第一章空间向量与立体几何检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
第一章空间向量与立体几何检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若向量，向量，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在四面体中，为棱的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
4．设平面和的法向量分别为．若，则（ ）
A．4 B． C．10 D．
5．设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
7．直线l1，l2的方向向量分别是，，若与所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则（ ）
A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ|
8．若O是正方体的中心，则异面直线与OC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底
C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．已知向量，则与共线的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ．
13．已知，则 .
14．在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为 .

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知空间三点，，，设，.
(1)求，;
(2)求与的夹角.
16．已知点，求：
(1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标；
(2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标.
17．如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
18．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
19．如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．
(1)证明：直线直线;
(2)求直线与平面所成的角的大小．
参考答案：
1．C
【分析】根据向量的加减法法则求解即可.
【详解】因为向量，向量，
所以.
故选：C
2．A
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】,
故选:A

3．C
【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解.
【详解】由题得，
所以到平面的距离为，
故选：C.
4．C
【分析】根据数量积的坐标表示列方程求解可得.
【详解】因为，
所以，解得.
故选：C
5．D
【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可.
【详解】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确；
对于B，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确；
对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确；
对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误.
故选：D
6．D
【分析】由题意求出，，结合投影向量的计算公式即可求解.
【详解】向量，，
，，
向量在向量方向上的投影向量的模为.
故选：D.
7．D
【分析】由直线夹角与直线方向向量夹角的关系可直接得答案.
【详解】由题意可得α＝θ或α＝π－θ，且，因而cos α＝|cos θ|，
故选：D.
8．A
【分析】利用空间向量，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角的余弦公式，即可求出结果.
【详解】设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，则
由于O是正方体的中心，所以，
所以，
所以异面直线与OC所成角的余弦值为.
故选：A.
9．ACD
【分析】根据空间向量的概念，逐项分析即可.
【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得不正确；
选项中，因为所以与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点，可得四点共面，所以正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D.
【详解】若，则，得，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误；
故选：AC.
11．AD
【分析】与共线的单位向量为或，从而求出答案.
【详解】，则与共线的单位向量为或，
其中，.
故选：AD
12．2
【分析】利用投影的定义计算然后求模即可．
【详解】
空间向量在向量方向上的投影为，
所以投影的模为．
故答案为：．
13．
【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解.
【详解】由题意得，，
则.
故答案为：
14．
【分析】根据给定的空间直角坐标系，求出的坐标即可得解.
【详解】依题意，，则，
则点，而点，
所以PD的中点M的坐标为.
故答案为：
15．(1)；.
(2)
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可；
（2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案.
【详解】（1）由题意，，，
所以，；
（2）由（1）可知，
又，所以，即与的夹角为.
16．(1)，.
(2)，，.
【分析】（1）根据空间点的投影特点即可得到坐标；
（2）根据空间点关于面、线和点对称的特点即可得到坐标.
【详解】（1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，.
（2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】
根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可.
【详解】（1）
∵是的中点，
∴；
（2）
∵是的中点，
∴；
（3）
∵是的中点，
∴.
18．
【分析】空间向量法计算平面与平面的的夹角；
【详解】设，则，
因为E分别为的中点，所以所以
设是平面的法向量，则
所以所以
取，则，
所以平面的一个法向量为.
又平面，
所以是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直；
（2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案.
【详解】（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
,.
,因为，所以.
（2），,
易知平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为，则，
所以，即直线与平面所成的角的大小为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)