保密★启用前
7.建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多
2023一2024学年高一下学期教学质量检测
为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆
柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台OO2,
数学试题
已知该圆台的上、下底面积分别为16πcm2和9πcm2,高超过1cm,
2024.07
该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球O的表面上，且球O
注意事项：
的表面积为100πcm2,则该圆台的体积为
1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟」
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
A.80ncm
B.259cm
C.260z cm
3
D.87πcm3
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题
3
卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的
8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,D是AB上的点，CD平分∠ACB,且CD=1,
答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效，
csin A+√3 acos C=0,则△ABC面积的最小值为
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
A,1
B.√3
C.2
D.23
1.已知复数z满足0-)2=2+i,则复数z的虚部为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
A
D.
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
2.己知向量BC=(2,1),AB=(0,-),则AC=
9.己知平面向量4=(1,2)，b=(-2,x),则
A.2
B.3
2014-2023年粮食产量
45
A.当x=2时，a+b=(-1,4)
C.2
D.2V2
3.右图为某地2014年至2023年的粮食年产量折
35
B.若a/b,则x=-1
30
2828
线图，则下列说法不正确的是
C.若a⊥b,则x=1
20
A.这10年粮食年产量的极差为15
10
D.若a与b的夹角为钝角，则r∈(-o,4)U(-4,1)
B.这10年粮食年产量的平均数为31
10.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1,2：红球有
C.前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮
食年产量的方差
39g
两个，编号为3,4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，
D.这10年粮食年产量的中位数为29
年份
B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件
4,已知直线4，b,c是三条不同的直线，平面a,B,y是三个不同的平面，下列命题正确的是
“取出的两球同色”，则
A.若a⊥c,b⊥c,则aHb
B.若a∥b,a∥a,则b∥a
A.A与D相互独立
C.若a∥a,b∥a,c⊥a,且c⊥b,则c⊥a
B.A与B相互独立
D.若B⊥a,y⊥a,且Bny=a,则a⊥a
C.B与D相互独立
5.已知向量a=1,bl=2,且a与b的夹角为45，则b在a方向上的投影向量为
D.A与C相互独立
A.
-0
B.2a
C.2b
D.b
2
11.如图，在正方体ABCD一A1B1CD1中，E为棱AB上的动点，DF⊥平面DEC,F为垂足，
6.某商场开展20周年店庆购物抽奖活动(100%中奖)，活动方式是在电脑上设置一个包含1，
下列结论正确的是
2,3,4,5,6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，
当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元：
A.FD=FC
若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元：若该数字出现其它情况，则获
B.三棱锥C一DED,的体积为定值
得三等奖，奖金为50元。现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为
C.BC1⊥AC
D4-
5
5
A.36
2
B.
C.
D.ED1⊥AD
18
高一数学试题第1页（共4页）
高一数学试题第2页（共4页）高一数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
1．A 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7. B 8．B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．ACD 10．BCD 11．ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
π
12．-12 13． 2 3 14．
6
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）
解：（1）根据正弦定理，因为b (cosC +1) = c (2 cosB ) ,
所以sinBcosC + sinB = 2sinC sinCcosB; ...........2 分
整理得sinBcosC + sinCcosB + sinB = 2sinC,
所以sin (B +C ) + sinB = 2sinC,
因为 A+ B+C = π，所以sinA = sin (B +C )，
所以sinA+ sinB = 2sinC，...........5 分
由正弦定理可得a +b = 2c；...........6 分
9
（2）因为cosC = ，由余弦定理可得 c2 = a2 +b2 2abcosC，
16
即 25 = a2 + b2
9
ab， ...........8 分
8
25 2
又c = 5，故a +b =10，从而25 + ab = (a + b) =100 ，解得ab = 24，
8
...........10 分
9 5 7
因为cosC = ，所以sinC = 1 cos2C = ，...........11 分
16 16
= 1 = 1 × × 5 7 = 15 7所以 S ABC absinC 24 . ...........13 分 △
2 2 16 4
高一数学答案 第 1 页（共 4 页）
16.（15 分）
解：（1）根据分层抽样知：
应抽取小吃类80 × (1 30% 15% 10% 5% 5%) = 28 家，
生鲜类80×15% =12家，
所以应抽取小吃类 28 家，生鲜类 12 家. ...........4 分
（2）（i）根据题意可得 (0.002 × 3 + 2a + 0.006)× 50 = 1，解得a = 0.004，...........6 分
设 75 百分位数为 x，因为 (0.002 + 0.004 + 0.006)× 50 = 0.6，
所以 ( x 450)× 0.004 + 0.6 = 0.75 ，解得 x = 487.5，
所以该直播平台商家平均日利润的 75 百分位数为 487.5 元. ...........9 分
平均数为
(325 × 0.002 + 375 × 0.004 + 425 × 0.006 + 475 × 0.004 + 525 × 0.002 + 575 × 0.002)
×50 = 440 ，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为 440 元. ...........12 分
500 480
（ii） × 0.004 + 0.002 + 0.002 × 50×1000 = 280，
50
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为 280. ...........15 分
17.（5 分）
解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件 A，B，C，
因为 A， B，C为两两互斥事件， ...........1 分
1
+ P(A) = , P(A) P(B) + P(C) = 1, 2
由已知得 P(A) + P(B) =
3 = 1, 解得 P(B) , ...........5 分
4 4
1 1
P(B) + P(C) = , P(C) = , 2 4
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是 2，1，1； ...........6 分
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为 2，1，1，用 1，2 表示红球，用 a表示
黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球， (m,n) 表示
试验的样本点，
则样本空间 = {(1,1)，(1,2)，(1,a) ，(1,b)，(2,1)，(2,2)，(2,a) ，(2,b) ，(a,1) ，(a,2) ，
(a,a) ， (a,b)， (b,1)， (b,2) ， (b,a)， (b,b)}；...........10 分
高一数学答案 第 2 页（共 4 页）
（ii）由 (i)得 n( ) =16 ，记“取到两个球颜色相同”为事件M ，“取到两个球颜色
不相同”为事件 N ，
= 6 3则 n(M ) 6，所以 P(M ) = = ，...........12 分
16 8
3 5
所以 P(N) =1 P(M ) =1 = ，...........13 分
8 8
5
因为 >
3
，所以此游戏不公平．...........15 分
8 8
18.（17 分）
（1）证明：因为四边形MNEF，ECDF 都是矩形，
所以MN / /EF / /CD，MN = EF = CD， ...........2 分
所以四边形MNCD是平行四边形，
所以NC / /MD， ...........3 分
因为NC 平面MFD，所以NC / / 平面MFD； ...........5 分
（2）证明：连接ED，设ED∩FC =O，
因为平面MNEF ⊥ 平面ECDF ，交线为 EF，且NE ⊥ EF，
所以NE ⊥平面ECDF ，所以NE ⊥ FC， ...........7 分
又EC = AB = 3，所以四边形ECDF 为正方形，所以FC ⊥ ED， ...........8 分
NE ∩ ED = E,所以FC ⊥ 平面NED，...........10 分
又ND 平面NED，所以ND ⊥ FC， ...........11 分
（3）解：设NE = x，则EC = 4 x，其中0 < x < 4，
由（1）得NE ⊥平面FEC，
所以四面体NFEC的体积为：
1 1 1 1
V 2
2
NFEC = SΔEFC NE = x (4 x) = ( x + 4x) = ( x 2) + 4 ， ...........15 分
3 2 2 2
x = 2 时，四面体NFEC的体积最大，其最大值为2. ...................17 分
高一数学答案 第 3 页（共 4 页）
19.（17 分）
解：（1）因为 cos 2B + cos2C cos2A =1，即1 2sin2 B +1 2sin2 C 1+ 2sin2 A =1，
故 sin2 A = sin2 B + sin2C，由正弦定理可得 a2 = b2 + c2，..........3 分
π
故 ABC直角三角形，即 A = ；..........4 分
2
π
（2）由（1）可得 A = ，所以三角形 ABC的三个角都小于120°，
2
则由费马点定义可知：∠APB = ∠BPC = ∠APC =120°，..........5 分
设 | PA |= x,| PB |= y,| PC |= z，
1 3 1 3 1
由 S APB + S BPC + S APC = S ABC，得 xy + yz + xz
3 = 1 × 2，
2 2 2 2 2 2 2
整理得 xy + yz + 4 3xz = ，..................8 分
3
+ + = 1 + 1 + 1 = 1 × 4 3 2 3则 PA PB PB PC PA PC xy ( ) yz ( ) xz ( ) = ；
2 2 2 2 3 3
..................10 分
（3）点 P为 ABC的费马点，则∠
2π
APB = ∠BPC = ∠CPA = ，
3
设 | PB |= m | PA |， | PC |= n | PA |， | PA |= x，m > 0， n > 0， x > 0，
则由 | PB | + | PC |= t | PA |，得m + n = t；..........12 分
2 2 2 2
由余弦定理得 | AB | = x +m x 2
2π
2mx cos = (m2 +m +1)x2，
3
2 = 2 + 2 2 2 2π| AC | x n x 2nx cos = (n2 + n +1)x2，
3
2 = 2π|BC | m2x2 + n2x2 2mnx2 cos = (m2 + n2 +mn)x2，
3
故由 | AC |2 + | AB |2 =| BC |2，得 (n2 + n +1)x2 + (m2 +m +1)x2 = (m2 + n2 +mn)x2，
即m + n + 2 = mn，而m > 0， n > 0，故m +
m + n
n + 2 = mn 2( ) ，..........15 分
2
当且仅当m = n，结合m + n + 2 = mn，解得m = n = 1 + 3时，等号成立，
又m + n = t，即有 t2 4t 80，解得 t2 + 2 3或 t2 2 3（舍去）．
故实数 t的最小值为 2 + 2 3．..........17 分
高一数学答案 第 4 页（共 4 页）
