2023-2024学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知，“”，“”，则是的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知命题，则命题的否定为( )
A. B.
C. D.
6.设函数，其中表示中的最小者，若，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
7.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有；对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为理想函数．下列四个函数中能被称为理想函数
的是( )
A. B. C. D.
10.已知，，且，则( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
11.当时，不等式成立．若，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值域为 ．
13.已知圆，点是圆上任一点，抛物线的准线为，设抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为
14.若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
17.本小题分
定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，．
求证：在上是单调递增函数
解关于的不等式：
已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点在上，且．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
己知函数，其中，．
若直线是曲线的切线，求的最大值；
设，若关于的方程有两个不相等的实根，求的最大整数值．参考数据
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
由得，
当时，则有，
解得；
当时，则有
解得；
综上所诉：实数的取值范围为．
若，则有
当时，则有，
解得；
当时或
得或，
综上所诉：实数取值范围为．
16.解：．
故，
当时，，不满足题意；
当时，则
综上所述，，
故实数的取值范围为．
．
当时，，解集为
当时，，
方程的两个根为，
不等式的解集为．
当时，
当时，解集为
当时，解集为
当时，解集为．
17.证明：任取，设 ，
则，
，
时，，而，
，
，
在上是单调递增函数；
解：由得，
解得；
解：由得，
由得，即．
所以对任意的恒成立，
，解得或．
18.解：
证明：如图，连接，交于点，连接．
由，，所以
又，所以，故．
又平面，平面，所以平面．
不妨设，
则
以为坐标原点，分别以直线为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系
所以
设为平面的一个法向量，则有
即可取
设为平面的一个法向量，则有
即可取，
所以．
所以，
所以二面角的正弦值为．
19.解：设直线与相切于点，
因为，所以，
所以，
又因为在切线上，所以，
所以，
设，则由，
解得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值，
所以的最大值为；
原方程为，
设，则原问题等价于关于的方程有两个不同的实数根，
所以函数需有两个不同的零点，
因为在上单调递减，
且在上存在唯一实根，
即，即，
所以当时，；当时，，
因此，在上单调递增；在上单调递减，
若，则，
，
不合题意舍去，
若，则，
时，，
，，
要使函数有两个不同的零点，
则只需，
因为是关于的增函数，且，
，所以存在使得，
所以当时，，
因为是关于的减函数，
所以，
又因为，
所以的最大整数值为．
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