2023~2024学年广东东莞市莞城街道东莞中学高三上学期期中数学试卷（广州二中、惠州一中等六校11月）（PDF版含解析）

2023~2024学年广东东莞市莞城街道东莞中学高三上学期期中数学试卷
（广州二中、惠州一中等六校11月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、集合 ，集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、若复数z满足 ，则 （ ）
A.1
B.
C.
D.
3、已知非零向量 、 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知函数 和直线l： ，那么“直线l与曲线 相切”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6、已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知三棱锥 如图所示， 、 、 两两垂直，且 ，点 、 分别是棱
、 的中点，点 是棱 靠近点 的四等分点，则空间几何体 的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知数列 为有穷整数数列，具有性质p：若对任意的 ， 中存在 ， ， ，…，
（ ， ，i， ），使得 ，则称 为4-连续可表数列.下面
数列为4-连续可表数列的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A. ， ，若 ，则
B.若 且 ，则
C.若点G是 的重心，则
D.若向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为
10、已知函数 的图象为 ，以下说法中正确的是（ ）
A.函数 的最大值为
B.图象 相邻两条对称轴的距离为
C.图象 关于 中心对称
D.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位
11、若函数 的定义域为D，若对于任意 ，都存在唯一的 ，使得 ，则称
为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）
A.函数 是“Ⅰ型函数”
B.函数 是“Ⅰ型函数”
C.若函数 是“Ⅰ型函数”，则函数 也是“Ⅰ型函数”
D.已知 ，若 ， 是“Ⅰ型函数”，则
12、已知棱长为1的正方体 中，P为线段 上一动点，则下列判断正确的是（ ）
A.存在点P，使得
B.三棱锥 的外接球半径最小值为
C.当P为 的中点时，过P与平面 平行的平面截正方体所得的截面面积为
D.存在点P，使得点P到直线 的距离为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、关于 的不等式 的解集为 ，则 .
14、已知数列 的前 项和， ，则 .
15、已知函数 ，关于x的方程 有六个不等的实根，则实数a的取
值范围是 .
16、如图，已知函数 （其中 ， ， ）的图象与x轴交于点A，B，与y轴
交于点C， ， ， ， .则函数 在 上的值域为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 为数列 的前 项和，且 ， ， .
(1)证明：数列 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
18、（本小题12分）
在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 .
(1)求角 的值；
(2)已知点 为 的中点，且 ，求 的最大值.
19、（本小题12分）
若二次函数 满足
(1)求 的解析式；
(2)若函数 ，解关于 的不等式： .
20、（本小题12分）
如图（1）所示，在 中， ，过点 作 ，垂足 在线段 上，且 ，
，沿 将 折起（如图（2）），点 、 分别为棱 、 的中点.
(1)证明： ；
(2)若二面角 所成角的正切值为 ，求二面角 所成角的余弦值.
21、（本小题12分）
已知数列 是公比大于0的等比数列， ， .数列 满足： （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： 是等比数 列；
(3)证明： .
22、（本小题12分）
已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)当 时，设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
A
<解析>:
根据交集的定义计算可得.
因为 ， ，
所以 .
故选：A
2、
<答 案>:
B
<解析>:
利用复数的除法运算及模长公式计算即可.
由 ，
所以 .
故选：B.
3、
<答 案>:
A
<解析>:
分析可得 ，利用平面向量数量积的运算性质可得出 的值，结合平面向量夹角的取值范
围可得出 与 的夹角.
因为非零向量 、 满足 ，且 ，
则 ，
所以， ，又因为 ，故 .
因此， 与 的夹角为 .
故选：A.
4、
<答 案>:
C
<解析>:
利用两角和的正切公式可得出关于 的方程，解出 的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得
的值.
因为 ，
整理可得 ，解得 ，
所以， .
故选：C.
5、
<答 案>:
B
<解析>:
根据直线 与曲线 相切，求出 ，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．
设函数 和直线 的切点坐标为 ，
则 ，可得 ，
所以 时，直线 与曲线 相切；
直线 与曲线 相切不能推出 ．
因此“ ”是“直线 与曲线 相切”的 必要不充分条件．
故选：B．
6、
<答 案>:
D
<解析>:
根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
正实数 满足 ，则
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：D
7、
<答 案>:
C
<解析>:
过点 作 ，交 于点 ，证明出 平面 ，计算出三棱锥 、 的体积，可得
出 ，即可得解.
过点 作 ，交 于点 ，
因为 ， ， ， 、 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 ，则 平面 ，且 ，则 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
所以， ，
，
因此， .
故选：C.
8、
<答 案>:
B
<解析>:
根据新定义进行验证即可得．
选项A中， ， 和不可能为4，A不是4-连续可表数列；
选项B中， ，B是4- 连续可表数列；
选项C中，没有连续项的和为2，C不是4-连续可表数列；
选项D中，没有连续项的和为1，D不是4-连续可表数列．
故选：B．
二、多选题
9、
<答 案>:
C;D
<解析>:
利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直的表示可判断B选项；利用三角形重心的向量性质可判断
C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.
对于A选项，已知 ， ，若 ，则 ，解得 ，A错；
对于B选项，若 且 ，则 ，
所以， 或 ，B错；
对于C选项，若点G是 的重心，则 ，C对；
对于D选项，若向量 ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为 ，D对.
故选：CD.
10、
<答案 >:
B;C;D
<解析>:
利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
因为
，
所以函数 的最大值为 ，故A错误；
函数 的最小正周期 ，所以图象 相邻两条对称轴的距离为 ，故B正确；
因为 ，所以图象 关于 中心对称，故C正确；
将 的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变得到 ，
再将 向右平移 个单位得到 ，故D正确；
故选：BCD
11、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
根据所给函数的定义求解C，根据对数运算求解A，根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.
对于A,由 可得 ，所以 ，故A正确，
对于B，取 ，则由 以及 可得 ,故这与存在唯
一的 矛盾，故B错误，
对于C，由于函数 是“Ⅰ型函 数”，则对于任意 ，都存在唯一的 ，使得 ，故
，因此对于对于任意 ，都存在唯一的 ，使得
，故 是“Ⅰ型函数”，C正确，
对于D，对于任意 ，都存在唯一的 ，使得 ，所以
，由于 ，所以
，由于 在 单调递增，
所以 且 ，故 ，D正确，
故选：ACD
12、
<答案 >:
B;C;D
<解析>:
建立空间坐标系，根据向量共线求解A，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B，根据面面平
行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性
质即可求解D.
由于 为等边三角形，且其外接圆的半径为 ，
由于 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，故 ，同理可证 ,
因此 平面 ，故 平面 ，
因此三棱锥 为正三棱锥，设外接球半径为 ，球心到平面 的距离为 ，
则 ，故当 时， 为最小值，故B正确，
取 的中点为 , ,连接 ,当 是 的中点，也是 的中点，
则该截面为与平面 平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为
,所以截面面积为 ，C正确，
对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则
,设 ，( ),
,
所以点P到直线 的距离为
，
由于 ，所以 ，由于 ,故D正确，
由于 ， ,则 ,
,
若 与 共线，则 ， ，此时 ，此时
与 不共线，故 不平行
故A错误，
故选：BCD
三、填空题
13、
<答案 >:
/
<解析>:
分析可知， 、 是关于 的方程 的两根，利用韦达定理可得出 的值.
因为关于 的不等式 的解集为 ，则 ，
且 、 是关于 的方程 的两根，
由韦达定理可得 ， ，解得 ，所以， .
故答案为： .
14、
<答案 >:
<解析>:
根据 求出 ，再根据对数的运算性质计算可得.
因为数列 的前 项和 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
方程变形为 或 ，其中 可解得两个根，因此 应有4个根，作出函数 的
图象与直线 ，由图象得它们有4个交点时的参数范围．
，则 或 ，
， ，即 有两个根，
因此 应有4个根，
作出函数 的图象与 直线 ，
由图象可知，当 时满足题意，
故答案为： ．
16、
<答案 >:
<解析>:
由题意可得： ， ，可得 ， ， ， 的坐标，根据 ，可得
方程 ，进而解出 ， ， ，即可求出 ，再由三角函数的性质求解．
由题意可得： ， ， ，
， ， ， ，
， ，
把 代入上式可得： ， .
解得 ， ，
， ，解得 .
， ，解得 ，
所以函数 ，
时， ， ，
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)证明见解析，
(2)
<解析>:
（1）利用等差数列的定义可证得数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列 的通
项公式，进而可得出数列 的通项公式；
（2）利用 与 的关系可求出数列 的通 项公式，再利用裂项相消法可求得 .
（1）解：对任意的 ， ，
则 ，
所以，数列 为等差数列，且其首项为 ，公差为 ，
所以， ，故 .
（2）解：当 时， ，
也满足 ，故对任意的 ， .
所以， ，
故 .
18、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用平面向量的线性运算可得出 ，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本
不等式可得出关于 的不等式，由此可解得 的最大值.
（1）解：因为 、 ，则 ，
由正弦定理可得 ，
所以， ，故 .
（2）解：因为 为 的中点，则
，
所以， ，
所以， ，
由余弦定理可得 ，
所以， ， ，
由基本不等式可得 ，即 ，解得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最大值为 .
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1） ，根据 可得出关于 、 、 的方程组，解
出这三个未知数的值，即可得出函数 的解析式；
（2）求出函数 的定义域，利用导数分析函数 的单调性，由 可得出关于实数 的不等
式组，由此可解得实数 的取值范围.
（1）解：设 ，
则
，
所以， ，解得 ，故 .
（2）解：函数 的定义域为 ，
且 ，
令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间 为 ，
故对任意的 ， ，
所以，函数 在 上为减函数，
由 可得 ，解得 或 ，
因此，不等式 的解集为 .
20、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明出 平面 ，可得出 ，利用中位线的性质可得出 ，即证得结论成立；
（2）分析可知，二面角 的平面角为 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、
轴，平面 内过点 且垂直于 的直线为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角
所成角的余弦值.
（1）证明：翻折前， ，则 ， ，
翻折后，则有 ， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
在四棱锥 中，因为点 、 分别为 棱 、 的中点，则 ，
因此， .
（2）解：因为 ， ，则二面角 的平面角为 ，即 ，
因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，
平面 内过点 且垂直于 的直线为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
因为 ， ， ，则 ，
又因为 ，则 、 、 、 、
、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，取 ，可得 ，
所以， ，
由图可知，二面角 的平面角为锐角，故二面角 的余弦值为 .
21、
<答案 >:
(1)
(2)见解析
(3)见解析
<解析>:
（1）由等比数列的通项公式运算可得 的通项公式，进而求出数列 的通项公式；
（2）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证；
（3）放缩得 ，进而可得 ，结合错位
相减法即可得证.
（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，
则 ，所以 ，
又 .
（2）所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是首项为8，公比为 的等比数列；
（3）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
22、
<答案 >:
(1) 上单调递增， 上单调递减.
(2)证明见解析
<解析>:
（1）利用导数研究函数的单调性；
（3）利用切割线放缩证明.
（1） , ,
, ,
上单调递增， 上单调递减.
（2） , ,
在 上单调递增， 上单调递减.
，
，
因为 ，所以函数 在区间 上为上凸函数，
函数 在区间 的图象如图所示.
不妨设 ，则 .
连接 和点 的直线l2的方程为： ,
当 时， ,
由图可知 ,所以要证明 ，只需证明 ，即只需证
明 ，
连接 的直线 的方程为 ,设函数 的图象的与 平行的切线是直线 ，
， ，
直线 的方程为 ,即 ，
令 ,得直线 与直线 的交点横坐标为 ,
由图可知， ，
故要证不等式成立.