2023~2024学年福建莆田荔城区莆田第九中学高一上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年福建莆田荔城区莆田第九中学高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、若集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.R
D. 或
2、下列各组函数表示同一个函数的是
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
3、已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、给定函数 对于 用 表示 中的较小者，记为
，则 的最大值为（ ）
A.
B.
C.3
D.
6、若对于任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B. 0
C.
D.
7、已知函数 在其定义域内为偶函数，且 ，则
（ ）
A.2023
B.
C.2021
D.
8、已知函数 的定义域是 ，函数 的图象的对称中心是 ，若对任意的 ， ，且
，都有 成立， ，则不等式 的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知 ，且 ，则（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最大值为
10、若命题“ ， ”是假命题，则 的值可能为（ ）
A.
B.1
C.3
D.6
11、已知函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足 ，则
的值可能是（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
12、已知 是偶函数，对任意的 都有 ，且 当 ，且
时， 恒成立，则（ ）
A.
B.直线 是 图像的对称轴
C. 在 上是增函数
D.方程 在 上有 个实根.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知函数 的图象恒过定点 ，若点 在一次函数 的图象上，其中 ， ，则
的最小值为 .
14、已知 ，且 ，则 .
15、已知函数 是定义在 上的偶函数， ，当 时，
，则不等式 的解集是 .
16、函数 的定义域为R，其图像是一条连续的曲线， 在 上单调递增，且 为偶函数，
为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是 .
① 既不是奇函数也不是偶函数；
② 的最小正周期为4；
③ 在 上单调 递减；
④ 是 的一个最大值；
⑤ .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知全集 ，集合 ， .
(1)当 时，求 和 ；
(2)若“ ”是“ ”成立的充分不必要 条件，求实数m的取值范围.
18、（本小题12分）
已知幂函数 为奇函数.
(1)求 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
19、（本小题12分）
已知函数 .
（1）求证： 在 上是增函数；
（2）若 在 ， 上的最大值是最小值的 2倍，求a的值.
20、（本小题12分）
世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电
动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展
开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计
划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产 （百辆），需另投入成
本 （万元），且 ；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内
生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润 （万 元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
21、（本小题12分）
定义在R上的函数 满足：对于 ， ， 成立；当 时， 恒成立.
(1)求 的值；
(2)判断并证明 的单调性；
(3)当 时，解关于x的不等式 .
22、（本小题12分）
已知函数 ， ，
(1)当 时，求函数 的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当 时，函数 在区间 上的最大值为 ，试求实数 的取值范围；
(3)若不等式 对任意 ， （ ）恒成立 ，求实数 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
或 ， ，
∴ 或 .
因此正确答案为：D.
2、
<答 案>:
B
<解析>:
选项 函数 的定义域为 ，而 的定义域为R，故A错误；选项 函数 的定义域为R
，而 的定义域为R，且， ，故B正确；选项 函数 的定义域为
，而 的定义域为R，故C错误；选项 函数 的定义域为R，而 的定
义域为R，但是 ，故解析式不一样，所以D错误；故选：B.
3、
<答 案>:
C
<解析>:
根据函数 的定义域求出 的定义域，结合 ，求出函数 的定义域.
因为函数 的定义域为 ，则 ， ，
所以 的定义域为 ，
又因为 ，即 ，
所以函数 的定义域为 ，
故选：C
4、
<答 案>:
A
<解析>:
依题意可得 和 为方程 的两根且 ，利用韦达定理得到 ， ，代入不等式
，解不等式即可.
因为不等式 的解集 为 ，
所以 和 为方程 的两根且 ，
，解得 ，
则不等式 可化为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以不等式的解集为： .
故选：A
5、
<答 案>:
C
<解析>:
先把 写成分段函数的形式，再求最大值即可.
解：令 ，即 ,解得 ,
所以 ，
当 时， ，
当 或 时， ,
所以函数 的最大值为3，
故选： ．
6、
<答 案>:
B
<解析>:
利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
由题意，对于 都有 成立，
∴ ，解得： ，
即实数 的取值范围是 .
故选：B.
7、
<答 案>:
B
<解析>:
首先根据 为偶函数和 得到 ，再根据 求解即可.
因为 的定义域为R，且为偶函数，
所以 ，即 ，即 .
所以 .
又因为 ，即 ，所以 .
因为 ，
所以
.
故选：B
8、
<答 案>:
D
<解析>:
因为 是 向左平移1个单位长度得到，且函数 的图象的对称中心是 ，
所以 的图象的对称中心是 ，故 是 上的奇函数，所以 ，
对任意的 ， ，且 ，都有 成立，
所以 ，
令 ，所以根据单调性的定义可得 在 上单调递增，
由 是 上的奇函数可得 是 上的偶函数
所以 在 上单调递减，
当 时，不等式 得 到 ，矛盾；
当 时， 转化成 即 ，所以 ；
当 时， 转化成 ， ，所以 ，
综上所述，不等式 的解集为
因此正确答案为：D
二、多选题
9、
<答 案>:
B;C
<解析>:
对A，直接运用均值不等式 即可判断；
对B， ，运用均值不等式即可判断；
对C， ，讨论二次函数最值即可；
对D， ，讨论最值即可.
， ，当 时，即 时，可取等号，A错；
，当 时，即 时，可
取等号，B对；
，当 时，可取等号，C对；
，D错.
故选：BC
10、
<答案 >:
B;C;D
<解析>:
首先将问题转换为 ， 恒成立，通过对 是否等于0进行讨论求出符
合题意的 的取值范围即可得解.
由题意“ ， 恒成立”是真命题，
当 时，不等式 恒成立，满足题意；
当 时，不等式变为了 ，当 时，它不成立，不满足题意；
当 时，若 ， 恒成立，
则当且仅当 ，解得 满足题意，
综上所述：符合题意的 的取值范围为 .
故选：BCD.
11、
<答案 >:
B;C
<解析>:
作出函数 的图像，根据图像得出 , , 满足的条件和 范围,从而得出答案.
函数 ，
画出 的图象如下图所示：
不妨设 ，设 ，
则 ， 、 关于直线 对称，
，
当 时， ，
所以 满足 ，
则 ，
故 的取值范围是 .
故选：BC
12、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
对于 ，对任意的 都有 （3），令 ，则 （3） （3） （3）
故 （3） ，即 ，因为 是偶函数 ，
即 ， （5） ，故 正确；
对于 ，由 可得 ，可知 是函数 的对称轴，又 为偶函数，故 也是
的对称轴，因此正确答案为项 是正确的；
对于 ，由 ， ， ，且 时， 恒成立知 在 ， 为减函数， 是函数
的对称轴，则可得 在 ， 为增函数，由 可得 在 ， 为减函数，在 ， 是增函
数，故 不正确；
对于 ，已知 （5 ） ，则 （1） ， ， ，故 正确．
因此正确答案为： ．
三、填空题
13、
<答案 >:
4
<解析>:
求出函数 的图象恒过定点 ，得到 ，使用基本不等式求 的最小值.
函数 的图象恒过定点 ，所以 ,
因为 ，所以 ，
当 时， 的最小值为4.
故答案为：4
14、
<答案 >:
4
<解析>:
求出 的解析式，再由 求 的值.
，所以 ，
由 得 .
故答案为：4
15、
<答案 >:
<解析>:
函数 是定义在 上的偶函数， ，解得 .
又 ，当 时， ，
函数 在 上单调递减， ，
，解得 ，
因此正确答案为： .
16、
<答案 >:
②③⑤
<解析>:
由 为偶函数，可得 的图象关于直线 对称，由 为奇函数，可得
，再结合前面的可得 ， ，从而可得 为奇函数，
周期为4，然后逐个分析判断.
对于①②，因为 为偶 函数，所以 ，所以 的图象关于直线 对称，所以
，
因为 为奇函数 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 为奇函数，周期为4，所以①错误，②正确，
对于③，因为 为奇函数， 在 上单调递增， 所以 在 上递增，
因为 的图象关于直线 对称，所以 在 上递减，
因为 的周期为4，所以 在 上单调递减，所以 ③正确，
对于④，因为 的定义域为R，且为奇函数，所以 ，
因为 在 上递增， 在 上递减， 的周期为4， 所以 在 上递增， ，
所以 在 上的最大值为 ，
因为 ，所以 不是 的一个最大值，所以④错误，
对于⑤，因为 ，所以当 时，得 ，当 时，得 ，所以
，
因为 的周期为4，所以 ，所
以⑤正确，
故答案为： ②③⑤
四、解答题
17、
<答案 >:
(1) ，
(2)
<解析>:
（1）当 时，集合 ，
因为 ，所以 .
所以 ，
（2）因为“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，
所以 是 的真子集，而 不为空集，
所以 ，因此 .
18、
<答案 >:
(1) ；
(2) 或 .
<解析>:
（1）由 ，得 或 ，
当 时， 是奇函数，满足题意，
当 时， 是偶函数，不满足题意，
所以 ， ；
（2）因为 的定义域为 ，单调减区间为 ， ，
由 ，可得 或 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 或 .
19、
<答案 >:
（1）证明见解析；（2） .
<解析>:
（1）根据函数的解析式，利用单调增函数的定义即可证明；
（2）根据函数的单调性，求得在题设区间上的最大值和最小 值，根据已知得到关于a的方程，求得a的值.
（1）因为 ，任取 ， ，且 ，
则
=
因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是增函数.
（2）由（1）可知， 在 ， 上是增函数，
在 ， 上的最大值是最小值的2倍，
所以 ，即 ，
解得 .
20、
<答案 >:
(1) ;
(2)100（百辆），2300万元.
<解析>:
（1）通过题意知利润 收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润 （万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为
.
（2）当 时， ，
故当 时， max ；
当 时， ,
当且仅当 ， 即 时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
21、
<答案 >:
(1)
(2)证明见解 析
(3)答案见解析
<解析>:
（1）令 可得 ；
（2）令 结合已知等量 关系，根据函数的奇偶性定义即可确定 的奇偶性；任取 且
，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定 的单调性；
（3）由题设，将不等式转化为 ， 根据 的单调性和奇偶性可得
，再讨论 的大小关系，即可求解集.
（1）令 ，则 , 可得 ；
（2） 在 上单调递减，证明如下：
由已知，对于 有 成立， ，
令 ，则 ，
所以，对 有 ，故 是奇 函数，
任取 且 ，则 ，由已知有 ，
又 ，得
所以 在 上是减函数；
（3）因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 在 上是减函数，
所以 ， 即 ，又 ，
所以 ，
当 时，即 时，原不等式的解集为 ；
当 时，即 时，原不等式的解集为 ；
当 时，即 时，原不等式的解集为 .
综上所述：当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
22、
<答案 >:
(1)单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， ；
(2)
(3)
<解析>:
（1）将题中的 代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间；
（2）解不等式 ，即可得到结果；
（3）将题中的式子等价变形，将问题转化为 在 ， 单调递增，结合分段函数的解析式和
二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果．
（1）
解：当 时， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， ；
（2）
解：因 为 ， ，且函数 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
又因为 在 ， 上的最大值为 ，所以 ，
即 ，整理可得 ，
所以 ，所以 ，即 ；
（3）
解：由 不等式 对任意 ， ， 恒成立，
即 ，
可令 ，等价为 在 ， 上单调递增，
而 ，
分以下三种情况讨论：
①当 即 时，可得 ，解得 ，矛盾，无解；
② ，即 时，函数 的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足1，要想 在 ， 递增，只能 ，即 ，矛盾，无解；
③ 即 时，此时 在 ， 上单调递增，
要想 在 ， 递增，只能 ，即 ，所以 ．
综上可得满足条件的 的取值范围是 ．