，同理，
故，
所以，
故，
综上所述，直线的斜率为.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出椭圆方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程.
【详解】（1）依题意：，解得，
所以E的方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，
联立，消y得：，
整理得：，
，则，
，
则，
即，
则，即，
解得或，
则直线l的方程为或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解，
（2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解.
【详解】（1）C上一点到点F的距离为4,
由抛物线定义可得，，抛物线的方程为．
（2）设直线，，设,,,，
将方程代入方程整理得，需满足，
，
故，解得，
当时，满足，故符合题意，
故直线方程为
18．(1)，；
(2)1.
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解.
【详解】（1）由离心率，又，则，
又长轴长，所以，所以，
故双曲线的标准方程为；
其渐近线方程为.
（2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，
的方程为；
设
由，得，
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据待定系数法计算即可求解；
（2）由题意求出，利用点到直线的距离公式求出到的距离，结合三角形面积公式计算即可求解；
（3）设，利用平面向量的坐标表示和点差法计算表示出A、B、C、D的坐标，由直线的两点式方程分别表示出直线AD和BC，两直线方程相减可得，即可求解.
【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得①
又由，所以②，
由①②联立且，可得，
故椭圆的标准方程为；
（2）易知，则，所以，
设，联立与有，
则，由解得，
到的距离即为在边上高的最小值，即，
此时面积的最小值；
（3）设，则，即，
又由，得，
整理得，
再代入得，即，
所以，
同理令，，则，
则，，
则直线的方程为
，
同理的方程为
，
两式相减，整理得，即点在定直线上.
【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）．
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第三章圆锥曲线的方程检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
5． 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．2
6．设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（ ）
A．1 B． C． D．2
7．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为大于0的常数），则点的轨迹可能是（ ）
A．两条直线的一部分 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
10．双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（ ）
A．3 B． C． D．
11．已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．线段的长度的最小值为4
C．存在唯一直线，使得为线段的中点
D．以线段为直径的圆与的准线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 .
13．已知分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，且为等边三角形；过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为 ．
14．设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为.
(1)求拋物线的标准方程；
(2)设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率.
16．已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求的方程;
(2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.
17．已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.
18．已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
19．已知椭圆经过点，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.
(3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.
参考答案：
1．A
【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由椭圆的方程，可得：
当时，可得，此时椭圆的离心率为，
由，可得，解得；
当时，可得，此时椭圆的离心率为，
由，可得，解得，所以
所以是椭圆C的离心率为的充分不必要条件．
故选：A.
2．C
【分析】双曲线的渐近线方程为，离心率，由于，由离心率和渐近线斜率平方，可得出两者之间的关系即可解题.
【详解】曲线的渐近线方程为，因为双曲线C的离心率为，所以.
两边平方，即，又，所以.
解得，则.
故双曲线C的渐近线方程为．
故选：C.
3．D
【分析】根据已知条件，结合椭圆的标准方程和性质，即可求解．
【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆
则应满足即．
故选：D．
4．D
【分析】利用抛物线的知识可以知道点，然后再利用切线和垂直即可求解.
【详解】由题意易得，
过上一点作圆的两条切线，切点分别为，且，
且，
将点代入抛物线方程可得，即，
，解得.
故选：D.
5．D
【分析】首先把问题转化为和到轴的距离之和的最小值，再根据抛物线的定义最小，根据数形结合得出结论.
【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离，
所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小，
根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为.
故选：D
6．B
【分析】利用双曲线的几何定义，结合图中等腰直角三角形，能求解出的长，从而问题可求解.
【详解】
结合题意可知,设，则，
结合双曲线的定义可得，则，
又由双曲线的定义可得，则，解得，
所以，，，
在中，则余弦定理得：
，
所以，则，即.
故选：B.
7．D
【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解．
【详解】设，，，
则，，，
所以，所以，
将，两点坐标代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：，
所以，则，
故选：D
8．A
【分析】由题意可得，再结合双曲线的定义可得，设，在中，利用余弦定理求出，再利用双余弦定理得出的关系式，即可得解.
【详解】因为，，成等差数列，
所以，即，
又因为，
所以，所以，
设，则，
故，
在中，由余弦定理得，
，
解得（舍去），
所以，
因为，所以，
即，
即，
整理得，所以，
即的离心率是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
9．AD
【分析】设出切线方程且斜率为，联立椭圆化简使判别式等于零得到关于等式，根据判别式及二次方程和韦达定理可得的范围及，根据的不同取值分别判断关于方程所对应的轨迹即可.
【详解】依题意可知直线和直线的斜率存在，
设过的椭圆的切线方程为，
联立化简可得：
，
取，
即，
且有，且上式两根分别为，
则上式的判别式，
整理得，符合题意，所以，
①若，则，
即点的轨迹是直线（两条）的一部分；
②若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分；
若且，整理可得，
③当时，12，
轨迹方程可化为，即点的轨迹是圆的一部分；
④当或时，，且，
由于，且，所以点的轨迹是椭圆的一部分；
⑤当时，，表示焦点在轴上的双曲线，
由于，所以点的轨迹是双曲线的一部分.
又因为为大于0的常数，所以点的轨迹可能是两条直线的一部分或双曲线的一部分.
故选：AD.
10．AB
【分析】根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，比较各个选项即可
【详解】因为
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：AB
11．BCD
【分析】由抛物线方程就可求出准线方程，即可判断A；设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，再逐一判断BCD即可.
【详解】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误；
对于B，，
由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，，
联立，消得，，
则，所以，
所以，时取等号，
所以线段的长度的最小值为4，故B正确；
对于C，由B选项得线段的中点坐标为，
若点为线段的中点，
则，解得，
所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确；
对于D，由C选项知线段的中点坐标为，
则中点到准线的距离为，
所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故选：BCD.
12．
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再借助抛物线的定义求解即可.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
设所求点的坐标为，依题意，，解得，而，则，
所以所求点的坐标为.
故答案为：
13．16
【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义可得
【详解】
由，得
因为为等边三角形，，
且过且垂直于的直线与椭圆交于两点，
所以DE为线段的垂直平分线，
得，
则的周长为，
故答案为：16
14．3
【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解．
【详解】如图，画出草图．
由的离心率为，且，可得，解得.
因为，
所以由双曲线的定义，可得.
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程；
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率.
【详解】（1）
设，
则，解得，即，
将代入抛物线，解得，
拋物线的标准方程为：.
（2）由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为，
则直线的方程为，
则直线的方程为，
设点，
联立，得，
由韦达定理，，
即，同理，
故，
所以，
故，
综上所述，直线的斜率为.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出椭圆方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程.
【详解】（1）依题意：，解得，
所以E的方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，
联立，消y得：，
整理得：，
，则，
，
则，
即，
则，即，
解得或，
则直线l的方程为或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解，
（2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解.
【详解】（1）C上一点到点F的距离为4,
由抛物线定义可得，，抛物线的方程为．
（2）设直线，，设,,,，
将方程代入方程整理得，需满足，
，
故，解得，
当时，满足，故符合题意，
故直线方程为
18．(1)，；
(2)1.
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解.
【详解】（1）由离心率，又，则，
又长轴长，所以，所以，
故双曲线的标准方程为；
其渐近线方程为.
（2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，
的方程为；
设
由，得，
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据待定系数法计算即可求解；
（2）由题意求出，利用点到直线的距离公式求出到的距离，结合三角形面积公式计算即可求解；
（3）设，利用平面向量的坐标表示和点差法计算表示出A、B、C、D的坐标，由直线的两点式方程分别表示出直线AD和BC，两直线方程相减可得，即可求解.
【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得①
又由，所以②，
由①②联立且，可得，
故椭圆的标准方程为；
（2）易知，则，所以，
设，联立与有，
则，由解得，
到的距离即为在边上高的最小值，即，
此时面积的最小值；
（3）设，则，即，
又由，得，
整理得，
再代入得，即，
所以，
同理令，，则，
则，，
则直线的方程为
，
同理的方程为
，
两式相减，整理得，即点在定直线上.
【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）．
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